Reeksamen 2014/2015 Mål- og integralteori

Transkript

1 Reeksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål. Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt. Besvarelsen bedømmes med en karakter i henhold til -skalaen. Eksamen er en 4 timers skriftlig eksamen med hjælpemidler. Dvs. bøger, kompendier og andet undervisningsmateriale kan benyttes. Det er ligeledes tilladt at benytte lommeregner eller computer. Elektroniske hjælpemidler må ikke på nogen måde bruges til kommunikation med andre, og det er ligeledes ikke tilladt at etablere forbindelse til internettet eller andre netværk under eksamen. Det er tilladt at skrive med blyant. Opgave Denne opgave består af 4 uafhængige spørgsmål. Hvert spørgsmål besvares med et kort argument, et modeksempel eller en reference til undervisningsmaterialet. Alle stokastiske variable er defineret på målrummet (Ω, F, P ). Spørgsmål.. Lad Y være χ -fordelt med frihedsgrad. Er det sandt at Y er N (, )-fordelt? Observer at P ( Y ) = P (Y ) = idet χ -fordelingen har støtte [, ). Derfor kan Y ikke være normalfordelt, da normalfordelingen giver mængden (, ) strengt positiv sandsynlighed. (Hvad der derimod er rigtigt er, at Y har samme fordeling som X hvor X N (, ).) Spørgsmål.. Lad X og X være uafhængige N (, )-fordelte stokastiske variable. Er det sandt at E(X X ) =? Det følger af sætning 8. at X og X er uafhængige. Det følger så af opgave.6 i notatet om betingede middelværdier, at E(X X ) = E(X ).

2 Eftersom X N (, ) er E(X ) = V (X ) =, så udsagnet er sandt. Spørgsmål.3. Lad X være exponentialfordelt med middelværdi. Er det sandt at ( ) E >? X Bemærk at /X er en positiv stokastisk variabel, så middelværdien er veldefineret. Tætheden for exponentialfordelingen er e x for x >, så ( ) E = X x e x dx x e x dx e x dx. }{{} = Middelværdien er således >, så udsagnet er korrekt. Bemærk at Jensens ulighed (mere specifikt, eksempel 6.33) ikke umiddelbart kan bruges, da /X ikke har endelig middelværdi. Spørgsmål.4. Antag at ( X X Hvad er E(X X )? Vi finder at ) N (( ) (, )). E(X X ) = cov(x, X ) + E(X ) E(X ) = + = 3, hvor kovariansen og middelværdierne er aflæst af parametrene i den angivne todimensionale normalfordeling. Opgave I denne opgave betegner ν = π m ( π/,π/) lebesguemålet skaleret og restringeret til ( π/, π/). Det kan i opgaven uden yderligere argument bruges, at ν er et sandsynlighedsmål på (R, B) med ν(( π/, π/)) =. Opgaven handler om billedmålet µ = sin(ν). Spørgsmål.. Vis at µ har tæthed m.h.t. lebesguemålet og find tætheden.

3 Med h(x) = sin(x) ser vi, at h : ( π/, π/) (, ) er en bijektiv afbilding med invers h (y) = arcsin(y), som er C på (, ). Med I = ( π/, π/) og J = (, ) er betingelserne ), ) og 3) i sætning.6 opfyldt, og µ = h(ν) har således tæthed m.h.t. lebesguemålet. Tætheden er givet ved f(y) = π (h ) (y) = π y for y (, ) (og udenfor (, )). Vi har brugt formlen for den afledte af arcsin. Bemærk at µ som transformation af et sandsynlighedsmål også er et sandsynlighedmål. Spørgsmål.. Vis at µ har k te moment for alle k N. Find. og. moment for µ. Vi ser at det k te absolutte moment for µ er y k π dy y π dy = <. y Det følger så at definition 6.7, at µ har k te moment for alle k N. Momenterne findes som følger, jf. eksempel 6.6: Første moment er og andet moment er π/ π π/ sin(x)dx = cos(x) π π/ = π/ π/ sin(x) dx = π π/ π (x sin(x) cos(x)) π/ = π π/ π =. Lad nu X, X,... være uafhængige og identisk fordelte stokastiske variable med fordeling ν. Sæt n S n = sin(x i ). i= Spørgsmål.3. Vis at P ( S n n) for alle n N, og vis dernæst at P ( S n n).847 for n, hvor grænsen er afrundet til 4 decimaler. 3

4 Det følger af spørgsmål. at ξ := E sin(x i ) = og σ := V sin(x i ) = E sin(x i ) =. Med σ = følger det af notatet om CLT (side 6), at P ( S n ( n) = P n S n σ ) n (.) ( ) =. (.) Her er Chebychevs ulighed øverst side 6 brugt med x =. Den samme omskrivning giver ifølge CLT, som formuleret midt på side 5 i notatet, at P ( S n n) Φ( ) Φ( ).847. Den numeriske værdi kan findes på lommeregner eller i f.eks. R ved brug af funktionen pnorm. Opgave 3 I denne opgave betegner µ målet på (, ) (, ), der har tæthed f(x, y) = for x, y > m.h.t. lebesguemålet m. yx x+y x+ e Γ(x) Spørgsmål 3.. Vis at µ er et sandsynlighedsmål. Bemærk at m = m m, samt at f er en positiv funktion. Det følger derfor af Tonellis sætning er (, ) fdm = = = Det viser, at µ er et sandsynlighedsmål. y x x+y x+ e dydx (3.3) Γ(x) x+ Γ(x) e x y x e y dy dx (3.4) } {{ } = x Γ(x) e x dx =. (3.5) Lad nu X og Y være reelle (positive) stokastiske variable med simultanfordeling µ. Spørgsmål 3.. Find marginalfordelingen af X. 4

5 Ifølge korollar 8. er tætheden m.h.t. m for marginalfordelingen af X givet ved g(x) = f(x, y)dy = e x for x >, jf. udregningerne ovenfor. Vi genkender tætheden som tætheden for eksponentialfordelingen med middelværdi (skalaparameter). Opgave 4 Lad funktionen F : R R være givet ved F (x) = (x + )e x. Spørgsmål 4.. Skitser grafen for F og vis at F er en voksende funktion. Er F en fordelingsfunktion? 5 4 F(x) x Den afledte af F er f(x) = F (x) = xe x + (x + )e x = (x + ) e x, hvilket viser, at F er voksende. Men F er ikke en fordelingsfunktion idet F (x) > for x > (og F (x) for x ). Spørgsmål 4.. Vis at der findes et mål ρ på (R, B), som opfylder at for x R. Vis dernæst at ρ er entydigt bestemt af (4.6). ρ((, x]) = F (x) (4.6) 5

6 Fra spørgsmål 4. følger det faktisk at F er strengt voksende, idet f(x) > for x. Billedmængden er F (R) = (, ), og F har en invers, F, defineret på (, ). Hvis m betegner lebesguemålet på (, ) er F (m)((, x]) = m(f ((, x])) = m((, F (x)]) = F (x), så billedmålet ρ = F (m) er et mål, der opfylder (4.6). Eftersom mængderne (, x] udgør et -stabilt frembringersystem for B, samt at n (, n] = R og F (n) <, følger det af sætning 3.9 at ρ er entydigt bestemt af (4.6). Spørgsmål 4.3. Vis at ρ har tæthed m.h.t. lebesguemålet på (R, B), find tætheden og beregn e x dρ(x). Bemærk at da den afledte f, fundet i spørgsmål 4., er positiv, definerer f målet f m, der har tæthed f m.h.t. lebesguemålet. Da F er en stamfunktion for f er f m([y, x ) = x y f(z)dz = F (x) F (y) F (x) for y. Det følger således ved monoton konvergens at f m((, x]) = F (x), og da (4.6) entydigt bestemmer ρ, konkluderer vi at ρ = f m. Integralet udregnes ved brug af sætning.7 idet funktionen x [,] (x)e x er positiv. Vi finder e x dρ(x) = = e x (x + ) e x dx (4.7) (x + ) dx (4.8) = 3 (x + )3 = 8 3. (4.9) 6