Geodæsi og Geostatistik

1 Noter til Geofysik 5 Geodæsi og Geostatistik C.C.Tscherning Niels Bohr Institutet Forår 2009.

Indhold: 2 1. Indledning 1.1. Hvad er geodæsi? 2. Matematiske Hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder 2.2 Enheder 2.3 Elementære formler i planen eller på en kugle 2.4 Kortprojektioner og kort. 3. Geodætisk Statistik og mindste kvadraters metode 3.1 Statistiske Grundbegreber 3.2 Linearisering 3.3 Mindste kvadraters metode 3.4 Løsning af normalligningerne 4. Materiale fra Allan A.Nielsen, DTU: Allan Aasbjerg Nielsen: Least Squares Adjustment: Linear and Nonlinear Weighted Regression Analysis. Baggrundsmateriale til første forelæsning i geostatistik Allan Aasbjerg Nielsen: Geostatistik og analyse af spatielle data. Baggrundsmateriale til anden forelæsning i geostatistik Allan Aasbjerg Nielsen: Orthogonal Transformations. Baggrundsmateriale til tredje forelæsning i geostatistik

3 Indledning. Disse noter er udarbejdet med henblik på undervisningen i 2 års-kurset kurset i Geodæsi og Geostatistik på København Universitet. Noterne er dels et supplement til og dels en uddybning af lærebogen af W.Torge: Geodesy, 3.ed., 2001, og dels en helt elementær introduktion til emnet kortprojektioner. Endvidere er der udarbejdet Power-Point slides til brug for fremlæggelsen i forelæsningslokalet. Geostatistik er en vigtig del af det metodiske grundlag for alle geofysiske dicipliner. Her har geodæsi en række gode eksempler på statistiske metoder. C.F.Gauss udvikling af mindste-kvadraters metode i 1800-tallet til brug for geodæsi er her et godt eksempel. Undervisningen suppleres af øvelser, der dels illustrerer teksten i Lærebogen, og dels giver de studerende et basalt kendskab til geodætiske målemetoder. 1.1. Hvad er geodæsi? Geodæsi er det fag eller den videnskab, der har til opgave at bestemme Jordens form. Det vil sige opmåling og afbildning af Jordens overflade, og bestemmelse af Jordens tyngdefelt, bunden af vand og is-dækkede områder, samt de tidsmæssige ændringer. Det forhold, at bestemmelsen af tyngdefeltet hører med til geodæsi, har (en af) sin(e) årsager i, at havoverfladen, der jo udgør det mest af Jordens overflade, er en flade, der under visse forudsætninger falder sammen med en flade hvor tyngdepotentialet er konstant. Denne flade kaldes geoiden. Geodæsi søger også at løse de samme opgaver for Månen og planeterne. Hertil kommer de fagområde vi i dag kalder positionsbestemmelse. Det er stedsbestemmelse af objekter (skibe, fly, satellitter) i forhold til Jorden. Hvis "objekterne" bevæger sig taler vi også om navigation, og for satellitters vedkommende om celest mekanik. Geodæsi har en lang række anvendelsesområder, hvor de følgende er de væsentligste: Ved enhver form for kortlægning tager man udgangspunkt i en række punkter med kendte positioner, f.eks. kendt geografisk bredde og længde. Disse punkter benyttes blandt andet til at korrigere et luftfoto for fejl forårsaget af forvrængninger i fotoet. Bestemmelsen af disse punkters koordinater i et veldefineret globalt koordinatsystem er en af geodæsiens væsentligste opgaver: At tilvejebringe grundlaget for nøjagtige landkort. Ved studiet af Jordens dynamiske ændringer, geodynamik, er et af udgangspunkterne gentagne positions- eller tyngdebestemmelser, der sammenlignes. Geodæsi har derfor geodynamik som et af sine hovedområder, fælles med en række andre geofysiske og geologiske fag. Hvis man på en uafhængig måde kan finde geoiden, så kan studiet af de tidsmæssige afvigelser fra denne flade give information om årsagerne til afvigelserne, så som havstrømme, temperaturændringer ol. Helt basalt fortæller tyngdepotentialets værdier om at vand vil løbe fra et punkt med mindre potentiale til et punkt med større. Tyngdekraften, der er lig med størrelsen af potentialets gradient, varierer. Den største variation er forbundet med Jordens fladtrykning. Når man står på Nordpolen er man tættere på Jordens tunge

4 kerne, end hvis man står på Ækvator. Men hvis man fratrækker denne bredde-afhængige variation, så fortæller tyngdeanomalien om det der er inde i eller på Jorden. Er der et bjerg, så er tyngden større, end hvis der er en dal. Og mere interessant, så vil tyngden efter fratrækning af bjerge og dale, give os information om massefordelingen i Jorden. En negativ tyngdeanomali er et tegn på lette masser - vand, gas, olie. Tyngden ændres med tiden, idet den er en sum af Jordens tiltrækning, centrifugalkraften og tiltrækningen fra Sol og Måne. Ligesom vi har tidevand, så har vi også tide variationer af tyngden. Men da Jordoverfladen ændrer sig på grund af tiltrækningen, så vil man ikke måle de tyngdeændringer, der svarer til ændringerne af Sol og Månes position. Dette kan vi benytte til at sige noget om elasticitetsforholdene i Jordens indre. Endelig kan relative positions eller tyngde ændringer give forvarsel om jordskælv eller vulkanudbrud. 1.2. Det fælles referencesystem. Et fælles referencesystem (Conventional Terrestrial Reference System, CTRS) er defineret som følger: Det er et sædvanligt tre-retvinklet, Cartesisk, koordinatsystem med nulpunkt (0,0,0) i Jordens tyngdepunkt. Akserne benævnes (X,Y,Z) eller (X 1,X 2,X 3 ), se Figur 1.1 Figur 1.1 Ellipsoidiske koordinater ( ϕ, λ) og tredimensionale retvinklede koordinater (X,Y,Z) Z-aksen går gennem tyngdepunktet, og er parallel med Jordens rotationsakse år 1900.0. X - Z planen er fastlagt astronomisk, så den falder sammen med Greenwich meridian planen.

I dette koordinatsystem er lagt en omdrejnings-ellipsoide, med Z-aksen som symmetri-akse. Dens dimensioner er givet ved den halve stor-akse, a, den halve lille-akse, b, (i Torge kaldet c!). Dimensionerne kan også angives ved hjælp af fladtrykningen f = (a - b)/a eller 1. excentricitet e 2 = (a 2 - b 2 ) / a 2. Pas på med b, der i Torge også benyttes for bredden! 5 Ellipsoiden betragtes som Jordens form i første tilnærmelse. Det er den flade, der danner grundlag for landkort, ved en afbildning (kortprojektion) fra fladen til planen (R 2 ). Ellipsoiden er valgt, så den tilnærmer middelhavniveau. I denne forbindelse må man forestille sig middelhavniveau fortsat ind under landmasserne. Helt præsist er middelhavniveau en flade hvor tyngdepotentialet er konstant, og det er denne flade, der kaldes geoiden. Indtil omkring år 1960 kendte man kun små dele af geoidefladen, se Figur 1.2, nemlig over de store kontinenter. Man fandt ved beregning frem til en ellipsoide, der lokalt passede bedst med middelhavniveau, og antog så, at Jordens tyngdepunkt var sammenfaldende med ellipsoidens centrum. Da satellitterne kom frem, fandt man ud af, at man havde taget op til 1 km fejl! til ellipsoiden har næsten samme retning som lodlinien. Afvigelserne er i middel 30 m, med numerisk maximum 110 m. Et andet forhold af betydning er, at normalen Vinklen mellem ellipsoide-normalen og Ækvatorplanet er den geodætiske eller geografiske bredde ϕ se Figur 1.3. Den fysiske lodretning, der er vinkelret på middelhavniveau, er derfor ganske tæt på ellipsoide-normalen. Rumvinklen mellem de to retninger kaldes lodafvigelsen.

Lodliniens retning kan bestemmes ved astronomiske målinger, og er således en fysisk observerbar størrelse. Dvs. vi kan ved et eksperiment i naturen bestemme en god tilnærmelse til vor position i forhold til ellipsoiden. 6 Note: Astronomisk bredde og længde observeres ved hjælp af en kikkert hvis lodrette akse er sammenfaldende med lodlinien. (Ved hjælp af libeller). Udfra kendskabet til stjerners deklination og rektascention kan man beregne vinklen mellem zenith og den celeste pol (polarafstanden = 90 o - bredden). Udfra observations tidspunktet kan man beregne den astronomiske længde. Helt simpelt kan man observere tidspunktet for hvornår en stjerne står højest på himlen. Forskellen mellem dette tidspunkt (i stjernetid) og Rektascentionen giver en vinkel, der er lig med stedets (astronomiske) længde. I "gamle" dage var udgangspunktet for stedsbestemmelse et antal punkter med kendt astronomisk længde og bredde. Man vedtog, at fastsætte at et af disse punkters bredde og længde skulle være lig med den geodætiske bredde og længde. Eller at man bestemte geodætiske længder og bredder sådan at der i området var bedst mulig overensstemmelse mellem geodætiske koordinater og astronomiske koordinater. Dette kaldes fastlæggelse af et geodætisk datum. Figur 1.6 viser de punkter i Danmark hvor astronomiske bredder og/eller længder er kendt. Fordelen ved at benytte astronomiske metoder var, at man ikke behøvede at have direkte sigte fra punkt til punkt. Mellem de astronomisk bestemte punkter kunne man så fylde ud ved hjælp af vinkelmåling (triangulation) og afstandsmåling (tri-lateration), se Figur 1.4. Højderne blev bestemt ved måling af højdedifferenser fra vandstandsmålere ved kysterne.

7 Da højdedifferenser bestemmes med instrumenter (kikkerter) opstillet med aksen sammenfaldende med lodlinien, så giver lodliniens variation fra sted til sted en fejl, der gør at måling af højdedifferenser i en lukket kurve ikke giver højdeforskellen nul fra start til slut. Vi skal senere se, at hvis man ganger differenserne med værdien af tyngden, så får man differenser af tyngdepotential, og disse differenser vil summere til 0. Måling af højder er således i virkeligheden en måling at tyngdepotentialets ændringer. Heldigvis er det også det der er brug for i praksis, hvor en højdeforskel gerne skulle udtrykke om vand vil løbe fra et sted til et andet! Hvis udgangspunktet for en stedsbestemmelse kun var et punkt, så var det nødvendigt at fastlægge en retning i rummet, for at få det ved triangulation og trilateration konstruerede net korrekt placeret på ellipsoiden. Men retninger (azimuth, se Figur 1.5) kan også fastlægges ved astronomiske målinger. Helt enkelt kunne man forestille sig at Nordstjernen sad nøjagtigt i den celeste nordpol. Ved at måle vinklen mellem de lodrette planer, der indeholder henholdsvis Nordstjernen og et punkt på jordoverfladen ville man have fastlagt retningen. (Bemærk at vinklen vil være målt i en plan vinkelret på kikkertens akse, lodretningen). Vi skal i det følgende se, hvordan vi ved hjælp af satellitter har løst det problem, at vi ikke - på grund af jordkrumningen - kan benytte triangulation eller trilateration for store afstande, f.eks. til at forbinde øer med kontinentet eller kontinenterne. Vi skal også se, at hvis vi kan bestemme tyngdepotentialet uden at nivellere, så kan vi bestemme geoiden og dermed største delen af Jordens form.

8 Fig. 1.6. Første-ordens net i Danmark. File: H:\excerc\g09\kap11.doc 2009-03-31