4 HOVEDSTABILITET 1. 4.1 Generelt 2

4 HOVEDSTABILITET 4 HOVEDSTABILITET 1 4.1 Generelt 2 4.2 Vandret lastfordeling 4 4.2.1.1 Eksempel - Hal efter kassesystemet 7 4.2.2 Lokale vindkræfter 10 4.2.2.1 Eksempel Hal efter skeletsystemet 11 4.2.2.2 Eksempel - Tværvægsbyggeri 14 4.2.2.3 Eksempel - Kombinationsbygning 18 4.2.3 Opstilling af model 21 4.2.3.1 Eksempel - Regneeksempel 26 4.1

4.1 Generelt Enhver bygning skal være stabil overfor alle forekommende kombinationer af lodrette og vandrette belastninger. I Dansk Ingeniørforeningsnorm for sikkerhedsbestemmelser for konstruktioner, DS 409, er der redegjort for de lastkombinationer der skal undersøges. For hver aktuel lastkombination eftervises bygningens stabilitet ved at eftervise at følgende tre betingelser alle er opfyldte: 1. Hver enkelt bygningsdel er i stabil ligevægt. 2. Hver enkelt bygningsdel kan modstå de påførte kræfter. 3. Samlingerne mellem de enkelte bygningsdele kan over føre de fornødne kræfter fra bygningsdel til bygningsdel. Figur 4-1: Lodret snit For de lodrette belastninger svarer punkt i blot til den sædvanlige lastnedføring gennem bygningen. Dette fører for hver bygningsdel til et antal laster som bygningsdelen skal undersøges for i forskellige kombinationer. Nogle af bygningsdelene vil endvidere være aktive ved optagelse af vandrette belastninger på bygninger, eksempelvis således: a: Facadeelementerne optager vindlasten ved pladevirkning, idet de fører vindlasten videre til etagedækkene. Samtidig optager facadeelementerne lodret last. b: Etagedækkene fører ved skivevirkning vindlasten videre til stabiliserende skivevægge. Samtidig optager etagedækkene lodret last. c: De stabiliserende skivevægge fører ved skivevirkning kombinationen af vindlastresultanterne og samtidigt virkende lodret last ned til fundament. 4.2

Redegørelsen for optagelse af vandrette belastninger fører således til et ekstra sæt lastkombinationer som de pågældende bygningsdele skal undersøges for, på linje med lastkombinationerne for lodret last alene. Figur 4-2: Dækplan Figur 4-3: Vægopstalt 4.3

Figur 4-4: Principdiagram for statisk beregning Principielt rummer hovedstabiliteten således hele den statiske beregning. En sikker gennemførelse af den statiske beregning vil imidlertid sædvanligvis kræve at den udarbejdes i en overskuelig struktur. Eksempelvis som illustreret i det følgende diagram hvor pilene repræsenterer videregivelse af belastninger. Oplysningerne kan alternativt gå modsat de viste pile i form af oplysning om modstandsevner. I denne sammenhæng er emnet hovedstabilitet herefter begrænset til at omfatte en fastlæggelse af belastningerne på de forskellige bygningsdele. 4.2 Vandret lastfordeling De vandrette belastninger på bygningen er som regel enten vindlast eller masselast og eventuelt jordtryk på kældervægge. Foruden den farligste vindlast virkende direkte på de enkelte bygningsdele, er det også nødvendigt at bestemme vindlastens resultanter på bygningen for at kunne vurdere bygningens overordnede stabilitet. Ved denne beregning ses bort fra indvendige vindtryk, da disse ikke giver nogen resulterende vandret belastning på bygningen. Vindlastens resultanter angives normalt som linjelaster på dækskiverne svarende til forskellige vindretninger, idet vandret last på tagopbygning føres til tagdæk og vandret last på hver etages facader fordeles ligeligt til de omgivende dæk. 4.4

Figur 4-5: Linielaster på dækskiver Sikkerhedsnormen kræver, at den overordnede stabilitet skal vurderes for den farligste af de to belastninger, vindlast og vandret masselast. Den vandrette masselast beregnes normalt i Danmark som 1,5 % af de regningsmæssige lodrette belastninger og dækker virkningerne af skævheder i opførelsen samt mindre jordrystelser. Ligesom vindlastens resultanter angives den vandrette masselasts resultanter sædvanligvis som linjelaster på dæk skiverne. Masselasten varierer meget fra byggeri til byggeri, men normalt vil en overslagsmæssig beregning med følgende regningsmæssige værdier af bidraget til den vandrette masselast pr. m 2 etageareal være dækkende: Tagdæk: V d = 0,15 kn/m 2 Etagedæk, boliger V d = 0,20 kn/m 2 Etagedæk, let erhverv V d = 0,25 kn/m 2 Etagedæk, tungt erhverv V d = 0,30 kn/m 2 I de fleste tilfælde vil disse værdier kunne reduceres en del ved en nøjere efterregning af den aktuelle bygning. Den vandrette masselast regnes at kunne virke i enhver retning, idet resultanten på de forskellige dækskiver alle virker i samme retning på samme tid. 4.5

I bygninger med kælder forekommer der vandrette laster udover vindlast og masselast. De udvendige kældervægge påvirkes af jordtryk og eventuelt også af vandtryk. For den overordnede stabilitet har dette specielt betydning hvis der er forskel i terrænniveauet mellem husets facader. I så tilfælde vil dækket over kælderen blive påvirket af en resulterende vandret last, svarende til forskellen i jordtryk på de to sider af bygningen. Figur 4-6: Tværsnit I kælder med ensidigt jordtryk Der eksisterer flere modeller til bestemmelse af reaktionernes fordeling, modeller der sikrer at reaktionerne holder dækskiven i ligevægt, og som samtidig fordeler reaktionerne i forhold til de stabiliserende vægges forskellige stivheder. For byggerier indtil 5-6 etagers højde med stabiliserende vægskiver er bestemmelse af vægskivernes stivhed meget usikker, fordi bevægelse i fundament og glidning i samlinger bidrager væsentligt til de samlede flytninger. Bestemmelse af reaktionsfordelingen baseres derfor ofte på en skønsmæssig vurdering af de enkelte vægskivers stivhed. Disse forhold betyder at visse dele af konstruktionen vil blive belastet til kapacitetsgrænsen før andre, når lasten vokser op. Hvis konstruktionen disse steder var af sprød karakter ville videre belastning her føre til brud, før de sidste stabiliserende bygningsdele nåede den forudsatte udnyttelse. Derfor er det altid nødvendigt med gennemgående sammenhængsarmering i dækskiverne, ligesom samlingerne i det stabiliserende system bør udformes på en måde så sprødbrud undgås. Dette er da også en klar forudsætning for de følgende eksemplers enkle metoder til bestemmelse af reaktionsfordelingen. For analyse af byggerier der ikke dækkes af de gennem gående eksempler kan henvises til: Skivebygningersstatik, 1985, forelæsningsnotat nr. 68 fra Instituttet for Husbygning, DTH. 4.6

Når dækskivernes farligste vandrette lastresultanter er bestemt i de forskellige retninger, er næste opgave at bestemme de tilhørende vandrette reaktioner på dækskiven ved de stabiliserende vægge eller søjler. Ved analyse af den overordnede stabilitet gennemføres normalt kun én gennemregning af reaktionsfordelingen for hver lastretning, idet fordelingen bestemmes for den regningsmæssige resultant af vindlast og vandret masselast der er størst. Det vil sige for en linjelast på hver dækskive af størrelsen hvor γ f er partialkoefficienten på vindlast W k v d er den karakteristiske værdi af vindlastens resultant på dækskiven er den vandrette masselast på dækskiven målt udjævnet pr. arealenhed af dækskiven er bygningernes dybde målt i den pågældende lastretning. 4.2.1.1 Eksempel - Hal efter kassesystemet Figur 4-7: Isometri Bygningen forudsættes beliggende i et område med nogen bebyggelse, så hastighedstrykket findes af figur 16.1.2 i DS 410 svarende til terrænklasse z o = 0,05 og med z = 7,5 m: Facader og gavle er over for vindlast simpelt understøttet ved terræn og tagdæk. 4.7

Formfaktor for tangentiel vindlast på taget på langs ad bygning: idet a 2 < 7 h b. Karakteristisk værdi af vindlastresultanten på dækskiven på langs ad bygning: Figur 4-9: Tværsnit i hal Figur 4-8: Længdesnit i tag med ovenlys For vind på tværs af bygning er formfaktoren for tangentiel vindlast på taget c t = 0,006, så den karakteristiske værdi af vindlastresultanten på tværs af bygningen bliver For den vandrette masselast på tagdækskiven kan regnes med en regningsmæssig værdi af størrelsen 4.8

Regningsmæssig vandret lastresultant på tagdækskiven: 1. På langs ad bygning: 2. På tværs af bygning: Figur 4-10: Dækskive For vind på langs ad bygningen regnes tagdækskiven simpelt understøttet af de langsgående facader. Reaktionen på hver facade bliver som fordeles videre til facadeelementerne. Tilsvarende fås for vind på tværs: 4.9

Figur 4-11: Opstalt af gavlelement som i dette tilfælde kan fordeles jævnt over gavlelementerne i hver gavl. For det enkelte gavlelement fås Herefter skal styrken af væg- og tagskive samt samlingerne mellem skiverne og stabilitet som væg eftervises. Bemærk at der ved den overordnede stabilitetsberegning er set bort fra eventuelt sug/tryk på inderside af facadernes opkanter over tag. 4.2.2 Lokale vindkræfter Det indvendige sug eller overtryk har betydning for vindbelastningen på de enkelte dele af facaderne og taget. Den karakteristiske fladelast på de enkelte bygningsdele bestemmes ved hvor c i og c y er formfaktoren for vindlast på henholdsvis inder- og yderside af bygningsdelen. Største opadrettede vindlast på taget svarer til indvendigt overtryk, c i = 0,2 sammen med udvendigt sug, c y = 2,0: 4.10

Største udadrettede vindlast på facader svarer til indvendigt overtryk sammen med lokalt udvendigt sug, c y = 1,1: Største indadrettede vindlast på facader svarer til indvendigt undertryk, c i = 0,3 sammen med lokalt udvendigt tryk, c y = 0,9: Disse fladelaster indgår i de forskellige lastkombinationer der skal undersøges for hver enkelt bygningsdel. 4.2.2.1 Eksempel Hal efter skeletsystemet Bygningen forudsættes beliggende nær en fjord, så hastighedstrykket findes af figur 16.1.2 i DS 410 svarende til terrænklasse z o = 0,01 med z = 8,0 m: Facader og gavlpartier er overfor vindlast understøttet ved fundament og tag. Alle søjler regnes indspændt i fundament og i toppen forbundet til et uendeligt stift tagdæk. Ses bort fra tangentiel vindlast på facaden og regnes med c t = 0,006 for tangentiel vindlast på taget, bliver den karakteristiske vindlastresultant på dækskiven for vind på langs ad bygningen: og for vind på tværs: 4.11

For den vandrette masselast på tagdækskiven kan anvendes en regningsmæssig værdi af størrelsen Regningsmæssig vandret lastresultant på tagdækskiven: 1. På langs ad bygning: 2. På tværs af bygning: Figur 4-12: Tværsnit i hal Figur 4-13: Isometri af bærende system 4.12

Den vandrette lastresultant fordeles af dækskiven til søjle toppene i forhold til søjlernes stivhed. I eksemplet regnes søjlerne i de to facadelinjer at være ens med stivhederne (EI/l 2 ) L og (EI/l 2 ) B for udbøjning henholdsvis på langs og på tværs af bygningen. Søjlerne i midterlinjen regnes at have de tilsvarende stivheder α L (EI/l 2 ) B og α B (EI/l 2 ) B. For den aktuelle bygning forudsættes Med n = 5 søjler i hver linje på langs af bygningen fås følgende reaktion på dækskiven ved hver søjletop for vandret last på langs ad bygningen: Facadesøjle: Midtersøjle: Tilsvarende fås for vandret last på tværs af bygningen: Facadesøjle: Midtersøjle: 4.13

Ud over de anførte vandrette laster fra vind og masselast skal søjlerne beregnes for vandrette bremsekræfter fra eventuelle kraner. Figur 4-15: Skivelastens overføring til søjlerække Figur 4-14: Opstalt af søjler 4.2.2.2 Eksempel - Tværvægsbyggeri Figur 4-17: Isometri Figur 4-16: Tværsnit i nederste etage 4.14

Bygningen forudsættes beliggende i bymæssig bebyggelse, så hastighedstrykket findes af figur 16.1.2 i DS 410 svarende til terrænklasse z o = 0,3 og med z = 16,0 m: Der regnes med tangentiel vindlast svarende til c t, = 0,01 på facader og gavle. Den karakteristiske værdi af den totale vindlastresultant på dækskive mellem etagerne bliver der ved for vind på langs ad bygning: For vind på tværs af bygning føres den tangentielle vindlast på gavlene direkte til fundament af gavlskiverne. Den karakteristiske vindlastresultant på en dækskive mellem etagerne er dermed for vind på tværs af bygning: For den vandrette masselast på hver af dækskiverne mellem etagerne regnes svarende til bolig med en regningsmæssig værdi af størrelsen For hver dækskive mellem etagerne fås dermed følgende regningsmæssige vandrette laster: 1. På langs ad bygning: 2. På tværs af bygning: 4.15

Figur 4-18: Tagets kontur En tilsvarende bestemmelse af lastresultaterne på dækskiven under taget afhænger af tagets udformning. 1. På langs ad bygningen er masselasten i det viste eksempel afgørende, så der kan regnes med 2. På tværs af bygningen er vindlasten afgørende: idet tagets højde er 0,5 B tanα For last på langs ad bygningen fordeler dækskiven lastresultanten ligeligt til de n = 3 stabiliserende længdevægge ved trapperummene. Fordelingen kan anvendes selv om længdevæggen ikke står i lastresultantens angrebslinje, idet excentricitetsmomentet på dækskiven blot optages via reaktioner ved tværvæggene. Reaktionen på hver dækskive mellem etagerne bliver ved hver af de stabiliserende længdevægge 4.16

De vandrette kræfter på en stabiliserende længdevæg kan dermed optegnes som vist på vægopstalten, hvor faktoren k x betegner forholdet mellem den vandrette last på tagdæk skiven og den vandrette last på de øvrige dækskiver. Aktuelt er regnet med k x = 1,0 jævnfør det for W xd angivne. Figur 4-19: Plan For vandret last på tværs af bygningen kan dækskiven regnes at føre lasten ind til tværvæggene svarende til en simpel fordeling efter afstandene mellem tværvæggene. For en indvendig tværvæg nr i, der ligger med afstandene l i-1 = 7,2 m og l i = 2,4 m til de to nabotværvægge bliver De vandrette kræfter på den enkelte tværvæg bliver som vist på opstalten, idet Herefter skal de enkelte vægskivers styrke og stabilitet eftervises, jfr. afsnit 5.2. 4.17

Figur 4-20: Vægopstalt, længdevæg Figur 4-21: Vægopstalt, tværvæg 4.2.2.3 Eksempel - Kombinationsbygning Figur 4-22: Isometri 4.18

Kombinationsbyggerier er gerne kendetegnet ved forholdsvis få stabiliserende vægge der koncentrerer sig omkring trappetårne og andre skakte, Dette kræver almindeligvis en nøjere gennemregning, før lastfordelingen på de stabiliserende vægge er bestemt. I dette eksempel præsenteres en af de enklere metoder til bestemmelse af denne lastfordeling. Bygningen forudsættes beliggende i et kvarter med spredt erhvervsmæssig bebyggelse, så hastighedstrykket findes af figur 16.1.2 i DS 410 svarende til terrænklasse z o, = 0,05 og med z = 14,6 m: Figur 4-23: Tværsnit I bygning Der regnes med tangentiel vindlast svarende til c t = 0,01 på facader og gavle. Den karakteristiske værdi af den totale vindlastresultant på en dækskive mellem etagerne bliver dermed for vind på langs ad bygningen: 4.19

Tilsvarende for vind på tværs: Det skal bemærkes at bidraget fra tangentiel vindlast er relativ beskedent. For den vandrette masselast på hver af dækskiverne mellem etagerne regnes svarende til let erhverv med en regningsmæssig værdi af størrelsen Den regningsmæssige totale vandrette lastresultant på hver dækskive mellem etagerne bliver da: 1. På langs ad bygning: 2. På tværs af bygning: En tilsvarende bestemmelse af lastresultanterne på dækskiven under taget afhænger af tagets udformning. 1. På langs ad bygning er masselasten i det viste eksempel afgørende, og idet tagetagen regnes udnyttet svarende til taglast med v d = 0,15 kn/m 2 fås 2. På tværs af bygningen er vindlasten afgørende, så her fås 4.20

De her anførte lastresultanter vil for den skitserede bygning angribe i bygningens midterakser. Ved mere uregelmæssige bygninger eller ved store bygninger der kræves undersøgt for vridning, vil de vandrette lastresultanter kunne angribe langs andre linjer. 4.2.3 Opstilling af model Dækskiven betragtes nu med systemet af stabiliserende vægge indtegnet: Figur 4-24: Plan af dækskive Dækskiven forudsættes at være uendelig stiv. Dækskivens bevægelse vil være sammensat af en vandret translation, δ, og en drejning, θ, om systemets vridningscentrum. De stabiliserende vægges deformation forudsættes at vokse proportionalt med den vandrette last. Figur 4-25: Opstalt, stabiliserende væg 4.21

Figur 4-26: Beskrivelse I (x,y) koordinatsystem Dækskiven med systemet af stabiliserende vægge beskrives i et sædvanligt (x,y) koordinatsystem. Dækskivens reaktion ved vægge parallelt med x-aksen betegnes R xi, og den enkelte af disse vægges stivhed betegnes α i D, hvor D er en fælles referenceværdi. Værdien α i bliver således den enkelte vægs relative stivhed. Tilsvarende for vægge parallelt med y-aksen betegnes dækskivens reaktion R yj og de tilsvarende stivheder betegnes α i D De relative stivheder, α i og α j, kan i mange tilfælde fastlægges ved et rent skøn, blot dette skøn afspejler størrelsesordenen af den enkelte vægs stivhed. Det afgørende er at nå frem til en reaktionsfordeling der er i ligevægt med de ydre kræfter. For den vandrette resultant W x, af kræfterne på dækskiven i x-aksens retning angribende i systemets vridningscentrum, bliver dækskivens bevægelse en ren translation, δ, i x-aksens retning. De tilhørende reaktioner bliver 4.22

Den samlede reaktion er hvilket indsat i udtrykket for R xi (W x ) giver Betingelsen for at resultanten W x angribende i afstanden y o fra x-aksen netop angriber i systemets vridningscentrum er, at det resulterende moment af kræfterne R xi om et punkt med y-koordinaten y o er nul. Denne betingelse kan skrives: 4.2-1 Tilsvarende fås for kræfter i y-aksens retning: 4.2-2 4.23

En vilkårlig vandret resultant på dækskiven kan ækvivaleres med en resultant gennem systemets vridningscentrum plus et moment, M w, om dette vridningscentrum. For et rent moment, M w, på systemet bliver dækskivens bevægelse en ren drejning, θ, om systemets vridningscentrum. Reaktionen ved de enkelte vægge bliver da: Disse reaktioners resulterende moment om vridningscentret kan skrives således: Indføres systemets relative vridningsstivhed ved 4.2-3 kan det resulterende vridningsmoment skrives Indføres dette i udtrykkene for reaktionerne ved de enkelte vægge bliver: 4.24

Endelig summeres bidragene fra translation og vridning, så reaktionerne på de enkelte vægge i alt bliver: 4.2-4 4.2-5 Vridningsmomentet, M w, bestemmes for en vilkårlig vandret lastresultant W som hvor z er den vandrette lastresultants momentarm om vridningscentret (x o,y o ). Figur 4-27: Vandrette lastresultanter på dækskive For bygninger indtil 5-6 etagers højde vil væggenes reelle stivhed kunne antages at være proportionale med deres respektive modstandsevner. For sådanne bygninger kan den relative stivhed for en stabiliserende væg anslås som den mindste af værdierne α 1, α 2 og α 3 i henhold til det viste skema. For α 1 og α 2 betragtes det mest kritiske element i væggen, idet h o regnes op til tagdæk fra underside af det pågældende element. 4.25

Figur 4-28: Skønnede værdier for relative stivheder 4.2.3.1 Eksempel - Regneeksempel Med eksemplets regulære form på bygningen er det naturligt at indlægge (x,y)-systemet med akse i facade- og gavllinje. Som vist på planen regnes væggene parallelt med x-aksen at være bærende, medens væggene parallelt med y-aksen ikke er bærende. Figur 4-29: Plan af dækskive 4.26

Først findes hver vægs relative stivhed og placering i (x,y)-systemet. idet de stabiliserende vægges højde er 13,6 m og de alle regnes massive. For vandret last på langs ad bygningen forudsættes For vandret last på tværs af bygningen forudsættes Reaktionen på de stabiliserende vægge fra hvert etagedæk findes nu af formlerne 4.2-4 og 4.2-5 Da både W xd og W yd kan skifte fortegn, findes farligste reaktion af skemaet som den numerisk største reaktion for hver væg. For reaktionerne fra tagdækket reduceres med faktoren 0,60 for W xd og med faktoren 0,84 for W yd, jævnfør den første del af eksemplet. 4.27

Herefter består opgaven i stabilitets- og styrkeeftervisning for hver vægskive for belastninger som anført nedenfor. Hvis det nu viser sig at væg 3 y ikke kan modstå de beregnede reaktioner kan det forsøges at omregne den vandrette last. fordeling med en mindre værdi af α j for denne væg. Dette har dog kun mening hvis den første gennemregning fører til at de øvrige vægge ikke udnyttes fuldt ud. I det aktuelle eksempel specielt væg 2 y. Figur 4-30: Vægopstalter 4.28