Storcirkelsejlads. Nogle definitioner. Sejlads langs breddeparallel
|
|
- Lars Jespersen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Storcirkelsejlads Denne note er et udvidet tillæg til kapitlet om sfærisk geometri i TRIPs atematik højniveau 1, ved Erik Vestergaard. Nogle definitioner I dette afsnit skal vi se på forskellige aspekter ved storcirkelsejlads, som er den mest direkte måde at bevæge sig fra et sted til et andet på jordkloden. Her tager vi selvfølgelig ikke hensyn til forhindringer såsom mellemliggende landområder etc etc. Teorien er mindst lige så anvendelig for transport med fly, da der ofte ikke vil være de samme forhindringer at tage hensyn til. På jordkloden angives en position ved ( b, λ, hvor b er stedets breddegrad, og λ er stedets længdegrad. Som bekendt er breddegraden lig med vinklen fra ækvator til stedet, regnet med fortegn. På figur 1 er breddegraden for stedet således lig med PO. reddegraden regnes fra 90 til 90, således, at sydpolen har breddegrad 90, ækvator har breddegrad 0 og nordpolen har breddegraden 90. ed en meridian menes en halv storcirkel, der går fra sydpolen til nordpolen. Den kan også betegnes en længdegradscirkel. Enhver position på en meridian har samme længdegrad. Positioner på den meridian, som passerer igennem Greenwich i England, defineres til at have længdegrad 0. Længdegraden hørende til en anden meridian fastlægges som vinklen mellem den pågældende meridian og Greenwich-meridianen, regnet med fortegn, således at man regner længdegraden positiv mod vest og negativ mod øst. Længdegraden regnes altså i intervallet 180, 180. Undertiden angives længdegraden dog også i intervallet 0, 360, på oplagt vis. Hvis man indlægger jordkloden i et tredimensionalt koordinatsystem, således at centrum O anbringes i centrum, ækvatorplanen anbringes i xy-planen og Greenwich anbringes i den positive kvadrant af xz-planen, så kan de sædvanlige sfæriske koordinater ( ϕ, θ identificeres med henholdsvis λ og b. Sejlads langs breddeparallel ens vi er i gang med at indføre nye begreber, vil det være hensigtsmæssigt at omtale begrebet en breddeparallel. En breddeparallel er en lillecirkel, som er parallel med ækvatorplanen. lle steder på en breddeparallel har dermed samme breddegrad. emærk, at en del af en breddeparallel ikke kan være side i en sfærisk trekant, med mindre breddeparallellen da lige netop er ækvatorcirklen. Siderne i en sfærisk trekant skal jo være storcirkelbuer. 1
2 emærk samtidigt, at længden af en breddeparallel er L 2πRJ cos( b, hvor R J 6370 km er jordens radius. egrundelsen herfor er, at radius i lillecirklen jo er lig med R cos( b, hvilket man kan overbevise sig om ved at betragte figur 2. Hvis man J kun bevæger sig rundt langs en del af en breddeparallel, svarende til, at man ændrer længdegrad lgf. λ λ (lgf. står for længdeforskel, så er den tilbagelagte strækning langs breddeparallellen lig med (1 Lreddeparallel 2πRJ cos( b lgf. 360 nemlig svarende til den brøkdel af breddeparallellen, som er tilbagelagt. Først i midten af 1700-tallet opfandt man navigationsinstrumenter med hvilke man kunne bestemme længdegraden med bare nogenlunde sikkerhed. Indtil da kunne man altså kun regne nogenlunde med breddegradsmålinger. Som en følge heraf gjorde man ofte brug af breddesejlads, hvilket vil sige, at man fulgte en breddeparallel indtil man kom til den meridian, hvor destinationen befandt sig, og derefter sejlede stik syd/nord langs meridianen indtil man var fremme. Distance og startkurs Når man skal bestemme forskellige størrelser i forbindelse med storcirkelsejlads, så kan det gøres ved at betragte en ganske bestemt sfærisk trekant, nemlig den, der har hjørner i Nordpolen, samt affarende sted og påkommende sted. På figur 1 betegnes de henholdsvis med N, og. Positionerne og er angivet ved breddegrad og længdegrad: ( b, λ og ( b, λ. Da buen P er lig breddegraden b, så må siden N være lig med 90 b. Tilsvarende er siden N lig med 90 b. Endvidere ser man, at vinklen N er lig med den numeriske værdi af længdeforskellen lgf. λ λ. Den er i øvrigt lig med QOP nede i ækvatorplanen. Når koordinaterne for affarende og påkommende sted er kendt, så kan distancen dist. mellem de to steder findes. Det er underforstået, at der er tale om den korteste afstand, altså længden af storcirkelbuen. Ved brug af cosinusrelationen (2 cos( c cos( a cos( b + sin( a sin( b cos( C med c dist., a N, b N og C N lgf. fås følgende formel til bestemmelse af distancen: cos( dist. cos( 90 b cos( 90 b + sin( 90 b sin( 90 b cos( lgf. cos( dist. sin( b sin( b + cos( b cos( b cos( lgf. 2
3 hvor vi har benyttet, at sin( 90 v cos( v og cos( 90 v sin( v samt at cosinus er ligeglad med, om man ændrer fortegn på vinklen: cos( lgf. cos( lgf.. Distancen fås via formel (3 i vinkelmål. Ønskes distancen omregnet til km, så kan man benytte, at 1 1 bueminut ( svarer til 1 sømil, eller 1852 meter. 60 Dernæst kunne det være interessant at bestemme kursen kurs fra. Det er den kurs, som skibet lægger ud med, når den starter på sin rejse langs storcirkelbuen hen imod stedet. emærk, at skibet under en storcirkelsejlads normalt ikke vil holde fast kurs på rejsen. Kursen vil normalt løbende ændre sig. en hvad er kursen helt præcist? Kursen er den vinkel, som skibet danner med meridianerne. Vi vedtager at regne kursen i intervallet 180, 180, hvor kursen skal være 90 for retning stik øst, 0 for retning stik nord, 90 for retning stik vest og 180 for retning stik syd. an kan bruge cosinusrelationerne til at angive en formel til bestemmelse af startkursen fra. Det overlades til læseren at vise, at (4 cos( kurs sin( b sin( b cos( dist. cos( b sin( dist. Hvis ligger vest for, så er fortegnet for kurs positivt, ellers er det negativt. Formler for en retvinklet sfærisk trekant I det følgende får vi brug for et par formler, som gælder for en retvinklet sfærisk trekant, dvs en trekant, hvor mindst én vinkel er lig med 90. Sætning 1 For en retvinklet sfærisk trekant, hvor den rette vinkel betegnes med C, gælder følgende formler: (1.1 cos( c cos( a cos( b sin( a (1.2 sin( sin( c tan( b (1.3 cos( tan( c 3
4 evis: (1.1 fås straks af den sfæriske cosinusrelation (2, idet cos( C cos( Formel (1.2 fås straks ved hjælp af den sfæriske sinusrelation, idet sin( 90 1: sin( sin( a sin( C sin( 1 sin( sin( c sin( a sin( c sin( a sin( c Formel (1.3 indses ved følgende regninger: cos( cos( a cos( b cos( c sin( b sin( c cos( c cos( b cos( c cos( b sin( b sin( c cos( c cos ( b cos( c cos( b sin( b sin( c cos( c 1 cos ( b 2 2 cos( b sin( b sin( c 2 cos( c sin ( b cos( b sin( b sin( c sin( b cos( b sin( c cos( c tan( b tan( c hvor vi undervejs har benyttet følgende: 1. lighedstegn fås ved at bruge en af varianterne af cosinusrelationen. 2. lighedstegn: Her benyttes formel ( lighedstegn: Tæller og nævner forlænges med cos(b. 5. lighedstegn: Idiotformlen benyttes. aksimal breddegrad Når et skib fra positionen ( b, λ med startkurs kurs bevæger sig rundt langs en storcirkel på jordkloden, så vil der være et sted på cirklen med maksimal bredde. etragt den sfæriske trekant, som har hjørner i, og nordpolen N, illustreret på figur 3. t er stedet for maksimal bredde kan karakteriseres ved, at vinklen i trekanten er ret. Skibets kurs på dette sted må jo nødvendigvis være stik øst/vest (overvej. Hvis vi bruger formel (1.2 ovenfor med, og C lig med henholdsvis, N og, så fås: sin( kurs sin( 90 b sin( 90 b cos( b cos( b idet siden N jo er lig med 90 b, hvor b angiver den maksimale bredde, der jo forekommer på stedet. Dette giver anledning til formlen (5 cos( b cos( b sin( kurs 4
5 For at kunne udregne længdegraden λ for stedet bestemmer vi først et udtryk for længdeforskellen lgf fra position til position, regnet med fortegn. Længdegraden λ kan derefter findes som λ λ +lgf. an ser af figur 3, at vinklen N i trekant N er lig med lgf. enyttes formel (1.3 med, og C lig med henholdsvis N, og så fås følgende: (6 cos( lgf tan( 90 b tan( 90 b tan( b tan( b Når man tager cos 1 til udtrykket på højre side for at finde lgf, så må man i det enkelte tilfælde afgøre, om det er plus eller minus vinklen, der er den korrekte. Gennemføres kun en del af storcirklen og indeholder denne del ikke positionen med den maksimale bredde, angivet med formlerne (5 og (6, så vil kurvens maksimale bredde findes i et af rutens endepunkter. Positioner på storcirkelbuen Lad os slutte teorien af med endnu en situation: Hvis man kender længdegraden λ D et sted D på storcirkelbuen ønskes en formel for den tilhørende bredde b D. Vi vil gå ud fra, at vi i forvejen har bestemt stedet ( b, λ med den maksimale bredde. Først udregnes længdegradsforskellen lgf D λ D λ. Herefter kan den ønskede bredde bestemmes af formlen (7 tan( b tan( b cos( lgf D D evis: Formel (7 fås ved at kigge på den retvinklede sfæriske trekant ND på figur 4. Hvis vi bruger formel (1.3 ovenfor med, og C lig med henholdsvis N, D og, så får man: (8 cos( lgf D tan( 90 b tan( 90 b D tan( bd tan( b hvilket giver det ønskede. 5
6 Et resumé af formler Lad os lige resumere de formler, som er angivet og bevist i de foregående afsnit: Formler for storcirkelsejlads (3 cos( dist. sin( b sin( b + cos( b cos( b cos( lgf. (4 cos( kurs sin( b sin( b cos( dist. cos( b sin( dist. (5 cos( b cos( b sin( kurs (6 cos( lgf tan( b tan( b (7 tan( b tan( b cos( lgf D D For at bestemme længdegraden λ benyttes formlen λ λ +lgf. Husk at når man tager cos 1 på begge sider i formlen (6, så må man i hvert enkelt tilfælde overveje, om længdeforskellen er lig med plus eller minus den vinkel, som lommeregneren giver. 6
7 Et eksempel En flyver afgår fra København (55 36 N.br., Ø.lg. via storcirkelruten mod Los ngeles (33 57 N.br., V.lg.. Lad os bestemme de forskellige størrelser gennemgået i teorien ovenfor. København anbringes i hjørnet og Los ngeles anbringes i hjørnet i den sfæriske trekant, som desuden omfatter Nordpolen N. Vi har: b , 60, λ , 63 b , 95, λ , 42 lgf. λ λ 118, 42 ( 12, , 05 cos( dist. sin( b sin( b + cos( b cos( b cos( lgf. sin( 55, 60 sin( 33, 95 + cos( 55, 60 cos( 33, 95 cos( 131, 05 0, Hvilket giver en distance på 81, 20. Dette svarer til 81, , 852 km 9023 km. Nu til startkursen fra København: cos( kurs sin( b sin( b cos( dist. cos( b sin( dist. sin( 33, 95 sin( 55, 60 cos( 81, 20 cos( 55, 60 sin( 81, 20 0, hvilket giver følgende kurs fra København: kurs 39, 27. Næste punkt er at bestemme det nordligste punkt, som flyet opnår på sin rejse til Los ngeles. Først den maksimale bredde: cos( b cos( b sin( kurs cos( 55, 60 sin( 39, 27 0, hvilket giver b 69, 04. For at finde længdegraden må vi først udregne længdeforskellen fra København til det nordligste punkt på ruten. cos( lgf tan( b tan( b tan( 55, 60 tan( 69, 04 0, Heraf fås lgf 55, 99 idet det åbenlyst er den positive løsning, der er den korrekte. Nu kan vi udregne længdegraden hørende til det nordligste punkt: λ λ + lgf ( 12, , 99 43, 36 Positionen (, λ ( 69, 04, 43, 36 svarer til et sted i det centrale af Grønland. b 7
8 Til sidst skal vi finde ud af, hvor flyet passerer meridianen med længden 110 V.lg. Først bestemmer vi længdeforskellen fra det nordligste punkt til omtalte meridian: λ λ , 36 66, 64. Herefter kan breddegraden findes: lgf D D tan( b tan( b cos( lgf tan( 69, 04 cos( 66, 64 1, D D hvilket giver b D 45, 99. Positionen ( 45, 99 N.br., 110 V.lg. svarer i øvrigt til et sted i staten ontana i det nordlige US. 8
9 Figur 1 N (Nordpol 90 b 90 b kurs O P Ækvator lgf. Q Figur 2 N (Nordpol R J cos( b reddeparallel b O P R J Ækvator lgf. Q 9
10 Figur 3 90 b N (Nordpol 90 b Storcirkelsejl d kurs a s Ækvator Figur 4 N (Nordpol 90 b 90 b D D Ækvator 10
11 Storcirkelrute Grønland København Los ngeles 11
I det følgende betragter vi en kugleflade med radius r. Lad os minde om, at overfladearealet af kuglen er F = 4π
Sfærisk geometri 26. Sfæriske trekanter 1 Den sædvanlige plangeometri handler, som navnet antyder, om geometri på en»plan«flade. Som model af den virkelige verden er plangeometrien udmærket, blot man holder
Læs mereSfærisk Geometri. Ikast Ib Michelsen
Sfærisk Geometri Ikast 2018 Ib Michelsen Ib Michelsen Matematik A: Sfærisk Geometri Sidst ændret: 25-11-2018 Udskrevet: C:\Users\IbM\Dropbox\3uy\SfGe\SG0.odt 12 sider Indholdsfortegnelse Indledning...4
Læs mereMatematik A. Højere teknisk eksamen. Gammel ordning. Forberedelsesmateriale. gl-htx191-mat/a
Matematik A Højere teknisk eksamen Gammel ordning Forberedelsesmateriale gl-htx191-mat/a-27052019 Udlevering: Mandag den 27. maj 2019 Forberedelsesmateriale til prøverne i matematik A Der er afsat 10 timer
Læs mereTeorien. solkompasset
Teorien bag solkompasset Preben M. Henriksen 31. juli 2007 Indhold 1 Indledning 2 2 Koordinatsystemer 2 3 Solens deklination 4 4 Horisontalsystemet 5 5 Solkompasset 9 6 Appendiks 11 6.1 Diverse formler..............................
Læs mereMatematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder.
2. Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2.1 I Figur 1.1 i kapitel 1 er der vist et ideelt Kartesiske eller Euklidiske koordinatsystem, med koordinater ( X, Y, Z) = ( X 1, X 2, X
Læs mere5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve
5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer
Læs mereKapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4
Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).
Læs mereGeometri, (E-opgaver 9d)
Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige
Læs mereTrekants- beregning for hf
Trekants- beregning for hf C C 5 l 5 A 34 8 B 018 Karsten Juul Indhold 1. Vinkler... 1 1.1 Regler for vinkler.... 1. Omkreds, areal, højde....1 Omkreds..... Rektangel....3 Kvadrat....4 Højde....5 Højde-grundlinje-formel
Læs mereEksamensspørgsmål: Trekantberegning
Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8
Læs mereMatematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri
Matematik projekt Klasse: Sh-mab05 Fag: Matematik B Projekt: Trigonometri Kursister: Anders Jørgensen, Kirstine Irming, Mark Petersen, Tobias Winberg & Zehra Köse Underviser: Vibeke Wulff Side 1 af 11
Læs mere1. Jordkloden 1.1. Inddelinger og betegnelser
1. Jordkloden 1.1 Inddelinger og betegnelser 1! Bredde Grad! [ ]! =! 10.000 / 90! =! 111 km 1! Bredde Minut! [ ]! =! 111 / 60! =! 1,850 km * 1! Bredde Sekund! [ ]! =! 1850 / 60! =! 31 m 1! Sømil *!!! =!
Læs mereVUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri
VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner
Læs mereRENTES REGNING SIMULATION LANDMÅLING MÅLSCORE I HÅNDBO . K R I S T I A N S E N KUGLE G Y L D E N D A L
SIMULATION 4 2 RENTES REGNING F I NMED N H REGNEARK. K R I S T I A N S E N KUGLE 5 LANDMÅLING 3 MÅLSCORE I HÅNDBO G Y L D E N D A L Faglige mål: Anvende simple geometriske modeller og løse simple geometriske
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler
Læs mereCosinusrelationen. Frank Nasser. 11. juli 2011
Cosinusrelationen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereIntroduktion til cosinus, sinus og tangens
Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,
Læs mereVektorer og lineær regression
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden
Læs mereAnalytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen
Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger
Læs mereOpgaver i solens indstråling
Opgaver i solens indstråling I nedenstående opgaver skal vi kigge på nogle aspekter af Solens indstråling på Jorden. Solarkonstanten I 0 = 1373 W m angiver effekten af solindstrålingen på en flade med
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....
Læs mereProblemløsning i retvinklede trekanter
Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug
Læs mereMaria Solstar Vestergaard 30-11-2006 Roskilde Tekniske Gymnasium Klasse 1.4g. Matematik B Klasse 1.4g Hjemmeopgaver
Matematik B Hjemmeopgaver 1) opgave 107c, side 115 Jeg skal tegne en trekant og estemme vinklerne A og C og siderne a, og c. Jeg har følgende mål: Jeg har ikke nok mål til at kunne regne nogle af vinklerne
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereVektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.
Læs mereAAU Landinspektøruddannelsen
AAU Landinspektøruddannelsen Universal Mercator Projektion Mads Hvolby, Nellemann & Bjørnkjær 2003 UTM Projektion Indhold Forord Generelt UTM-Projektiionen UTM-Nettet Specifikationer for UTM-Projektionen
Læs mereLæs selv om LANDKORT. Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Pind & Bjerre
Læs selv om LANDKORT Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Pind & Bjerre Læs selv om LANDKORT Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Pind & Bjerre 2 Landkort Mange forskellige slags kort I gamle dage var
Læs mereUser s guide til cosinus og sinusrelationen
User s guide til cosinus og sinusrelationen Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for
Læs mere1 Geometri & trigonometri
1 Geometri & trigonometri 1.0.1 Generelle forhold Trigonometri tager sit udgangspunkt i trekanter, hvor der er visse generelle regler: vinkelsum areal A trekant = 1 2 h G A B C = 180 o retvinklet trekant
Læs mere06 Formler i retvinklede trekanter del 2
06 Formler i retvinklede trekanter del 2 I del 2 udledes (nogle af) de generelle formler, der gælder for sinus, cosinus og tangens i retvinklede trekanter. Sætning 1 For enhver vinkel v gælder der BEVIS
Læs mereDen Flydende Kran Samson
Den Flydende Kran Samson Formål: Kranen Samson, har en maksimal løfteevne på 900 tons, kranarmen er på 67 meter. Formålet med dette projekt er at løse nogle forskellige opgaver om geometrien for kranen.
Læs mereLouise F Jensen MATEMATIK. VUC Roskilde
Louise F Jensen VUC Roskilde 1 INDHOLD Potensregneregler... 2 Kvadratrod... 3 Algebra... 3 Ligninger... 3 Ulighedstegn i ligning... 4 Brøker... 4 Procent... 5 Indextal... 6 Rentesregning... 6 Geometri...
Læs mereVi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge.
Cykloider Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge Retningspunkt (repetition) Figur 1 viser enhedscirklen Det viste punkt P er anbragt sådan at den øverste af buerne
Læs mereAfstandsformlen og Cirklens Ligning
Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.
Læs mereI kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber:
INTRO Efter mange års pause er trigonometri med Fælles Mål 2009 tilbage som fagligt emne i grundskolens matematikundervisning. Som det fremgår af den følgende sides udpluk fra faghæftets trinmål, er en
Læs merePythagoras Ensvinklede trekanter Trigonometri. Helle Fjord Morten Graae Kim Lorentzen Kristine Møller-Nielsen
MATEMATIKBANKENS P.E.T. KOMPENDIUM Pythagoras Ensvinklede trekanter Trigonometri Helle Fjord Morten Graae Kim Lorentzen Kristine Møller-Nielsen FORENKLEDE FÆLLES MÅL FOR PYTHAGORAS, ENSVINKLEDE TREKANTER
Læs mereSpørgsmål. Koordinatsystemer Partikler og stråling Astronomi astrofysik Står planeterne på række? Andre spørgsmål.
Spørgsmål. Koordinatsystemer Partikler og stråling Astronomi astrofysik Står planeterne på række? Andre spørgsmål. Jorden Alt - Az Time vinkel DEC RA - DEC Ækvator Horisonten Himlens ækvator Himlens ækvator
Læs mereOpgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1.
Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1. a) Undersøg figur 1. Mål og noter vinklerne Mål og noter længderne b) Undersøg figur 2. Mål og noter vinklerne Mål og noter længderne c) Undersøg figur 3. Mål
Læs mereTREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)
Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale
Læs mereProdukter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock
Produkter af vektorer i dimensioner Peter Harremoës Niels Brock Septemer 00 Indledning Disse noter er skrevet som supplement og delvis erstatning for tilsvarende materiale i øgerne Mat B og Mat A. Vi vil
Læs mereMatlab script - placering af kran
Matlab script - placering af kran 1 Til at beregne den ideelle placering af kranen hos MSK, er der gjort brug af et matlab script. Igennem dette kapitel vil opbygningen af dette script blive gennemgået.
Læs mereUndersøgelser af trekanter
En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,
Læs mereHøjere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord
Læs mereHer er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?
Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange
Læs mereRetningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde
Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne
Læs mereSvar på sommeropgave (2019)
Svar på sommeropgave (9) Opgave: I B er O centrum for den omskrevne cirkel og DE er en korde parallel med. En cirkel med centrum O gerer DE, B og den omskrevne cirkel, og en cirkel med centrum O gerer
Læs mereMike Vandal Auerbach. Geometri i planen. # b. # a. # a # b.
Mike Vandal Auerbach Geometri i planen # a # a www.mathematicus.dk Geometri i planen 1. udgave, 2018 Disse noter dækker kernestoffet i plangeometri på stx A- og B-niveau efter gymnasiereformen 2017. Al
Læs mereEksempel på den aksiomatisk deduktive metode
Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13
Læs mereElementær Matematik. Trigonometriske Funktioner
Elementær Matematik Trigonometriske Funktioner Ole Witt-Hansen Indhold. Gradtal og radiantal.... sin x, cos x og tan x... 3. Trigonometriske ligninger...3 4. Trigonometriske uligheder...5 5. Harmoniske
Læs mereDifferentialkvotient af cosinus og sinus
Differentialkvotient af cosinus og sinus Overgangsformler cos( + p ) = cos sin( + p ) = sin cos( -) = cos sin( -) = -sin cos( p - ) = - cos sin( p - ) = sin cos( p + ) = -cos sin( p + ) = -sin (bevises
Læs merePythagoras og andre sætninger
Pythagoras og andre sætninger Pythagoras Pythagoras fra den græske ø Samos levede i det 6. århundrede f.v.t. fra ca. 580 til ca. 500. Han lægger som sagt navn til den sætning, vi tidligere har nævnt,
Læs mereEksempler på temaopgaver i matematik indenfor geometri
Eksempler på temaopgaver i matematik indenfor geometri Med udgangspunkt i begrebsafklaringen fra dokumentet Matematik og den ny skriftlighed gives her fem eksempler på, hvordan de forskellige opgavetyper,
Læs mereProjekt 5.5 Sfærisk geometri og introduktion til kortprojektioner
Projekt 5.5 Sfærisk geometri og introduktion til kortprojektioner Et almindeligt 3D-koordinatsystem er som et 2D-koordinatsystem, hvor der blot er rejst en tredje akse vinkelret på planen i punktet (0,0),
Læs mereπ can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af π
can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af. Oprindelsen til symbolet Første gang vi møder symbolet som betegnelse for forholdet mellem en cirkels omkreds
Læs mereMatematik for stx C-niveau
Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx
Læs mereMåling - Fase 3 Bestemme afstande med beregning
Navn: Klasse: Måling - Fase 3 Bestemme afstande med beregning Vurdering fra 1 til 5 (hvor 5 er højst) Læringsmål Selv Lærer Beviser og forslag til forbedring 1. Jeg kan anvende forholdet mellem sider i
Læs mereMåling - Fase 3 Bestemme afstande med beregning
Navn: Klasse: Måling - Fase 3 Bestemme afstande med beregning Vurdering fra 1 til 5 (hvor 5 er højst) Læringsmål Selv Lærer Beviser og forslag til forbedring 1. Jeg kan anvende forholdet mellem sider i
Læs mereProjekt Beholderkonstruktion. Matematik - A
Projekt Beholderkonstruktion Matematik - A [Skriv et resume af dokumentet her. Resumeet er normalt en kort beskrivelse af dokumentets indhold. Skriv et resume af dokumentet her. Resumeet er normalt en
Læs mere2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk
Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber
Læs mereKompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard
Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereDet er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.
Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår
Læs mereFundamentale geometriske diskussioner
1 Når vi taler om andre geometrier tænker vi i dette tilfælde på to geometrier, der på afgørende vis adskiller sig fra den euklidiske geometri og fra hinanden. De er begge eksempler på, hvad man kalder
Læs mereGeoCaching hvordan man finder det... ved hjælp af satelitter
GeoCaching hvordan man finder det... ved hjælp af satelitter Andreas Ulovec, Universität Wien 1 Introduktion Masser af mennesker bruger GPS til at bestemme deres egen geografiske placering, eller til at
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereRetningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen runde
Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2009 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne
Læs mereAndengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011
Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereGeometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit
Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer
Læs mereAndengradsligninger. Frank Nasser. 12. april 2011
Andengradsligninger Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereSvar på opgave 322 (September 2015)
Svar på opgave 3 (September 05) Opgave: En sekskant har sidelængder 7 7. Bestem radius i den omskrevne cirkel hvis sekskanten er indskrivelig. Besvarelse: ny version 6/0-05. metode. Antag at sekskanten
Læs mereVinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014
Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen. Geometri. Georg Mohr-Konkurrencen
Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en teoretisk indføring, men der i stedet fokus på
Læs mere3D-grafik Karsten Juul
3D-grafik 2005 Karsten Juul Når der i disse noter står at du skal få tegnet en figur, så er det meningen at du skal få tegnet den ved at taste tildelinger i Mathcad-dokumentet RumFig2 Det er selvfølgelig
Læs mereMikkel Gundersen Esben Milling
Mikkel Gundersen Esben Milling Grundregel nr. 1 En GPS kan og må ikke erstatte navigation med kort og kompas! Kurset Basal brug af GPS Hvad er en GPS og hvordan virker systemet Navigation og positionsformater,
Læs mereTrigonometri at beregne Trekanter
Trigonometri at beregne Trekanter Pythagoras, en stor matematiker fandt ud af, at der i en retvinklet trekant summen af kvadraterne på kateterne er lig med kvadratet på hypotenusen. ( a 2 + b 2 = c 2 )
Læs mereMatematik F2 Opgavesæt 2
Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.
Læs mereEnhedscirklen og de trigonometriske Funktioner
Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for
Læs mereRetningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen runde
Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2008 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri
Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereBreddegrader mærket med rødt Længdegrader mærket med blåt
Koordinater Mange autocamperpladser eller seværdigheder har ingen postadresse, og opgiver derfor beliggenheden i koordinater. Det er en meget præcis angivelse, men alligevel sker der mange fejltagelser
Læs merePythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011
Pythagoras Sætning Frank Nasser 20. april 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereGeometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:
Geometrinoter, januar 009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter Disse noter omhandler sætninger om trekanter, trekantens ydre røringscirkler, to cirklers radikalakse samt Simson- og Eulerlinjen i en trekant.
Læs mereKapitel 2 Tal og variable
Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder
Læs mereDifferentiation af Trigonometriske Funktioner
Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereOpgave: "GPS og koordinater" (Geo-øvelse i Kongens Have).
Flemming Sigh, Odense Katedralskole, 23-08-2011. 1 / 5 Opgave: "GPS og koordinater" (Geo-øvelse i Kongens Have). 1. Indstillinger på GPS eren. a) Valg af koordinater. I Google Earth kan du få et overblik
Læs mereHvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8
Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt
Læs mereTrigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde
Trigonometri Ordet trigonometri er sammensat af de to ord trigon og metri, hvor trigon betyder trekant og metri kommer af det græske ord metros, som kan oversættes til måling. Så ordet trigonometri er
Læs mereMatematikken bag Parallel- og centralprojektion
Matematikken bag parallel- og centralojektion 1 Matematikken bag Parallel- og centralojektion Dette er et redigeret uddrag af lærebogen: Programmering med Delphi fra 2003 (570 sider). Delphi ophørte med
Læs mereDelmængder af Rummet
Delmængder af Rummet Frank Villa 15. maj 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereFormelsamling Matematik C
Formelsamling Matematik C Ib Michelsen Ikast 2011 Ligedannede trekanter Hvis to trekanter er ensvinklede har de proportionale sider (dvs. alle siderne i den ene er forstørrelser af siderne i den anden
Læs mereKalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015
Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).
Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,
Læs mereEn forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner.
1 En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. af Ulrich Christiansen, sem.lekt. KDAS. Den traditionelle tallinjemodel, hvor tallene svarer til punkter langs tallinjen, dækker fornuftigt (R,
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2009 Institution Herningsholm Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik B og A (1.år)
Læs mereBevægelsens Geometri
Bevægelsens Geometri Vi vil betragte bevægelsen af et punkt. Dette punkt kan f.eks. være tyngdepunktet af en flue, et menneske, et molekyle, en galakse eller hvad man nu ellers har lyst til at beskrive.
Læs mereTilhørende: Robert Nielsen, 8b. Geometribog. Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden.
Tilhørende: Robert Nielsen, 8b Geometribog Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden. 1 Polygoner. 1.1 Generelt om polygoner. Et polygon er en figur bestående af mere end
Læs mere1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.
Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt
Læs mereSkabelon til funktionsundersøgelser
Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være
Læs mereDu skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt).
Mit bord. Tegn det bord, du sidder ved. Du skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt). Tegningerne skal laves på
Læs mere