INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI SYDDANSK UNIVERSITET, ODENSE Skriftlig eksamen BioMatI (MM503) 14. januar 2009 2 timer med alle sædvanlige hjælpemidler, inklusive brug af lommeregner/computer. OPGAVESÆTTET INDEHOLDER 6 OPGAVER, MEN DER SKAL VÆLGES MELLEM OPGAVE 5 OG OPGAVE 6, SÅDAN AT KUN 1 AF DEM MÅ AFLEVERES. På denne måde har hver eksaminand 11 spørgsmål at arbejde på. Korrekt og fyldestgørende besvarelse af mindst 6 spørgsmål vil sikre beståelse. Benyttes lommeregner eller computer til f. eks. at løse en ligning eller et system af ligninger (eller til at beregne et integral eller en differentialkvotient), skal ligningen eller ligningerne anføres i besvarelsen (og tilsvarende med integralet eller differentialkvotienten). Derimod er der ikke noget krav om at der anføres evt. mellemregninger.
Opgave 1 Lysintensiteten, I, i søer antages ofte eksponentielt aftagende som funktion af dybden under vandoverfladen I(x) = I(0)e dx. Her betegner x altså dybden under vandoverfladen. Dæmpningskonstanten d afhænger naturligvis af søen, men den er under alle omstændigheder positiv. I praksis bestemmes d undertiden ved den såkaldte Secchi-skive metode. En Secchi-skive er en hvid skive med radius 10 cm, som sænkes ned i søen indtil den lige akkurat ikke mere kan ses. Den dybde, hvor det sker, kaldes her x S. Modelantagelsen siger, at intensiteten i denne dybde er I(x S ) = I(0) 10. (a) Gør rede for, at sammenhængen mellem x S og d er givet ved (b) Bestem x S i en sø, hvor d = 0.57. (c) Bestem d for en sø, hvor x S = 8. x S = ln(10). d Opgave 2 Z er en kontinuert stokastisk variabel med værdiinterval I = [1, B]. Frekvensfunktionen for Z er f(z) = 1 z, 1 z B. (a) Bestem konstanten B. (b) Bestem middelværdien og variansen for Z. NB: Hvis det ikke lykkes at svare på spørgsmål (a), kan et svar på (b), som afhænger af den ukendte værdi for B, accepteres. 2
Opgave 3 En funktion h er givet ved formlen hvor C og D er konstanter. h(t) = Ct Dt D + t, (a) Bestem lineariseringen af h(t) omkring t = D.. Opgave 4 En befolkningsgruppe består af tre forskellige racer, R 1, R 2 og R 3, som har hver sin sandsynlighed for at være HIV-smittet, nemlig følgende P (HIV R 1 ) = 0.06, P (HIV R 2 ) = 0.21, P (HIV R 3 ) = 0.12. I et eksperiment vælger man først en af racerne på tilfældig vis, dvs. med samme sandsynlighed for hver af racerne. Fra den valgte race vælges dernæst en tilfældig person. (a) Hvad er sandsynligheden for, at den valgte person er HIV-smittet? (b) Nu gentages eksperimentet, og det konstateres, at den valgte person er HIV-smittet. Hvad er sandsynligheden for, at vedkommende kommer fra racen R 2? 3
Af opgaverne på denne side, må kun én afleveres til bedømmelse. Opgave 5 Henry F. Mollett har på sin hjemmeside 1 offentliggjort en differentialligning, som siges at gælde for vægten som funktion af tiden for en hajart. Når vægten til tiden t kaldes V (t) lyder differentialligningen således dv dt = a V 2 3 k V. Konstanterne a ( den anaboliske konstant ) og k (den kataboliske konstant ) er begge positive. Med V betegnes hajens ligevægts-vægt, dvs. den konstante vægt V > 0, som er en løsning til differentialligningen. (a) Bestem V udtrykt ved konstanterne a og k. (b) Nu tænkes a fastholdt på en bestemt værdi, mens k varierer. Afgør, hvorvidt V er voksende eller aftagende som funktion af k. (c) Endelig tænkes k fastholdt på en bestemt værdi, mens a varierer. Afgør, hvorvidt V er voksende eller aftagende som funktion af a. Af opgaverne på denne side, må kun én afleveres til bedømmelse. Opgave 6 I bilaget på næste side er der en kurve, som viser det gennemsnitlige regnfald (i et eller andet uspecificeret land, målt i millimeter pr. dag) fordelt over året. Kurven er givet ved formlen r(t) = 4 + 2 cos(ωt) + 4 sin(ωt) 2 cos(2ωt) + 2 sin(2ωt), hvor ω = 0.0172. (a) Bestem det totale regnfald for hele (gennemsnits-)året. (b) Bestem det gennemsnitlige regnfald pr. dag. (c) Opstil en ligning, som kan bruges til at bestemme det tidspunkt på året, hvor den daglige regnmængde er størst. Afgør ud fra bilaget, hvor mange løsninger denne ligning har hen over året. 1 http://homepage.mac.com/mollet/vbgf/vbgf.html 4
Figur 1: Bilag til opgave 6. 5