Teorien. solkompasset
|
|
- Arnold Lorentzen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Teorien bag solkompasset Preben M. Henriksen 31. juli 2007 Indhold 1 Indledning 2 2 Koordinatsystemer 2 3 Solens deklination 4 4 Horisontalsystemet 5 5 Solkompasset 9 6 Appendiks Diverse formler Sfærisk trigonometri Litteraturliste 13 1
2 1 Indledning Matematisk baggrundsstof til solkompas programmet (jvf. http: beregnet til 3.g A niveau. Der forudsættes ikke forhåndskendskab til sfærisk trigonometri. 2 Koordinatsystemer figur 1 Enhver position på jorden kan beskrives ved et par (θ, φ), hvor θ er længdegraden, og φ er breddegraden (regnet med fortegn) jvf. figuren ovenfor. Det indlagte koordinatsystem har Origo i jordens centrum, xy-planen er ækvatorplanen, og xz-planens skæring med jordkuglen bestemmer 0-meridianen (Greenwich). Storcirklen gennem nordpolen og stedet (P) kaldes stedets meridian. Eksempel 1 København ligger 12,6 øst for Greenwich på bredden 55,7 nord, dvs. at θ = 12,6 og φ = 55,7, mens New York ligger 74,0 vest for Greenwich på bredden 40,8 nord, altså θ = 74,0 og φ = 40,8. Vi vil nu finde de kartesiske koordinater (x,y,z) til punktet P, og vi argumenterer ud fra følgende tegning: 2
3 z P(x, y, z) O φ x θ P 1 y Vi sætter længden af OP lig med r, og vi siger så, at P har de sfæriske koordinater (r, θ, φ). Vi lader P 1 være projektionen af P i xy-planen. Længden af linjestykket OP 1 bliver dermed r cos(φ). Ved at projicere OP 1 ind på x henholdsvis y-aksen fås, at og da z = r sin(φ), har vi hermed vist, at x = r cos(θ)cos(φ) og y = r sin(θ)cos(φ), (x,y, z) = (r cos(θ)cos(φ), r sin(θ)cos(φ), r sin(φ)). (2) Det er let at indse (jvf. bemærkning 3), at fomlen gælder for alle beliggenheder af P, hvis man regner vinklerne med fortegn, dvs at θ [ 180, 180 ] og φ [ 90, 90 ], hvor fortegnet følger omløbsretningen. Bemærkning 3 Når du færdiggør beviset, kan du bruge de velkendte formler: cos(180 v) = cos(v), sin(180 v) = sin(v), cos( v) = cos(v) og sin( v) = sin(v). Øvelse 4 Prøv først at argumentere for formlen, når 90 < θ < 180 og 0 < φ < 90, og gør dernæst beviset færdigt. Koordinatsystemet i figur 1 kan let udvides til et koordinatsystem for himmelkuglen, som er en tænkt kugle med centrum i jordens centrum, og en radius som er uendelig stor. Man forestiller sig så, at alle himmellegemer projiceres ind på himmelkuglen ved at skære linjen fra jordens centrum til himmellegemets centrum med himmelkuglen. Man skifter blot betegnelser, idet breddegraden kaldes for deklinationen, og længdegraden erstattes af timevinklen som er 0t i stedets meridian, og ellers går fra -12t til 12t (vokser i negativ omløbsretning). Eksempel 5 Hvis solens timevinkel fx. er -1t, betyder det at solen står 15 øst for stedets meridian i himmelkuglens koordinatsystem, da solen står op i øst og bevæger sig 15 i timen. I kapitel 4 om horisontalsystemet ser vi på eksempler, der viser, hvordan man kan beregne timevinklen ud fra et klokkeslæt. 3
4 3 Solens deklination Da vi kun interesserer os for solen, lader vi nu S betegne solens placering på himmelkuglen. I forhold til himmelkuglen vil solen bevæge sig på en lillecirkel parallel med ækvatorplanen gennem et døgn, da solens deklination praktisk taget er konstant gennem hele døgnet. Deklinationen ændrer sig med årstiden, idet den går fra ved vintersolhverv til ved sommersolhverv. Deklinationen kan med god tilnærmelse beskrives ved en harmonisk svingning af dagens nummer og med amplituden Øvelse 6 Lad f (x) = sin(ωx + ψ) være deklinationen, hvor x er dagens nummer i året (1 = 1.januar, osv.). Da perioden er 365 dage, får vi umiddelbart at ω = 2π 365 Bestem ψ, når f (x) = ved sommersolhverv (dag nr 173). Tjek den fundne forskrift ved forårsjævndøgn (79), efterårsjævndøgn (266) og vintersolhverv (356). Bemærkning 7 Lommeregneren skal indstilles til radianer, men funktionsværdien skal opfattes som et gradtal. 4
5 4 Horisontalsystemet Da vi skal beskrive solens gang hen over himlen fra et hvilken som helst sted på jorden er vi nødt til at indføre endnu et koordinatsystem (horisontalsystemet) idet solens højde måles lokalt i forhold til det vandrette plan - horisontplanet - og solens retning, som kaldes azimuth, måles tilsvarende i forhold til syd, jvf. den næste tegning, hvor horisontplanet er tegnet gennem jordens centrum : Da resten af teorien bygger på forståelsen for ovenstående tegning, vil vi her gennemgå den grundigt. Horisontplanet er markeret med nord-syd. Læg mærke til at stedets meridian er kuglens ydre omrids (gennem P og Z), og at både timevinklen (t) og Azimuth (Az) måles derudfra. Punktet P er nordpolen, og Z er Zenithpunktet, dvs. det punkt der ligger lodret over betragteren. Stedets breddegrad (b) er derfor vinklen fra ækvatorplanet og op til Zenith. Solens deklination (d) måles ud fra ækvatorplanet, men solens højde (h) måles ud fra horisontplanet, idet højden er den vinkel som går mellem vandret og solen. Vi ser, at der bestemmes en sfærisk trekant PSZ, og denne trekant gør det muligt at udtrykke solhøjden h ved hjælp af breddegraden b, deklinationen d og timevinklen t, idet følgende sætning gælder (hvor timevinklen t omregnes og indsættes som grader): Sætning 8 sin(h) = sin(b) sin(d) + cos(b) cos(d) cos(t). Bevis Vi indlægger et koordinatsystem, således at stedets meridian ligger i yz-planet og ækvatorplanet ligger i xy-planet. 5
6 Da S har de sfæriske koordinater (r,90 t, d) bliver de kartesiske koordinater derfor S = (r cos(d) cos(90 t), r cos(d) sin(90 t), r sin(d)) jvf. formel 2. Heraf får vi så let, at S = (r cos(d) sin(t), r cos(d) cos(t), r sin(d)). Da punktet Z har de sfæriske koordinater (r, 90, b) får vi på samme måde de kartesiske koordinater: Z = (0,r cos(b), r sin(b)). Da vinklen mellem de to stedvektorer OS og OZ netop er 90 h, finder vi let skalarproduktet: OS OZ = r 2 cos(90 h) = r 2 sin(h) jvf. en velkendt sætning (se evt. appendiks (6.1.22)). Hvis vi udregner skalarproduktet ud fra vores koordinatsæt, får vi og hermed har vi vist, at OS OZ = r 2 cos(b) cos(d) cos(t) + r 2 sin(d) sin(b), sin(h) = sin(b) sin(d) + cos(b) cos(d) cos(t). Bemærkning 9 Solen er tegnet med en timevinkel 0 < t < 90, men beviset gælder umiddelbart for alle værdier af t, da det sfæriske koordinatsæt er korrekt i alle tilfælde. Eksempel 10 Vi finder solhøjden ved midsommer på 55 N bredde, når solen står højest på himlen. Deklinationen er så 23,45, og timevinklen er 0. Vi får så, at sin(h) = sin(55 ) sin(23,45 ) + cos(55 ) cos(23,45 ) cos(0 ), 6
7 og heraf fås, at h = 58,45. I følge en additionsformel for cosinus (se evt. appendiks ), får vi også, at sin(h) = cos(55 23,45 ), altså er h = 90 31,55 = 58,45. Ved hjælp af et simpelt geometrisk argument er det let at indse, at solens middagshøjde altid er givet ved formlen: h = 90 b + d i overensstemmelse med ovenstående resultat. Øvelse 11 Gør dette. Den næste sætning giver os mulighed for at bestemme azimuth: Sætning 12 sin(az) = cos(d) sin(t). cos(h) Bevis Vi drejer koordinatsystemet om x-aksen, således at horisontplanet kommer til at ligge i xy-planet. Punktet S får så de sfæriske koordinater (r,90 Az,h), men dvs. at S = (r cos(h) cos(90 Az), r cos(h) sin(90 Az), r sin(h)) = (r cos(h) sin(az), r cos(h) cos(az), r sin(h)). Men da S har samme x-koordinat som før drejningen, får vi den følgende ligning cos(h) sin(az) = cos(d) sin(t), og hermed er sætningen bevist. Bemærkning 13 Da højden indgår i formlen, skal den altså bestemmes først jvf. sætning 8. Det er også muligt at lave en formel, som gør det muligt at bestemme azimuth direkte ud fra b, d og t (formel 24 i appendiks 6.2), men da den er ret besværlig at udlede i alle detaljer, vil vi holde os til ovenstående formel. I næste eksempel indgår der en del detaljer (som fx. tidsregningen MET og solens kulminationstidspunkt), som bliver uddybet lige efter eksemplet. Eksempel 14 Vi regner et eksempel fra almanakken 1 : Find retningen til solen den 25.juni kl (MET) i Skagen. Skagens geografiske bredde er = Solens deklination den 25.juni (176) er = Vi mangler nu timevinklen, som vi skal finde ud fra lokaltiden kl Da solen kulminerer kl (jvf. almanakken), må timevinklen være -1t 50min = -1,8333 t. Den skal omregnes til grader, og da solen flytter sig 15 i timen, skal vi gange med 15: t = Vi kan nu beregne solens højde ved hjælp af sætning 8, og vi får h = (50 24 ). Vi indsætter i sætning 12, og vi får Az = ( ). Hvis man kigger mod syd, skal man altså dreje ansigtet ca. 42 mod øst, og ca. 50 opad for at kigge mod solen. 1 Skriv -og rejsekalender 1985, Københavns Universitet 7
8 Øvelse 15 I ovenstående beregninger er der ikke taget hensyn til sommertiden, så timevinklen skal korrigeres med 1 time. Bestem den korrekte retning til solen. Som vi kan se af ovenstående, skal vi kende solens kulminationstidspunkt for at finde timevinklen til et bestemt klokkeslæt. I Danmark bruger vi mellemeuropæisk tid (MET), dvs. at vi er 1 time forud for Greenwich-tiden, hvilket svarer til 15 øst for Greenwich. Da Københavns længdegrad er , vil solen først kulminere 9 min 41 s efter klokken 12. Øvelse 16 Vis dette. Ovenstående bygger på begrebet middelsoltid, hvor hvert soldøgn er nøjagtig 24 t. I virkeligheden er det lidt anderledes, da soldøgnets længde varierer med årstiden, og derfor vil kulminationstidspunktet også variere med årstiden ( ca. kl ± 16min ), jvf. følgende graf ( fra almanakken): Bemærk, at grafen kan misforstås, idet den går ud fra kl. 12 i stedet for kl Kulminationstidspunktet i København varierer altså fra ca. kl til ca. kl i MET. Grunden til at soldøgnet varierer med årstiden skyldes to faktorer: solens bane omkring jorden (i virkeligheden er det omvendt) er ikke cirkulær, men elliptisk, og for det andet at jordaksen danner en vinkel på 23,5 til solens bane. Øvelse 17 Bestem solens kulminationstidspunkt (MET) i Esbjerg den 1/10, når Esbjerg har længdegraden
9 5 Solkompasset Det er let at lave et solkompas i praksis: Tegn en cirkel med radius 4 cm eller mere på et stykke karton. Inddel cirklen efter verdenshjørnerne og stik en tegnestift igennem centrum. Læg kompasset i solen på et vandret underlag, og afsæt fx. hver halve time en prik for enden af den skygge som tegnestiften giver. Når dagen er gået optegnes skyggekurven gennem de afsatte punkter. Solkompasset kan nu bruges de næste 3-4 dage. Det skal altid holdes vandret, og det skal orienteres således, at skyggen rammer skyggekurven. Da der er to muligheder, skal du vide om du bruger det før eller efter middag. Når kompasset er orienteret rigtigt, har du styr på verdenshjørnerne. Vi kan også let konstruere solkompasset ud fra vores teori. Punkterne på skyggekurven afhænger af retningen til solen (Az) og af solens højde (h), idet skyggens længde (l) er givet ved a l = tan(h), hvor a er tegnestiftens længde. jvf. den følgende tegning: Men det betyder, at vi blot skal afsætte punktet 2 (l cos(az), l sin(az)) for enhver timevinkel t i et koordinatsystem med Origo i cirklens centrum. I praksis skal vi begrænse os til vores cirkel, men dvs. at l skal være mindre end eller lig med radius, 2 se dog bemærkning 19 9
10 og vi kan også let begrænse os til den tid, hvor solen er på himlen, idet højden ellers er negativ. I beregningerne indgår også breddegraden, og solens deklination. Da vi tidligere har udledt en formel for deklinationen, som afhænger af dagens nummer i året, kan vi hermed tegne solkurver for en hvilken som helst dag i året for en vilkårlig breddegrad. Øvelse 18 Lav og udfyld en tabel som den nedenstående og tegn solkurven op i et koordinatsystem (brug fx. datoen 1/6 (152), breddegraden 55 og en tegnestift på 20 mm): t -6t -5t -4t -3t -2t -1t 0t 1t 2t 3t 4t 5t 6t h Az l l cos(az) l sin(az) Øvelsen kan med fordel laves i et regneark. Bemærk, at solkurven bliver symmetrisk om x-aksen, således at nord er i x-aksens retning. Bemærkning 19 Solkurven bliver kun rigtig, når azimuth (i radianer) ligger i intervallet [ π/2; π/2]; ellers skal azimuth skifte fortegn og der skal trækkes π fra eller lægges π til afhængig af om azimuth er mindre end π/2 eller større end π/2. Årsagen er den enkle, at sin 1 altid giver en vinkel i intervallet [ π/2; π/2], mens Az tilhører intervallet [ π; π]. Det kræver lidt snilde at få dette til at fungere i et regneark. Endelig kan du også downloade et computerprogram, der kan lave solkompasset for dig, se 10
11 6 Appendiks 6.1 Diverse formler I noterne anvendes bl.a. følgende elementære formler 1. For alle v R : cos(90 v) = sin(v) (20) sin(90 v) = cos(v) (21) 2. Hvis v er vinklen mellem to vektorer a og b, gælder a b = a b cos(v) (22) 3. For alle s, t R gælder cos(s t) = cos(s) cos(t) + sin(s) sin(t) (23) 6.2 Sfærisk trigonometri I dette afsnit viser vi, hvorledes vores resultater kan udledes ved hjælp af formler fra den sfæriske trigonometri jvf. litteraturlisten. Afsnittet kræver derfor forhåndskendskab til dette emne. Formlen i sætning 12 kan også bevises direkte ud fra en af sinusrelationerne i en sfærisk trekant: sin(a) sin(c) = sin(c) sin(a) jvf. litteraturlisten [2], formel F2 side 49. Bevis Ved et passende valg af symboler i den sfæriske trekant PS Z (A = P og C = Z) : 11
12 får vi sin(90 h) sin(180 Az) = sin(90 d) sin(t) cos(h) sin(az) = cos(d) sin(t) cos(d) sin(t) sin(az) =. cos(h) I almanakken angives følgende formel for azimuth: tan(az) = cos(d) sin(t) sin(b) cos(d) cos(t) cos(b) sin(d). (24) Vi viser nu, hvordan den kan udledes ud fra vores formel kombineret med den følgende generelle formel fra den sfæriske trigonometri: sin(a) cos(c) = cos(c) sin(b) sin(c) cos(b) cos(a). jvf. litteraturlisten [2], formel F3 side 50. Bevis Vi bruger ovenstående formel på vores trekant, og får sin(90 h) cos(180 Az) = cos(90 d) sin(90 b) sin(90 d) cos(90 b) cos(t) altså og dermed, at cos(h) ( cos(az)) = sin(d) cos(b) cos(d) sin(b) cos(t) cos(az) = cos(d) sin(b) cos(t) sin(d) cos(b) cos(h) Hvis vi nu dividerer vores formel fra sætning 12 : sin(az) = cos(d) sin(t) cos(h) med ovenstående formel, fremkommer almanakkens formel uden videre. Bemærkning 25 Fordelen ved formel 24 er, at man får udtrykt azimuth som en funktion af timevinklen (t), når man holder deklinationen og breddegraden fast, altså når man følger solen en bestemt dag på en bestemt breddegrad. 12
13 7 Litteraturliste Læseværdige gymnasiebøger: 1. MATEMATIK FOR MF, GEOMETRI af Jonny Schultz, Forlaget TRIP 1985 Bogen indeholder et meget overskueligt og letlæst kapitel om Sfærisk geometri (se kap. VI). 2. ASTRONOMISK NAVIGATION af Erik Vestergaard, Matematiklærerforeningen Meget grundig gennemgang af emnet. Halvdelen af bogen indeholder oplæg til større øvelser herunder også opgaver, der lægger op til solkompasset. Bogen indeholder også et afsnit med beviser for de sfæriske trigonometriske formler. Sværhedsgraden er for det meste ret stor. Preben M. Henriksen, juli
I det følgende betragter vi en kugleflade med radius r. Lad os minde om, at overfladearealet af kuglen er F = 4π
Sfærisk geometri 26. Sfæriske trekanter 1 Den sædvanlige plangeometri handler, som navnet antyder, om geometri på en»plan«flade. Som model af den virkelige verden er plangeometrien udmærket, blot man holder
Læs mereVUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri
VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner
Læs mere5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve
5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer
Læs mereHøjere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord
Læs mereMatematikprojekt Belysning
Matematikprojekt Belysning 2z HTX Vibenhus Vejledning til eleven Du skal nu i gang med matematikprojektet Belysning. Dokumentationen Din dokumentation skal indeholde forklaringer mm, således at din tankegang
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 11. Opvarmningsopgave 2, [P] 6.1.1 (i,ii,iv). Udregn første fundamentalform af følgende flader
GEOMETRI-TØ, UGE Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave, [P] 5... Find parametriseringer af de kvadratiske flader
Læs mereMatematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder.
2. Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2.1 I Figur 1.1 i kapitel 1 er der vist et ideelt Kartesiske eller Euklidiske koordinatsystem, med koordinater ( X, Y, Z) = ( X 1, X 2, X
Læs mereMatematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri
Matematik projekt Klasse: Sh-mab05 Fag: Matematik B Projekt: Trigonometri Kursister: Anders Jørgensen, Kirstine Irming, Mark Petersen, Tobias Winberg & Zehra Köse Underviser: Vibeke Wulff Side 1 af 11
Læs mereTrigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist
Trigonometri Ved konstruktion af bygningsværker, hvor der kræves stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og vinkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,
Læs mereMatematik B1. Mike Auerbach. c h A H
Matematik B1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik B1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet
Læs mereStorcirkelsejlads. Nogle definitioner. Sejlads langs breddeparallel
Storcirkelsejlads Denne note er et udvidet tillæg til kapitlet om sfærisk geometri i TRIPs atematik højniveau 1, ved Erik Vestergaard. Nogle definitioner I dette afsnit skal vi se på forskellige aspekter
Læs mereMatematikken bag Parallel- og centralprojektion
Matematikken bag parallel- og centralojektion 1 Matematikken bag Parallel- og centralojektion Dette er et redigeret uddrag af lærebogen: Programmering med Delphi fra 2003 (570 sider). Delphi ophørte med
Læs mereKapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4
Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).
Læs mereOptimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering
Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen
Læs mereLineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså
Lineære modeller Opg.1 Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Hvor meget koster det at køre så at køre 10 km i Taxaen? Sammenhængen
Læs mereEksamensspørgsmål: Trekantberegning
Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8
Læs merefor matematik på C-niveau i stx og hf
VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf NÅr x 2 er y 2,8. 2014 Karsten Juul 1. VariabelsammenhÄng og dens graf og ligning 1.1 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1):
Læs mereRepetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium
Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler
Læs mereSfærisk Geometri. Ikast Ib Michelsen
Sfærisk Geometri Ikast 2018 Ib Michelsen Ib Michelsen Matematik A: Sfærisk Geometri Sidst ændret: 25-11-2018 Udskrevet: C:\Users\IbM\Dropbox\3uy\SfGe\SG0.odt 12 sider Indholdsfortegnelse Indledning...4
Læs mereMatematik C. Cirkler. Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse.
Cirkler Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse Side Indholdsfortegnelse Cirklen ligning Tegning af cirkler Skæring mellem cirkel og x-aksen
Læs mereAnalytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011
Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereProdukter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock
Produkter af vektorer i dimensioner Peter Harremoës Niels Brock Septemer 00 Indledning Disse noter er skrevet som supplement og delvis erstatning for tilsvarende materiale i øgerne Mat B og Mat A. Vi vil
Læs mereTrigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde
Trigonometri Ordet trigonometri er sammensat af de to ord trigon og metri, hvor trigon betyder trekant og metri kommer af det græske ord metros, som kan oversættes til måling. Så ordet trigonometri er
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mere06 Formler i retvinklede trekanter del 2
06 Formler i retvinklede trekanter del 2 I del 2 udledes (nogle af) de generelle formler, der gælder for sinus, cosinus og tangens i retvinklede trekanter. Sætning 1 For enhver vinkel v gælder der BEVIS
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....
Læs mereTemaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010
Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Parameterkurver Vi har tidligere set på en linjes parameterfremstilling, feks af typen: 1 OP = t +, hvor t R, og hvor OP er stedvektor
Læs mereKom i gang-opgaver til differentialregning
Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke
Læs mereSTUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 2007 2014 MATEMATIK A-NIVEAU. Prøveform b. Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA
STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 007 014 MATEMATIK A-NIVEAU Prøveform b 014 Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål.
Læs mereKalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015
Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1
Læs meresammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul
LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx y 0,5x 2,5 203 Karsten Juul : OplÄg om lineäre sammenhänge 2 Ligning for lineär sammenhäng 2 3 Graf for lineär sammenhäng 2 4 Bestem y når vi kender x 3 5 Bestem
Læs mereVektorer og lineær regression
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden
Læs mereIntroduktion til cosinus, sinus og tangens
Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,
Læs mereFormelsamling Matematik C
Formelsamling Matematik C Ib Michelsen Ikast 2011 Ligedannede trekanter Hvis to trekanter er ensvinklede har de proportionale sider (dvs. alle siderne i den ene er forstørrelser af siderne i den anden
Læs mereGrønland. Matematik A. Højere teknisk eksamen
Grønland Matematik A Højere teknisk eksamen Onsdag den 12. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).
Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,
Læs mereOpgaver om koordinater
Opgaver om koordinater Formålet med disse opgaver er dels at træne noget matematik, dels at give oplysninger om og træning i brug af Mathcad: Matematik: Øge grundlæggende indsigt vedrørende koordinater
Læs mereMatematik A. Højere teknisk eksamen. Gammel ordning. Forberedelsesmateriale. gl-htx191-mat/a
Matematik A Højere teknisk eksamen Gammel ordning Forberedelsesmateriale gl-htx191-mat/a-27052019 Udlevering: Mandag den 27. maj 2019 Forberedelsesmateriale til prøverne i matematik A Der er afsat 10 timer
Læs mereTrigonometri. for 8. klasse. Geert Cederkvist
Trigonometri Ved konstruktion af bygningsærker, hor der kræes stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og inkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,
Læs mereVejledende besvarelse
Side 1 Vejledende besvarelse 1. Skitse af et andengradspolynomium Da a>0 og da parablen går gennem (3,-1) skal f(3)=-1. Begge dele er opfyldt, hvis f (x )=x 2 10, hvor en skitse ses her: Da grafen skærer
Læs mereMatematikB 2011 Supplerende stof Trigonometri og trekanter
Trigonometriske funktioner Dette kapitel handler om de såkaldte trigonometriske funktioner, hvilket vil sige funktionsudtryk med sin, cos og tan Ikke kernestof på B Funktionerne vil kun forekomme i forbindelse
Læs mereVektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.
Læs mereRumfangs. umfangsberegning. Rumfang af en cylinder. På illustrationen til højre er indtegnet en lineær funktion indenfor et afgrænset interval, hvor
Rumfang af en cylinder På illustrationen til øjre er indtegnet en lineær funktion indenfor et afgrænset interval, vor 0;. Funktionen () kan skrives på formen: = (vor a er en konstant) Det markerede grå
Læs mereVEKTOR I RUMMET PROJEKT 1. Jacob Weng & Jeppe Boese. Matematik A & Programmering C. Avedøre-værket. Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4. Fag.
VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1 Fag Matematik A & Programmering C Tema Avedøre-værket Jacob Weng & Jeppe Boese Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4 07-10-2010 1 Vektor i rummet INDLEDNING Projektet omhandler et af
Læs mereI kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber:
INTRO Efter mange års pause er trigonometri med Fælles Mål 2009 tilbage som fagligt emne i grundskolens matematikundervisning. Som det fremgår af den følgende sides udpluk fra faghæftets trinmål, er en
Læs mereDen ideelle operationsforstærker.
ELA Den ideelle operationsforstærker. Symbol e - e + v o Differensforstærker v o A OL (e + - e - ) - A OL e ε e ε e - - e + (se nedenstående figur) e - e ε e + v o AOL e - Z in (i in 0) e + i in i in v
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1)
Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant. a) Beregn konstanten b således,
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) August 2015- juni 2017 ( 1 og 2. År) Rybners HTX Matematik B
Læs mereGrundlÄggende variabelsammenhänge
GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.
Læs mereFunktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul
Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse
Læs mereDet teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Læs mereElementær Matematik. Trigonometriske Funktioner
Elementær Matematik Trigonometriske Funktioner Ole Witt-Hansen Indhold. Gradtal og radiantal.... sin x, cos x og tan x... 3. Trigonometriske ligninger...3 4. Trigonometriske uligheder...5 5. Harmoniske
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns
Læs mereOpgave 1 10. Opgave 2 Andengradsligningen løses, idet. Opgave 3. 11 er en løsning til ligningen, da:
7. marts 0 FVU AVU HF X FAG : Matematik B ark nr. antal ark 8 Opgave 0 a b 5 a b 5 = b 3 er en løsning til ligningen, da: = 9 = 3 Opgave Andengradsligningen løses, idet a = b = 3 c = 4 d (diskriminanten)
Læs mereFormler, ligninger, funktioner og grafer
Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,
Læs mereVejledende Matematik A
Vejledende Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Af opgaverne 10A, 10B, 10C og 10D skal kun én opgave afleveres til bedømmelse. Hvis flere end én opgave afleveres, bedømmes
Læs mereLøsningsforslag 7. januar 2011
Løsningsforslag 7. januar 2011 May 9, 2012 Opgave 1 (5%) Funktionen f er givet ved forskriften f(x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). a) Definitionsmængden Logaritmen
Læs merebruge en formel-samling
Geometri Længdemål og omregning mellem længdemål... 56 Omkreds og areal af rektangler og kvadrater... 57 Omkreds og areal af andre figurer... 58 Omregning mellem arealenheder... 6 Nogle geometriske begreber
Læs mereRumfang af væske i beholder
Matematikprojekt Rumfang af væske i beholder Maila Walmod, 1.3 HTX Roskilde Afleveringsdato: Fredag d. 7. december 2007 1 Fru Hansen skal have en væskebeholder, hvor rumfanget af væsken skal kunne aflæses
Læs mereSTUDENTEREKSAMEN AUGUST 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Onsdag den 12. august 2009. Kl. 09.00 14.00 STX092-MAA. Undervisningsministeriet
STUDENTEREKSAMEN AUGUST 009 MATEMATIK A-NIVEAU Onsdag den 1. august 009 Kl. 09.00 14.00 STX09-MAA Undervisningsministeriet Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5
Læs mereFraktaler. Vejledning. Et snefnug
Fraktaler Vejledning Denne note kan benyttes i gymnasieundervisningen i matematik i 1g, eventuelt efter gennemgangen af emnet logaritmer. Min hensigt har været at give en lille introduktion til en anderledes
Læs mere2.9. Dette er en god simpel projektion for områder nær Ækvator. Hvad er den inverse afbildning, f -1?
2.9 2.4 Kortprojektioner og kort. Den matematiske baggrund for kortprojektioner er differentialgeometri. Det basale begreb her er mangfoldighed, dvs. om ethvert punkt ligger en omegn, der ligner en del
Læs mereLøsning til øvelse 7.8, side 272: Københavns Politigård
website: link fra, kapitel 7, afsnit 2 Løsning til øvelse 7.8, side 272: Københavns Politigård Bemærk: Benyt fx formelsamlingen til stxa side 10-14 til at finde de relevante formler. (Geogebra starter
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2009 Institution Herningsholm Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik B og A (1.år)
Læs mereKomplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet
Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N
Læs mereAalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A
Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00
Læs mereSvar på opgave 322 (September 2015)
Svar på opgave 3 (September 05) Opgave: En sekskant har sidelængder 7 7. Bestem radius i den omskrevne cirkel hvis sekskanten er indskrivelig. Besvarelse: ny version 6/0-05. metode. Antag at sekskanten
Læs mereRapport Bjælken. Derefter lavede vi en oversigt, som viste alle løsningerne og forklarede, hvad der gør, at de er forskellige/ens.
Rapport Bjælken Indledning Vi arbejdede med opgaverne i grupper. En gruppe lavede en tabel, som de undersøgte og fandt en regel. De andre grupper havde studeret tegninger af bjælker med forskellige længder,
Læs mereInstitut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Arealmomenter
Arealmomenter af. og. orden side Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave Arealmomenter Teori: Se lærebøgerne i faget Statiske konstruktionsmodeller og EDB. Se også H&OL bind,., samt bind appendix.3,
Læs mere1. En nyttig formel Lad mig uden bevis angive en nyttig trigonometrisk formel, som i dag kaldes for en logaritmisk formel: (1) sin( A) sin( B) = 1 [ cos( A B) cos( A+ B) ] 2 Navnet skyldes løst sagt, at
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Aug juni 2009-2010 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Grenaa Tekniske Skole HTX Fysik A Niels Gustav
Læs mereStx matematik B december 2007. Delprøven med hjælpemidler
Stx matematik B december 2007 Delprøven med hjælpemidler En besvarelse af Ib Michelsen Ikast 2012 Delprøven med hjælpemidler Opgave 6 P=0,087 d +1,113 er en funktion, der beskriver sammenhængen mellem
Læs mereProjekt 6.5 Ellipser brændpunkter, brændstråler og praktisk anvendelse i en nyrestensknuser
Projekt 65 Ellipser brændpunkter brændstråler og praktisk anvendelse i en nyrestensknuser Ellipsens ligning undersgte vi kapitel i bog B I det flgende skal vi undersge ellipser som banekurver og vise hvorledes
Læs mereGU HHX MAJ 2009 MATEMATIK A. Onsdag den 13. maj 2009. Kl. 9.00 14.00 GL091-MAA. Undervisningsministeriet
GU HHX MAJ 2009 MATEMATIK A Onsdag den 13. maj 2009 Kl. 9.00 14.00 Undervisningsministeriet GL091-MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Af opgaverne 10A, 10B, 10C og
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Terminsprøve 2010. Kl. 09.00 14.00. STX0310-MAA-net
NETADGANGSFORSØGET STUDENTEREKSAMEN I MATEMATIK TERMINSPRØVE MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU Terminsprøve 2010 Kl. 09.00 14.00 STX0310-MAA-net Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: 2 timer med autoriseret
Læs mereAdditionsformlerne. Frank Villa. 19. august 2012
Additionsformlerne Frank Villa 19. august 2012 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereGeometri i plan og rum
INTRO I kapitlet arbejder eleverne med plane og rumlige figurers egenskaber og med deres anvendelse som geometriske modeller. I den forbindelse kommer de bl.a. til at beskæftige sig med beregninger af
Læs mereProblemløsning i retvinklede trekanter
Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug
Læs mereProjekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion
ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit
Læs merePythagoras og andre sætninger
Pythagoras og andre sætninger Pythagoras Pythagoras fra den græske ø Samos levede i det 6. århundrede f.v.t. fra ca. 580 til ca. 500. Han lægger som sagt navn til den sætning, vi tidligere har nævnt,
Læs mereProjektbeskrivelse: Konstellationsdiagrammer
Helena-Céline Arøe Stevelt, Simon Stuhr Harder Carlsen og Nicolai Riisbjerg Jørgensen 2. BT, Bagsværd Kostskole og Gymnasium Projektbeskrivelse: Konstellationsdiagrammer Vi stødte på konstellationsdiagrammer,
Læs mereMatematik A1. Mike Auerbach. c h A H
Matematik A1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik A1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2010-juni 2013 Institution Sukkertoppen/Københavns tekniske skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)
Læs mereMatematikkens mysterier - på et højt niveau. Kenneth Hansen. 5. Kurver og keglesnit
Matematikkens mysterier - på et højt niveau af Kenneth Hansen 5. Kurver og keglesnit 5. Kurver og keglesnit 5.1 Kurver: Parameterfremstilling og ligning 5. Hastighed, acceleration og tangenter 7 5.3 Kurveundersøgelser
Læs mereSekstant (plastik) instrumentbeskrivelse og virkemåde
Sekstant (plastik) instrumentbeskrivelse og virkemåde Sekstantens dele Sekstantens enkeltdele. Sekstanten med blændglassene slået til side. Blændglassene skal slås til, hvis man sigter mod solen. Version:
Læs mereAlgebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber:
INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler
Læs mereAfstandsformlerne i Rummet
Afstandsformlerne i Rummet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereM A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x
M A T E M A T I K B A M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik B A. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes
Læs mereMatematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 20. december 2010. kl. 9.00-14.00
Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hhx103-mat/a-01010 Mandag den 0. december 010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Dette opgavesæt består
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Uddannelsescenter
Læs mere1 Geometri & trigonometri
1 Geometri & trigonometri 1.0.1 Generelle forhold Trigonometri tager sit udgangspunkt i trekanter, hvor der er visse generelle regler: vinkelsum areal A trekant = 1 2 h G A B C = 180 o retvinklet trekant
Læs mereKort om Eksponentielle Sammenhænge
Øvelser til hæftet Kort om Eksponentielle Sammenhænge 2011 Karsten Juul Dette hæfte indeholder bl.a. mange småspørgsmål der gør det nemmere for elever at arbejde effektivt på at få kendskab til emnet.
Læs mereVEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande
VEKTORGEOMETRI del Skæringer Projektioner Vinkler Afstande x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indhold OVERSIGT... 3 SKÆRINGSPUNKTER OG RØRINGSPUNKTER... 4 Skæring med koordinatakser- og planer...
Læs mereLøsningsforslag til Geometri 4.-10. klasse
Løsningsforslag til Geometri 4.-0. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser, dem
Læs mereASTRONOMISK NAVIGATION - Om kuglegeometri og koordinater på jordkloden og himmelkuglen
ASTRONOMISK NAVIGATION - Om kuglegeometri og koordinater på jordkloden og himmelkuglen Ivan Tafteberg Jakobsen Århus Statsgymnasium Version: 18. august 2007 side 1 af 15 Astronomisk navigation hvad er
Læs mereEnhedscirklen og de trigonometriske Funktioner
Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for
Læs mereKeplers verdensbillede og de platoniske legemer (de regulære polyedre).
Keplers verdensbillede og de platoniske legemer (de regulære polyedre). Johannes Kepler (1571-1630) var på mange måder en overgangsfigur i videnskabshistorien. Han ydede et stort bidrag til at matematisere
Læs mereVi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge.
Cykloider Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge Retningspunkt (repetition) Figur 1 viser enhedscirklen Det viste punkt P er anbragt sådan at den øverste af buerne
Læs mere