Beregningsteknik i elektronik for EIT3+ITC3/14 Opgavesæt 30 141207HEb Skriftlig prøve i Beregningsteknik indenfor elektronikområdet Prøve d. 6.januar 2015 kl. 09.00-13.00. Ved bedømmelsen vægtes de 7 opgaver således: Opgave 1: 17 % (Vektoranalyse) Opgave 2: 17 % (Vektoranalyse) Opgave 3: 23 % (Kompleks funktionsteori) Opgave 4: 10 % (Kompleks funktionsteori Opgave 5: 10 % (Rækkeudvikling og Fouriertransformation) Opgave 6: 9 % (Rækkeudvikling og Fouriertransformation) Opgave 7: 14 % (Rækkeudvikling og Fouriertransformation) Denne side skal afleveres sammen med opgavebesvarelsen. Alle afleverede besvarelsesark til bedømmelse skal være påført navn og cpr-nummer. Opgaveteksten kan beholdes. Påførvenligstherunder tydelignavn,cpr-nummer og eksamensnummer. Hvis disse data ikke er korrekte og tydelige, kan opgavesættet ikke blive bedømt. Navn: Cpr. nr.: Eksamensnummer:
Praktiske bemærkninger Generelle bemærkninger: Disse hjælpemidler er tilladte under eksamen: Lærebøger, formelsamlinger, notater, lommeregner og pc. Pc og lommeregner må ikke kommunikere med omverdenen. Man kan ikke påregne at kunne få 230 V tilslutning under eksamen. Maskinerne må ikke støje, og skærmen skal vippes mindst 135 grader op i forhold til sammenklappettilstand. Printerudskrifter accepteres ikke som besvarelse. Eksamenssnyd behandles efter universitetets regler. Ang. den ønskede angivelse af resultater: Besvarelsen skal afleveres på separate papirark for hver opgave. Mellemregninger skal medtages i det omfang, det er nødvendigt for at forstå eksaminantens tankegang i løsningsmetoden. Det er ikke nødvendigt at medtage alle detaljer. Det giver ikke pluspoint at angive mange decimaler i resultatet. Det er en vurderingssag, hvormange, der er nødvendigt, men højst 3 decimaler er almindeligt. Decimaltegnet er komma (og ikke punktum!). Ang. bedømmelsen af opgaverne: Besvarelserne udsættes for en helhedsvurdering mhp. om eksaminanten kan siges at opfylde kursusmålet. Man kan ikke bestå, hvis man er helt blank i et af delområderne, idet man ikke opfylder det forud fastsatte kursusmål. Helt simple regnefejl trækker ikke ned. Regnefejl, som giver et helt åbenlyst forkert resultat, trækker ned. Metodefejl trækker meget ned. Fejl tæller kun med 1 gang, selv om de bevirker at efterfølgende spørgsmål ogsåvil blive besvaret forkert. Det er vigtigt, at tankegangen i løsningen af opgaven klart fremgår af besvarelsen. Den blotte angivelse af et facit er ingen god besvarelse, og hvis talværdien oven i købet er forkert, vil eksaminatoren vurdere, at opgaven ikkeer besvaret. Derudover er det vigtigt, at man skriver med en tydelig og letlæselig håndskrift og laver en overskuelig opstilling af løsningen. Ting, som eksaminatoren ikke kan læse, kan man ikke blive krediteret for. En god opstilling af løsningen og en klar håndskrift giver pluspoint!
Opgave 1 Vektorfunktionen er givet ved: = exp( ) cos( ) + 3 exp( ) sin( ) + 3 2 + 3 Figuren herunder viser en guffer, som er en cirkel med radius 5 m, hvoraf der er udtaget en sektor på 60. Centrum ligger i (0,0,5), og hele kurven ligger i planet = 5. Anvend metoder efter eget valg til beregningerne herunder. y z= 5 A B 30 30 x C Integrationskurver a. Vis at er konservativ. b. Find en potentialefunktion, for. c. Evaluer kurveintegralet af fra punkt A til punkt C mod uret langs cirkelbuen. d. Evaluer kurveintegralet af fra punkt A til punkt B og videre til punkt C. Opgave 2 En vektorfunktion er givet ved: = 4 3 2 + 1 2 2 Der er givet en flade samt en kurve. Fladen er den del af kuglefladen for en kugle med radius 4 m og centrum i ( ) = (3 2 2), der rager op over -planet, dvs. alle de punkter, hvor 0 (en kuglekalot). Kurven er kuglekalottens randkurve i -planet. a. Fremstil en parametrisk repræsentation for fladen og for kurven. Lav en skitse. b. Beregn kurveintegralet: 1 = Kurven gennemløbes i den positive retning. c. Beregn med valgfri metode fluxintegralet: 2 = ( ) Der vælges en udadrettet normalvektor ved evalueringen.
Opgave 3 Den komplekse funktion ( ) er givet ved: ( ) = cos ( 3 ) 2 a. Bestem det område i -planen, hvor ( ) er analytisk. b. Beregn det komplekse integral ( ) hvor er cirklen 4 = 3 gennemløbet i planens positive retning, dvs. mod uret. Opgave 4 Bestem ved hjælp af Cauchy-Riemann-ligningerne om funktionen ( ) = 2 2 er analytisk.
Opgave 5 a. Bestem Taylorrækken for funktionen ( ): ( ) = 4 2 3 + 2 2 + 1 med centerpunktet 0 = b. Beskriv kort: 1.resultatet af a. (d.v.s. den rækkeudviklede funktion) i forhold til funktionen ( ). 2. konvergensområdet for den rækkeudviklede funktion. Opgave 6 a. Følgende Maclaurin række er givet: 1 2 + 2 2 4 2 3 4 ++ b. Følgende Taylorrække er givet: 1 2 + 1 2 + 1 2 ( ) + ( 1 4 + 1 4 )( ) 2 1 4 ( )3 ++ 0 er lig Bestem rækkernes konvergensradier Opgave 7 Den periodiske funktion ( ) er for perioden = 4 givet ved: ( ) = 2 2 for for 2 2 a. Skitser tre perioder af grafen for ( ). b. Bestem Fourierrækken/Fourierkoefficienterne for ( ).