Vækstprojekt 2. x forår 2016 Thomas Schausen 27. marts 2016 Et eksempel på lineære og eksponentielle udviklinger Præsentation af dette eksempel samt gennemgang af lineær modellering gennemgås på denne video: https://youtu.be/ndat3guxwuu Vi vil her tage udgangspunkt i antallet af unge i alderen fra 15 til 29 år i Holland. I år 2007 var der. Det oplyses, at der det første år, fra 2007 til 2008 var en tilvækst på omtrent 15 til 29 år. unge i alderen fra Vi vil lave to modeller, dels lineær og dels eksponentiel der modellerer udviklingen fra 2007 til 2015. Begge modeller vil bestå af to lister, den ene liste med antal år fra 2007 og frem til 2015 og den anden liste med antallet af unge i alderen 15 til 29 år i Holland. Herudover skal der laves regnesforskifter og tegnes punkter og grafer med plot. Lineær model Starter med at rense Maple Herefter lades pakken Så vi kan plotte punkter og grafer. Først defineres en liste med antal årene fra 2007 til 2015, der er 8 år efter 2007. Kalder listen XL (L for lineær). (1.1.1) Herefter defineres en liste med antallet af unge i Holland. Kalder listen for YL (igen L for lineær). 0 år efter 2007 var der 2954000 1 år efter var der 20000 mere altså.
2 år efter var der yderligere 20000 mere, altså. Og på samme måde udregnes antallet af unge for årene 3, 4, 5, 6, 7 og 8 år efter 2007 ved at lægge til (1.1.2) Nu er begge listerne defineret, det kan dog gøres på en lettere måde ved at bruge til at lave gentagende sekvenser kommandoen Først antal år efter 2007 (1.1.3) i løber fra 0 til 8, og for hver af værdierne gemmes i en liste. Antallet af unge er, hvor løber fra 0 til 8. Når bliver der ikke lagt noget til de 2954000 svarende til antal unge i år 0 efter 2007, når lægges der 20000 til 2954000, når lægges der til 2954000 og så videre. (1.1.4) Uanset hvilken måde listerne er defineret på, har vi at en bestemt absolut tilvækst af x på 1 år giver en absolut tilvækst på 20000 unge på y, hvilket netop er kendetegnet for en lineær udvikling. Som matematisk model vil regneforskriften være efter 2007 og er antallet af unge fra 15 til 29 år i Holland., hvor er antal år Definerer funktionen (1.1.5) For at tegne punkterne og grafen laves først en ny liste PL med punkterne. Her bruges igen kommandoen : (1.1.6) løber fra 1 til 9,hvor 1 henter de første værdier i henholdsvis liste XL og liste YL, og så videre frem til hvor de sidste værdier i listerne hentes.
Laver pointplot med kommandoen pointplot, endvidere angives farve, type symbol og symbolstørrelse Laver plot af modellen :
Viser det sammen med kommadoen display, der angives også titel, aksebetegnelser, med gitterlinjer og angiver intervallerne for x og y med view.
Eksponentiel model Gennemgang af denne eksponentielle modellering gennemgås på denne video https://youtu. be/anqexg5id0y Beholder de variable, som er defineret ovenfor, derfor ikke nogen restart. En eksponentiel model har de grundlæggende egenskaber, at en bestemt absolut tilvækst på x giver en bestemt relativ tilvækst af y. I dette tilfælde er den bestemte absolutte tilvækst af x, 1 år, hvor meget den relative tilvækst er på y kan beregnes ud fra oplysningerne om, at der var 2954000 unge i alderen fra 15 til 29 år og der kom 20000 flere til det første år efter 2007. Efter et år er der altså
2974000 (1.2.1) Bruger formlen med navnet. til at beregne den realtive tilvækts, der defineres (1.2.2) Ser at der har været en relativ tilvækst af antallet af unge på i løbet af det første år. Definerer årstal efter år 2007 frem til 2015 som en sekvens med kommandoen XE (E for eksponentiel) : Kalder listen (1.2.3) Jævnfør ovenstående beregning af den relative tilvækst kan udviklingen af antallet af unge i perioden 2007 til 2015 beregnes, under forudsætning af, at det er den samme årlige relative tilvækst. Til at begynde med er der 2954000 unge. Efter 1 år er der unge. Efter 2 år er der unge. og så videre Efter 8 år er der unge. Derfor kan vi definere en liste YL med antallet af unge som en sekvens på følgende måde: (1.2.4) hvor i løber fra 0 til 8 svarende til antal år efter 2007. For at tegne punkterne og grafen laves først en ny liste PE med punkterne. Her bruges igen kommandoen : (1.2.5)
igen løber fra 1 til 9,hvor 1 henter de første værdier i henholdsvis liste XE og liste YE, og så videre frem til hvor de sidste værdier i listerne hentes. Laver pointplot med kommandoen pointplot, endvidere angives farve, type symbol og symbolstørrelse Den ekspoentielle model har den generelle regneforskrift, hvor er bgyndelsesværdien, her 2954000, og er fremskrivningsfaktoren, og det gælder at er vækstraten som vi fandt ovenfor., hvor Derfor kan regneforskriften defineres (1.2.6) Laver plot af modellen :
Viser det sammen med kommadoen display, der angives også titel, aksebetegnelser, med gitterlinjer og angiver intervallerne for x og y med view.
Vil gerne redigere fonten på tekserne
Sammenligning af modellerne med de faktiske data Præsentation af, hvordan de to modeller sammenlignes med empirien gennemgås på denne video: https://youtu.be/ds0bhacxrro Har tidligere set på antallet af unge fra 15 til 29 år i Holland i perioden 2007 til 2015. Vi har lavet to modeller, en lineær og en eksponentiel model. Vi vil nu vurdere de to modeller ud fra de empiriske data. Skal derfor bruge de empiriske data.
Skal hente data fra et Excelark, der først skal downloades fra EUROSTAT http://ec.europa. eu/eurostat/data/database Download det som Excel Fomat File og gem det med navnet Antal unge i EU 2015 i en passende mappe. Bemærk at data om antallet af hollandske unge fra 15 til 29 år ligger i cellerne B36:J36 samt at selve regnearket (sheet) hedder Data. Først lades pakken som skal bruges, når der skal importeres data fra Excel. Sætter curseren på en Vælger Assistants fra rullemenuen Tools, herefter kommer en ny rullemenu, hvor Import Data vælges. Herefter klikkes frem til mappen, hvor regnearket er gemt, når du klikker på filen sprøges om navn på Sheet og Cellrange, der udfyldes med DATA og B36:J36, herefter klikkes på Next, hvilket gøres en gang mere, endelig spørges til hvilket navn, data skal gemmes med. Vælg YD1 (1.3.1) For at data kan bruges som ovenfor skal de konverteres til en liste, hvilket gøres med kommandoen convert samtidig med data defineres med navnet YD (D for data). (1.3.2) Skal også have en liste med årstallene efter 2007. Vi har allerede defineret to lister XL og XE, den nye liste kaldes XD (igen D for data), vælger XL: (1.3.3) For at kunne plotte punkterne defineres en liste på samme måde som før, listen kaldes for PD
(1.3.4) Tegner punkterne med pointplot: Tegner de tre serier med punkter samt de lineære og eksponentielle model
Husker, at de blå punkter er de faktiske data, de røde punkter og sorte graf stammer fra den lineære model, mens de grønne punkter og den pink graf stammer fra den eksponentielle model. Sevlom det er tydeligt at der er forskelle på modellerne og data er det lidt svært rigtig at fortolke plottet. Derfor eksperimenteres med at "indstille vinduet" ved at redeigere i tallene på view, Eksempelvis kan der fokuseres på de sidste to punkter
Her ses dels, at der er en klar forskel mellem den pink eksponentielle model og den sorte lineære model. Hvorfor har den pink/eksponentielle model "overhallet" den sorte/lineære model? Herudover kan vi vurdere på, hvilke af de to modeller der bedst rammer de blå punkter. Vi kan også vælge at se nærmere på et punkt, her vælges punktet med x-værdien på 5
Hmmm? Vi kunne selvsagt også have valgt at bruge Gym pakken til at lave regressioner og aflæst forklaringsgraderne, men så have vi jo ikke haft al den sjov :-) Regression Præsentationen af disse regressioner gennemgås på denne video: https://youtu.be/2c-ubwfpeyy Lader pakken så vi kan lave regressioner. Bruger lister, der er defineret ovenfor, først lineær regression med kommandoen LinReg:
Så eksponentiel regression
Ser at det er to gode forklaringsgrader, hvor den lineære er marginalt bedre end den eksponentielle. Er det de samme regneforskrifter for lineær og eksponentiel udvikling der er angivet i de to plots umiddelbart ovenfor i forhold til dem vi selv lavede længere oppe? Begrund svaret? Opgave Første del af denne opgave præsenteres på denne video: https://youtu.be/-yefuxvnx4q I skal arbejde i par.
Herved danner I op til 13 par. opgave a) Brug følgede Googledocs til at https://docs.google.com/document/d/1hwli_7yuyiuje26w3m3ojmynhddwrzumsdy2gvukee/edit vælge og "sætte" jer på et land. Herefter skal I tage udgangspunkt i hvor mange unge der var i jeres land i 2007 og tage udgangspunkt i hvad ændringen var fra 2007 til 2008 i jeres land. Vær opmærksom på, at det ikke var i alle EU lande at antallet af unge fra 15 til 29 år var voksende. Herved får I to tal, svarende til 2954000 og 20000 som jeg brugte i arbejdet med Holland. Brug eksemplet som skabelon, således at I gør det samme arbejde som er vist. Gør jeg umage med jeres plots. Inden I laver regression med Gym pakken skal I diskutere hvilken model, der er bedst. Begrund svaret. opgave b) Lineær modellering: Find selv et eksempel på lineær modellering. Begrund ud fra den virkelighed der modelleres, at det er lineær modellering. I kan enten finde data på nettet, eller i jeres nærhed. Brug plots til at vise vækstegenskaberne for lineær vækst. Brug jeres model til at opstille en opgave og lav en vejledende besvarelse på den i Maple. Eksponentiel modellering: Find selv et eksempel på eksponentil modellering. Begrund ud fra den virkelighed der modelleres, at det er eksponentiel modellering. I kan enten finde data på nettet, eller i jeres nærhed. Brug plots til at vise vækstegenskaberne for eksponentiel vækst. Brug jeres model til at opstille en opgave og lav en vejledende besvarelse på den i Maple. Rigtig god arbejdslyst! Thomas