MATEMATIK ( 3 h ) DATO : 8. juni 2009

Transkript

1 EUROPÆISK STUDENTEREKSAMEN 2009 MATEMATIK ( 3 h ) DATO : 8. juni 2009 PRØVENS VARIGHED: 3 timer (180 minutter) TILLADTE HJÆLPEMIDLER: Europaskolernes formelsamling ikke-grafisk, ikke-programmerbar lommeregner BEMÆRKNINGER: ingen Side 1/5

2 A-opgaver 1) Funktionerne f og g er givet ved 2x 3 f ( x) og g ( x) x 5. x 1 side 1/2 Bestem koordinatsættet til hvert af skæringspunkterne mellem grafen for f og grafen for g. 2) Løs ligningen 2 1 e x 5. 3) Funktionen f er givet ved f( x) ln(3x 4). Bestem koordinatsættet til hvert af skæringspunkterne mellem grafen for f og koordinatakserne. 4) Nedenstående figur viser grafen for den afledede (differentialkvotienten) f for en funktion f. Bestem den x-værdi, for hvilken funktionen f ( x ) har et maksimum eller et minimum. Begrund svaret. 5) Funktionerne f, g og h er differentiable for x 1. Det oplyses, at f ( x) g( x) h( x), g(1) 3, g(1) 2, h(1) 4 og h(1) 5. Bestem f (1). 6) Funktionen f er givet ved f ( x) ln(8 x). Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet, hvor x 7. Side 2/5

3 A-opgaver side 2/2 2 7) Kurven med ligningen y 3x 2 afgrænser sammen med x-aksen og linjerne x1 and x 3 et område, der har et areal. Beregn arealet af dette område. 8) Den afledede af en funktion f er givet ved f 2x ( x) 4e. Det oplyses, at grafen for f går gennem punktet P0, 3. Bestem f ( x ). 9) Beregn integralet 1 e 2 x 1 dx. x 10) To personer A og B skyder til måls. Sandsynligheden for, at A rammer målskiven med et skud er 3 4. Sandsynligheden for, at B rammer målskiven med et skud er 1 3. A skyder 3 gange, og B skyder 5 gange. Hvem af de to har størst sandsynlighed for at ramme målskiven mindst én gang? Begrund svaret. 11) På solterrassen foran en café ser man en bestemt dag, at 54% af gæsterne er kvinder 70% af gæsterne bærer solbriller 41% af gæsterne er kvinder, der bærer solbriller. På tilfældig måde udvælges en gæst på cafeens solterrasse. Beregn sandsynligheden for, at denne gæst er en mand, der bærer solbriller. 12) En bus med 50 passagerer passerer en grænseovergang. 5 af dem medbringer ulovlige varer. På tilfældig måde udtages 4 af bussens passagerer. Beregn sandsynligheden for, at netop 2 af disse 4 passagerer medbringer ulovlige varer. Side 3/5

4 Opgave B1 Funktionsundersøgelse side 1/1 Funktionen f er givet ved f( x) (2x 3)e x. a) Bestem definitionsmængden for funktionen f. 1 b) Bestem koordinatsættet til hvert af skæringspunkterne mellem grafen for f og koordinatakserne. 3 c) i. Bestem monotoniintervallerne for f. ii. Angiv koordinatsættet til det punkt, der svarer til et ekstremum for f. Gør rede for, om det drejer sig om et maksimum eller et minimum 3 d) Bestem en ligning for tangenten t til grafen for f i punktet, hvor x 0. e) Skitsér grafen for f og tangenten t i samme koordinatsystem. 3 f) Gør rede for, at funktionen F( x) (2x 1) e x er en stamfunktion til f. 3 g) Grafen for f afgrænser sammen med koordinatakserne og linjen x 1 et område, der har et areal. Beregn dette areal. Side 4/5

5 Opgave B2 Sandsynlighedsregning side 1/1 En pose indeholder 6 sedler. På hver af disse er sedler er der skrevet ét af følgende bogstaver A, B, C, D, E og F. Hvert bogstav forekommer kun én gang. a) På tilfældig måde udtrækkes en seddel, og det noteres, hvilket bogstav der står på sedlen. Derefter lægges sedlen tilbage i posen. Denne procedure udføres 3 gange. i. Beregn sandsynligheden for, at bogstaverne B, A og C trækkes ud i den nævnte rækkefølge. ii. Beregn sandsynligheden for, at disse 3 bogstaver udtrækkes i en tilfældig rækkefølge. b) Et eksperiment udføres på følgende måde: 3 sedler udtrækkes på tilfældig måde, en efter en, uden tilbagelægning. i. Beregn sandsynligheden for at udtrække bogstaverne B, A, C i den nævnte rækkefølge. ii. Eksperimentet udføres 10 gange (efter hvert eksperiment lægges de 3 sedler tilbage i posen). Beregn sandsynligheden for, at man mindst én gang får bogstaverne B, A, C i den nævnte rækkefølge. 3 Side 5/5