Økonometri 1 Inferens i den lineære regressionsmodel 2. oktober 2006 Økonometri 1: F8 1
Dagens program Opsamling om asymptotiske egenskaber: Asymptotisk normalitet Asymptotisk efficiens Test af flere lineære restriktioner (kap. 4.5-4.6 og 5.2). Eksakt F-test (4.5) Mange observationer (5.2): Approximativt F-test Lagrange Multiplikator (LM) test Mere om funktionel form (kap. 6.2). Økonometri 1: F8 2
Asymptotisk normalfordeling for OLS: Hjemmeopgaven Lad os designe et lille eksperiment: MLR.1-4 (og MLR.5) er overholdt (faktisk er u uafhængige af x her); lineær model; ingen eksakt multikollinearitet; u har middelværdi nul og konstant varians. Men u trækkes fra en uniform (eller lige) fordeling (ej MLR.6): Kontinuert fordeling fx på intervallet [-1,1]. Konstant tæthed f(u)=0.5 over intervallet. Udfaldsrummet begrænset >< normalfordeling. Hjemmeopgave : Illustration af Teorem 5.2 ud fra simulationseksperiment med uniformt fejlled: Kør SASprogrammet asynorm_uni.sas for forskellige værdier af n. Resultat af eksperimentet for forskellige n: SAS Økonometri 1: F8 3
Flere lineære restriktioner Fælles test af flere lineære restriktioner: F-testet. Ex. Model med tre forklarende variabler: 1. y = β0 + β1x1 + β2x2 + β3x3 + u Ex. på nulhypoteser i i i i i H : β = 0, β = 0 (to restriktioner) 0 1 2 2. H : β = 0, β + β = 1, (to restriktioner) 0 1 2 3 3. H : β = 0, β = 0, β = 0, (tre restriktioner) 0 1 2 3 Generelt format: Rβ = r, R( q k + 1), r( q 1) q lineære restriktioner på koefficienterne i den lineære model. Økonometri 1: F8 4
Flere lineære restriktioner (fortsat) Alternativhypotesen: Afvis nulhypotese blot én af q restriktioner ikke holder. Restrikteret (r) vs. urestrikteret model (ur): 1. Rβ r Ex.: Restrikterede modeller: y = β + β x + u i 0 3 3i i 2. y = β + β x + (1 β ) x + u i 0 2 2i 2 3i i 3. y = β + u i 0 i Lineære restriktioner: Restrikteret model er lineær i parametrene: Estimeres ved OLS. Økonometri 1: F8 5
Flere lineære restriktioner (fortsat) Test af flere lineære restriktioner: F-testet. F = ( SSR SSR )/ q r ur SSR /( n k 1) ur Tæller altid større end eller lig nul: Restrikteret model kan ikke tilpasse data bedre end urestrikteret model. Antal frihedsgrader i tæller: Antal restriktioner, q Antal frihedsgrader i nævner: n- antal regressorer i urestrikteret model. Helt generelt format for F-testet. Økonometri 1: F8 6
Test af flere lineære restriktioner: Advarsel Wooldridge omtaler også R-squared form af testet: Bør kun benyttes med stor varsomhed! OK så længe restrikteret model har samme venstreside som urestrikteret model. Mod-ex.: C-D produktionsfunktion med CRS. Omskriv: y = a+ αl + βk + u = a+ ( α + β) l + β( k l ) + u i i i i i i i i Indsæt restriktionen: α + β = 1 y = a+ l + β ( k l ) + u y l = a+ β ( k l ) + u i i i i i i i i i i Bemærk: Ny venstreside. Brug det generelle format for F-testet. Økonometri 1: F8 7
Flere lineære restriktioner: Eksakt inferens Under CLM antagelser følger F-testet en eksakt F-fordeling: F Fqn (, k 1) Fordeling findes i Tabel G.3. For en restriktion og to-sidet alternativ: Ækvivalent med t-test: F n k = t n k 2 (1, 1) ( 1) Men F-test af fælles hypotese på flere koefficienter kan godt give andet resultat end individuelle t-test. Økonometri 1: F8 8
Store datasæt: Approximativt F-test Ved mange observationer: The asymptotic normality of the OLS estimators also implies that the F-statistics have approximate F- distributions in large sample sizes Wooldridge (side 185, øverst) I praksis for store datasæt (når antagelserne MLR.1- MLR.5 er opfyldt) kan F-testene udføres på samme måde som når vi har eksakt inferens. Økonometri 1: F8 9
Alternativt test i store datasæt: LM testet Lagrange multiplikator testet eller score testet. Generelt format: Estimation af modellen under H 0 Residualer fra restrikteret model, u Hjælperegression ( auxiliary regression ) af u På hvad: Afhænger af den specifikke hypotese. Kræver ikke estimation af den generelle (dvs.urestrikterede model): Oftest den i praksis sværeste at estimere. LM testet kan anvendes når Gauss-Markov antagelserne (MLR.1-MLR.5) er opfyldt. Økonometri 1: F8 10
LM testet: Udelukkelsesrestriktioner Specifikt eksempel: Udelukkelsesrestriktion y = β + β x + β x +... + β x + β x +... + β x + u 0 1 1 2 2 k q k q k q+ 1 k q+ 1 k k H H : βk q+ =... = βk = 0 0 1 1 : Mindst en af restriktionerne er ikke opfyldt Restrikteret model: versus y = β0 + β1x1 + β2x2 +... + βk qxk q+ u Under H 0 vil u være ukorreleret med de udeladte variabler: x x k q+ k 1,..., Økonometri 1: F8 11
LM testet: I praksis Regression af y på det restrikterede sæt af regressorer. Gem residualerne, u Hjælperegression af u på alle forklarende variabler: 2 (både inkluderede og ekskluderede). Gem R u 2 Beregn LM=n R u LM-teststørrelsen vil almindeligvis (og uanset om der antages normalfordelte fejlled eller ej) være asymptotisk fordelt som χ 2 ( q), hvor q er antallet af restriktioner. Sammenlign beregnede testværdi med relevant fraktil i χ 2 ( q) fordelingen. Eller beregn p-værdien for testet. Afvis H 0 hvis testet falder i den kritiske region. Økonometri 1: F8 12
Funktionel form MLR forudsætter, at modellen er lineær i parametrene. Men ikke i variablerne. Funktionel form: Fortolkningsmæssige konsekvenser! Tre vigtige tilfælde: Log-transformation Kvadratiske led Interaktionsled: Nyhed i multipel regressionsmodel Brug af log-transformation: Absolutte ændringer i logtransformeret variabel svarer til relative ændringer i den originale variabel. Brug af kvadratiske led: Aftagende eller stigende marginaludbytte/-effekt. Økonometri 1: F8 13
Funktionel form: Interaktionsled Marginal effekt af at ændre værdien af en forklarende variabel, x1, afhænger af værdien af fx x2: Fx kan afkastet af erfaring variere med uddannelse: y = β + β x + β x + β x x + u i 0 1 1i 2 2i 3 1i 2i i Igen: Multipel regressionsmodel: Men alt andet lige betragtning med omtanke. Δy ( ˆ β + β + β 1x ˆ 1 2x ˆ 2 3x1x2) = ˆ β + ˆ β x Δx x 2 2 2 3 1 Evalueringspunktet vælges med omhu. Økonometri 1: F8 14
Præsentation af estimationsresultater Vigtigt at kunne præsentere og kommentere sine estimationsresultater på en ordentlig og overskuelig måde Generelt i empiriske analyser: Konventioner for rapportering af resultater Konkret i kurset: Eksamensopgaven Øvelserne: Afleveringsopgaver Illustreres med eksempel Læs selv afsnit 4.6 Økonometri 1: F8 15
NB er Brug SSR-metoden til F-test. F-test også asymptotisk gyldigt under MLR.1-5. Generelt asymptotisk test: Lagrange multiplikator (LM) test. 2 Følger asymptotisk en χ fordeling. LM test ved hjælp af en hjælperegression. Kvadratiske led og interaktionseffekter: OK i den lineære regressionsmodel. Men: Effekten af en marginal ændring af en bestemt variabel vil afhænge af værdien af en eller flere variabler i modellen. Økonometri 1: F8 16
Næste gang: Mandag i næste uge. Resten af kapitel 6: Goodness-of-fit og prediktion Læs selv kap. 6.1. Kapitel 7: Kvalitative variabler Økonometri 1: F8 17