Vejledende besvarelse af hjemmeopgave, forår 2016

Vejledende besvarelse af hjemmeopgave, forår 2016 Udleveret 1. marts, afleveres senest ved øvelserne i uge 13 (29. marts-1. april) Denne opgave fokuserer på at beskrive niveauet af hormonet AMH (højt niveau af dette afspejler mange umodne follikler i æggestokkene, og dermed høj fertilitet). Specielt ønsker vi at se på afhængigheden af alder, samt effekten af P-pille indtagelse. På hjemmesiden http://publicifsv.sund.ku.dk/~lts/basal16_1/hjemmeopgave.html ligger data fra 732 (ikke 736, som der stod i opgaven) kvinder, med i alt 6 variable. Forslag til variabelnavne er angivet i 1. linie, og betydningen af disse er: idnr: Kvindens løbenummer, observationsnummer alder: Kvindens alder amh: Koncentrationen af hormonet AMH, i pmol/l ppiller: Tager kvinden P-piller: (0=nej, 1=ja) rygning: Ryger kvinden: (0=nej, 1=ja) bmi: Body mass index, i 3 grupper: (underv, normal, overv) Reference: JG Bentzen et. al. (2012): Ovarian reserve parameters: a comparison between users and non-users of hormonal contraception. Reproductive BioMedicine Online, 25, 612-619. Opgaven er at udtale sig om niveauet af hormonet AMH, samt forklarende variable til beskrivelse af dette, se også den indledende tekst til opgaven. Der er i nedenstående besvarelse ikke udeladt nogen observationer. Der er anvendt ods graphics i mange sammenhænge, hvor det (for nogle) ikke vil være nødvendigt at skrive dette. 1

1. Beskriv fordelingen af AMH, opdelt efter om kvinden tager P-piller eller ej: Først skal vi jo have læst data ind, og det gør vi direkte fra hjemmesiden: data a1; infile "http://staff.pubhealth.ku.dk/~lts/basal16_1/hjemmeopgave/hjemmeopgave.txt" URL firstobs=2; input idnr alder amh ppiller bmi$ rygning; logamh=log10(amh); ung=(alder<35); (a) Lav først en grafisk illustration. Da vi har rigtigt mange observationer, vil et scatterplot nok blive lidt uoverskueligt, så vi starter med at se på boxplot af AMH, opdelt efter variablen ppiller: ods graphics on; proc sgplot data=a1; vbox amh / group=ppiller; ods graphics off; Disse boxplots viser tydeligt, at fordelingen af AMH er skæv, med hale mod de høje værdier. Hvis vi bare skulle sammenligne fordelingerne, behøvede dette ikke at betyde så meget, men når vi skal konstruere normalområder er det fatalt med en sådan udtalt skævhed. 2

Vi forsøger derfor at opnå bedre tilpasning til normalfordelingen ved at logaritmere AMH, som vist i indlæsningsbidden ovenfor. Her er anvendt 10-tals logaritmer. Herefter laver vi et nyt boxplot: ods graphics on; proc sgplot data=a1; vbox logamh / group=ppiller; ods graphics off; På denne logaritmiske skala ser fordelingen en del mere symmetrisk ud, dog nu med tegn på hale mod de lave værdier, således at en normalfordeling heller ikke passer helt perfekt på denne skala. Vi kan også vurdere det ved hjælp af fraktildiagrammer, igen for hver P-pille gruppe for sig. Dette gøres faktisk lettest ved at benytte sig af de automatiske plots fra et T-test til sammenligning af de to gruppers middelværdi, selv om dette egentlig først hører til i næste spørgsmål. ods graphics on; proc ttest plots=all data=a1; class ppiller; var logamh; ods graphics off; Herved får vi (bl.a.) plottene 3

Disse fraktildiagrammer viser også ret tydeligt en afvigelse fra normalfordelingen, da begge kurver ligner omvendte hængekøjer svarende til overtransformation. Dette husker vi lige til det senere spørgsmål 1c. (b) Udregn dernæst passende valgte summary statistics, som om du skulle lave en Tabel 1 til en artikel, og forklar kort hvorfor du vælger netop disse. I en sædvanlig Tabel 1 går det ud på at præsentere sit datamateriale, og hvis fokus er på indtagelsen af P-piller, vil man ofte opdele i de to grupper. Hvis man udregner summary statistics uden at specificere nærmere, hvilke størrelser, man vil fokusere på, kan man bruge koden nedenfor, med tilhørende output proc means data=a1; class ppiller; var alder amh logamh; The MEANS Procedure N ppiller Obs Variable N Mean Std Dev Minimum Maximum ----------------------------------------------------------------------- 0 504 alder 504 33.7236111 4.0226765 21.900000 41.80000 amh 504 25.2504881 20.7666461 0.804000 126.30400 logamh 504 1.2645782 0.3654727-0.094744 2.10142 4

1 228 alder 228 30.0162281 4.0995917 22.000000 40.70000 amh 228 23.1410965 16.7007325 0.395000 80.21400 logamh 228 1.2393806 0.3625540-0.403403 1.90425 -------------------------------------------------------------------------- Til beskrivelse af skæve fordelinger (som AMH) er gennemsnittet imidlertid ikke altid optimalt, og SD er svært at anvende til noget. Desuden er minimum og maximum ikke gode, hvis man vil sammenligne de to grupper, da de har vidt forskellig størrelse (ekstremerne bliver mere ekstreme i store samples). Vi fjerne derfor minimum og maximum, men supplerer med medianen: proc means N mean median stddev data=a1; class ppiller; var alder amh logamh; The MEANS Procedure N ppiller Obs Variable N Mean Median Std Dev -------------------------------------------------------------------------- 0 504 alder 504 33.7236111 33.7000000 4.0226765 amh 504 25.2504881 20.0800000 20.7666461 logamh 504 1.2645782 1.3027630 0.3654727 1 228 alder 228 30.0162281 29.2000000 4.0995917 amh 228 23.1410965 19.4535000 16.7007325 logamh 228 1.2393806 1.2889884 0.3625540 -------------------------------------------------------------------------- Ser vi på selve den utransformerede AMH, ses gennemsnittet at være en del større end medianen, svarende til den højreskæve fordeling, vi så ovenfor. Vi bør derfor præsentere medianen som det bedste udtryk for en typisk værdi af AMH. For den logaritmerede AMH (logamh) ses meget bedre overensstemmelse mellem median og gennemsnit, svarende til de rimeligt pæne boxplots og fraktildiagrammer ovenfor. På denne skal tør vi derfor godt angive gennemsnit og spredninger, og også evt. normalområder, som vi udregner nedenfor. Vi kunne dog også vælge at præsentere medianer og kvartiler i stedet, samt fordelingen af BMI og rygning: 5

proc means N median Q1 Q3 data=a1; class ppiller; var alder amh logamh; proc freq data=a1; tables ppiller*rygning ppiller*bmi / nopercent nocol; der giver outputtet The MEANS Procedure N Lower Upper ppiller Obs Variable N Median Quartile Quartile -------------------------------------------------------------------------- 0 504 alder 504 33.7000000 30.9000000 36.9000000 amh 504 20.0800000 10.7090000 32.8450000 logamh 504 1.3027630 1.0297489 1.5164693 1 228 alder 228 29.2000000 26.9000000 32.6000000 amh 228 19.4535000 10.6515000 30.6000000 logamh 228 1.2889884 1.0274096 1.4857210 -------------------------------------------------------------------------- The FREQ Procedure Table of ppiller by rygning ppiller rygning Frequency Row Pct 0 1 Total ---------+--------+--------+ 0 401 103 504 79.56 20.44 ---------+--------+--------+ 1 180 48 228 78.95 21.05 ---------+--------+--------+ Total 581 151 732 Table of ppiller by bmi ppiller bmi Frequency Row Pct normal overv underv Total ---------+--------+--------+--------+ 0 383 108 13 504 75.99 21.43 2.58 ---------+--------+--------+--------+ 1 180 44 4 228 78.95 19.30 1.75 ---------+--------+--------+--------+ Total 563 152 17 732 6

Herefter kunne vi sammenfatte til en mulig Tabel 1 : N=228 N=504 Gruppe P-piller JA P-piller NEJ median (Q1-Q3) median (Q1-Q3) AMH 19.45 (10.65, 30.60) 20.08 (10.71, 32.85) Alder 29.2 (26.9, 32.6) 33.7 (30.9, 36.9) Antal (procent) Antal (procent) Undervægtig 4 (1.75%) 13 (2.58%) Normalvægtig 180 (78.95%) 383 (75.99%) Overvægtig 44 (19.30%) 108 (21.43%) Rygere 48 (21.05%) 103 (20.44%) Ikke-rygere 180 (78.95%) 401 (79.56%) (c) Udregn herefter et normalområde (referenceområde) for hver gruppe for sig, baseret på en normalfordelingsantagelse, på passende valgt skala. Det er klart, at vi på baggrund af overvejelserne ovenfor vælger at udregne normalområder på logaritmisk skala, fordi vi her bedst kan forsvare en normalfordelingsantagelse. Vi benytter derfor gennemsnit og spredninger af de logaritmerede værdier, som udregnet ovenfor, og benytter den velkendte formel: Derved finder vi gennemsnit ± 2 spreding Ikke P-pille brugere: 1.2646 ± 2 0.3655 = (0.5336, 1.9956) P-pille brugere: 1.2394 ± 2 0.3626 = (0.5142, 1.9646) men disse grænser er jo på log 10 -skala, så vi må tilbagetransformere dem for at kunne forstå dem. Vi tilbagetransformerer endepunkterne af intervallet ved at benytte tallene som tier-potenser: 7

Ikke P-pille brugere : (10 0.5336, 10 1.9956 ) = (3.42, 98.99) pmol/l P-pille brugere : (10 0.5142, 10 1.9646 ) = (3.27, 92.17) pmol/l Hvis vi sammenligner disse normalområder med Boxplottene fra spørgsmål 1, ser vi, at de går meget langt op mod de høje værdier i forhold til, hvad man umiddelbart ville gætte på. Dette skyldes afvigelsen fra normalfordelingen, og vi prøver derfor at regne normalområder ud direkte ved hjælp af fraktiler i stedet for. For at få 95% normalområder, skal vi bruge 2 1%- og 97 1 %- fraktilen: 2 2 proc univariate noprint data=a1; class ppiller; var amh; output out=spm1c pctlpts=2.5 97.5 pctlpre=frak_ pctlname=lower upper; proc print data=spm1c; hvorved vi får outputtet frak_ frak_ Obs ppiller lower upper 1 0 3.33300 83.2020 2 1 2.56700 69.5270 Vi ser, at disse normalområder, udregnet direkte ud fra fraktilerne, er en del smallere end de normalfordelingsbaserede, specielt har de lavere højre-endepunkter. Dette skyldes formentlig en håndfuld af de mindste AMH-koncentrationer, der gør den logaritmerede fordeling en smule skæv med hale mod venstre. Der vil blive kommenteret lidt på dette igen senere i besvarelsen. (d) Kan man sige, at det er usædvanligt at træffe på en kvinde med et AMH niveau på 100 pmol/l, hvis hun ikke tager P-piller? 8

En kvinde, der ikke tager P-piller, vil altså typisk (med 95% sandsynlighed, hvis normalfordelingsantagelsen holder) have en AMHkoncentration under 99 pmol/l, så hvis hendes koncentration måles til 100 pmol/l, er hun en smule usædvanlig. Hvis vi sammenligner med normalområderne udregnet ud fra empiriske fraktiler, er hun endnu mere usædvanlig, da disse grænser kun går op til 83.2. Der er dog her ikke taget hensyn til kvindens alder, og man kunne godt forestille sig, at værdien 100 pmol/l var mindre usædvanlig, hvis det drejede sig om en ung kvinde. 2. Lav en passende illustration til sammenligning af AMH hos kvinder, der tager hhv. ikke tager P-piller, og foretag et test for identitet af middelværdierne i de to fordelinger, igen på passende valgt skala: Her betyder skalaen ikke helt så meget som da vi lavede normalområder ovenfor, men alligevel vil vi blive på logaritmeskala. Vi har allerede set box-plottet ovenfor ods graphics on; proc sgplot data=a1; vbox logamh / group=ppiller; ods graphics off; 9

(a) Er der evidens for forskel på middelværdierne i de to grupper? Da der er tale om to grupper, der intet har med hinanden at gøre, og da vi med rimelighed kan arbejde i normalfordelingen, bliver der her tale om et uparret T-test: ods graphics on; proc ttest plots=all data=a1; class ppiller; var logamh; ods graphics off; hvorved vi får outputtet The TTEST Procedure Variable: logamh ppiller N Mean Std Dev Std Err Minimum Maximum 0 504 1.2646 0.3655 0.0163-0.0947 2.1014 1 228 1.2394 0.3626 0.0240-0.4034 1.9043 Diff (1-2) 0.0252 0.3646 0.0291 ppiller Method Mean 95% CL Mean Std Dev 0 1.2646 1.2326 1.2966 0.3655 1 1.2394 1.1921 1.2867 0.3626 Diff (1-2) Pooled 0.0252-0.0319 0.0823 0.3646 Diff (1-2) Satterthwaite 0.0252-0.0318 0.0822 Method Variances DF t Value Pr > t Pooled Equal 730 0.87 0.3868 Satterthwaite Unequal 441.56 0.87 0.3855 Equality of Variances Method Num DF Den DF F Value Pr > F Folded F 503 227 1.02 0.8987 Vi bemærker, at der ikke er tegn på forskellige varianser i de to grupper, og det er derfor ligeyldigt, hvilket T-test, vi vælger at se på. De giver i øvrigt også næsten præcis det samme, nemlig en P-værdi på 0.39, altså ingen evidens for forskel i AMH blandt brugere og ikke-brugere af P-piller. (b) Angiv estimatet (med 95% konfidensinterval) for effekten af P- piller på AMH, i form af en procentuel nedsættelse af AMH hos 10

P-pille brugere. Kan der tænkes at være betydelige forskelle? Estimat og konfidensinterval for forskelle i niveau for AMH aflæses direkte af outputtet ovenfor, og det angiver forskellen ikke-p-pille brugere minus P-pille brugere. Det er 0.0252, med CI=(-0.0319, 0.0823), men det er jo på logaritmeskala, så vi må tilbagetransformere: 10 0.0252 = 1.06, CI = (10 0.0319, 10 0.0823 ) = (0.93, 1.21) Måske er det mere naturligt at udregne det den anden vej, altså P-pille brugere i forhold til ikke P-pille brugere, og så skal vi skifte fortegn: 10 0.0252 = 0.94, CI = (10 0.0823, 10 0.0319 ) = (0.83, 1.08) Her læser vi, at P-pille brugere i gennemsnit har et ca. 6% reduceret niveau af AMH, men at konfidensintervallet strækker sig lige fra en reduktion på ca. 17% til et forøget niveau på omkring 8%. Det lyder som en ret betydelig potentiel forskel i mine ører... (c) Kunne aldersforskelle tænkes at spille en rolle ved denne sammenligning? Umiddelbart ja, da P-pille brugere formentlig er yngre end ikke-ppille brugere. Det så vi faktisk allerede ovenfor i forbindelse med summary statistics i spørgsmål 1b, men nedenfor ser vi det også ud fra et boxplot af alderen i de to grupper: ods graphics on; proc sgplot data=a1; vbox alder / group=ppiller; ods graphics off; 11

Det betyder, at alderen kan være en confounder for P-pille brug, hvis altså alderen også har en effekt på niveauet af AMH. Og det har den, som vi skal se nedenfor. 3. Er der evidens for aldersforskel mellem P-pille brugere og ikke P-pille brugere? Kvantificer forskellen, med konfidensinterval, og kommenter igen på spørgsmål 2c i lyset af dette. Her ser vi på, om der er evidens for den forskel, vi ser på boxplottene ovenfor, og det udføres som et uparret T-test: ods graphics on; proc ttest plots=all data=a1; class ppiller; var alder; ods graphics off; hvorved vi får outputtet The TTEST Procedure Variable: alder ppiller N Mean Std Dev Std Err Minimum Maximum 0 504 33.7236 4.0227 0.1792 21.9000 41.8000 1 228 30.0162 4.0996 0.2715 22.0000 40.7000 Diff (1-2) 3.7074 4.0468 0.3230 ppiller Method Mean 95% CL Mean Std Dev 0 33.7236 33.3716 34.0757 4.0227 1 30.0162 29.4812 30.5512 4.0996 Diff (1-2) Pooled 3.7074 3.0733 4.3415 4.0468 Diff (1-2) Satterthwaite 3.7074 3.0680 4.3468 12

Method Variances DF t Value Pr > t Pooled Equal 730 11.48 <.0001 Satterthwaite Unequal 430.92 11.40 <.0001 Equality of Variances Method Num DF Den DF F Value Pr > F Folded F 227 503 1.04 0.7265 Her ses klart en signifikant aldersforskel på de to grupper (P < 0.0001), og den estimerede aldersforskel er 3.7 år, med et konfidensinterval på ca. (3.1, 4.3) år. 4. Hvis vi skiller ved 35 år, og kalder kvinderne hhv. gamle og unge, hvor stor en procentdel af materialet er så unge? Vi har i forbindelse med indlæsningen defineret variablen ung ved hjælp af sætningen ung=(alder<35); Bemærk, at kvinder på netop 35 år ved denne definition kommer til at tilhøre kategorien af gamle, altså ung=0. Bemærk endvidere, at hvis der var missing values for alder, så var man nødt til at supplere med en sætning såsom if alder<0 then ung=.; For at finde antallet af unge, tablellerer vi nu denne nye variabel: proc freq data=a1; table ung / list; hvorved vi får tabellen The FREQ Procedure Cumulative Cumulative ung Frequency Percent Frequency Percent -------------------------------------------------------- 0 228 31.15 228 31.15 1 504 68.85 732 100.00 13

Af tabellen ovenfor fremgår det, at der er 504 unge ud af de 732 kvinder, svarende til 68.85%. (a) Foretag et χ 2 -test (eller Fishers eksakte test) for identitet af de to sandsynligheder. Dette spørgsmål er lidt uklart formuleret, med mindre, man læser lidt videre i spørgsmålet... Det drejer sig om sandsynligheden for at bruge P-piller, i hver af de to aldersgrupper. Vi opstiller derfor 2-gange-2 tabellen med aldersgrupperne som rækker og P-pille brug (ja/nej) som søjler. Desuden beder vi om et χ 2 -test (og dermed automatisk også et Fishers eksakt test) samt om diverse kvantificeringer af forskellen på de to sandsynligheder for at benytte P-piller. Herudover undertrykker vi søjleprocenter (nocol) og overall tabelprocenter (nopercent): proc freq data=a1; table ung*ppiller / nopercent chisq riskdiff relrisk nocol; hvorved vi får en hel del output, her lettere beskåret, idet bl.a. Column 1 Risk Estimates er slettet, fordi vi vil udtale os om sandsynligheden for at bruge P-piller og ikke sandsynligheden for ikke at bruge P-piller. The FREQ Procedure Table of ung by ppiller ung ppiller Frequency Row Pct 0 1 Total ---------+--------+--------+ 0 196 32 228 85.96 14.04 ---------+--------+--------+ 1 308 196 504 61.11 38.89 ---------+--------+--------+ Total 504 228 732 Statistics for Table of ung by ppiller 14

Statistic DF Value Prob ------------------------------------------------------ Chi-Square 1 45.2165 <.0001 Likelihood Ratio Chi-Square 1 49.5362 <.0001 Continuity Adj. Chi-Square 1 44.0650 <.0001 Fisher s Exact Test ---------------------------------- Two-sided Pr <= P <.0001 Statistics for Table of ung by ppiller Column 2 Risk Estimates (Asymptotic) 95% (Exact) 95% Risk ASE Confidence Limits Confidence Limits ------------------------------------------------------------------------- Row 1 0.1404 0.0230 0.0953 0.1854 0.0980 0.1923 Row 2 0.3889 0.0217 0.3463 0.4314 0.3461 0.4330 Total 0.3115 0.0171 0.2779 0.3450 0.2781 0.3464 Difference -0.2485 0.0316-0.3105-0.1865 Difference is (Row 1 - Row 2) Odds Ratio and Relative Risks Statistic Value 95% Confidence Limits ------------------------------------------------------------------ Odds Ratio 3.8977 2.5754 5.8990 Relative Risk (Column 1) 1.4067 1.2893 1.5348 Relative Risk (Column 2) 0.3609 0.2570 0.5067 Sample Size = 732 Vi bemærker, at sandsynlighederne for P-pille brug er estimeret til 14.04% for de gamle, men er helt oppe på 38.89% for de unge. Differensen er 38.89 14.04 = 24.85%point Kan vi detektere en forskel på sandsynlighederne for at være P- pille bruger for unge og gamle? Såvel χ 2 -testet som Fishers eksakte test er helt enige om at forkaste hypotesen om ens sandsynligheder for P-pille brug i de to aldersgrupper, idet P-værdien er virkelig lille, P < 0.0001. (b) Angiv estimater med tilhørende konfidensgrænser for sammenligningen af sandsynlighederne for unge og gamle, dels i form af differensen på sandsynlighederne og dels i form af relativ risiko (og evt. odds ratio). Formuler også konklusionen i ord. 15

Differensen mellem de to sandsynligheder (nederste linie i Column 2 Risk Estimates), nærmere bestemt sandsynligheden for de unge minus sandsynligheden for de gamle, estimeres ganske rigtigt til 24.85%point, som vi også selv udregnede ovenfor. I outputtet får vi i tilgift 95% konfidensgrænser på dette tal, nemlig CI=(18.65%, 31.05%). Bemærk, at vi i denne aflæsning har skiftet fortegn på alle tallene, idet outputtet angiver differensen Row1 - Row2, som er den omvendte af den mere naturlige vej, som vi har valgt. Den relative risiko er ligeledes angivet som Row1 vs. Row2, og derfor er den (for Column 2, som stadig er den relevante at se på) mindre end 1, nemlig 0.3609. Vi skal altså invertere den for at få et mundret resultat: 1 = 2.77 0.3609 som betyder, at de unge har 2.77 gange større risiko for at være P-pille brugere, sammenlignet med de gamle. Konfidensgrænserne for dette tal fås ligeledes ved at invertere: 1 CI=(, 1 ) = (1.97, 3.89) 0.5067 0.2570 Vi kunne slippe for denne invertering ved at bytte rundt på rækkerne i tabellen. Det vises nedenfor. Hvis vi i stedet benytter odds ratio, får vi estimatet 3.90, med CI=(2.58, 5.90). Dette tal angiver, at de unge har næsten 4 gange så høje odds for at være P-pille brugere, sammenlignet med de gamle. Bemærk, at odds ratio i dette tilfælde afviger en del fra den relative risiko på 2.77, og det skyldes, at P-pille brug ikke er et sjældent fænomen. Hvis vi skal bytte om på rækkerne i tabellen, gøres det nemt ved at definere aldersgrupperne omvendt, altså som gammel=(alder ge 35); Bemærk, at vi ikke skriver gammel=(alder > 35); 16

idet kvinder på præcis 35 år i så tilfælde ville blive defineret som unge, hvorved vi altså ikke ville få det samme resultat som ovenfor. Med denne nye variabel får vi nedenstående output The FREQ Procedure Table of gammel by ppiller gammel ppiller Frequency Row Pct 0 1 Total ---------+--------+--------+ 0 308 196 504 61.11 38.89 ---------+--------+--------+ 1 196 32 228 85.96 14.04 ---------+--------+--------+ Total 504 228 732 Statistics for Table of gammel by ppiller Statistic DF Value Prob ------------------------------------------------------ Chi-Square 1 45.2165 <.0001 Likelihood Ratio Chi-Square 1 49.5362 <.0001 Continuity Adj. Chi-Square 1 44.0650 <.0001 Fisher s Exact Test ---------------------------------- Two-sided Pr <= P <.0001 Statistics for Table of gammel by ppiller Column 2 Risk Estimates (Asymptotic) 95% (Exact) 95% Risk ASE Confidence Limits Confidence Limits ------------------------------------------------------------------------- Row 1 0.3889 0.0217 0.3463 0.4314 0.3461 0.4330 Row 2 0.1404 0.0230 0.0953 0.1854 0.0980 0.1923 Total 0.3115 0.0171 0.2779 0.3450 0.2781 0.3464 Difference 0.2485 0.0316 0.1865 0.3105 Difference is (Row 1 - Row 2) Odds Ratio and Relative Risks Statistic Value 95% Confidence Limits ------------------------------------------------------------------ Odds Ratio 0.2566 0.1695 0.3883 Relative Risk (Column 1) 0.7109 0.6515 0.7756 Relative Risk (Column 2) 2.7708 1.9734 3.8904 Sample Size = 732 17

Som man kan se af den nederste del af output, har vi herved fået inverteret den relative risiko (og i øvrigt odds ratio). Ellers er outputtet ret uforandret. 5. Tegn nu (de passende transformerede) værdier af AMH op mod kvindens alder, med symboler svarende til P-pille brug, og indlæg regressionslinier for hver gruppe for sig. Da vi tidligere har set en tendens til skævhed i fordelingen af AMH, vil vi forvente, at vi også her skal anvende logaritmerede værdier. Her benytter vi proc sgplot til at lave figuren: ods graphics on; proc sgplot data=a1; reg Y=logamh X=alder / group=ppiller; ods graphics off; som giver en figur med røde og blå symboler for hhv. P-pille brugere og ikke-p-pille brugere, og med regressionslinier med tilsvarende farve: Vi bemærker en faldende tendens i den logaritmerede værdi af AMH, en tendens, der ser ret ens ud for de to grupper. Vi bemærker også, at de røde observationer generelt ligger længere til venstre i plottet, svarende til, at P-pille brugere generelt er lidt yngre end ikke-p-pille brugere (som vi allerede så det i tabel 1). 18

Vi ser endvidere, at der er en række observationer, der falder ret langt under linierne (igen en afspejling af den skæve fordeling), og nogle af disse kunne evt. gå hen og være indflydelsesrige. Men udover dette, ser antagelserne til brug for en regressionsanalyse fornuftig ud: Residualerne er nogenlunde symmetriske omkring de respektive linier, og variansen er nogenlunde konstant. Vi tager modelkontrollen (tegningerne) i forbindelse med spørgsmål 5b. (a) Kvantificer det forventede procentuelle fald i AMH svarende til en forøgelse af alderen på 5 år, for hver af de to grupper for sig, og kommenter på resultatet. Vi kan se af figuren ovenfor, at der er tale om et fald med alderen, men for at kvantificere dette, er vi nødt til at lave en lineær regressionsanalyse, her i proc glm. For at kunne gøre det for hver gruppe for sig, sorterer vi først datasættet, så alle ppiller=0 kommer først, efterfulgt af ppiller=1. proc sort data=a1; by ppiller; ods graphics on; proc glm data=a1; by ppiller; model logamh=alder / clparm; estimate "fald på 5 aar" alder 5; estimate "niveau ved alder 30" intercept 1 alder 30; ods graphics off; Herved får vi rigtigt meget output, og det er beskåret temmeligt kraftigt nedenfor: ppiller=0 The GLM Procedure Number of Observations Read 504 Number of Observations Used 504 Dependent Variable: logamh R-Square Coeff Var Root MSE logamh Mean 0.118823 27.15644 0.343414 1.264578 19

Standard Parameter Estimate Error t Value Pr > t fald på 5 aar -0.15658872 0.01903222-8.23 <.0001 niveau ved alder 30 1.38119332 0.02085400 66.23 <.0001 Parameter 95% Confidence Limits fald på 5 aar -0.19398134-0.11919610 niveau ved alder 30 1.34022146 1.42216519 Standard Parameter Estimate Error t Value Pr > t Intercept 2.320725627 0.12927526 17.95 <.0001 alder -0.031317743 0.00380644-8.23 <.0001 Parameter 95% Confidence Limits Intercept 2.066738419 2.574712835 alder -0.038796267-0.023839219 ppiller=1 The GLM Procedure Number of Observations Read 228 Number of Observations Used 228 Dependent Variable: logamh R-Square Coeff Var Root MSE logamh Mean 0.224099 25.82438 0.320062 1.239381 Standard Parameter Estimate Error t Value Pr > t fald på 5 aar -0.20932546 0.02590903-8.08 <.0001 niveau ved alder 30 1.24005997 0.02119681 58.50 <.0001 Parameter 95% Confidence Limits fald på 5 aar -0.26037961-0.15827130 niveau ved alder 30 1.19829130 1.28182863 Standard Parameter Estimate Error t Value Pr > t Intercept 2.496012716 0.15697593 15.90 <.0001 alder -0.041865092 0.00518181-8.08 <.0001 Parameter 95% Confidence Limits Intercept 2.186689089 2.805336343 alder -0.052075923-0.031654260 Hældningen i disse regressionsanalyser kvantificerer det forventede årlige fald i log 10 (AMH), men vi ønsker at kvantificere effekten af 5 år. Det kunne vi opnå ved simpelthen at gange (såvel estimat som tilhørende konfidensinterval) med 5, men for at indøve bruges af estimate-sætninger, er der her lavet en, der blot foretager denne gangning med 5 (se koden over regressionsoutputtet ovenfor). 20

Herved ser vi, at effekten af 5 år kan opsummeres som i nedenstående tabel, der også tilbagetransformerer effekten til original skala: Gruppe Effekt af 5 år på log 10 -skala Tilbagetransformeret effekt Ikke P-pille brugere -0.1566 (-0.1940, -0.1192) 0.70 (0.64, 0.76) P-pille brugere -0.2093 (-0.2604, -0.1583) 0.62 (0.55, 0.69) Fortolkningen er, at for P-pille brugere falder AMH-niveauet med 38% på 5 år (faktoren 0.62), medens der for ikke P-pille brugere kun er tale om et fald på 30% (faktoren 0.7). Konfidensintervallerne er dog noget overlappende, så vi kan ikke umiddelbart udtale os om, hvorvidt de er signifikant forskellige. (b) Er der evidens for forskelle i alderseffekten i de to grupper? For at undersøge dette, skal vi først gøre os klart, at spørgsmålet går på, om de to hældninger ovenfor er signfikant forskellige, altså om alderseffekten afhænger af, om man er P-pille bruger eller ej. Dette er netop spørgsmålet om, hvorvidt der er interaktion mellem variablene ppiller og alder, eller ej. For at undersøge dette, bygger vi en samlet model for alle kvinder, med to forskellige hældninger, dvs. med effekter af såvel ppiller, alder samt interaktionen ppiller*alder. Samtidig laver vi nogle modelkontroltegninger, fordi modellen nu er blevet en anelse for kompliceret til at kunne vurderes ud fra det indledende plot. ods graphics on; proc glm plots=(diagnosticspanel Residuals(smooth)) data=a1; class ppiller; rygning; model logamh = alder ppiller ppiller*alder / solution clparm; estimate P-piller nej, 30 aar intercept 1 alder 30 ppiller 1 0 alder*ppiller 30 0; estimate P-piller ja, 30 aar intercept 1 alder 30 ppiller 0 1 alder*ppiller 0 30; estimate differens ved 30 aar ppiller 1-1 alder*ppiller 30-30; output out=ny p=yhat r=residual cookd=cook; ods graphics off; 21

Herved får vi rigtigt meget output, og igen er det noget beskåret: The GLM Procedure Class Level Information Class Levels Values ppiller 2 0 1 Number of Observations Read 732 Number of Observations Used 732 Dependent Variable: logamh R-Square Coeff Var Root MSE logamh Mean 0.152070 26.76300 0.336339 1.256730 Source DF Type III SS Mean Square F Value Pr > F alder 1 13.91194942 13.91194942 122.98 <.0001 ppiller 1 0.08038015 0.08038015 0.71 0.3995 alder*ppiller 1 0.28897223 0.28897223 2.55 0.1104 Standard Parameter Estimate Error t Value Pr > t P-piller nej, 30 aar 1.38119332 0.02042432 67.62 <.0001 P-piller ja, 30 aar 1.24005997 0.02227474 55.67 <.0001 differens ved 30 aar 0.14113336 0.03022113 4.67 <.0001 Parameter 95% Confidence Limits P-piller nej, 30 aar 1.34109574 1.42129091 P-piller ja, 30 aar 1.19632956 1.28379037 differens ved 30 aar 0.08180239 0.20046433 Standard Parameter Estimate Error t Value Pr > t Intercept 2.496012716 B 0.16495869 15.13 <.0001 alder -0.041865092 B 0.00544532-7.69 <.0001 ppiller 0-0.175287089 B 0.20794681-0.84 0.3995 ppiller 1 0.000000000 B... alder*ppiller 0 0.010547348 B 0.00659921 1.60 0.1104 alder*ppiller 1 0.000000000 B... Parameter 95% Confidence Limits Intercept 2.172161205 2.819864227 alder -0.052555491-0.031174692 ppiller 0-0.583534066 0.232959887 ppiller 1.. alder*ppiller 0-0.002408406 0.023503102 alder*ppiller 1.. Testet for ens hældninger aflæses på linien alder*ppiller, og P- værdien ses at være 0.11, altså ingen signifikans. I hvert fald ikke, hvis vi holder os til et 5% signifikansniveau. 22

Vi kan således ikke i dette materiale påvise en forskel i alderseffekt for de to grupper, omend der synes at være tendens til en større effekt i P-pille gruppen. Der er dog nogen, der er fortalere for at bibeholde interaktioner (vel at mærke sådan nogle, som man på forhånd har noteret interesse for), som har P-værdier under 0.15, og i så fald skal vi ikke smide ppiller*alder ud... I hvert fald skal vi nu lige se på modelkontrol af denne model med to ikke-parallelle linier. Denne er lavet ved hjælp af option plots=(diagnosticspanel Residuals(smooth)) i ovenstående kørsel, og vi finder figurerne Vi ser ikke her nogen særlige tegn på problemer med modelanta- 23

gelserne, i hvert fald ikke udover tendensen til en hale med små residualer, som vi allerede tidligere har bemærket. Dette bør dog ikke give anledning til bekymring her. Vi fortsætter først opgavebesvarelsen med interaktionen ppiller*age, men ser også efterfølgende på, hvordan den videre analyse ville se ud, hvis interaktionen blev udeladt af modellen. Den estimerede forskel i hældninger (P-pille brugere vs. ikke P- pille brugere) er ret vanskelig at fortolke. Den estimeres til -0.0105 (-0.0235, 0.0024), og svarende til 5 år bliver det (som angivet i estimate-sætningen) til -0.0527, med CI=(-0.1175, 0.1020). Når vi tilbagetransformerer denne differens, får vi 10 0.0527 = 0.886, svarende til, at P-pille brugere falder med 11.4% oveni det fald, som P-pille brugere oplever (0.62=0.7*0.886). Konfidensintervallet bliver (10 0.1175, 10 0.1020 ) = (0.763, 1.265), således at det også kan tænkes, at P-pille brugerne oplever et mindre fald end ikke-p-pille brugere. (c) Hvor stor er den forventede forskel i AMH for P-pille brugere og ikke-p-pille brugere, ved en alder på 30 år? Dette spørgsmål relaterer sig til en forskel i selve niveauet af AMH, og vi benytter estimate-sætningen i koden ovenfor. estimate differens ved 30 aar ppiller 1-1 alder*ppiller 30-30; Begrundelsen for denne noget komplicerede estimate-sætning er som følger: Niveau for: P-pille brugere ved alder 30 år: α 1 + β 1 30 Ikke-P-pille brugere ved alder 30 år: α 0 + β 0 30 Forskel: Forskel: P-pille minus ikke-p-pille brugere: (α 1 α 0 )+(β 1 β 0 ) 30 Output fra denne estimate-sætning bliver 24

Standard Parameter Estimate Error t Value Pr > t differens ved 30 aar 0.14113336 0.03022113 4.67 <.0001 Parameter 95% Confidence Limits differens ved 30 aar 0.08180239 0.20046433 Vi finder altså en estimeret forskel på 0.1411 i ikke P-pille brugernes favør, med CI=(0.0818, 0.2005). Dette skal også tilbagetransformeres til selve koncentrationsskalaen, og giver så den estimerede ratio 10 0.1411 = 1.38, med konfidensinterval (10 0.0818, 10 0.2005 ) = (1.21, 1.59) Dette skal fortolkes som, at ikke-p-pille brugere ved 30-års alderen ligger 38% højere end P-pille brugerne, med konfidensinterval fra 21% til 59% over. Hvis vi ønsker at udtale os den omvendte vej, skal vi skifte fortegn, og har så forskellen -0.1411, med CI=(-0.2005, -0.0818). Når vi tilbagetransformerer dette til selve koncentrationsskalaen, får vi den estimerede ratio til 10 0.1411 = 0.72, med konfidensinterval (10 0.2005, 10 0.0818 ) = (0.63, 0.83) Dette skal fortolkes som, at P-pille brugere ved 30-års alderen ligger 28% lavere end ikke-p-pille brugerne, med konfidensinterval fra 17% til 37% under. Forklar forskellen til resultatet fra spørgsmål 2b. I spørgsmål 2b fik vi en væsentlig mindre forskel mellem de to grupper, nemlig at P-pille brugere i gennemsnit har et ca. 6% reduceret niveau af AMH, med et konfidensintervallet fra 17% under til 8% over, og med en P-værdi på 0.39. Grunden til, at vi nu kan se en forskel på de to grupper (P-piller ja/nej) skyldes to ting: Confounding fra alderen: Den direkte sammenligning af de to grupper med T-test i spørgsmål 2b sammenligner unge P- pille brugere med lidt ældre ikke-p-pille brugere (niveauerne ved de to lodrette streger i plottet nedenfor, som angiver aldersgennemsnittene). P-pille brugerne har derfor nogenlunde 25

ligeså højt niveau som ikke-p-pille brugerne, fordi de er yngre. En noget mindre residualspredning, når kovariaten alder inddrages i modellen (s = 0.336 i spm. 5b mod s = 0.365i spm. 2b). Vi sammenfatter i en tabel: Model Reduktion i AMH P-pille brugere vs. ikke P-pille brugere P-værdi T-test (spm. 2b) -6% (-17%, +8%) 0.39 Med interaktion (spm 5b) -28% (-37%, -17%) <0.0001 Uden interaktion (spm 5b) -30% (-38%, -20%) <0.0001 (kommer senere) Nu ser vi på, hvad der var sket, hvis vi havde udeladt den insignifikante interaktion ppiller*age fra spørgsmål 5b: 26

ods graphics on; proc glm plots=(diagnosticspanel Residuals(smooth)) data=a1; class ppiller; rygning; model logamh = alder ppiller / solution clparm; ods graphics off; som giver os outputtet The GLM Procedure Class Level Information Class Levels Values ppiller 2 0 1 rygning 2 0 1 Number of Observations Read 732 Number of Observations Used 732 Dependent Variable: logamh R-Square Coeff Var Root MSE logamh Mean 0.149095 26.79152 0.336697 1.256730 Source DF Type III SS Mean Square F Value Pr > F alder 1 14.38095624 14.38095624 126.86 <.0001 ppiller 1 3.14493678 3.14493678 27.74 <.0001 Standard Parameter Estimate Error t Value Pr > t Intercept 2.280455844 B 0.09508466 23.98 <.0001 alder -0.034683747 0.00307944-11.26 <.0001 ppiller 0 0.153783588 B 0.02919734 5.27 <.0001 ppiller 1 0.000000000 B... Parameter 95% Confidence Limits Intercept 2.093783409 2.467128278 alder -0.040729371-0.028638123 ppiller 0 0.096462683 0.211104494 ppiller 1.. 27

samt figuren Hvis vi her skal finde differensen mellem en P-pille bruger og en ikke-p-pille bruger på 30 år, så må vi erkende, at det med de 30 år er en ligegyldig information, idet der i denne model er lige stor forskel på sådan to personer, uanset hvilken alder, de har (fordi linierne er parallelle). Svaret er derfor at finde i selve estimatet for ppiller: 0.1538, med CI=(0.0965, 0.2111). Ligesom tidligere, skal dette også tilbagetransformeres til selve koncentrationsskalaen, og giver så den estimerede ratio 10 0.1538 = 1.42, med konfidensinterval (10 0.0965, 10 0.2111 ) = (1.25, 1.63) Dette skal fortolkes som, at ikke-p-pille brugere generelt ligger 42% højere end P-pille brugerne, med konfidensinterval fra 25% til 63% over. Hvis vi ønsker at udtale os den omvendte vej, skal vi skifte fortegn, og har så forskellen -0.1538, med CI=(-0.2111, -0.0965). Når vi tilbagetransformerer dette til selve koncentrationsskalaen, får vi den estimerede ratio til 10 0.1538 = 0.70, med konfidensinterval (10 0.2005, 10 0.0818 ) = (0.62, 0.80) 28

Dette skal fortolkes som, at P-pille brugere ved 30-års alderen ligger 30% lavere end ikke-p-pille brugerne, med konfidensinterval fra 20% til 38% under. Der er ikke den helt store forskel til de værdier, vi fandt i modellen med interaktion. (d) Er der nogen indflydelsesrige observationer, vi bør se nærmere på og evt. udelade? I givet fald skal dette begrundes, og I kan evt. foretage en ny analyse. Nogen ændringer i konklusionen? I koden ovenfor havde vi output-sætningen output out=ny p=yhat r=residual cookd=cook; så det nye datasæt ny indeholder (bl.a.) variablen cook, der angiver indflydelsen af den enkelte observation på de 4 parameterestimater i modellen. Vi kan nu plotte Cooks afstand mod forskellige variable for at få en ide om, hvilke observationer, der har stor indflydelse. Vi plotter mod såvel alder som hormonniveauet AMH. ods graphics on; proc sgplot data=ny; scatter Y=cook X=alder / group=ppiller; ods graphics off; ods graphics on / imagename="spm5d2"; proc sgplot data=ny; scatter Y=cook X=amh / group=ppiller; ods graphics off; og får derved figurerne 29

Vi ser, at der er en enkelt observation med en meget stor indflydelse, samt måske et par stykker mere med en ret stor indflydelse. Observationen med den største indflydelse ses at være rød, svarende til en P-pille bruger, samt at have et meget lavt niveau af AMH. For at få mere information kan vi skrive ud, hvilke observationer, der har et højt niveau af Cooks afstand: proc print data=ny; where cook>0.02; r p r e p y l s a i g o i i l l n g y d c O d d a l b i a u h u o b n e m e m n m n a a o s r r h r i g h g t l k 399 399 25.1 3.4650 0 normal 1 0.53970 1 1.53465-0.99495 0.02488 686 686 38.3 1.8360 1 overv 0 0.26387 0 0.89258-0.62871 0.02045 696 696 40.1 22.5140 1 normal 0 1.35245 0 0.81722 0.53523 0.02093 709 709 39.9 0.3950 1 normal 0-0.40340 0 0.82560-1.22900 0.10640 og her ser vi, at kvinden med den største indflydelse er en gammel (39.9 årig) P-pille bruger med et meget lavt niveau af AMH. Faktisk kunne man allerede se hende på scatterplottet helt fra starten. 30

(e) Lav passende figurer til belysning af residualernes fordeling, opdelt efter de to resterende variable: rygning og BMI-gruppe. Er der tegn på nogen sammenhænge her? Der er 3 bmi-grupper og 2 ryger-grupper, så i alt er der 6 grupper. Vi kan tegne Boxplots for hver af de 6 grupper under et ved hjælp af nedenstående konstruktion: proc sort data=ny; by bmi rygning; ods graphics on; proc sgplot data=ny; vbox residual / category=bmi group=rygning; ods graphics off; Der ses ikke nogen voldsomme tegn på forskelle mellem de 6 grupper, måske dog med undtagelse af en tendens til mindre residualer for de undervægtige (som der dog kun er 17 af i alt...). Det kunne altså tyde på, at de undervægtige har et lavere niveau af AMH end de øvrige. Vi vil gå videre med dette i næste spørgsmål. 6. Er der evidens for effekt af BMI på niveauet af AMH? Eller af rygning? 31

Vi bygger videre på modellen fra spørgsmål 5, og vi efterspørger således en sammenligning af personer med forskellig bmi (hhv rygning), men samme alder, samme P-pille gruppe og samme rygestatus (hhv. bmi). ods graphics on; proc glm plots=(diagnostics residuals(smooth)) data=a1; class ppiller bmi rygning; model logamh = alder ppiller ppiller*alder bmi rygning / solution clparm; ods graphics off; og får nedenstående output (igen beskåret) The GLM Procedure Class Level Information Class Levels Values ppiller 2 0 1 bmi 3 normal overv underv rygning 2 0 1 Number of Observations Read 732 Number of Observations Used 732 R-Square Coeff Var Root MSE logamh Mean 0.158990 26.70866 0.335656 1.256730 Source DF Type III SS Mean Square F Value Pr > F alder 1 14.07452237 14.07452237 124.92 <.0001 ppiller 1 0.10121058 0.10121058 0.90 0.3435 alder*ppiller 1 0.33112779 0.33112779 2.94 0.0869 bmi 2 0.63241338 0.31620669 2.81 0.0611 rygning 1 0.04183623 0.04183623 0.37 0.5425 Standard Parameter Estimate Error t Value Pr > t Intercept 2.315972887 B 0.18138261 12.77 <.0001 alder -0.042631392 B 0.00544728-7.83 <.0001 ppiller 0-0.196965141 B 0.20781191-0.95 0.3435 ppiller 1 0.000000000 B... alder*ppiller 0 0.011308386 B 0.00659625 1.71 0.0869 alder*ppiller 1 0.000000000 B... bmi normal 0.188866007 B 0.08278729 2.28 0.0228 bmi overv 0.202792584 B 0.08595639 2.36 0.0186 bmi underv 0.000000000 B... rygning 0 0.018748076 B 0.03076624 0.61 0.5425 rygning 1 0.000000000 B... Parameter 95% Confidence Limits Intercept 1.959875017 2.672070756 alder -0.053325708-0.031937076 ppiller 0-0.604950103 0.211019822 ppiller 1.. 32

alder*ppiller 0-0.001641637 0.024258409 alder*ppiller 1.. bmi normal 0.026334558 0.351397456 bmi overv 0.034039426 0.371545743 bmi underv.. rygning 0-0.041653491 0.079149643 rygning 1.. Det ses, at hverken bmi eller rygning er signifikante som sådan i ovenstående model (P=0.06 hhv. P=0.54), men bmi er dog tæt på. Ser vi nærmere på estimaterne for bmi, ses det, at de undervægtige har en tendens til at have et lavere hormon-niveau end de øvrige grupper, som vi netop så ovenfor i residualplottene. Man kunne fortsætte med at undersøge diverse interaktioner, men dette bør man kun gøre, hvis der er en formodning om en sådan interaktion, altså hvis man på forhånd har en forklaring på en sådan og har nedfældet den som en hypotese, man ville undersøge med dette materiale. I modsat fald er der tale om en fisketur, og så kan den kun give anledning til spekulationer, der senerehen skal vurderes i nye undersøgelser. Hvis vi udelader den insignifikante variabel rygning, har vi koden ods graphics on; proc glm plots=(diagnostics residuals(smooth)) data=a1; class ppiller bmi rygning; model logamh = alder ppiller ppiller*alder bmi / solution clparm; lsmeans bmi / adjust=tukey cl pdiff; ods graphics off; Bemærk den ekstra sætning til sammenligning af alle 3 bmi-grupper indbyrdes, med Tukey-korrektion for massesignifikans. Vi finder outputtet The GLM Procedure Class Level Information Class Levels Values ppiller 2 0 1 bmi 3 normal overv underv rygning 2 0 1 Number of Observations Read 732 Number of Observations Used 732 33

Dependent Variable: logamh R-Square Coeff Var Root MSE logamh Mean 0.158559 26.69710 0.335510 1.256730 Source DF Type III SS Mean Square F Value Pr > F alder 1 14.03782579 14.03782579 124.71 <.0001 ppiller 1 0.10088469 0.10088469 0.90 0.3441 alder*ppiller 1 0.32973114 0.32973114 2.93 0.0874 bmi 2 0.63024836 0.31512418 2.80 0.0615 Standard Parameter Estimate Error t Value Pr > t Intercept 2.326537720 B 0.18047394 12.89 <.0001 alder -0.042471019 B 0.00543856-7.81 <.0001 ppiller 0-0.196647155 B 0.20772126-0.95 0.3441 ppiller 1 0.000000000 B... alder*ppiller 0 0.011284309 B 0.00659327 1.71 0.0874 alder*ppiller 1 0.000000000 B... bmi normal 0.188192052 B 0.08274406 2.27 0.0232 bmi overv 0.202557141 B 0.08591830 2.36 0.0187 bmi underv 0.000000000 B... Parameter 95% Confidence Limits Intercept 1.972224611 2.680850830 alder -0.053148196-0.031793842 ppiller 0-0.604453211 0.211158901 ppiller 1.. alder*ppiller 0-0.001659844 0.024228462 alder*ppiller 1.. bmi normal 0.025745862 0.350638243 bmi overv 0.033879155 0.371235126 bmi underv.. Least Squares Means Adjustment for Multiple Comparisons: Tukey-Kramer logamh LSMEAN bmi LSMEAN Number normal 1.21693235 1 overv 1.23129744 2 underv 1.02874030 3 Least Squares Means for effect bmi Pr > t for H0: LSMean(i)=LSMean(j) Dependent Variable: logamh i/j 1 2 3 1 0.8868 0.0601 2 0.8868 0.0489 3 0.0601 0.0489 logamh bmi LSMEAN 95% Confidence Limits normal 1.216932 1.184361 1.249503 overv 1.231297 1.174861 1.287734 underv 1.028740 0.866835 1.190646 34

Least Squares Means for Effect bmi Difference Simultaneous 95% Between Confidence Limits for i j Means LSMean(i)-LSMean(j) 1 2-0.014365-0.086615 0.057885 1 3 0.188192-0.006135 0.382519 2 3 0.202557 0.000776 0.404339 Selv om bmi-grupperne stadig ikke adskiller sig signifikant fra hinanden overordnet set (P=0.06), finder vi en meget kneben signifikant forskel på overvægtige og undervægtige (gruppe 2 og 3), med P=0.0489 efter Tukey-korrektion. Det tilhørende estimat for forskellen er 0.202557 med CI=(0.000776, 0.404339). Denne skal tilbagetransformeres: 10 0.202557 = 1.59, CI = (10 0.000776, 10 0.404339 ) = (1.002, 2.54) Her læser vi, at overvægtige estimeres til et AMH-niveau, der ligger 59% over de undervægtige, men med meget brede konfidensgrænser. Nedenfor er vist en figur af de predikterede værdier (modellen), der nu består af 6 linier, der 3 og 3 er parallelle (bmi indgår ikke i nogen interaktion). Her ses de to nederste linier at svare til de undervægtige. 35