1 S Statistik Arbejdskortene i denne serie giver et anvendelsesorienteret perspektiv på statistik. Begreber og metoder ses som redskaber til at besvare relevante spørgsmål som hjælpemidler til at beskrive og analysere observationssæt fra virkeligheden. Denne tilgang til fagområdet harmonerer i høj grad med bestemmelserne i Fælles Mål 2009 og i den oprindelige hensigt med indførelsen af fagområdet i 1976 (se kapitlet side 3-5 ). Hvis den anvendelsesorienterede tilgang skal overføres til folkeskolens undervisning, bliver det helt centralt, at matematiklærerne selv har arbejdet med at beskrive og analyse observationssæt fra virkeligheden og at matematiklærerne bliver i stand til at tilrettelægge og gennemføre statistiske undersøgelser. En væsentlig del af aktiviteterne i arbejdskortene sigter derfor på at give læreren sådanne erfaringer. Hensigten med arbejdskortserien er, at I opnår fortrolighed med begreber og metoder, som kan knyttes til folkeskolens arbejde med beskrivende og analyserende statistik får erfaringer med at anvende statistiske metoder og begreber til at belyse stokastiske fænomener får erfaringer med at undersøge og fortolke statistiske beskrivelser fra dagblade får erfaringer med at tilrettelægge og gennemføre statistiske undersøgelser. Serien består af følgende arbejdskort S1 S2 S3 S4 Beskrivende statistik Sammenligninger, forudsigelser og mulige sammenhænge Statistik i medier En statistisk undersøgelse
2 S1 Beskrivende statistik I kapitlet defineres og omtales en hel række af begreber og metoder, der kan bruges til at skabe overblik over og beskrive store samlinger af data. Det tager tid og kræver arbejde at få disse begreber og metoder ind under huden. Dette arbejdskort skal støtte jer i denne proces. I skal opnå både en teknisk og forståelsesmæssig indsigt i begreberne og metoderne. Den tekniske indsigt skal gøre jer i stand til at finde frem til de statistiske deskriptorer og til at fremstille de diagrammer, der spiller en rolle i folkeskolen. I den forbindelse kan it være en stor hjælp. Den forståelsesmæssige side af sagen skal gøre jer i stand til at tolke de statistiske deskriptorer og diagrammer, som I enten selv er nået frem til, eller som I kan finde i forbindelse med mediers omtale af statistiske undersøgelser. Hensigten med arbejdskortet er således, at I bliver i stand til at finde frem til udvalgte statistiske deskriptorer ved hjælp af lommeregner, regneark og/eller andre it-hjælpemidler bliver i stand til at fremstille udvalgte diagrammer ved hjælp af regneark og/eller andre it-hjælpemidler får erfaringer med at tolke betydningen af udvalgte statistiske deskriptorer i konkrete eksempler fra bl.a. medier. Herunder er der et klip fra et regneark, som viser en matematiklærers to 9. klassers karakterer ved folkeskolens afgangsprøve i matematik. Der er en række opgaver knyttet til karakter listerne. Et regneark eller et statistikprogram som fx Datameter kan lette arbejdet med næsten al beskrivende arbejde med statistik og også med de følgende opgaver. Hvis I endnu ikke er vant til at behandle data i et regneark og/eller et statistikprogram, er der her en god mulighed for at få det lært. Selve regnearket findes på systemets hjemmeside ( Karakterer, 9. klasse ). Det kan om ønsket downloades til videre bearbejdelse i forbindelse med opgaverne. Skolelederen spørger matematiklæreren, hvordan hans klasser som helhed har klaret sig mht. karakterer ved årets prøve.
3 Begynd med at bruge et par minutter på at kigge på primærmaterialet (karakterlisten). Hvad kan I svare skolelederen på den baggrund? Opstil en tabel, der både omfatter hyppigheder, frekvenser, kumulerede hyppigheder og kumulerede frekvenser. Hvad kan I nu svare skolelederen? Find observationssættets - mindsteværdi - størsteværdi - variationsbredde - typetal - middeltal - kvartilsæt Hvad fortæller deskriptorerne om, hvordan klasserne som helhed har klaret sig ved afgangsprøven? Fremstil nogle diagrammer, der viser karakterfordelingen. Hvilke af deskriptorerne kan I se på hvilke diagrammer? Hvordan bidrager diagrammerne til svaret på skolelederens spørgsmål? Skolelederen spørger nu, hvilken af de to klasser, der har klaret sig bedst. Beskriv forskellene mellem de to klasser ved hjælp af deskriptorer. Forklar, hvad deskriptorerne viser. Hvad ville I svare skolelederen? På Undervisningsministeriets hjemmeside kan man læse: Målet med at indføre 7-trins-skalaen var, at karakterfordelingen over en årrække og på landsplan skulle følge ECTS-skalaen. ECTS står for European Credit Transfer and accumulation System, og ECTS-karakterskalaen er udviklet til at sammenligne de karakterer, som gives ved uddannelser i forskellige lande i EU. På den måde kan ECTS-karakterskalaen anvendes til at omregne udenlandske karakterer til danske karakterer og omvendt. På ECTS-skalaen fordeles karaktererne sådan: 10 procent til A (karakteren 12), 25 procent til B (karakteren 10), 30 procent til C (karakteren 7), 25 procent til D (karakteren 4) og 10 procent til E (karakteren 02). Skolelederen er bekymret. Karaktererne i dine klasser fordeler sig jo overhovedet ikke efter hensigten, siger han. Hvad kan/bør matematiklæreren svare ham? I 9.C skal 25 elever til afgangsprøve i matematik i morgen. Hvilken karakterfordeling skal 9.C have, for at de tre klasser tilsammen opfylder den tilsigtede karakterfordeling? Er der flere løsninger? Er det meningsfyldt at beskrive karakterfordelinger ved hjælp af statistik? <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
4 Tabellen herunder viser personindkomster for danskere over 15 år i 2007 (kilde: www.dst.dk). Til de følgende opgaver kan I tage udgangspunkt i denne tabel, der også findes til Excel regneark på systemets hjemmeside ( Indkomst, DK, 2007 ) eller I kan finde de nyeste tal hos Danmarks Statistik. Årlig indkomst 2007 Under 100.000 kr. 619101 100.000-199.999 kr. 1205161 200.000-299.999 kr. 1087232 300.000-399.999 kr. 842574 400.000-499.999 kr. 336366 500.000-749.999 kr. 223510 750.000-999.999 kr. 52265 1.000.000-1.999.999 kr. 38684 2.000.000-2.999.999 kr. 6232 3.000.000-3.999.999 kr. 2303 4.000.000-4.999.999 kr. 1245 5.000.000-9.999.999 kr. 1932 10.000.000 kr. og derover 859 En turist spørger en dansker, hvordan indkomsten er i Danmark. Overvej, hvad danskeren kan svare på baggrund af tabellen med intervalhyppigheder. Udvid tabellen, så den både omfatter intervalfrekvenser og kumulerede intervalfrekvenser. Hvilken betydning kan udvidelsen have for danskerens svar til turisten? Fremstil et histogram og en sumkurve for observationssættet. Beskriv formen på histogrammet og udseendet af sumkurven. Hvad fortæller formen og udseendet om danskernes indkomster i 2007? Hvilke deskriptorer kan I finde frem til ved hjælp af diagrammerne? Hvordan bidrager diagrammerne og deskriptorerne til svaret på turistens spørgsmål? Overvej, om nogle af deskriptorerne er mere interessante end andre i forbindelse med turistens spørgsmål. Hvordan skulle fordelingen af indkomster være, hvis middeltal og median skulle være sammen faldende og skulle ligge i typeintervallet? <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> Typetallet, middeltallet og medianen kaldes somme tider for de centrale deskriptorer, fordi de er udtryk for centrale tendenser i et observationssæt. De følgende opgaver skal give jer mulighed for
5 at undersøge, hvad vi egentlig kan sige om et observationssæt, hvis vi kender de centrale deskriptorer men ikke selve observationerne. Det er hensigtsmæssigt at bruge regneark til de fleste af opgaverne! Et observationssæt består af 10 diskrete variable. I ved, at middeltallet er 40. Hvordan kan observationssættet se ud? Fremstil et diagram, der viser en mulig fordeling. Om jeres observationssæt fra før får I nu også at vide, at typetallet er 40. Hvordan kan observationssættet se ud? Fremstil et diagram, der viser en mulig fordeling. Om jeres observationssæt fra før får I nu tillige at vide, at medianen er 40. Hvordan kan observationssættet se ud? Fremstil et diagram, der viser en mulig fordeling. Undersøg, om det kan lade sig gøre at ændre jeres observationssæt, så - typetallet er mindre end middeltallet og medianen - medianen er mindre end typetallet og middeltallet - middeltallet er mindre end typetallet og medianen. Giv eksempler på diagrammer, der viser jeres resultater. Mindsteværdien, størsteværdien, variationsbredden og kvartilsættet kaldes somme tider for spredningsdeskriptorer, fordi de er udtryk for, hvor spredt observationerne ligger. Hvad kan I sige om ligheder og forskelle mellem de centrale deskriptorer og spedningsdeskriptorerne, der er knyttet til hvert af følgende skitserede histogrammer: Om aldersfordelingen på en arbejdsplads får I at vide, at variationsbredden er 40. Typetallet er 30, middeltallet er 50 og medianen er større end 50. Hvad fortæller disse værdier om de ansattes alder? Forestil dig, at du har søgt job på en skole og har mulighed for at få oplyst én deskriptor vedrørende dine kommende kollegers alder. Hvilken deskriptor vil du vælge at få oplyst? Hvad hvis du kunne vælge to deskriptorer? Tre? Fire?
6 Refleksion I Fælles Mål 2009 står der i trinmålene om statistik og sandsynlighed efter 6. klassetrin: Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til at læse, beskrive og tolke data og informationer i tabeller og diagrammer. Overvej, hvilke observationssæt børn på 9-12 år kunne arbejde med. Hvad kunne være interessant for dem? Hvad kunne være relevant? Hvilken type data og informationer er det hensigtsmæssigt at begynde med? I læseplanen fra Fælles Mål 2009 står der om statistik og sandsynlighed efter 6. klassetrin: I forbindelse med beskrivelsen af data indgår dialog, som kan foregå i hverdagssprog. Det centrale er, at eleverne bliver fortrolige med at uddrage oplysninger fra datamaterialer. For eleverne på mellemtrinnet er det således ikke fastlagt, at de nødvendigvis skal arbejde systematisk med de statistiske deskriptorer, som du selv har arbejdet med i dette arbejdskort arbejdet kan foregå i hverdagssprog. På den anden side fremgår det af den seneste officielle formelsamling til grundskolen (2010), at der kan spørges til netop de nævnte deskriptorer i forbindelse med folkeskolens afgangsprøve. Overvej, hvilken rolle de statistiske deskriptorer skal have i din matematikundervisning på mellemtrinnet.
7 S2 Sammenligninger, forudsigelser og mulige sammenhænge Det er ofte i forbindelse med sammenligninger mellem forskellige observationssæt, forudsigelser på basis af en række observationer og undersøgelser af mulige sammenhænge mellem variable, at statistikken for alvor bliver interessant. Det er også i disse forbindelser, der er mulighed for at begå alvorlige fejl og mulighed for at møde bevidst eller ubevidst misbrug af statistik. Det er derfor i disse sammenhænge den almindelige borger, som ikke beskæftiger sig professionelt med matematik, har behov for kompetencer, der sætter ham i stand til at forholde sig vågent og kritisk til de konklusioner, der drages på baggrund af statistiske data. Hvis man er bilinteresseret kan det fx være interessant, at statistik kan bruges til at sammenligne forskellige typer bildæk evt. baseret på målinger af dækkenes mønsterdybde efter en periode med testkørsler. Hvordan går det med antallet af bilulykker fra år til år? Er antallet stigende eller faldende? Er der tale om et lineært fald eller? Hvordan går det med antallet af ulykker i fremtiden, hvis tendensen fortsætter? Statistik kan også betragtes som et redskab til at forudsige, hvad fremtiden vil bringe. Endelig kan det fx undersøges, om der er sammenhæng mellem en bils alder og risikoen for, at den bliver involveret i en ulykke. Igen spiller statistik en rolle. Der findes en række avancerede metoder, som statistikere benytter sig af, når de skal foretage analyser som dem, der er skitseret her. Men der findes også metoder, som er så enkle, at folkeskolens elever kan få et indblik i, hvordan statistik kan blive et redskab til at besvare spørgsmål om fænomener, der involverer tilfældighed. Det er nogle af disse metoder, I skal arbejde med i dette arbejdskort. Hensigten med arbejdskortet er, at I bliver i stand til at bruge boksplot til sammenligninger mellem observationssæt bliver i stand til at bruge et sammenknytningsdiagram (scatterplot) til undersøgelser af sammenhænge mellem variable bliver i stand til at fremstille regressionslinjer og på den baggrund forudsige en udvikling får erfaringer med at forholde jer kritisk til brugen af statistik får idéer til folkeskolens undervisning i statistik. Sammenligninger I det daglige foretager de fleste mennesker mere eller mindre bevidst en hel række sammenligninger af typen Er A større end B?. Er prisen på oksekød fx større hos slagteren end i supermarkedet? Er min bils fart større end den forankørende bils fart? Er jeg højere end den døråbning, jeg skal igennem? Vi klarer for regel den type sammenligninger uden problemer ved at vurdere visuelt eller ved at sammenligne tal. Den følgende tabel over antal vundne guldmedaljer ved OL i Beijing 2008, lægger også op til sådanne absolutte sammenligninger: Placering Land Antal guldmedaljer 1 Kina 51 2 USA 36 3 Rusland 23 4 Storbritannien 19
8 Hvilken opfattelse af landenes placering i forbindelse med guldmedalje-høst ved OL får I, hvis vi tilføjer landenes indbyggertal? Placering Land Antal guldmedaljer Antal indbyggere (mill.) 1 Kina 51 1341 2 USA 36 307 3 Rusland 23 137 4 Storbritannien 19 61 Ved at sammenligne relativt får man et andet måske ofte mere retfærdigt indtryk af forskelle mellem observationer. Men i forbindelse med sammenligninger mellem fænomener, der vedrører tilfældighed, er situationen endnu mere kompleks. I de fleste matematiske fagområder er en generalisering noget, der er sandt for alle tilfælde. Det er fx altid sandt, at summen af to ulige tal er et lige tal. Det, der adskiller statistik og sandsynlighed fra de øvrige fagområder, er tilstedeværelsen af usikkerhed. Statistiske variable, som fx kvinders højde og mænds højde, kan variere på en sådan måde, at vi ikke lige kan forudsige, hvordan det går, hvis vi udvælger og sammenligner to tilfældige af slagsen. Selv om mænd i gennemsnit er højere end kvinder, kan det godt vise sig, at den udvalgte kvinde er højere end den udvalgte mand. Det er altså ikke altid sandt, at mænd er højere kvinder. Spørgsmålet bliver så, i hvilken forstand vi kan tale generelt om forskellen på fx en gruppe kvinders og en gruppe mænds højde? Her er to (opdigtede) observationssæt vedrørende kvinders og mænds højde på en arbejdsplads (regnearket findes på systemets hjemmeside ( Højder, M-K )): Opstil en hyppigheds- og frekvenstabel for hvert af de to observationssæt. Sammenlign de to tabeller. Hvad fortæller de om kvindernes og mændenes højde? Beskriv hvert observationssæt med deskriptorer. Sammenlign deskriptorerne. Hvad fortæller de om kvindernes og mændenes højde?
9 Fremstil et boksplot for hvert af de to observationssæt. Sammenlign de to boksplot. Hvad fortæller de om kvindernes og mændenes højde? Diskuter anvendelsen af boksplot i forhold til deskriptorerne. Hvilken betydning har den visuelle repræsentation for sammenligningen mellem observationssættene? I hvilken forstand kan vi tale generelt om forskellen på mænds højde og kvinders højde? I grundskolesammenhæng kan der arbejdes uformelt med sammenligninger mellem observationssæt fra sidst på mellemtrinnet, som det er vist i kapitlet. Mere systematiske sammenligninger hører til på de ældste klassetrin. Det følgende klip er fra Undervisningsministeriets officielle formelsamling til Sammenligninger mellem observationssæt grundskolen: af forskellig størrelse Til sammenligning af observationssæt af samme art men af forskellig størrelse bruges frekvenser og summerede frekvenser. Man kan desuden sammenligne mindsteværdi, kvartilsæt, størsteværdi Sammenligninger mv. mellem observationssæt af forskellig størrelse Mange af disse oplysninger kan samles i et diagram som dette: Til sammenligning af observationssæt af samme art men af forskellig størrelse bruges frekvenser og summerede frekvenser. Man kan desuden sammenligne mindsteværdi, kvartilsæt, størsteværdi mv. Mange af disse oplysninger kan samles i et diagram som dette: Mindsteværdi Median Størsteværdi Nedre kvartil Øvre kvartil Diagrammet kaldes et boksplot Mindsteværdi Median Størsteværdi En sammenligning af observationssæt kræver kommentarer til de indsamlede data. Disse kommentarer skal bygge på det indsamlede materiale fx de statistiske deskriptorer, der beskriver Nedre kvartil Øvre kvartil observationssættene. Diagrammet kaldes et boksplot En sammenligning af observationssæt kræver kommentarer til de indsamlede data. Disse kommentarer skal bygge på det indsamlede materiale fx de statistiske deskriptorer, der beskriver observationssættene. Formelsamling Folkeskolens afsluttende prøver i matematik 70 Formelsamling Folkeskolens afsluttende prøver i matematik 70
10 Eksempel med mulige kommentarer: 9.A med 15 elever og 9.B med 21 elever vil sammenligne deres resultater i højdespring. Ordnede resultater i 9. A (angivet i cm): 100, 100, 105, 115, 120, 125, 130, 130, 130, 135, 135, 135, 135, 155, 170 Mindsteværdi: 100 Størsteværdi: 170 Variationsbredde: 70 1 2 Kvartilsæt: (117, 130, 135) Ordnede resultater i 9. B (angivet i cm): 110, 115, 115, 115, 115, 115, 115, 115, 120, 120, 120, 120, 120, 120, 125, 125, 125, 125, 125, 125, 130 Mindsteværdi: 110 Størsteværdi: 130 Variationsbredde: 20 Kvartilsæt: (115, 120, 125) Sammenligning. Det er muligt at sammenligne de to observationssæt ved at tegne disse diagrammer: 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150 155 160 165 170 9.A 9.B Boksplot for de to klassers resultater i højdespring Af de to diagrammer kan man bl.a. se, at halvdelen af eleverne i 9.A har sprunget 130 cm eller mere i højdespring. Det tilsvarende resultat i 9.B er 120 cm. Både det største og det mindste resultat findes i 9.A. Der er således større variationsbredde i resultaterne fra 9.A end i resultaterne fra 9.B. Man kan også se, at afstanden mellem første og tredje kvartil er mindst i 9.B. Det kunne tyde på, at eleverne i 9.B er mere ensartede end eleverne i 9.A med hensyn til højdespring. Da medianen i 9.A (130 cm) er lig med størsteværdien i 9.B, kan man se, at halvdelen af eleverne i 9.A kan springe højere end alle eleverne i 9.B. Statistikken kan ikke forklare, hvorfor det er tilfældet. Formelsamling Folkeskolens afsluttende prøver i matematik 72 Læs klippet fra formelsamlingen grundigt igennem. Overvej, hvilke konkrete observationssæt, det kunne være interessant og relevant for en 9. klasse at sammenligne. Forudsigelser I Danmark indsamles hvert år målinger af højden på samtlige værnepligtige, der er på session. På baggrund af disse målinger kan der siges noget om, hvordan Danmarks befolknings højde ændrer sig med tiden.
11 Overvej, hvilke muligheder og begrænsninger der kan ligge i at vurdere udviklingen af befolkningens højde på basis af målingerne fra sessionerne. De værnepligtiges gennemsnitshøjde gennem tiderne fremgår af følgende tabel (selve regnearket findes på systemets hjemmeside ( Højder, session )): Et diagram, hvor man sætter den ene variabel (her årstal) ud ad x-aksen, den anden variabel (gennemsnitshøjde) op ad y-aksen og derefter indplotter punkterne (1920, 169.37), (1930, 170.16) osv. kaldes et punktdiagram, et sammen knytningsdiagram eller et scatterplot. Fremstil på baggrund af tabellen et scatterplot, og beskriv udviklingen i de værnepligtiges gennemsnitshøjde. Tilføj en regressionslinje til scatterplottet (brug evt. regneark), og forudsig på baggrund af regressionslinjen de værnepligtiges gennemsnitshøjde i 2040. Kilde: www.forsvaretsuddannelser.dk Som det fremgår af Inge Henningens og Tine Wedeges artikel i kapitlet, er det langt fra uproblematisk at forudsige udviklinger på baggrund af statistik selv om det ofte kan fremstå uproblematisk, når tal kommer på bordet. Hvilken betydning ville det have haft for jeres forudsigelse af værnepligtiges gennemsnitshøjde i 2040, hvis I udelukkende havde baseret jeres forudsigelse på tallene fra 1990-2008? Diskuter, hvilke usikkerheder der generelt kan være i jeres forudsigelse. I kapitlet side 39-41, er givet et eksempel på, hvordan elever fra 5. klasse kan arbejde med forudsigelser på baggrund af observationssæt. Det følgende klip er fra Kolorit i 8. klasse. Det viser bl.a. hvordan man igennem opgaveformuleringer kan have til hensigt, at eleverne på de ældste klassetrin i højere grad end på mellemtrinnet forholder sig kritisk til forudsigelser på baggrund af data.
12 MundTLIg En FORudSIgELSE Vindertider i 100 m for kvinder ved OL År Tid i sek. År Tid i sek. 1924-1972 11,1 1928 12,2 1976 11,1 1932 11,9 1980 11,1 1936 11,6 1984 11,0 1948 11,9 1988 10,6 1952 11,6 1992 10,8 1956 11,6 1996 10,9 1960 11,2 2000 10,7 1964 11,5 2004 10,9 1968 11,1 2008 10,78 Vindertider i 100 m for mænd ved OL År Tid i sek. År Tid i sek. 1924 10,6 1972 10,14 1928 10,8 1976 10,06 1932 10,3 1980 10,25 1936 10,3 1984 9,99 1948 10,3 1988 9,92 1952 10,4 1992 9,96 1956 10,5 1996 9,84 1960 10,2 2000 9,87 1964 10,0 2004 9,85 1968 9,9 2008 9,69 Statistik bruges bl.a. til forsøg på at forudsige, hvad fremtiden vil bringe. I kan fx forsøge at forudsige, hvordan vindertiderne i 100 meter løb ved de olympiske lege vil udvikle sig i de kommende år. Øverst kan I se vindertiderne for kvinder og mænd fra 1924 til 2008. I 1924 var konkurrencerne kun for mænd. 1 Bestem variationsbredden i tiderne for a kvinder. b mænd. 2 Hvad fortæller variationsbredden om vindertiderne hos a kvinder? b mænd? 3 Beskriv med jeres egne ord, hvordan vindertiderne har udviklet sig for a kvinder. b mænd. 118 HVAD SIGER STATISTIKKEN? Kolorit 8 grundbog.indb 118 01/07/09 08.15 Kolorit. Matematik for ottende klasse Grundbog, Gyldendal, 2009
13 Punktdiagram med vindertider for begge køn Tider i sekunder 13 12 11 10 9 8 7 6 1920 1940 1960 År 1980 2000 2020 Kvinder Mænd Punktdiagram med tendenslinjer for begge køn Tider i sekunder 13 12 11 10 9 8 7 6 1920 1970 2020 2070 2120 2170 År Kvinder Mænd I punktdiagrammet øverst til venstre kan I se, hvordan vindertiderne for kvinder og mænd har udviklet sig siden 1924. 4 Er det rimeligt at sige, at tiderne har udviklet sig lineært? Hvorfor? Hvorfor ikke? Man kan prøve at forudsige, hvilke vindertider der vil komme i fremtidens OL. Hvis man tror på, at vindertiderne udvikler sig lineært, kan man tegne de rette linjer, der passer bedst til punkterne. Sådanne rette linjer kaldes tendenslinjer. Punktdiagrammet øverst til højre viser tendenslinjer for kvindernes og mændenes vindertider. Linjerne er tegnet ved hjælp af et regneark. 5 Forklar, hvad tendenslinjerne fortæller om fremtidens vindertider i 100 meter løb for kvinder og mænd. 6 Tror I på, at udviklingen vil gå som tendenslinjerne viser? Hvorfor? Hvorfor ikke? 7 Tegn selv et punktdiagram for kvinders og mænds vindertider i 100 meter løb ved OL. I jeres diagram skal I kun bruge tiderne fra 1972-2008. Brug evt. et regneark. 8 Tegn de to rette tendenslinjer, der passer til jeres punktdiagram. Brug evt. et regneark. 9 Hvad fortæller jeres tendenslinjer om fremtidens vindertider i 100 meter løb for kvinder og mænd? 10 Hvorfor kan der være forskel på det, jeres egne tendenslinjer viser, og det tendenslinjerne øverst viser? HVAD SIGER STATISTIKKEN? 119 Kolorit 8 grundbog.indb 119 01/07/09 08.15 Kolorit. Matematik for ottende klasse Grundbog, Gyldendal, 2009
14 Arbejd opgaverne igennem som om, I var elever i 8. klasse. Diskuter, hvilke muligheder eleverne får for at forholde sig kritisk til brugen af statistik. Overvej, hvilke andre observationssæt det kunne være interessant og relevant for elever på de ældste klassetrin at bruge til forudsigelser. Sammenhæng? Statistik anvendes ofte i forskning til at undersøge mulige sammenhænge mellem forskellige variable. Viden om, hvordan variable spiller sammen kan give os oplysninger, som har betydning for den måde, vi lever vores liv. Er der fx sammenhæng mellem mængden af CO 2 i atmosfæren og verdens temperaturer? Er der sammenhæng mellem indtagelse af bestemte fødevarer og bestemte kræftsygdomme? Er der sammenhæng mellem indtagelse af rødvin og menneskers levealder? Giv andre eksempler på (mulige) sammenhænge, som I kender til eller som det kunne være relevant at belyse. I grundskolen kan det være hensigtsmæssigt at indlede arbejdet med undersøgelser af mulige sammenhænge mellem variable, som findes i børnenes hverdagsliv som det fx er vist i kapitlet side 36-37. Eksemplet handler om mulige sammenhænge mellem forskellige mål på kroppen. I lærebogens oplæg er tallene fra en fiktiv 5. klasse oplyst. Det kan være rart for en lærer at have sådanne tal at arbejde med, men det vil ofte opfattes som endnu mere interessant og relevant for en 5. klasse, hvis de arbejder med deres egne data. Gennemfør en undersøgelse af mulige sammenhænge mellem forskellige mål, som I selv skaffer. Er der fx sammenhæng mellem benlængde og skridtlængde? Mellem armlængde og højde? Er det rigtigt, at længden af et menneskes underarm svarer til længden af foden? I skal indsamle data, fremstille et scatterplot og analysere den mulige sammenhæng. Hvis der er tale om en sammenhæng, hvordan kan I så beskrive den? Er sammenhængen fx lineær eller ikke-lineær? For et firma kan det være relevant i forbindelse med reklamekampagner at undersøge eventuelle sammenhænge mellem kundernes alder og deres forbrug. Det følgende klip fra KonteXt, Matematik 7, handler om en undersøgelse af sammenhængen mellem alder og forbrug i Rikardos Tivoli.
15 KonteXt, Matematik 7 Kernebog, L&R Uddannelse, 2004 Arbejd opgaverne igennem som om, I var elever i 7. klasse. Diskuter, hvordan eleverne kunne arbejde videre efter disse opgaver, hvis målet er, at de får endnu mere viden om undersøgelser af mulige sammenhænge mellem variable. Overvej, hvilke andre observationssæt det kunne være interessant og relevant for elever på de ældste klassetrin at undersøge sammenhænge imellem. Refleksion Overvej, hvilke muligheder fagområdet statistik har for at spille sammen med elevernes udvikling af kompetencer og omvendt: Er der kompetencer, som har særlige muligheder for at komme i spil, når eleverne arbejder med statistik? S Statistik S_Statistik_CS5.indd 15 09/07/13 12.02
16 S3 Statistik i medier Igennem tv, aviser og internettet formidles resultater af mange forskellige statistiske undersøgelser, og det er igennem disse medier, at de fleste mennesker oftest møder statistikken. Det er væsentlige emner, der behandles ved hjælp af statistik. Det kan dreje sig om kriminalitetens udvikling, om unges holdninger, om en ny type medicin, om sammenligninger mellem forskellige landes uddannelsessystemer, om vagtlægens effektivitet og meget mere. Mange politikere argumenterer for deres holdninger ved hjælp af statistik. Hvem har ikke hørt en vending som: Tallene viser, at der er stort behov for, eller Ifølge statistikken er det nødvendig at påbegynde en indsats for. Men det er langt fra altid, at det, der kan konkluderes på baggrund af statistik, er lige så utvetydigt, som det kan lyde fra politikeres side. Og det er heller ikke altid, at mediernes konklusioner om statistiske undersøgelser er objektivt rimelige. Der er derfor god grund til, at folkeskolen forbereder eleverne på at kunne forstå og forholde sig kritisk til statistikken, som den fremtræder i medier. I slutmålene fra Fælles Mål 2009 står der således under statistik og sandsynlighed: Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til at læse, forstå og vurdere anvendelsen af statistik og sandsynlighed i forskellige medier. Dette arbejdskort handler om statistik i medier. Hensigten med arbejdskortet er, at I får erfaringer med at læse, forstå og vurdere anvendelsen af statistik i forskellige medier får idéer til undervisningen i statistik. Hvilke statistiske oplysninger præsenteres i en tilfældig avis på en tilfældig dag? Hvordan skal statistikken læses og forstås og hvordan skal vi forholde os til oplysningerne? De følgende opgaver er baseret på statistik, som indgår i 1. sektion af Politiken fra 7. november, 2009. Hensigten med opgaverne er bl.a. at antyde, hvordan et statistisk materiale kan invitere til matematiske undersøgelser, til refleksion og diskussion til det Ole Skovsmose har kaldt et undersøgelses landskab (omtalt i arbejdskort F1, i kapitlet Når regning med tal generaliseres. På avisens side 4 findes dette diagram, som beskriver antallet af dræbte i trafikken i tiden 1. januar til 6. november 2009:
17 Forklar for hinanden, hvordan diagrammet skal læses og forstås. Prøv på baggrund af diagrammet at lave en prognose for antallet af trafikdræbte i 2009. Beskriv den usikkerhed, der vil være i en sådan diagnose. Find de faktiske tal for 2009 på internettet og sammenlign med jeres prognose. Diagrammet lægger op til en sammenligning af trafikdræbte i 2009 og i 2008. Sammenlign tallene fra 2008 og 2009. Ser det ud til, at antallet af trafikdræbte er stigende eller faldende? I 2006 var antallet af trafikdræbte 306 og i 2007 var antallet af trafikdræbte 406. Overvej, hvad man kan konkludere om trafiksikkerheden på baggrund af tallene fra 2007-2009. Antallet af trafikdræbte længere tilbage i tiden fremgår af følgende tabel (kilde: Danmarks Statistik). Regnearket ( Trafikdræbte ) findes på systemets hjemmeside. Fremstil en kurve, der viser udviklingen i antal trafikdræbte i Danmark fra 1970 til i dag (de seneste tal kan findes på Danmarks Statistiks hjemmeside). Overvej, hvad man kan konkludere om trafiksikkerheden på baggrund af kurven. <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> Et par sider længere henne i avisen på side 6 findes en artikel, der handler om det stigende antal ufaglærte medarbejdere i ældreplejen. Overskriften er To dages oplæring og ud at passe ældre. I forbindelse med artiklen findes dette diagram. Af diagrammet fremgår det, at kilden er Det Fælleskommunale Løndatakontor, og at tallene baserer sig på beregninger fra januar til august for hvert år, da de senest opgjorte tal er fra august 2009.
18 På internettet kan man finde det data materiale, som diagrammet er lavet ud fra. Her er tallene tastet ind i et regneark, som også findes på systemets hjemmeside. Sammenlign tallene fra ovenstående datamateriale med diagrammet fra Politiken. Beskriv det indtryk, du får ved at se på diagrammet fra Politiken. Hvilken forskel ville det gøre, hvis diagrammets akser skar hinanden i (0, 0)? Fremstil et nyt søjlediagram på baggrund af de samme tal, og eksperimenter med layoutet. Hvilken udformning ville du give diagrammet, hvis du ville give indtryk af en meget lille stigning i antallet af ikke-uddannede personer blandt social- og sundhedspersonale? Journalisten kunne også have valgt at inddrage andre oplysninger fra Det Fælleskommunale Løndata kontor i sin artikel. Her ses oplysninger om det samlede antal social- og sundheds personale (uddannet og ikke-uddannet). Desuden findes oplysninger om det antal ugentlige arbejdstimer, som personalet har i gennemsnit: Undersøg tallene. Kan man argumentere for, at sammensætningen af ikke-uddannet personale og uddannet personale er stabilt? <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> S Statistik S_Statistik_CS5.indd 18 09/07/13 12.02
19 På samme side i avisen findes også Dagens måling København, som præsenterer en meningsmåling op til kommunalvalget den 17. november, 2009. Det fremgår ikke af oplysningerne, hvordan undersøgelsen er blevet foretaget. Hvem er blevet spurgt? Hvor mange er blevet spurgt? Hvilket spørgsmål er blevet stillet? Diskuter, hvilke former for usikkerheder der kan være i en meningsmåling som denne. Af målingen, der er foretaget den 26. oktober, fremgår det, at Socialdemokratiet ligger til at få 30 % af stemmerne. Ved det seneste valg i 2005 fik partiet 38 % af stemmerne. Men hvor stor er usikkerheden i undersøgelsen? Kan det tænkes, at Socialdemokratiet rent faktisk vil få 38 % af stemmerne eller mere selv om prognosen siger noget andet? Vi kan prøve at simulere en meningsmåling ved hjælp af et regneark. Vi antager, at sandsynligheden for at en tilfældig adspurgt vil stemme på Socialdemokratiet er 38 %. Ud af 100 adspurgte forventer vi derfor, at 38 vil stemme på partiet, men vi ved godt, at det ikke nødvendigvis går sådan der er usikkerhed involveret. Ved hjælp af funktionen SLUMP() simulerer vi 100 tilfældige svar. Denne funktion genererer et tilfældigt tal mellem 0 og 1. Sandsynligheden for, at det generede tal er mindre end eller lig med 0,38 er derfor 38 %. Med funktionen, som er skrevet i celle P3, tæller vi nu det antal tal, som er mindre end eller lig med 0,38. På den måde undersøger vi, hvad en meningsmåling baseret på 100 svar vil kunne vise om tilslutningen til et bestemt parti, når vi ved, at hvis der blev afgivet stemmer nok, ville 38 % af dem gå til partiet. I eksemplet herover viser meningsmålingen, at 32 % af de 100 stemmer går til partiet. Hent regnearket på systemets hjemmeside eller fremstil det selv. Forklar for hinanden, hvordan det virker. Undersøg, ved at gentage simuleringen 30 gange, om meningsmålingen vil kunne vise højst 30 % til partiet (som meningsmålingen i avisen viste), selv om det reelle tal er 38 %. Indenfor hvilket interval befinder meningsmålingens stemmeprocent sig i de 30 simuleringer? S Statistik S_Statistik_CS5.indd 19 09/07/13 12.02
20 Udvid regnearket, og undersøg intervallet, hvis simuleringen baserer sig på 200 tal. 300 tal. Hvordan vil I vurdere usikkerheden, hvis simuleringen baserer sig på 1000 tal? <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> Vælg selv en tilfældig avis fra en tilfældig dag. Gennemgå de statistiske informationer, som findes i avisen. Hvordan skal informationerne læses? Er der overensstemmelse mellem tal og diagrammer? Kunne tallene have været præsenteret på en anden måde? Hvilke undersøgelser kan statistikken give anledning til? Hvilke kritiske spørgsmål kan statistikken give anledning til? Overvej, hvordan elever på forskellige klassetrin kan arbejde med at læse, forstå og vurdere statistik i forskellige medier. Refleksion I formålet for faget matematik står der i stk. 3: Undervisningen skal medvirke til, at eleverne oplever og erkender matematikkens rolle i en kulturel og samfundsmæssig sammenhæng, og at eleverne kan forholde sig vurderende til matematikkens anvendelse med henblik på at tage ansvar og øve indflydelse i et demokratisk fællesskab. Overvej, hvordan matematikundervisningen i forbindelse med fagområdet statistik kan komme til at støtte denne del af formålet.
21 S4 En statistisk undersøgelse Selv om statistikken i lærebøger og medier giver muligheder for at arbejde med spørgsmål, som mange elever finder meningsfulde, kan det tænkes, at flere elever vil blive motiverede af at arbejde med deres egne statistiske undersøgelser. Ud over det motiverende aspekt er der flere andre gode grunde til at lade eleverne i folkeskolen gennemføre deres egne statistiske undersøgelser fra grunden. En af grundene er, at eleverne med stor sandsynlighed vil støde på relevante faglige udfordringer i deres projekt, som de ikke vil kunne møde igennem fx lærebøgers opgaver. Hvilke typer spørgsmål kan der fx indgå i en spørgeskemaundersøgelse, hvis resultaterne skal kunne behandles med statistiske metoder efterfølgende? En anden af grundene er, at eleverne igennem deres statistiske undersøgelse ikke kan undgå at komme til at udfordre centrale matematiske kompetencer, især modelleringskompetencen. Hvis en del af arbejdet også går ud på, at eleverne præsenterer deres resultater for hinanden eller skriver en artikel om deres undersøgelse vil der også blive mulighed for at arbejde med deres kommunikationskompetence. En tredje grund er, at eleverne igennem arbejdet med deres statistiske undersøgelse får mulighed for at arbejde projektorienteret i matematiktimerne dvs. med udgangspunkt i en problemstilling. Det er altså problemstillingen, der er styrende for, hvilke metoder eleverne skal bruge i arbejdet. I matematiktimerne kan det ellers ofte omvendt være elevernes udvikling af metoder, der er bestemmende for, hvilke problemer der arbejdes med. Det er fastslået med i Fælles Mål 2009, at eleverne i folkeskolen skal arbejde med statistiske undersøgelser. I trinmålene efter 6. klassetrin står der således, at eleverne skal gennemføre enkle statistiske undersøgelser, og i læseplanen for 4.-6. klassetrin står der: Eleverne arbejder fortsat med indsamling af data. En del af dataindsamlingen kan stamme fra elevernes egne statistiske undersøgelser, der fx kan være et led i en projektorienteret og tværfaglig undervisning. En matematikiærer, der skal støtte eleverne i arbejdet med statistiske undersøgelser, må naturligvis selv have erfaringer med at gennemføre statistiske undersøgelser. Hensigten med dette arbejdskort er, at I får erfaringer med at gennemføre en statistisk undersøgelse. En statistisk undersøgelse kan opdeles i fire faser: 1) problemstilling 2) dataindsamling 3) analyse 4) tolkning.
22 I dette arbejdskort skal I gennemføre en statistisk undersøgelse ved at følge de fire faser. Problemstillingen skal vedrøre noget fra virkeligheden, og analysen skal omfatte metoder, som elever i folkeskolen også kunne bruge. I forbindelse med arbejdet kan I følge rådene herunder: Vedrørende 1): Betragt problemstillingen som et spørgsmål, der - faktisk er et spørgsmål (ikke et emne) - har personlig interesse - er muligt at besvare ved hjælp af data, som I har mulighed for at skaffe og analysere med metoder, som I mestrer. Hent gerne idéer inden for andre fagområder eksempler: Biologi: Musik: Idræt: Hvem sover mest mænd eller kvinder? Er det rigtigt, at mænds rumlige sans er bedre end kvinders? Er der sammenhæng mellem alder og musikforbrug? Ændrer et barns stemmeinterval sig med årene? Er der sammenhæng mellem kondital og sprintevne? Hvilke egenskaber gør en person god til at kaste? Vedrørende 2): Afgør, om I selv skal stå for dataindsamlingen, eller om I skal bruge data, som andre har samlet for jer (fx Danmarks Statistik). Hvis I selv står for dataindsamling, skal I så udføre et eksperiment, en observation eller evt. fremstille et spørgeskema? I forbindelse med en spørgeskemaundersøgelse kan det ofte betale sig, at tjekke med en lille pilotundersøgelse, om spørgsmålene fungerer efter hensigten, inden de udsendes. Overvej især, om spørgsmålene kan forstås entydigt, og om svarene kan behandles statistisk. I forbindelse med dataindsamling fra sekundære kilder er internettet en oplagt mulighed. Vedrørende 3): Husk, at der hører forskellige analysemetoder til forskellige typer data. Hvilken type data har I indsamlet? Er de variable kategoriske, diskrete eller kontinuerte? Husk, at analysen er til for at besvare jeres problemstilling. Skal I beskrive, sammenligne, undersøge sammenhænge, forudsige eller? Overvej, hvilke metoder og diagrammer I skal anvende. Vedrørende 4): Husk at overveje hvem eller hvad, jeres resultater gælder for. Hvor stor usikkerhed er der i jeres resultater?
23 Hvilke kritiske spørgsmål kan man stille til jeres dataindsamling og jeres analyse? Hvilke yderligere undersøgelser giver jeres undersøgelse anledning til? Præsenter og diskuter jeres resultater med hinanden. Refleksion Overvej, hvad I har lært ved at arbejde med statistik igennem egne undersøgelser. Hvad har I lært inden for det matematiske emne statistik? Hvad har I lært om arbejdsformen? Hvilke kompetencer har I styrket? Overvej, hvordan elever på forskellige klassetrin kan arbejde med egne statistiske undersøgelser. Hvilken rolle skal denne arbejdsform spille i din matematikundervisning?