n r x rs x r = 1 n r s=1 (x rs x r ) 2, s=1
|
|
- Arthur Rasmussen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 (a) Denne opgave bygger på resultaterne fra 2 forsøg med epo-behandling af for tidligt fødte børn, idet gruppe 1 og 3 stammer fra første forsøg, mens gruppe 2 og 4 stammer fra det andet. Det må antages, at behandlingen af børnene i første forsøg må være udført under sammenlignelige forhold, og tilsvarende om forsøg 2, men det vides ikke, hvorvidt forholdene under forsøg 1 og 2 kan sammenlignes. Fra forsøg 1 fremkommer observationen x 1 = (x rs ) r=1,3,s=1,...,nr, hvor n 1 = 15 og n 3 = 16, idet x 1 = (x 1r ) r=1,...,15 betegner observationen fra epo-gruppe 1, og x 3 = (x 3r ) r=1,...,16 betegner observationen fra epo-gruppe 3. Der antages, at denne observation er en realisation af den stokatiske vektor X 1 = (X rs ) r=1,3,s=1,...,nr. Da ændringen i hæmoglobinprocent i de børn, der deltog i forsøget, ikke kan påvirke hinanden, og forsøgene må antages at være foregået særskilt, kan det antages, at X rs for r = 1, 3 og s = 1,..., n r er uafhængige. Da x 1s for s = 1,..., 15 således repræsenterer uafhængige gentagelser af samme forsøg under sammenlignelige forsøg, må det antages, at X 1s for s = 1,..., 15 har samme fordeling. Analogt antages det, at X 3s for s = 1,..., 16 er uafhængige identisk fordelte stokatiske variable. Fra forsøg 2 fremkom observationen x 2 = (x rs ) r=2,4,s=1,...,nr, hvor n 2 = 15 og n 4 = 14, idet x 2 = (x 2r ) r=1,...,15 betegner observationen fra epo-gruppe 2, og x 4 = (x 4r ) r=1,...,14 betegner observationen fra epo-gruppe 4. Det antages, at denne observation er en realisation af den stokatiske vektor X 2 = (X rs ) r=2,4,s=1,...,nr. Ved analoge argumenter antages det, at X rs for r = 2, 4 og s = 1,... n r er indbyrdes uafhængige, og at X 2s for s = 1,..., 15, samt X 4s for s = 1,..., 14 er identisk fordelte. Da de to forsøg er udført adskilt fra hinanden, kan det antages X rs for r = 1, 2, 3, 4 og s = 1,... n r alle er indbyrdes uafhængige. Det skal nu undersøges, om X rs for r = 1, 2, 3, 4 og s = 1,..., n r kan antages at være normalfordelte. Først beregnes den empiriske middelværdi og den empiriske varians x r = 1 n r s 2 r = 1 n r 1 n r s=1 n r x rs s=1 (x rs x r ) 2, og der tegnes et histogram for datasættet x r sammen med tætheden for normalfordelingen med middelværdi x r og varians s 2 r. På figur 1 betragtes test-1 datahistogrammet mod den estimerede normalfordeling, og det bemærkes, at histogrammet kun svagt har den ønskede klokkeform, idet der især mangler observationer tæt ved den emperiske middelværdi. På figur 3 er det histogrammet fra epogruppe 2, og der er en tydelig afvigelse fra normalfordelingskurven, idet der fremkommer mange observationer lavere end den empiriske middelværdi, men histogrammet har delvist den ønskede form. På figur 5 er det epogruppe 3, og der ses en vis overensstemmelse mellem histogrammet og normalfordelingens tæthed, hvilket også gør sig gældende for figur 7 med epogruppe 4. Generelt er overensstemmelsen mellem histogrammerne og de givne tætheder for normalfordelingen ikke overbevisende, men dette kan skyldes, at de benyttede data er behæftet med en vis usikkerhed samt det meget lave antal observationer, hvorved man ikke bør forvente den store sammenhæng mellem normalfordelingens tætheder og histogrammet. Man kan således pga det lave antal observation ikke på baggrund af figur 1,3,5 og 7 bekræfte normalfordelingshypotesen. Man kan dog heller ikke 1
2 2 afkræfte denne, da selv et histogram bygget på få observationer, som vides at være normalfordelte, kan adskille sig væsentligt fra tætheden, da normalfordelingen altid har en vis varians. Af denne grund tegnes QQ-plot for det observerede data mod den estimede normalfordeling, idet punkterne (x r (s), F 1 ( nr s )) for s = 1,..., n r, hvor F betegner fordelingsfunktionen for den estimerede normalfordelingen, plottes. Hvis observationer kan antages at stamme fra den estimerede normalfordeling, skal punkterne ligge tæt ved diagonalen, som ligledes er indtegnet. Betragter man således figur 2,4,6 og 8, der er QQ-plot for de 4 grupper, er det overordnede indtryk, at der er god overensstemmelse mellem punkterne og diagonalen, især omkring 0, der repræsenterer observationer omkring den emperiske middelværdi. Der er dog enkelte værdi, som ligger langt fra den empiriske middelværdi, som medfører at QQ-plottet har enkelte punkter, der ligger langt fra diagonalen. Dette skyldes, at normalfordelingen er koncentreret omkring middelværdien, og der er således lille sandsynlighed for at få sådanne observationer, man da sandsynligheden ikke er nul, er enkelte observationer af denne type ikke nok til at forkaste hypotesen. På baggrund af den store tilnærmelse i QQ-plottene godkendes normalfordelingshypotesen, og i resten af opgaven antages det, at X rs for r = 1, 2, 3, 4 og s = 1,..., n r er normalfordelte med middel µ r og varians σr, 2 hvor µ r kan estimeres af x r og σr 2 af s 2 r. Vi ønsker nu at undersøge hvorvidt de to forsøg er sammenlignelige. Da gruppe 3 og 4 har fået samme behandling, og de stammer fra hver sit forsøg, kan dette undersøges på baggrund af deres data. Betragt observationen x = (x rs ) r=3,4,s=1,...,nr, hvor n 3 = 16 og n 4 = 14, idet x 3 = (x 2r ) r=1,...,16 betegner observationen fra epo-gruppe 3, og x 4 = (x 4r ) r=1,...,14 betegner observationen fra epo-gruppe 4. Der antages, at denne observation er en realisation af den stokatiske vektor X = (X rs ) r=3,4,s=1,...,nr, hvor X rs for r = 3, 4 og s = 1,... n r er indbyrdes uafhængige og X rs N(µ r, σr). 2 Ved t-test i SAS beregnes testsandsynligheden for at σ3 2 = σ4 2 og da ε(x) = , godkendes hypotesen på niveau 0.05, hvorfor der efterfølgende antages, at σ3 2 = σ4 2 = σ 2. Herved antages da, at X rs N(µ r, σ 2 ) for alle r = 3, 4 og s = 1,..., n r. Undersøgelse om hvorvidt de to forsøg er sammenlignelige kan således formaliseres til, at undersøgelsen hvorvidt X rs har samme fordeling for alle r = 3, 4 og s = 1,..., n r, dvs. der skal testes for om µ 3 = µ 4. Til dette anvendes sætning Da er x en observation fra den statistiske model ( R 30, (N 2) ) µ3,µ 4,σ (µ 3,µ 4,σ 2 ) R 2 ]0, [, hvor N µ3,µ 4,σ 2 har tæthed φ µ3,µ 4,σ 2(x) = 1 ( P 1 4 P nr 2πσ 2 ) 30 e 2σ 2 r=3 s=1 (xrs µr)2. Da 4 nr r=3 s=1 (x rs µ r ) 2 > 0, grundet der i hver forsøgsgruppe er to forskellige observationer, kan sætningen benyttes. Vi betragter hypotesen µ 3 = µ 4 = µ Under modellen estimeres (µ 3, µ 4, σ 2 ) i henhold til sætning og bemærkning ved ˆµ 3 = x 3 = 1 16 x 3s, ˆµ 4 = x 4 = 1 14 x 4s, s 2 = 1 4 n r (x rs x r ) s=1 s=1 hvor ˆµ 3 N(µ 3, σ2 16 ),ˆµ 4 N(µ 4, σ2 14 ) og s2 σ2 28 χ2 28. r=3 s=1
3 3 Under hypotesen estimeres (µ, σ 2 ) i henhold til sætning og bemærkning ved ˆµ = x = 1 4 n r x rs, s 2 = 1 4 n r (x rs x) r=3 s=1 r=3 s=1 hvor ˆµ N(µ, σ2 30 ) og s2 σ2 29 χ2 29. I henhold til SAS er t-størrelsen 0.41 og testsandsynligheden ε(x) = , hvorved testen er ikke signifikant. Hypotesen godkendes således på 0.05 niveau. Forsøgene i gruppe 3 og 4 kan således antages at have samme middelværdi, og idet deres varians blev antaget ens, må X rs for r = 3, 4 og s = 1,..., n r være identisk fordelt. Da de to grupper repræsenterer det samme forsøg gentaget under forskellige forhold, kan disse antages at være sammenlignelige, da forsøgsresultaterne kan antages at stamme fra samme fordeling. Under den afsluttende model kan det antages, at X rs N(µ, σ 2 ), hvor µ estimes ved ˆµ = 0, 5967 og σ 2 ved s 2 = 1, 6410, hvor ˆµ N(µ, σ2 30 ) og s2 σ2 29 χ2 29. (b) Vi ønsker at undersøge, om der kan antages at være en lineær sammenhæng mellem epo-dosis og hæmoglobinprocent ved for tidligt fødte børn. Vi plotter derfor vores observationer mod dosis i et diagram (se Figur 9 i Bilag 3) og får SAS til at beregne og indtegne den bedste regressionslinie og ser, at der tilnærmelsesvist er tale om en lineær sammenhæng mellem dosis og hæmoglobinprocent. Dette bekræftes yderligere ved at plotte de standardiserede residualer mod dosis (se Figur 10 i Bilag 3), hvor vi ser, at residualerne tilnærmelsesvist spreder sig om x-aksen som en standard normalfordeling, jævnfør IH afsnit Derudover plottes et histogram over residualerne med en indtegnet standard normalfordeling (se Figur 11 i Bilag 3), og det ses, at de to stemmer fint overens. Endvidere laves et QQ-plot af residualernes fraktiler mod standardnormalfordelingens fraktiler (se Figur 12 i Bilag 3), og det ses, at punkterne fordeler sig ganske pænt om en ret linie, hvilket igen antyder en lineær sammenhæng. Vi antager derfor endelig (!), at der findes en lineær sammenhæng (dvs. at der gælder følgende om middelværdien: EX r = α+β(t t) for r = 1,..., 60 og (α, β) R 2 ) mellem ændringen i hæmoglobinniveauet (for for tidligt fødte børn) og dosen af epo. Videre antager vi, at variansen for ændringen i hæmoglobinprocenterne er den samme ligegyldigt om børnene får en epo-dosis på 0 U/kg, 50 U/kg eller 100 U/kg. Vi bruger så IH sætning og får modellen hvor N α,β,σ 2 har tæthed φ α,β,σ 2(x) = (R 60, (N α,β,σ 2) α,β,σ 2 R 2 ]0, [), 1 ( 2πσ 2 ) 60 e 1 2σ 2 P 60 s=1 (xs α β(ts t)) 2. Her er maksimaliseringsestimatoren for (α, β, σ 2 ) bestemt ved ˆα = x 60 r=1 ˆβ = (x r x)(t r t) SSD t ˆσ 2 l = r=1 (x r x ˆβ(t r t)) 2
4 4 hvor x 1,..., x 60 er ændringerne i hæmoglobinprocenterne og t 1,..., t 60 er de tilsvarende doser epo. Endvidere gælder der ˆα N(α, σ2 60 ), ˆβ σ N(β, 2 SSD t ) og ˆσ l 2 σ 2 60 χ2 58. Vi vil dog (jvf. IH bemærkning ) bruge s 2 l = r=1 (x r x ˆβ(t r t)) 2 som estimator for spredningen, og da s 2 l = ˆσ2 l gælder der s 2 l σ2 58 χ2 58. Af SAS-udskriften (Lineær regressionsdelen) ses det at og dermed gælder der s 2 l = SSD t = x = 1, ˆβ = 0, s 2 l = 160, ˆβ 2 SSD t = 24, , = 2, , = , , Så vi estimerer α til 1, β til 0, og σ 2 til 2, og ˆβ er normalfordelt med middelværdi β og varians σ , (c) Vi anvender nu modellen fra opgave (b) og ønsker at undersøge hypotesen H β : EX r = α + β 0 (t r t), hvor β 0 = 0. Forkastes denne hypotese, vil det betyde, at vi ikke kan se bort fra vores baggrundsvariabel (dosis), eller med andre ord, der er en ikke-triviel lineær sammenhæng mellem dosis og hæmoglobinprocent. Under hypotesen bliver maksimaliseringsestimatorerne for (α, σ 2 ) (jævnfør IH ): ˆα = x ˆσ 2 β = 1 60 hvor ˆα N ( α, 1 60 σ2) og ˆσ 2 β σ2 60 χ r=1 (x r x) 2, Fra SAS får vi vores t-værdi til 2.96, hvilket giver en testsandsynlighed på Derfor forkaster vi hypotesen om, at β 0 = 0 og kan konkludere, at der altså er en ikke-triviel lineær sammenhæng mellem dosis og hæmoglobinprocent. Hvilket så vil sige, at epo givet til for tidligt fødte børn har en indflydelse på deres hæmoglobinniveau. Den ikke-trivielle statistiske slutmodel bliver så modellen fra opgave (b).
5 5 Bilag 1: SAS-kode Her er alle observationer selvfølgelig indtastet i de anvendte datasæt, som af pladsgrunde dog er udeladt. /* Normalfordelinghypoteser for alle fire forsøg: */ PROC SORT DATA=epoalle; BY test; PROC UNIVARIATE DATA=epoalle NOPRINT; VAR hgp; HISTOGRAM/NORMAL(MU=est SIGMA=est) MIDPOINTS=-4 to 3 by 1; QQPLOT/NORMAL(MU=est SIGMA=est); BY test; RUN; QUIT; /* Opgave (a): T-test for sammenligneligheden af de to forsøg: */ PROC TTEST DATA=epo; CLASS TEST; VAR RESULT; RUN; /* Opgave (b): */ /* Plot af observationer med indtegnet regressionslinie som udgangspunkt for regressionsanalyse og estimater:*/ SYMBOL1 v=none i=rl c=red; SYMBOL2 v=none I=STDPMT c=blue; PROC GPLOT DATA=opgb; PLOT hgp*dosis=1 hgp*dosis=2/overlay; RUN; QUIT; /* Plot af residualer, for at illustrere normalfordelte residualer:*/ SYMBOL1 v=star i=rl c=red; SYMBOL2 v=none I=STDPMT c=blue; PROC REG DATA=opgb; MODEL hgp=dosis/r CLM; PLOT STUDENT.*(P. dosis); OUTPUT OUT=res STUDENT=residual; RUN; QUIT; /* Plots af residualhistogram mod normalfordeling og residualernes fraktiler mod normalfordelingens fraktiler: */ PROC UNIVARIATE NOPRINT; VAR residual; HISTOGRAM residual/normal MIDPOINTS=-3 to 3 BY 0.5; QQPLOT residual/normal(mu=est SIGMA=est); RUN; QUIT; /* Opgave (c): Test for hypotesen beta=0: */ PROC REG DATA=opgb; MODEL hgp=dosis/r CLM; TEST dosis=0/print; RUN; QUIT;
6 6 Bilag 2: SAS-udskrifter T-test for sammenhæng mellem de to grupper (3 og 4): The TTEST Procedure T-Tests Variable Method Variances DF t Value Pr > t RESULT Pooled Equal RESULT Satterthwaite Unequal Equality of Variances Variable Method Num DF Den DF F Value Pr > F RESULT Folded F Regressionstest for hypotesen β = 0: The REG Procedure Model: MODEL1 Dependent Variable: hgp Analysis of Variance Sum of Mean Source DF Squares Square F Value Pr > F Model Error Corrected Total Root MSE R-Square Dependent Mean Adj R-Sq Coeff Var Parameter Estimates Parameter Standard Variable DF Estimate Error t Value Pr > t Intercept <.0001 dosis Test 1 Results for Dependent Variable hgp Mean Source DF Square F Value Pr > F Numerator Denominator
7 7 Bilag 3: SAS-plots Figur 1. Plot af Test 1-datahistogram mod normalfordeling Figur 2. QQ-plot af Test 1
8 8 Figur 3. Plot af Test 2-datahistogram mod normalfordeling Figur 4. QQ-plot af Test 2
9 9 Figur 5. Plot af Test 3-datahistogram mod normalfordeling Figur 6. QQ-plot af Test 3
10 10 Figur 7. Plot af Test 4-datahistogram mod normalfordeling Figur 8. QQ-plot af Test 4
11 11 Figur 9. Plot af hæmoglubinændring mod epo-dosering Figur 10. Plot af Studentized Residuals mod Dosis
12 12 Figur 11. Histogram af residualer med indtegnet stand. normalfordeling Figur 12. QQ-plot af residualers fraktiler mod normalford. fraktiler.
En Introduktion til SAS. Kapitel 5.
En Introduktion til SAS. Kapitel 5. Inge Henningsen Afdeling for Statistik og Operationsanalyse Københavns Universitet Marts 2005 6. udgave Kapitel 5 T-test og PROC UNIVARIATE 5.1 Indledning Dette kapitel
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2. Repetition og eksamen. Overheads til forelæsninger, mandag 7. uge
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Repetition og eksamen Overheads til forelæsninger, mandag 7. uge 1 Normalfordelingen Erfaringsmæssigt er normalfordelingen velegnet til at beskrive variationen i mange
Læs mereLineær regression i SAS. Lineær regression i SAS p.1/20
Lineær regression i SAS Lineær regression i SAS p.1/20 Lineær regression i SAS Simpel lineær regression Grafisk modelkontrol Multipel lineær regression SAS-procedurer: PROC REG PROC GPLOT Lineær regression
Læs mereNormalfordelingen. Statistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Repetition og eksamen T-test Normalfordelingen Erfaringsmæssigt er normalfordelingen velegnet til at beskrive variationen i mange variable, blandt andet tilfældige
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2. IH kapitel 12. Overheads til forelæsninger, mandag 6. uge
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 IH kapitel 12 Overheads til forelæsninger, mandag 6. uge 1 Fordelingen af én (1): Regressionsanalyse udfaldsvariabel responsvariabel afhængig variabel Y variabel 2
Læs mereAfdeling for Anvendt Matematik og Statistik Januar Regressionsanalyse i SAS 2. Regressionsanalyse med GLM Sammenligning af regressionslinier
Københavns Universitet Statistik for Biokemikere Det naturvidenskabelige fakultet Inge Henningsen Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Januar 2007 2 Regressionsanalyse med GLM Sammenligning af regressionslinier
Læs mereNaturvidenskabelig Bacheloruddannelse Forår 2006 Matematisk Modellering 1 Side 1
Matematisk Modellering 1 Side 1 I nærværende opgavesæt er der 16 spørgsmål fordelt på 4 opgaver. Ved bedømmelsen af besvarelsen vægtes alle spørgsmål lige. Endvidere lægges der vægt på, at det af besvarelsen
Læs mereOpgave 1 Betragt to diskrete stokastiske variable X og Y. Antag at sandsynlighedsfunktionen p X for X er givet ved
Matematisk Modellering 1 (reeksamen) Side 1 Opgave 1 Betragt to diskrete stokastiske variable X og Y. Antag at sandsynlighedsfunktionen p X for X er givet ved { 1 hvis x {1, 2, 3}, p X (x) = 3 0 ellers,
Læs mereNormalfordelingen. Statistik og Sandsynlighedsregning 2
Normalfordelingen Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Repetition og eksamen Erfaringsmæssigt er normalfordelingen velegnet til at beskrive variationen i mange variable, blandt andet tilfældige fejl på
Læs mereRegressionsanalyse i SAS
Københavns Universitet Statistik for Biokemikere Det naturvidenskabelige fakultet Inge Henningsen Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik December 2006 Regressionsanalyse uden gentagelser Regressionsanalyse
Læs mereVariansanalyse i SAS. Institut for Matematiske Fag December 2007
Københavns Universitet Statistik for Biokemikere Det naturvidenskabelige fakultet Institut for Matematiske Fag December 2007 Variansanalyse i SAS 2 Tosidet variansanalyse Residualplot Tosidet variansanalyse
Læs mereEksamen i Statistik for biokemikere. Blok
Eksamen i Statistik for biokemikere. Blok 2 2007. Vejledende besvarelse 22-01-2007, Niels Richard Hansen Bemærkning: Flere steder er der givet en argumentation (f.eks. baseret på konfidensintervaller)
Læs mereTema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse.
Tema Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. (Fx. x. µ) Hypotese og test. Teststørrelse. (Fx. H 0 : µ = µ 0 ) konfidensintervaller
Læs mereReeksamen i Statistik for biokemikere. Blok
Københavns Universitet Det Naturvidenskabelige Fakultet Reeksamen i Statistik for biokemikere. Blok 2 2007-2008. 3 timers skriftlig prøve. Alle hjælpemidler - også blyant - er tilladt. Opgavesættet er
Læs mereReeksamen i Statistik for Biokemikere 6. april 2009
Københavns Universitet Det Naturvidenskabelige Fakultet Reeksamen i Statistik for Biokemikere 6. april 2009 Alle hjælpemidler er tilladt, og besvarelsen må gerne skrives med blyant. Opgavesættet er på
Læs mereInstitut for Matematiske Fag Matematisk Modellering 1 UGESEDDEL 6
Institut for Matematiske Fag Matematisk Modellering 1 Aarhus Universitet Eva B. Vedel Jensen 25. februar 2008 UGESEDDEL 6 Forelæsningerne torsdag den 21. februar og tirsdag den 26. februar. Jeg har gennemgået
Læs mereEn Introduktion til SAS. Kapitel 6.
En Introduktion til SAS. Kapitel 6. Inge Henningsen Afdeling for Statistik og Operationsanalyse Københavns Universitet Marts 2005 6. udgave Kapitel 6 Regressionsanalyse i SAS 6.1 Indledning Dette kapitel
Læs mereOpgaver til ZAR II. Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Michael Sørensen Oktober Opgave 1
Københavns Universitet Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Statistik for biokemikere Inge Henningsen Michael Sørensen Oktober 2003 Opgaver til ZAR II Opgave 1 Et datasæt består af 20 observationer.
Læs mereβ = SDD xt SSD t σ 2 s 2 02 = SSD 02 f 02 i=1
Lineær regression Lad x 1,..., x n være udfald af stokastiske variable X 1,..., X n og betragt modellen M 2 : X i N(α + βt i, σ 2 ) hvor t i, i = 1,..., n, er kendte tal. Konkret analyseres (en del af)
Læs mereEksamen i Statistik for Biokemikere, Blok januar 2009
Københavns Universitet Det Naturvidenskabelige Fakultet Eksamen i Statistik for Biokemikere, Blok 2 2008 09 19. januar 2009 Alle hjælpemidler er tilladt, og besvarelsen må gerne skrives med blyant. Opgavesættet
Læs mere1. Lav en passende arbejdstegning, der illustrerer samtlige enkeltobservationer.
Vejledende besvarelse af hjemmeopgave Basal statistik, efterår 2008 En gruppe bestående af 45 patienter med reumatoid arthrit randomiseres til en af 6 mulige behandlinger, nemlig placebo, aspirin eller
Læs mereOpgavebesvarelse, brain weight
Opgavebesvarelse, brain weight (Matthews & Farewell: Using and Understanding Medical Statistics, 2nd. ed.) Spørgsmål 1 Data er indlagt på T:/Basalstatistik/brain.txt og kan indlæses direkte i Analyst med
Læs mereProgram. Residualanalyse Flersidet variansanalyse. Opgave BK.15. Modelkontrol: residualplot
Program Residualanalyse Flersidet variansanalyse Helle Sørensen Modelkontrol (residualanalyse) i tosidet ANOVA med vekselvirkning. Test og konklusion i tosidet ANOVA (repetition) Tresidet ANOVA: the works
Læs mere3.600 kg og den gennemsnitlige fødselsvægt kg i stikprøven.
PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 1, onsdag den 6. september 2006 Eksempel: Sammenhæng mellem moderens alder og fødselsvægt I dag: Introduktion til statistik gennem analyse af en stikprøve
Læs merek normalfordelte observationsrækker (ensidet variansanalyse)
k normalfordelte observationsrækker (ensidet variansanalyse) Lad x ij, i = 1,...,k, j = 1,..., n i, være udfald af stokastiske variable X ij og betragt modellen M 1 : X ij N(µ i, σ 2 ). Estimaterne er
Læs meremen nu er Z N((µ 1 µ 0 ) n/σ, 1)!! Forkaster hvis X 191 eller X 209 eller
Type I og type II fejl Type I fejl: forkast når hypotese sand. α = signifikansniveau= P(type I fejl) Program (8.15-10): Hvis vi forkaster når Z < 2.58 eller Z > 2.58 er α = P(Z < 2.58) + P(Z > 2.58) =
Læs mereDet kunne godt se ud til at ikke-rygere er ældre. Spredningen ser ud til at være nogenlunde ens i de to grupper.
1. Indlæs data. * HUSK at angive din egen placering af filen; data framing; infile '/home/sro00/mph2016/framing.txt' firstobs=2; input id sex age frw sbp sbp10 dbp chol cig chd yrschd death yrsdth cause;
Læs mereLøsning eksamen d. 15. december 2008
Informatik - DTU 02402 Introduktion til Statistik 2010-2-01 LFF/lff Løsning eksamen d. 15. december 2008 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th
Læs mereLineær regression. Simpel regression. Model. ofte bruges følgende notation:
Lineær regression Simpel regression Model Y i X i i ofte bruges følgende notation: Y i 0 1 X 1i i n i 1 i 0 Findes der en linie, der passer bedst? Metode - Generel! least squares (mindste kvadrater) til
Læs mereModelkontrol i Faktor Modeller
Modelkontrol i Faktor Modeller Julie Lyng Forman Københavns Universitet Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Statistik for Biokemikere 2003 For at konklusionerne på en ensidet, flersidet eller hierarkisk
Læs mereModule 4: Ensidig variansanalyse
Module 4: Ensidig variansanalyse 4.1 Analyse af én stikprøve................. 1 4.1.1 Estimation.................... 3 4.1.2 Modelkontrol................... 4 4.1.3 Hypotesetest................... 6 4.2
Læs mereModel. (m separate analyser). I vores eksempel er m = 2, n 1 = 13 (13 journalister) og
Model M 0 : X hi N(α h + β h t hi,σ 2 h ), h = 1,...,m, i = 1,...,n h. m separate regressionslinjer. Behandles som i afsnit 3.3. (m separate analyser). I vores eksempel er m = 2, n 1 = 13 (13 journalister)
Læs mereVi ønsker at konstruere normalområder for stofskiftet, som funktion af kropsvægten.
Opgavebesvarelse, Resting metabolic rate I filen T:\rmr.txt findes sammenhørende værdier af kropsvægt (bw, i kg) og hvilende stofskifte (rmr, kcal pr. døgn) for 44 kvinder (Altman, 1991 og Owen et.al.,
Læs mereTema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.
Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i
Læs mereDagens Emner. Likelihood-metoden. MLE - fortsat MLE. Likelihood teori. Lineær regression (intro) Vi har, at
Likelihood teori Lineær regression (intro) Dagens Emner Likelihood-metoden M : X i N(µ,σ 2 ) hvor µ og σ 2 er ukendte Vi har, at L(µ,σ 2 1 ) = ( 2πσ 2)n/2 e 1 2 P n (xi µ)2 er tætheden som funktion af
Læs mereProgram: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19
Program: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19 For test med signifikansniveau α: p < α forkast H 0 2/19 p-værdi Betragt tilfældet med test for H 0 : µ = µ 0 (σ kendt). Idé: jo større
Læs mereLøsning til eksamensopgaven i Basal Biostatistik (J.nr.: 1050/06)
Afdeling for Biostatistik Bo Martin Bibby 23. november 2006 Løsning til eksamensopgaven i Basal Biostatistik (J.nr.: 1050/06) Vi betragter 4699 personer fra Framingham-studiet. Der er oplysninger om follow-up
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereDefinition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Repetition:
Læs mereVejledende besvarelse af hjemmeopgave i Basal statistik for lægevidenskabelige forskere, forår 2013
Vejledende besvarelse af hjemmeopgave i Basal statistik for lægevidenskabelige forskere, forår 2013 I forbindelse med reagensglasbehandling blev 100 par randomiseret til to forskellige former for hormonstimulation.
Læs mereI dag. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve: LR test og t-test, modelkontrol, R Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt)
I dag Statistisk analyse af en enkelt stikprøve: LR test og t-test, modelkontrol, R Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) Helle Sørensen Repetition vha eksempel om dagligvarepriser Analyse med R: ttest
Læs mereNormalfordelingen. Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: 1 2πσ
Normalfordelingen Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: f(x) = ( ) 1 exp (x µ)2 2πσ 2 σ 2 Frekvensen af observationer i intervallet
Læs mereOpgavebesvarelse, brain weight
Opgavebesvarelse, brain weight (Matthews & Farewell: Using and Understanding Medical Statistics, 2nd. ed.) For 20 nyfødte mus er der i tabellen nedenfor anført oplysning om kuldstørrelsen (fra 3 til 12
Læs mereAnalysestrategi. Lektion 7 slides kompileret 27. oktober 200315:24 p.1/17
nalysestrategi Vælg statistisk model. Estimere parametre i model. fx. lineær regression Udføre modelkontrol beskriver modellen data tilstrækkelig godt og er modellens antagelser opfyldte fx. vha. residualanalyse
Læs mereOverheads til forelæsninger, mandag 5. uge På E har vi en mængde af mulige sandsynlighedsfordelinger for X, (P θ ) θ Θ.
Statistiske modeller (Definitioner) Statistik og Sandsynlighedsregning 2 IH kapitel 0 og En observation er en vektor af tal x (x,..., x n ) E, der repræsenterer udfaldet af et (eller flere) eksperimenter.
Læs mereEksamen i Statistik for biokemikere. Blok
Københavns Universitet Det Naturvidenskabelige Fakultet Eksamen i Statistik for biokemikere. Blok 2 2007. 3 timers skriftlig prøve. Alle hjælpemidler - også blyant - er tilladt. Opgavesættet er på 8 sider.
Læs mereReferat : af Gruppearbejde Økonometri1 øvelsestime ugeseddel 7 dato 26/3 2003, Hold 4
Referat : af Gruppearbejde Økonometri1 øvelsestime ugeseddel 7 dato 26/3 2003, Hold 4 Spm1 Den udvidede model med de to strukturelle variable sk og sh: g i (60-00) = B 0 + B 1 *log(y i ) + B 2 [ log(sk
Læs mereUge 43 I Teoretisk Statistik, 21. oktober Forudsigelser
Uge 43 I Teoretisk Statistik,. oktober 3 Simpel lineær regressionsanalyse Forudsigelser Fortolkning af regressionsmodellen Ekstreme observationer Transformationer Sammenligning af to regressionslinier
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen
Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,
Læs mereMotivation. Konfidensintervaller og vurdering af usikkerhed på estimerede størrelser
Motivation Konfidensintervaller og vurdering af usikkerhed på estimerede størrelser Rasmus Waagepetersen October 26, 2018 Eksempel: En landmåler får til opgave at måle længden λ fra A til B. Entreprenøren
Læs mereKursus i varians- og regressionsanalyse Data med detektionsgrænse. Birthe Lykke Thomsen H. Lundbeck A/S
Kursus i varians- og regressionsanalyse Data med detektionsgrænse Birthe Lykke Thomsen H. Lundbeck A/S 1 Data med detektionsgrænse Venstrecensurering: Baggrundsstøj eller begrænsning i måleudstyrets følsomhed
Læs mereMultipel regression. M variable En afhængig (Y) M-1 m uafhængige / forklarende / prædikterende (X 1 til X m ) Model
Multipel regression M variable En afhængig (Y) M-1 m uafhængige / forklarende / prædikterende (X 1 til X m ) Model Y j 1 X 1j 2 X 2j... m X mj j eller m Y j 0 i 1 i X ij j BEMÆRK! j svarer til individ
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition:
Læs mere1 Hb SS Hb Sβ Hb SC = , (s = )
PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 6, onsdag den 11. oktober 2006 Eksempel 9.1: Hæmoglobin-niveau og seglcellesygdom Data: Hæmoglobin-niveau (g/dl) for 41 patienter med en af tre typer seglcellesygdom.
Læs mereLandmålingens fejlteori - Repetition - Kontinuerte stokastiske variable - Lektion 3
Landmålingens fejlteori Repetition - Kontinuerte stokastiske variable Lektion 4 - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf10 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 29. april
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereNanostatistik: Opgavebesvarelser
Nanostatistik: Opgavebesvarelser JLJ Nanostatistik: Opgavebesvarelser p. 1/16 Pakkemaskine En producent hævder at poserne indeholder i gennemsnit 16 ounces sukker. Data: 10 pakker sukker: 16.1, 15.8, 15.8,
Læs mereModul 11: Simpel lineær regression
Forskningsenheden for Statistik ST01: Elementær Statistik Bent Jørgensen Modul 11: Simpel lineær regression 11.1 Regression uden gentagelser............................. 1 11.1.1 Oversigt....................................
Læs mereProgram. 1. Repetition 2. Fordeling af empirisk middelværdi og varians, t-fordeling, begreber vedr. estimation. 1/18
Program 1. Repetition 2. Fordeling af empirisk middelværdi og varians, t-fordeling, begreber vedr. estimation. 1/18 Fordeling af X Stikprøve X 1,X 2,...,X n stokastisk X stokastisk. Ex (normalfordelt stikprøve)
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 8.7, 8.8 og 8.10 Momenter af gennemsnit og andele kap. 8.7 Eksempel med simulationer Den centrale grænseværdisætning (Central Limit Theorem) kap. 8.8 Simulationer Normalfordelte
Læs mereBinomial fordeling. n f (x) = p x (1 p) n x. x = 0, 1, 2,...,n = x. x x!(n x)! Eksempler. Middelværdi np og varians np(1 p). 2/
Program: 1. Repetition af vigtige sandsynlighedsfordelinger: binomial, (Poisson,) normal (og χ 2 ). 2. Populationer og stikprøver 3. Opsummering af data vha. deskriptive størrelser og grafer. 1/29 Binomial
Læs mereVejledende besvarelse af eksamen i Statistik for biokemikere, blok
Opgave 1 Vejledende besvarelse af eksamen i Statistik for biokemikere, blok 2 2006 Inge Henningsen og Niels Richard Hansen Analysevariablen i denne opgave er variablen forskel, der for hver af 10 kvinder
Læs mereMLR antagelserne. Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som
MLR antagelserne Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + + β k x k + u, hvor β 0, β 1, β 2,...,β k er ukendte parametere,
Læs mereOpgaver til kapitel 3
Opgaver til kapitel 3 3.1 En løber er interesseret i at undersøge om hendes løbeur er kalibreret korrekt. Hun udmåler derfor en strækning på præcis 1000 m og løber den 16 gange. For hver løbetur noterer
Læs mereTrin 1: Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H 0 : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse
Statistik 7. gang 9. HYPOTESE TEST Hypotesetest ved 6 trins raket! : Trin : Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H 0 : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse H eller H A : Alternativ
Læs mereModule 12: Mere om variansanalyse
Module 12: Mere om variansanalyse 12.1 Parreded observationer.................. 1 12.2 Faktor med 2 niveauer (0-1 variabel)......... 3 12.3 Tosidig variansanalyse med tilfældig virkning..... 9 12.3.1 Uafhængighedsbetragtninger..........
Læs mereCLASS temp medie; MODEL rate=temp medie/solution; RUN;
Ugeopgave 2.1 Bakterieprøver fra patienter transporteres ofte til laboratoriet ved stuetemperatur samt mere eller mindre udsat for luftens ilt. Dette er især uheldigt for prøver som indeholder anaerobe
Læs mereBesvarelse af juul2 -opgaven
Besvarelse af juul2 -opgaven Spørgsmål 1 Indlæs data Dette gøres fra Analyst med File/Open, som sædvanlig. Spørgsmål 2 Lav regressionsanalyser for hvert køn af igf1 vs. alder for præpubertale (Tanner stadium
Læs mereVariansanalyse i SAS 1. Institut for Matematiske Fag December 2007
Københavns Universitet Statistik for Biokemikere Det naturvidenskabelige fakultet Institut for Matematiske Fag December 2007 Variansanalyse i SAS 1 Ensidet variansanalyse Bartlett s test Tukey s test PROC
Læs mereMultipel Lineær Regression
Multipel Lineær Regression Trin i opbygningen af en statistisk model Repetition af MLR fra sidst Modelkontrol Prædiktion Kategoriske forklarende variable og MLR Opbygning af statistisk model Specificer
Læs mereProgram: 1. Repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. Konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke.
Program: 1. Repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. Konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke. 1/23 Opsummering af fordelinger X 1. Kendt σ: Z = X µ σ/ n N(0,1)
Læs mereOpgavebesvarelse, Basalkursus, uge 2
Opgavebesvarelse, Basalkursus, uge 2 Opgave 1. Filen "space.txt" fra hjemmesiden ser således ud: salt pre post 1 71 61 1 65 59 1 52 47 1 68 65......... 0 52 77 0 54 80 0 52 79 Data indlæses i 3 kolonner,
Læs mereDagens Emner. Likelihood teori. Lineær regression (intro) p. 1/22
Dagens Emner Likelihood teori Lineær regression (intro) p. 1/22 Likelihood-metoden M : X i N(µ,σ 2 ) hvor µ og σ 2 er ukendte Vi har, at L(µ,σ 2 ) = ( 1 2πσ 2)n/2 e 1 2σ 2 P n (x i µ) 2 er tætheden som
Læs mereEnsidet eller tosidet alternativ. Hypoteser. tosidet alternativ. nul hypotese testes mod en alternativ hypotese
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 305/324 Danmarks Tekniske Universitet
Læs merePerspektiver i Matematik-Økonomi: Linær regression
Perspektiver i Matematik-Økonomi: Linær regression Jens Ledet Jensen H2.21, email: jlj@imf.au.dk Perspektiver i Matematik-Økonomi: Linær regression p. 1/34 Program for i dag 1. Indledning: sammenhæng mellem
Læs meret-fordeling Boxplot af stikprøve (n=20) fra t(2)-fordeling Program ( ): 1. repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t.
t-fordeling Boxplot af stikprøve (n=20) fra t(2)-fordeling Program (8.15-10): 1. repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke,
Læs mereSide 1 af 19 sider. Danmarks Tekniske Universitet. Skriftlig prøve: 15. december 2007 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 19 sider. Skriftlig prøve: 15. december 2007 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)
Læs mereHvis α vælges meget lavt, bliver β meget stor. Typisk vælges α = 0.01 eller 0.05
Statistik 7. gang 9. HYPOTESE TEST Hypotesetest ved 6 trins raket! : Trin : Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse H eller H A : Alternativ
Læs mereGenerelle lineære modeller
Generelle lineære modeller Regressionsmodeller med én uafhængig intervalskala variabel: Y en eller flere uafhængige variable: X 1,..,X k Den betingede fordeling af Y givet X 1,..,X k antages at være normal
Læs mereTeoretisk Statistik, 9 marts nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts.
Teoretisk Statistik, 9 marts 2005 Empiriske analoger (Kap. 3.7) Normalfordelingen (Kap. 3.12) Opsamling på Kap. 3 nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts. 1 Empiriske analoger Betragt
Læs mereLøsning til eksaminen d. 29. maj 2009
DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 20-2-01 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 29. maj 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th
Læs mereLøsning til eksaminen d. 14. december 2009
DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 200-2-0 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 4. december 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition,
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff.
Kursus 242 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 35/324 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereMuligheder: NB: test for µ 1 = µ 2 i model med blocking ækvivalent med parret t-test! Ide: anskue β j som stikprøve fra normalfordeling.
Eksempel: dæktyper og brændstofforbrug (opgave 25 side 319) Program: cars 1 2 3 4 5... radial 4.2 4.7 6.6 7.0 6.7... belt 4.1 4.9 6.2 6.9 6.8... Muligheder: 1. vi starter med at gennemgå opgave 7 side
Læs mereØvelser til basalkursus, 5. uge. Opgavebesvarelse: Knogledensitet hos unge piger
Øvelser til basalkursus, 5. uge Opgavebesvarelse: Knogledensitet hos unge piger I alt 112 piger har fået målt knogledensitet (bone mineral density, bmd) i 11-års alderen (baseline værdi). Pigerne er herefter
Læs mereØvelser til basalkursus, 5. uge. Opgavebesvarelse: Knogledensitet hos unge piger
Øvelser til basalkursus, 5. uge Opgavebesvarelse: Knogledensitet hos unge piger I alt 112 piger har fået målt knogledensitet (bone mineral density, bmd) i 11-års alderen (baseline værdi). Pigerne er herefter
Læs mereBesvarelse af vitcap -opgaven
Besvarelse af -opgaven Spørgsmål 1 Indlæs data Dette gøres fra Analyst med File/Open, som sædvanlig. Spørgsmål 2 Beskriv fordelingen af vital capacity og i de 3 grupper ved hjælp af summary statistics.
Læs mereI dag. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) Eksempel: kobbertråd
I dag Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik SaSt) Helle Sørensen Først lidt om de sidste uger af SaSt. Derefter statistisk analyse af en enkelt
Læs mereUge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 2004
1 Uge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 004 1. u-fordelingen. Normalfordelingen 3. Middelværdi og varians 4. Mere normalfordelingsteori 5. Grafisk kontrol af normalfordelingsantagelse 6. Eksempler 7. Oversigt
Læs mereVejledende besvarelse af hjemmeopgave, efterår 2016
Vejledende besvarelse af hjemmeopgave, efterår 2016 Udleveret 4. oktober, afleveres senest ved øvelserne i uge 44 (1.-4. november) Normal aktivitet af enzymet plasma kolinesterase er en forudsætning for
Læs mereForelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mere02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser i uge 5
02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser i uge 5 Opgave 5.117, side 171 (7ed: 5.116 side 201 og 6ed: 5.116 side 197) I denne opgave skal vi benytte relationen mellem den log-normale fordeling
Læs mere(studienummer) (underskrift) (bord nr)
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 22 sider. Skriftlig prøve: 13. december 2010 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)
Læs mereDen lineære normale model
Den lineære normale model Ingredienser: V : N-dimensionalt vektorrum. X : Ω V : stokastisk variabel. L : ægte underrum af V, dimension k., : fundamentalt indre produkt på V. Vi laver en hel familie af
Læs mereFilen indeholder variablenavne i første linie, og de ligger i rækkefølgen
Opgavebesvarelse, Resting metabolic rate I filen T:\Basalstatistik\rmr.txt findes sammenhørende værdier af kropsvægt (bw, i kg) og hvilende stofskifte (rmr, kcal pr. døgn) for 44 kvinder (Altman, 1991
Læs mere1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori - lidt om kurset Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kursusholder
Læs mereKonfidensintervaller og Hypotesetest
Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensinterval for andele χ -fordelingen og konfidensinterval for variansen Hypoteseteori Hypotesetest af middelværdi, varians og andele Repetition fra sidst: Konfidensintervaller
Læs mereNanostatistik: Test af hypotese
Nanostatistik: Test af hypotese JLJ Nanostatistik: Test af hypotese p. 1/50 Repetition n uafhængige gentagne målinger: Fordelingsundersøgelse: Pindediagram / Histogram qq-plot Parameter: egenskab ved fordeling
Læs mereStastistik og Databehandling på en TI-83
Stastistik og Databehandling på en TI-83 Af Jonas L. Jensen (jonas@imf.au.dk). 1 Fordelingsfunktioner Husk på, at en fordelingsfunktion for en stokastisk variabel X er funktionen F X (t) = P (X t) og at
Læs mere