Standardtitelblad til opgaver på Læreruddannelsen Campus Roskilde. Elektronisk aflevering

Standardtitelblad til opgaver på Læreruddannelsen Campus Roskilde. Elektronisk aflevering Navn og studienummer: Louise Jakobsen lr11se1411 Fag/hold: Bachelorprojekt Matematik 1.-6. klasse Titel på opgaven: Faglig læsning i matematik Vejleder/underviser: Charlotte Andersen & Jette Reeh Antal sider/anslag: 52 sider / 89.298 anslag (Svarende til 34,35 sider) Afleveringsdato: 26. maj 2015 I henhold til Bekendtgørelse om prøver og eksamen i erhvervsrettede uddannelser (BEK nr. 1016 af 24/08/2010) skal den studerende ved aflevering af skriftlige opgaver bekræfte, at opgaven er udfærdiget uden uretmæssig hjælp. Det betyder, at opgaven udelukkende er skrevet af afleveringspersonen/personerne og med de ifølge studieordningens tilladte hjælpemidler. Når eksamensopgaven er uploadet har ovenstående studerende samtidig bekræftet, at opgaven er udformet uden uretmæssig hjælp jf. BEK nr. 1016 af 24/08/2010.

2 Lr11se1411 Louise Jakobsen Professionsbachelor Matematik 1.-6. Klasse - 26. maj 2015 Indholdsfortegnelse Indledning... 4 Formål... 5 Problemformulering... 6 Metode... 6 Del 1 Begrebsafklaring... 8 Læseforståelse... 8 Faglig læsning... 9 Støttende stilads og zonen for nærmeste udvikling... 10 Læringssyn... 11 L. S. Vygotsky... 11 Teori... 11 Marit Johnsen Høines... 11 Michael Wahl Andersen... 12 9. Klasse... 13 Empiri... 13 Analyse... 14 Lærerbogssystem Kontext... 15 Analyse... 15 3. Klasse... 17 Empiri... 17 2

3 Lr11se1411 Louise Jakobsen Professionsbachelor Matematik 1.-6. Klasse - 26. maj 2015 Analyse... 22 Handlings muligheder... 25 Del 2: En inkluderende undervisning Inklusion... 31 Undervisningsdifferentiering... 32 SMTTE-model... 33 P-CKema... 33 Undervisningsforløb: Faglig læsning... 33 Elevernes dannelse... 39 Del 3 Metodekritik... 41 Diskussion... 42 Konklusion... 44 Perspektivering... 46 Litteraturliste... 49 Bilag 1 - Spørgeskema besvarelse fra en faglig svag elev... 51 Bilag 2 Spørgeskema besvarelse fra en faglig stærk elev... 52 3

4 Lr11se1411 Louise Jakobsen Professionsbachelor Matematik 1.-6. Klasse - 26. maj 2015 Indledning Vi har i skoleåret 2014/2015 fået iværksat en ny skolereform, hvor regeringens mål er, at gøre en god folkeskole bedre give et fagligt løft. 1 Dette indebærer bl.a. at eleverne skal have flere undervisningstimer i dansk og matematik. Udover flere undervisningstimer har den nye reform også fokus på inklusion. Målet er at 96% af det samlede elev antal i 2015, skal inkluderes i den almindelige undervisning. 2 Der er i gennemsnittet 21,4 elever pr. klasse i de danske folkeskoler. 3 Det giver læreren ca. 2 minutter, til at hjælpe hver enkelt elev, for at alle elever i klassen, kan nå at få den støtte eller udfordring, de har behov for til at opnå en optimal læring. Nu da flere elever skal inkluderes i den almene undervisning, mindsker det yderlige lærerens tid til hver enkel elev. Så er spørgsmålet om regeringens mål for inklusion og fællesskabet, spænder ben for målet om det faglige løft? Eller om der kan findes en gylden middelvej, så begge mål kan realiseres. Hvis vi kigger på det faglige løft i forhold til matematikken, viser statistikker fra (UVM 2013) at der er plads til forbedring. 4 Formålet med matematikundervisningen er i følge Fælles Mål 2009: (..) at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt i matematikrelaterede situationer vedrørende dagligliv, samfundsliv og naturforhold. 5 1 http://www.uvm.dk/den-nye-folkeskole 2 http://www.uvm.dk/uddannelser/folkeskolen/inklusion-og-specialundervisning/inklusion/omstilling-til- oeget-inklusion 3 http://www.uvm.dk/~/media/uvm/filer/udd/folke/pdf14/jan/140108%20udvikling%20i%20elevtal%20i %20grundskolen%202012%202013.ashx 4 http://www.uvm.dk/~/media/uvm/filer/udd/folke/pdf13/nov/131111%20udviklingen%20i%20grundsk olekarakterer%209%20klasse.pdf 5 http://www.uvm.dk/service/publikationer/publikationer/folkeskolen/2009/faelles-maal-2009- Matematik?Mode=full 4

5 Lr11se1411 Louise Jakobsen Professionsbachelor Matematik 1.-6. Klasse - 26. maj 2015 Hvis vi kigger på statistikker over elevernes præstationer i form af færdighedsregning og problemregning, viser de at problemregningen halter bagefter. Problemregning er det område som relatere til dagligdagen, og bl.a. indeholder elementer af faglig læsning. Set ud fra statistikken og Fælles Mål 2009, må man som sagt konkludere, at der er plads til en forbedring. Denne forbedring skal allerede fortages i elevernes tidlige skoleår. Det er derfor vigtigt at vi i folkeskolen gør en indsats for at ændre denne udvikling. Denne udvikling kan starte med en øget fokusering på elevernes håndtering af faglig læsning, og hvordan denne kan støttes, så eleverne er bedre rustet til at begå sig hensigtsmæssigt i matematikrelaterede situationer i dagligdagen. Der bliver i øjeblikket brugt mange ressourcer til den faglige læsning i skolens matematikundervisning, på trods af at der endnu ikke findes nogle danske undersøgelser, som understøtter problemet ved den faglige læsning. 6 Hvis vi tager et kig på vores naboland Norge, argumenterer den norske forsker Elin Reikerås (2006) for at halvdelen af de læsesvage elever klare sig markant bedre, når det gælder færdighedsregning, end når det gælder problemregning. Set i forhold til denne argumentation kan man konkludere, at en øget fokusering på faglig læsning er afgørende for at kvalificere undervisningen i problemregning i matematik. Den øget fokusering på faglig læsning i matematik, kan også ses i Fælles Mål 2009, hvor faglig læsning er at finde i trinmålene inden for området matematiske arbejdsmåder. Det gælder både trinmålene efter 3. Klassetrin, 6. Klassetrin og 9. Klassetrin, samt i slutmålene for henholdsvis 9. og 10. Klassetrin. 7 Det handler nu om at identificere elevernes specifikke problemer med den faglige læsning i matematik, og finde konstruktive løsningsstrategier, som både indhenter og forebygger vanskelighederne. Formål Formålet med opgaven er at give matematiklærere i indskolingen redskaber, til at arbejde med begrebet faglig læsning. Det er relevant for matematiklærere at have kendskab til redskaber, som kan støtte eleverne i den faglige læsning, da denne arbejdsmetode indgår i Fælles Mål 2009. Jeg vil argumentere for en inkluderende undervisning, hvor elevernes deltagelse i sociale fælleskaber er en 6 Wahl Andersen og Krogh 2013: side 191 7 http://www.uvm.dk/service/publikationer/publikationer/folkeskolen/2009/faelles-maal-2009- Matematik/Trinmaal-for-faget-matematik-efter-6-klasse/Matematiske-arbejdsmaader 5

6 Lr11se1411 Louise Jakobsen Professionsbachelor Matematik 1.-6. Klasse - 26. maj 2015 betydelig faktorer for deres læring. Herunder en argumentation for brugen af forskellige repræsentationsformer i matematikundervisningen. Jeg er, på baggrund af mine erfaringer med elever i matematikundervisningen, kommet frem til følgende problemformulering: Problemformulering Hvordan kan jeg som lærer støtte elever i matematikvanskeligheder i form af faglig læsning - og samtidig skabe en inkluderende undervisning? Metode Mit bachelorprojekt er udarbejdet i tilknytning til faget matematik 1.-6. Klasse. Projektet er baseret på mine erfaringer og observationer i lærerarbejdet. Jeg har erfaret, at en del elever oplever vanskeligheder i matematik, når de bliver stillet overfor en opgave som indeholder faglig læsning. Min empiri har jeg indsamlet i en 3. Klasse og to 9. klasser på en folkeskole i Korsør, hvor jeg både har været i praktik og arbejdet som lærervikar. Grundlaget for projektet er derfor de empiriske undersøgelser og erfaringer, som jeg har gjort mig i matematikundervisningen i disse klasser. Projektet vil være delt op i tre dele. Del 1: Denne del vil omhandle det første punkt i min problemformulering som hedder Hvordan kan jeg som lærer støtte elever i matematikvanskeligheder i form af faglig læsning. Jeg vil starte med at redegøre for de centrale begreber og nøgleord, som går igen igennem opgaven. Først vil jeg redegøre for, hvordan jeg i projektet ser på læseforståelse. Dette vil jeg gøre ud fra Merete Brudholms(2007) beretninger om læseforståelse. Derefter vil jeg definere begrebet faglig læsning i matematik og Vygotskys begreber stilladsering og zonen for nærmeste udvikling. Til at kortlægge mit læringssyn vil jeg anvende Vygotsky. Metoden hvori min empiri er samlet, består af to forskellige undersøgelser. Den første undersøgelse omhandler, hvordan eleverne i udskolingen ser på problemregning, og deres erfaringer med at arbejde med faglig læsning. Undersøgelsen bliver udført gennem et spørgeskema. Det er interessant at undersøge om eleverne selv oplever den faglige læsning som et problem. Derudover har spørgeskemaet til hensigt, at belyse hvilke faktorer de oplever vanskeligheder med, og dermed 6

7 Lr11se1411 Louise Jakobsen Professionsbachelor Matematik 1.-6. Klasse - 26. maj 2015 hvilke faktorer der skal ydes en større indsats ved. Jeg vil analysere elevernes svar og finde en konklusion på, hvor eleverne oplever den faglige læsning som et problem. Den anden empiriske undersøgelse foregår i en 3. Klasse som arbejder med Kontext, kapitlet om familien Elkjær. Inden undersøgelsen vil jeg analysere undervisningsmaterialet fra Kontext 3. Klasse, for at finde frem til, hvilke problemer eleverne kan støde ind i, i opgaver vedrørende faglig læsning. Min undersøgelsesmetode er en passiv observatør rolle, mens eleverne præsenteres for kapitlet. Efterfølgende har jeg interviewet nogle udvalgte elever, for at undersøge og afklare hvilke problemer de løb ind i. Dertil vil jeg skitsere en dialog, jeg har haft med en af de udvalgte elever. Til at undersøge og analyser problemet vil jeg anvende Marit Johnsen Høines(1998) tilegnelse af det matematiske sprog i sammenspil med Merete Budholms(2007) tegn på læseforståelse. De tiltag jeg vil foreslå, er inspireret af Michael Wahl Andersen(2010) og Vygotskys socialt baseret læring. Del 2: Her vil jeg redegøre for princippet inklusion ud fra Alenkærs(2015) definitioner: kvantitativ inklusion og kvalitativ inklusion. Samt en redegørelse for begrebet undervisningsdifferentiering. Efterfølgende vil jeg komme med et handlingsforslag til, hvordan man kan planlægge en inkluderende undervisning i matematik. Dette vil jeg gøre ud fra princippet P-CKema. Mine didaktiske tanker omkring undervisningsforløbet vil blive baseret på SMTTE-modellen, da denne model giver mulighed for løbende evaluering, og dermed giver et godt grundlag for at opdage tegn på forståelse og frustration. Til den fagdidaktiske del vil jeg anvende Michael Wahl Andersens(2010) tanker om begrebsdannelse i form af sprog og billeder, og Marit Høines (1998) teori om det matematiske sprog. Jeg vil bygge forløbet op, ved at anvende Vygotskys tanker om den socialt baseret læring. Derudover vil jeg afsluttende argumentere for, hvordan forløbet bidrager til elevernes almen dannelse ud fra Wolfgang Klafkis dannelsesteori Kategorial dannelse. Del 3: I denne del vil jeg diskutere mit valg af undersøgelsesmetode, samt opgavens teoretiske fundament. Derudover vil jeg foretage en samlet konklusion og perspektivering. 7

8 Lr11se1411 Louise Jakobsen Professionsbachelor Matematik 1.-6. Klasse - 26. maj 2015 Del 1 Begrebsafklaring Læseforståelse Merete Brudholm(2007) giver en beskrive af hvad læseforståelse er. Hun inddeler dem i 6 kategorier. 1. At have en god sprogforståelse 2. At have baggrundsviden viden om verden 3. At kunne danne inferenser 4. At danne indre forestillingsbilleder 5. At have et godt genrekendskab 6. At være metakognitiv at have en aktiv læseindstilling. Jeg vil i dette projekt beskæftige mig med punkterne 2, 4 og 6 for at belyse elevernes læsevanskeligheder i matematikundervisningen. 2. At have baggrundsviden viden om verden: Læseforståelsen bygger her på skemateori. Skemateorien omhandler, hvordan eleverne opbevarer deres viden, hvordan de lærer, og hvordan de husker det de har lært. 8 Disse skemaer kan betragtes som abstrakte generaliserede huskesystemer. Når eleverne gør nye erfaringer, som tilføjer ny viden til de etablerede skemaer, udbygges skemaet, eller skemaet ændres, så de opbevarer den nye viden. Teksten elever læser, bliver her ikke kun knyttet til det sproglige, men også til det kognitive. Hvis disse kognitive skemaer er manglefulde i forhold til tekstens stofområde, opstår der problemer med forståelsen. 9 4. At danne indre forestillingsbilleder: I forbindelse med skemateorien skal eleverne, når de læser en tekst, kunne skabe de her skemaer, som en mental model, et forestillingsbillede, af den tekst de læser. 10 Læsningen er her en invitation om at aktivere baggrundsviden indenfor emnet, i form af skemaer med relevante begreber. Dermed er baggrundsviden en forudsætning for, at eleverne kan 8 Brudholm 2007: side 46 9 Brudholm 2007: side 47 10 Brudholm 2007: side 47 8

9 Lr11se1411 Louise Jakobsen Professionsbachelor Matematik 1.-6. Klasse - 26. maj 2015 danne de indre forestillingsbilleder de behøver, for at kunne forstå teksten. Forestillingsbillederne bliver dannet ved, at skemaerne udbygges og ændres med ny og relevant viden. At være metakognitiv at have en aktiv læseindstilling: Her kan eleverne skelne mellem selve læseforståelsen og bevidstheden om forståelsen. Dermed er eleverne bevidst om, hvad de forstår og hvad de ikke forstår. Dette er en vigtig forudsætning i den faglige læsning, så eleverne hurtigt kan udpege specifikke ord og begreber som de ikke forstår. Når eleverne er metakognitiv, kan de se hvilke ord/begreber som deres skemaer skal ændres eller fornyes med. Hermed bliver læseren aktiv i at ombygge eller ændre de indre forestillingsbilleder i form af skemaerne, da de som sagt kan se, hvor forståelsen brister. Faglig læsning i matematik Som tidligere nævnt er der stor fokusering på faglig læsning i de danske folkeskoler. I trinmålende for matematik efter 6. klassetrin står der: Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til at læse faglige tekster, samt forstå og forholde sig til faglige informationer, som indeholder matematikfaglige udtryk. 11 Definitionen på læsning kan ses ud fra dette udtryk: Læsning = afkodning x forståelse. Her indikerer gangetegnet at, hvis en af de to kompetencer ikke er til stede hos eleven, finder læsningen ikke sted. Hvis forståelsen af teksten ikke er der, vil udtrykket hedde: Læsning = afkodning x 0, og når man ganger med 0, bliver resultatet altid 0, og dermed ingen læsning. Begrebet afkode vil sige, at eleverne kan kombinere passende lyde til bogstaverne. Begrebet forståelse vil sige, at eleverne kan danne sig forestillingsbillede på baggrund af teksten. 12 Derudover handler det også om, at eleverne formår at inddrage sin erfaringsverden i forståelsesprocessen, så forståelsen bygger på personlige erfaringer og viden. Dette kræver at eleverne i indskolingen bliver bekendt med, at der findes et matematisk sprog som adskiller sig fra deres dagligdag. Det er en forudsætning, for at eleverne har muligheden for at tilegne sig det matematiske sprog og forstå det. Formålet i faglig læsning er altså, at eleverne skal lære at konstruere deres viden ud fra en skreven tekst, som forudsætter, at de mestrer flere læsemåder, strategier og forestillingsmønstre. 13 11 Fælles Mål (2009) - Matematik 12 Wahl Andersen og Krogh 2013: side 191 13 Wahl Andersen og Krogh 2013: side 192 9

10 Lr11se1411 Louise Jakobsen Professionsbachelor Matematik 1.-6. Klasse - 26. maj 2015 For at understøtte eleverne i den faglige læsning skal læreren være opmærksom på: Elevernes individuelle læse-, skrive- og sprogkompetencer Opgavetyper og faste rutiner, der understøtter læse- og begrebsforståelse. Undervisnings struktur. Derudover findes der forskellige teksttyper i matematikbøgerne, som kræver forskellige strategier. Der kan både være træningsopgaver, som indeholder multimodale tekster. Der kan også være tekstopgaver, hvor teksten i opgaven både indeholder information og det matematiske problem som skal løses. Til sidst kan der også være kontekstuelle opgaver, hvor opgaverne relaterer sig til et tema. Disse forskellige teksttyper kræver forskellige strategier, samtidig med at alle elever er individuelle individer, hvis læseveje kan være forskellige, fordi deres læsekompetence og generelle faglige kompetencer er forskellige. 14 Det støttende stilads og zonen for nærmeste udvikling Stilladsering har sit afsæt i Vygotskys teori, der omhandler zonen for nærmeste udvikling. Begrebet zonen for nærmeste udvikling, bygger på at læring er socialt baseret. Børn i samarbejde er stærkere og klogere, idet barnet hæver sig over sit sædvanlige intellektuelle niveau, hvor det ellers er i stand til at løse opgaver selvstændigt. (Vygotsky 1971) 15 Eleverne lærer i forlængelse af det de allerede har lært. Den næste zone, er den zone som de ikke mestre endnu, men er tilgængelige i samarbejdet med læreren eller andre elever. 16 Ved at læreren skaber zonen for nærmeste udvikling, åbner det for at elevernes egen udvikling kan fortsætte, og dermed udvikle højere psykologiske funktioner. 17 Alle elever har dermed potentialer der kan udvikles til læring, med den rette instruktion. Det støttende stillads er et redskab, som kan støtte eleverne på deres vej ind i den næste udviklings zone, hvis de har problemer med at tage skridtet, hvor de selvstændigt kan løse en problemstilling. 14 Wahl Andersen og Krogh 2013: side 194 15 Wahl Andersen 2010: side 28 16 Wahl Andersen 2010: side 28 17 Hasse, Cathrine (red.) 2013: side 163 10

11 Lr11se1411 Louise Jakobsen Professionsbachelor Matematik 1.-6. Klasse - 26. maj 2015 Læringssyn Mit grundlæggende syn på læring er et socialkonstruktivistisk læringssyn. Jeg vil i dette projekt som udgangspunkt have mit fokus på den sociokulturelle læringsteori, hvor den grundlæggende metafor for læring, er læring som deltagelse. Jeg kommer dermed ikke direkte til at beskæftige mig med et kognitivt teoriperspektiv i opgaven. Lev Semyonovich Vygotsky Den sociokulturelle læringsteori er hovedsageligt inspireret af Lev Semyonovich Vygotsky. Teorien bygger på hvorledes samfund bliver kulturelle og dermed forskellige gennem menneskers kreative, aktiv deltagelse i deres egen materielle og sproglige udvikling. 18 Læring ses her som indlejret i hverdagslivets sociale og kulturelle kontekster. Barnet starter som et socialt væsen og gennem social interaktion udvikles de kognitive funktioner og dermed bliver viden og identitet til, gennem deltagelse i sociale processer. Det betyder at det vi lærer er relationer mellem subjekter, der konstant er til forhandling. Hermed vil vores læreprocesser aldrig stå stille. De vil altid kunne folde sig ud, som aktive processuelle bevægelser, der kan flytte vores hidtil læring. 19 Det centrale udgangspunkt er altså, at læringen starter i det ydre for derefter at blive internaliseret til det indre. Teori Marit Johnsen Høines(1998) Marit Johnsen Høines(1998) fokuser blandt andet på matematiksproget, for det er specielt i indskolingen, at det matematiske sprog bliver formuleret. Ifølge Høines(1998) udvikler eleverne sig gennem deres tegninger og illustrationer forstået som sproglig aktivitet. Illustrationerne bliver et middel til tænkning og en form til at kommunikere et meningsindhold. Når eleverne får tilegnet sig et mere og mere formelt matematisk sprog, får de samtidig også en bedre udviklet talforståelse, som den videre matematiklæring skal bygge på. Marit Johnsen Høines(1997) udtaler: Ofte er det ikke matematikken, der er problemet, men mødet med sproget og kommunikationen 20 Høines(1998) ligger derfor stor vægt på sproget, og hun arbejder med en vekselvirkning mellem 18 Hasse, Cathrine (red.) 2013: side 146 19 Hasse, Cathrine (red.) 2013: side 146 20 Wahl Andersen og Krogh 2013: side 191 11

12 Lr11se1411 Louise Jakobsen Professionsbachelor Matematik 1.-6. Klasse - 26. maj 2015 børnenes egne udtryksmåder og det formelle matematik sprog. De former skal kører parallelt med hinanden. Eleverne skal bruge deres egne udtryksmetoder til at finde frem til løsninger, men de skal samtidig bevæge sig over i det formelle sprog, og dermed en bredere talforståelse. Høines(1998) præsenterer en model, hvori man kan placere og følge børnenes sprogudvikling. Det giver samtidig læreren mulighed for at iagttage, hvor barnet befinder sig henne. Dermed kan læreren se, hvor eleven har brug for støtte, for at tilegne sig et mere formelt sprog, som eleverne kan bruge som redskab for egen tænkning 21. Modellen består i 3 faser. 1. fase er børnenes eget sprogbrug, som de arbejder med i skolen, og det er arbejde med uformel matematik. Det er den fase eleverne er i, når de starter i skolen. Fase 2 er sprog af 2. orden, hvor nogle fagudtryk kommer i forbindelse med elevernes hverdagssprog. Fase 3, er den sidste fase, hvor sproget er af 1. orden, og er dermed den fase hvor eleverne har tilegnet sig og bruger de matematiske udtryk. Det er vigtigt for den faglige læsning, at eleverne kommer over i fase 3, hvor de bruger det matematiske sprog, som sprog af 1. orden. Befinder eleverne sig i den fase, vil det sige at de kan afkode og forstå en tekst, og besidder dermed kompetencer inden for den faglige læsning. Michael Wahl Andersen(2010) Michael Wahl Andersen(2010) fokuser bl.a. på at der skal billeder på matematikken. De billeder man danner i hovedet, har stor indflydelse på hvordan man tænker og handler. 22 Han er inspireret af Dan B. Eriksens argumenter for at relationerne mellem repræsentationerne, gør det muligt for eleverne at danne robuste begreber i matematik. 23 Når et nyt begreb skal repræsenteres sker det i ydre og indre repræsentationer. De ydre repræsentationer kan være konkrete materialer, kommunikation, matematiske symboler og illustrationer. De indre repræsentationer er de mentale billeder, som er det enkelte individs forståelse af et givent emne eller begreb. For at eleverne kan udføre matematisk tænkning, skal de via deres mentale billeder kunne: 24 Sætte ord på matematikken Knytte matematikken til hverdagssituationer 21 Solem og Reikerås 2008: side 243-244 22 Wahl Andersen 2010: side 11 23 Wahl Andersen 2010: side 14 24 Wahl Andersen 2010: side 15 12

13 Lr11se1411 Louise Jakobsen Professionsbachelor Matematik 1.-6. Klasse - 26. maj 2015 Knytte matematikken til konkrete repræsentationer Generalisere matematikken gennem skriftlige symboler. Ifølge Micheal Wahl Andersen(2010) er det derfor vigtigt at eleverne arbejder med forskellige repræsentationer som led i deres matematiklæring. Repræsentationerne skal fungere som medierende led fra det konkrete arbejde med matematik til dannelsen af abstrakte, matematiske begreber. 25 En af de ydre repræsentationsformer er kommunikation. Derfor spiller sproget også en stor rolle for elevernes begrebstilegnelse. De elever der besidder et veludviklet sprog, har de bedste forudsætninger for at knytte lærerens forklaringer til deres egne forestillinger, og dermed gode muligheder for læring. Hvorimod elever med mindre sproglige forudsætninger ofte får store vanskeligheder med den grundlæggende begrebsudvikling. 26 Michael Wahl Andersen(2010) opererer med begrebet arbejdshukommelsen som det mentale grundlag. Han beskriver arbejdshukommelsen som: den aktive proces, som opstår, når vi tænker os om, når vi overvejer, repetere, fordyber os, stiller spørgsmål og i det hele taget tager hvor kognitiv arsenal i brug. 27 Arbejdshukommelsen kan bl.a.: Fastholde en tanke mens den udvikles, bearbejdes afklares eller anvendes. Holde sammen på enkelte komponenter i en opgave, mens hele opgaven fuldføres. Holde sammen på en række nye oplysninger, så de forbliver meningsfulde. Fastholde en langsigtet plan, mens man overvejer kortsigtede behov. 9. Klasse Empiri I stedet for at kigge på allerede udarbejdede statistikker, omkring elevernes præstationer i problemregning, vil jeg gerne have et indblik i, hvordan elevernes eget synspunkt ser ud. Derfor har jeg udarbejdet et spørgeskema. Formålet med spørgeskemaet er at få et indblik i elevernes 25 Wahl Andersen 2010: side 15 26 Wahl Andersen 2010: side 18 27 http://cfu.ucsj.dk/fileadmin/user_upload/cfu/matematik_i_marts/om_at_laese_i_matematik.pdf 13

14 Lr11se1411 Louise Jakobsen Professionsbachelor Matematik 1.-6. Klasse - 26. maj 2015 personlige erfaringer, og få dem til at beskrive hvilke vanskeligheder de oplever. For dermed at få en dokumenteret indikation om, hvilke tiltag der skal arbejdes på at forbedre. Spørgeskemaet har jeg delt ud i 2 forskellige 9. Klasser. De to klasser har haft forskellige lærere og har forskellige niveauer både i problemregning og i færdighedsregning. Det første spørgsmål gik ud på, hvad de havde sværest ved færdighedsregning vs. problemregning. Der var i alt 26 elever der svarede på spørgeskemaet. Deres svar fordelte sig således: Antal % Færdighedsregning 3 3 100 = 11,5 % 26 Problemregning 20 20 100 = 77,0 % 26 Ved Ikke 3 3 100 = 11,5 % 26 FÆRDIGHEDSREGNING VS. PROBLEMREGNING Ved ikke Problemregning Færdighedsregning I alt 26 100 % 0 20 40 60 80 Analyse I bilag 1 kan man se hvordan en faglig svag elev her har konkretiseret hvordan hun oplever hendes problemer med problemregning. Hun beskriver at vanskelighederne opstår, når opgaverne indeholder en del tekst som skal læses, da hun ikke forstår hvad der står, eller også forstå hun kun noget af det. I bilag 2 konkretiserer en faglig dygtig elev, de problemer han kan støde ind i, når han arbejder med problemregning. Han beskriver at vanskelighederne kan komme i oversættelsen fra det danske sprog til matematik sproget. Begge elevers vanskeligheder kommer til syne i læseforståelsen af den faglige tekst. Vanskeligheder kommer selvfølgelig i forskellig grad, men begge har rødder i den faglige læsning. Begge elever kommer også med deres bud på, om en tidlig og kontinuerlig fokusering på faglige læsning, vil have betydning for arbejdet med problemregning i udskolingen, hvilket de begge mener, ville være en fordel. De begrunder det med, at jo mere man træner den type opgaver, jo mere rustet er man, til at arbejde med tekstfyldte opgaver. 14

15 Lr11se1411 Louise Jakobsen Professionsbachelor Matematik 1.-6. Klasse - 26. maj 2015 Lærerbogssystemet Kontext Analyse af undervisningsmateriale/lærerbogssystem Kontext for 3. Klasse. Lærerbogen Kontext er bygget op i forskellige emner, som er opdelt i kapitler, der altid starter på samme måde. I hvert kapitel er der en tegning, der illustrerer afsnittes problemstilling. Tegningen skal hjælpe eleverne med at forstille sig opgaven, og skabe mentale billeder af teksten. Derudover er der også en indledende tekst, der introducerer problemstillingen. I denne tekst bliver eleverne sat ind i, hvad problemstillingen handler om, og de får oplysninger at vide, som de skal bruge i selve opgaveløsningen. Dertil kommer selve opgaverne. I opgaverne finder eleverne ikke støtte til at løse dem, den støtte skal de finde i de dertil hørende tekststykker. Ud over tekststykkerne er der også tekniske tegninger, som indeholder oplysninger eleverne skal bruge til at løse opgaverne. I et lærerbogssystem som Kontext er det vigtigt, at eleverne er i stand til at bevæge sig ubesværet mellem de fire tekstelementer, for at kunne skabe mening i teksten, og vide hvordan de skal løse opgaverne. For at finde ud af, hvordan jeg som lærer bedst muligt kan støtte elever i læsevanskeligheder, har jeg valgt at analysere kapitlet om familien Elkjærs rejse til Bornholm, som tager udgangspunkt i regningsarterne addition, subtraktion og multiplikation. Eleverne skal afkode gennem faglig læsning, hvilken regnings art, de skal arbejde med i den pågældende opgave. Eleverne kommer igennem opgaverne til at arbejde med kompetencerne: Problembehandlingskompetencen, da de skal løse matematiske problemer ud fra en kontekst. Ræsonnementskompetencen, da de skal ræsonnere og argumentere for holdbarheden i en matematisk påstand. Repræsentationskompetencen, da de skal bruge uformelle repræsentationsformer sammen med symbolsprog og arbejde med deres indbyrdes forbindelser. Symbolbehandlingskompetencen, da de skal afkode og anvende enkle matematiske symboler, herunder tal og regnetegn, og forbinde dem med dagligdags sprog. 15

16 Lr11se1411 Louise Jakobsen Professionsbachelor Matematik 1.-6. Klasse - 26. maj 2015 I den første opgave skal eleverne bruge de informationer de får i teksten angående børnenes alder, for at finde frem til det rigtige regne stykke. Tog og Færge: 224 + 224 + 0 + 112 = 560 kr. De dygtige elever kunne evt. udfordres til at komme til en erkendelse af, at man kunne inddrage multiplikation, når det samme tal opstår flere gange i ligningen. Så regneudtrykket kan skrives således: Tog og Færge: 2 224 + 112 = 560 kr. Ved at skrive regneudtrykket således bliver eleverne bekendte med regnehierarkiet, og de får en erkendelse af, at man ikke behøver skrive 0 i en additions ligning, da det ikke har nogen betydning. Bus og Færge: 218 + 218 + 0 + 109 = 545 kr. BBus og Færge: 2 218 + 109 = 545 kr. Færge: 233 + 233 + 0 + 233 = 699 kr. Her kunne de dygtige elever bruge samme metode som i de forgående, og komme frem til ligningen: Færge: 2 233 + 233 = 699 kr. Men opgaven ligger også op til yderligere udfordring til de dygtige elever, som bygger videre på multiplikation, nemlig at når man har det samme tal flere gange, tæller man hvor mange gange tallet opstår og ganger det, med det pågældende tal. Færge: 3 233 = 699 kr. Fly: 859 + 859 + 559 + 559 = 2.836 kr. Her får eleverne mulighed for at afprøve multiplikation igen, ud fra den forgående opgave. Der er her muglighed for at eleverne arbejder med ræsonnement kompetencen. Det giver læreren mulighed for, at se om eleverne kan drage paralleller mellem opgaverne, og se om de har tilegnet sig den viden de brugte i sidste opgave, så de også kan se til den viden også gælder i andre opgaver, altså at den matematiske påstand om, at man kan bruge multiplikation i stedet for addition, når det er det samme tal der skal adderes med hinanden. Fly: (2 859) + (2 559) = 2.836 kr. Her er er det dog vigtigt at de bekendte og husker regnehierarkiet, ellers bliver udregningen forkert. 16

17 Lr11se1411 Louise Jakobsen Professionsbachelor Matematik 1.-6. Klasse - 26. maj 2015 I opgave 2 kommer den faglige læsning igen i spil og eleverne arbejder her med repræsentations-, symbol- og formaliseringskompetencen. I opgaven skal de finde ud af, hvilken regningsart de skal bruge, igennem den skrevne tekst, og dermed oversætte mellem det naturlige sprog og matematikkens formelsprog. Eleverne bliver bedt om at finde frem til den dyreste transport for familien. Her skal eleverne vide, at den dyreste tranport = den højeste pris, altså det højeste tal i forgående opgave. Her skal eleverne være bekendte med tallenes orden og placering. Herudover bliver eleverne bedt om at finde prisforskellen mellem den billigste og den dyreste transport. Her skal eleverne afkode og forstå ordet prisforskel til at finde frem til hvilken regningsart de skal benytte. Derudover skal de også vide at ordet billigst skal forbindes med den laveste pris/tal fra den forgående opgave. I det sidste spørgsmål skal eleverne igen afkode hvilken regningsart de skal benytte, for at finde prisen for en voksen på færge 1. Eleverne skal her være i stand til at bide mærke i ordet tog, som et ord de skal bruge, for at kunne løse opgaven. De skal bruge ordet til at finde det rigtige tal i skemaet som de skal subtrahere med 109. 3. Klasse Empiri Min empiri bygger på en observation af en 3. Klasse, som arbejder med de første par sider fra kapitlet Ferie på Bornholm, som jeg har analyseret ovenfor. I selve undervisnings situationen har jeg haft en passiv observatør rolle, hvor jeg blandt andet har observeret elevernes brug af det matematisk sprog, samt observeret hvordan de individuelt har arbejdet med opgaverne, og deres håndtering af den faglige læsning. Undervisningen startede med at klassen bliver præsenteret for det de skal arbejde med, og eleverne finder deres ting frem. 17

18 Lr11se1411 Louise Jakobsen Professionsbachelor Matematik 1.-6. Klasse - 26. maj 2015 Lærer: Vi skal til at arbejde med hverdags matematik. Hvad er hverdags matematik, er der nogen der ved det? Jonas: Det er matematik fra hverdagen. Lærer: Ja, hvor henne bruger vi matematik i hverdagen? Jonas: I skolen og i klassen. Lærer: Ja, hvor ellers? Clara: Når vi skal bage og finde ud af hvor meget vi skal bruge. Lærer: Ja og hvorfor skal vi finde ud af hvor meget vi skal bruge? Clara Fordi vi skal handle. Lærer: Ja, vi skal i supermarked og finde ud af hvad vi skal købe ind. Hvad er så rart at vide når vi skal ud og handle ind? Andrea: Vi skal plusse sammen, så vi ved hvor meget det bliver. Lærer: Ja, vi skal finde ud af hvad det koster. Lærer: Det vi skal arbejde med i dag er familien Elkjær som skal til Bornholm. (Læreren læser tekststykket højt for klassen) Prøv at kigge på billederne på siden. Kan i se noget, som i tror vi skal bruge til at løse opgaverne med? Hector: Jeg tror vi skal bruge den boks, der er nogle tal i. Lærer: Ja, her har vi nemlig nogle matematiske tal, som vi kan lave regnestykker med. Lad os prøve at kigge på den første opgave. (Læreren læser højt: Hvad koster det for familien at rejse til Bornholm på de fire måder? Først skal vi regne ud hvad det koster dem at tage tog og færge. Derefter er der også andre alternativer, vi skal prøve at regne ud. Og hvor kan vi finde nogle tal at regne med? Hector: I den gule boks. Lærer: Lige præcis. Husk at læse hvad der står, både i opgaven og i den gule boks. Værsgo at gå i gang med den første opgave. Interview med Jonas, mens han løser opgaven Mig: Hvad er det første du vil gøre? Jonas: Jeg finder der hvor der står Tog og færge. Mig: Ok hvad gør du så? Jonas: Så tager jeg de tal der står ud fra den. 224+0+112. Mig: Ok hvorfor gør du det? 18

19 Lr11se1411 Louise Jakobsen Professionsbachelor Matematik 1.-6. Klasse - 26. maj 2015 Jonas: Fordi det er de tal, som står ud fra Tog og færge. Og dem plusser jeg. Mig: Ok. Hvor mange tal har du så lagt sammen? Jonas: (tæller tallene) 3? Mig: Ja. Hvor mange er de i familien, som skal til Bornholm? Jonas: (tænker sig lidt om kigger på billedet og tæller hvor mange personer der er, hvorefter han svarer 4. Jonas virker lidt forvirret) Mig: Ja, så vi har 4 personer der skal af sted, men kun 3 tal i vores udregning. Hvad mangler vi så? Prøv at kigge på, hvad der står i det gule skema øverst. Jonas: Læser voksen, barn 0-11, barn 12-15. Når, det fordi jeg mangler en voksen mere. Så skal jeg sige 224+224+0+112. Mig: Nemlig. Og hvad giver det? Jonas: (opstiller tallene under hinanden) 560 kr. Mig: Hvis du kigger på de tal du har skrevet, er der så nogle af tallene der stikker ud, og fortæller dig noget? Jonas: (Kigger på tallene) Ja, 0 er jo ingenting, så jeg skal vel ikke skrive 0, skal jeg? Mig: Har det nogen betydning for resultatet hvis du ikke skriver 0? Jonas: Nej, det giver jo det samme. Så er det jo lige meget, er det ikke? Mig: Jo, så længe det er addition vi arbejder med. Resten af opgaven løser han på samme måde, ved at opstille additions algoritmer og regner dem ud, ved at opstille dem under hinanden. Han er længe om at lægge tallene sammen, men han finder frem til resultaterne til sidst. Interview med Jonas mens han løser opgave 2: Mig: Hvad står der i opgaven? Jonas: Læser opgaven højt. Den dyreste transport for familien. Mig: Hvilket ord skal vi ligge mærke til, for at vi kan finde svaret. 19

20 Lr11se1411 Louise Jakobsen Professionsbachelor Matematik 1.-6. Klasse - 26. maj 2015 Jonas: Hmm, den dyreste? Mig: Ja. Hvad tænker du når der står den dyreste? Jonas: Det er når noget koster over 1000 kr. Så er det dyrt. Mig: Ok. Hvad skal vi skrive som svar i opgaven? Jonas: (sidder og tænker lidt) Mig: Hvor skal vi kigge henne for at få hjælp? Jonas: Peger på den gule tekst boks. Mig: Ja, der har vi i hvert fald nogle priser. Men har vi ikke lige regnet noget ud med de tal? Jonas: Joo, her? (peger på opgave 1) Mig: Ja, hvad kan vi bruge det til? Jonas: (Kigger på opgave 1) jeg skal skrive 2.836 kr. Fordi det er det tal der er over 1000. Mig: Ok, så skriver du det. Mig: Hvad står i den næste? Jonas: Læser højt: Hvad er prisforskellen på den dyreste og den billigste transport? Mig: Hvad tror du vi skal her? Jonas: (sidder og tænker) hmm, vi skal lægge tallene sammen. Mig: Hvilke tal? Jonas: Hmm, det er ligesom når man er ude og handle, og der to slags havregryn, så ser man på hvad de koster og lægger dem sammen. Mig: Ok, så hvilke ord er det du ligger mærke til i teksten? Jonas: Den dyreste og billigste. Mig: Ok. Så hvis vi har en havregryn der koster 15 kr. Og en der koster 20 kr. Hvad gør du så siger du? Jonas: Så kigger jeg på priserne og lægger dem sammen. Også får jeg 5 kr. Mig: hmm, hvordan kommer du frem til at det giver 5? Jonas: Jeg ser hvor langt der er fra 15 til 20 og der er 5. Mig: Lægger du dem så sammen? Jonas: Ja. Mig: Hvis jeg lægger det sammen, så får jeg 15+20 = 35 kr. Jonas: (Kigger lidt på det) Nej, jeg minusser det. Mig: Ja, også har du helt ret. Så giver det 5. Hvis vi så kigger på opgaven, hvad skal vi så gøre? 20

21 Lr11se1411 Louise Jakobsen Professionsbachelor Matematik 1.-6. Klasse - 26. maj 2015 Jonas: (kigger lidt på opgaven og går lidt i stå) Mig: Hvilke ord var det du lagde mærke til? Jonas: Den dyreste og den billigste. Mig: Ja, kan vi finde den dyreste og den billigste? Jonas: (tænker lidt) hmm ja, det er hvis vi fx har en stor og en lille slush ice. Så er den lille billigst. Mig: Det kan du have ret i. Men hvis vi kigger på de tal vi har i bogen. Vi har jo allerede fundet den dyreste ikke? Jonas: Jo, det var 2.836. Mig: Nemlig, så mangler vi at finde den billigste. Hvad er det for en? Jonas: Det er Tog og færge. Der står 560. Mig: Er du sikker på det? Prøv og kig på alle tallene igen. Jonas: Hmm, nej det er bus og færge. Der står 545. Mig: Ok. Så har vi fundet den dyreste og den billigste transport. Hvad skal vi så? Jonas: Hmm, så skal vi gøre ligesom med havregrynene. Mig: Ja, og hvad var det vi gjorde der? Jonas: (tænker lidt) vi minussede dem. Mig: Lige præcis. Hvad bliver det så? Jonas: (regner på et papir) det bliver 2.291. Mig: Flot. Det sidste spørgsmål i opgave 2, lod det til at alle eleverne havde svært ved. Derfor valgte læreren at tage den fælles på tavlen. Vanskelighederne bestod af, at finde ud af hvad der skulle regnes. Hvilke tal der skulle bruges og hvordan det skulle stilles op. Det lod til eleverne havde svært ved at finde ud af, hvad de skulle gøre med de 109 kr. og hvorfor det overhovedet stod der. De så også ud som om de havde svært ved at finde frem til, hvilket tal i den gule tekstboks de skulle anvende. 21

22 Lr11se1411 Louise Jakobsen Professionsbachelor Matematik 1.-6. Klasse - 26. maj 2015 Læreren forklarede opgaven for dem, ved at stille regnestykket op for dem, og sammenligne tallene fra renestykket med ordene fra regnestykket. Det så ud til at hjælpe de fleste elever frem til en forståelse. Elevernes matematiske sprogbrug Ved at lytte til den fælles klassesamtale, og gå rundt blandt eleverne mens de løste opgaverne har jeg observeret deres brug af det matematisk sprog. Jeg har observeret og noteret det ud fra Høines(1998) 3 sprogfaser. Sproget er observeret ud fra deres forklaringer af opgaveløsnings processen, svar på lærerens spørgsmål og ud fra den måde de forklare resultaterne på. Fase 1: Antal % Uformel matematik 35 50 % Elevernes brug af det matematiske sprog Fase 2: Oversættelses fase 19 27,1 % Fase 3: Formel matematik 16 22,9 % Fase 1 Fase 2 Fase 3 I alt 70 100 % Analyse Ud fra mine observationer i 3. Klasse, kan jeg konkludere at deres matematiske udfordringer ligger i den faglige læsning, da de ikke har store problem med den faglige udregning som addition og subtraktion. Derudover er 50% af klassens matematisk sprog i Høines(1998) 1. Fase, hvor den uformelle matematik opererer. Det kan også være en barrier for elevernes forståelse af den faglige læsning. Vanskelighederne opstår her i den repræsentative fase, da eleverne har svært ved at relatere deres egne erfaringer fra deres hverdag (den uformelle matematik) til spørgsmålene i opgaverne. Herved får de ikke glæde af deres egne erfaringer. Den glæde og gavn kommer først, når eleverne er i fase 3, hvor eleverne kan bevæge sig fra den repræsentative fase til den abstrakte 22

23 Lr11se1411 Louise Jakobsen Professionsbachelor Matematik 1.-6. Klasse - 26. maj 2015 fase, hvor de formår at oversætte deres hverdags erfaringer til en matematisk givet kontekst, uden at tænke over det. I interviewet med Jonas hvor han løser opgave 2, kan man se at Jonas opererer i Høines(1998) 1. sprogfase med den uformelle matematik. Han trækker på sine hverdagserfaringer idet han siger at den dyreste transport er den der koster over 1000 kr. fordi 1000 kr. er dyrt. I denne opgave kommer han frem til det rigtige resultat, fordi der kun er et tal/en pris som overstiger 1000 kr. Hvis der derimod havde været flere tal i 1000 området, ville han få problemer med at finde frem til det rigtige resultat når hans sprog er i 1. Fase. For at hans sprog skal blive af matematisk karakter og i Høines(1998) 3. Fase, som er sprog af 1.orden, skal Jonas se på tallene som en sammenhæng, og han skal kunne forklare at, det er det største tal i den pågældende sammenhæng, som vil være den dyreste. Kan han tilegne sig den viden at den dyreste = det største tal, er han i Høines(1998) 3. Sprogfase også ville det mindske hans problemer med at løse lignede opgaver, hvor forskellen på tallene måske ikke er så store. Derudover kan man se i den næste delopgave at Jonas, også har svært ved at koble teksten i opgave 2, til det tidligere arbejde med kapitlet. Det vil sige, at han ikke formår at fast holde relevante informationer i hans arbejdshukommelse, mens han arbejder med kapitlet. Han formår at afkode ordene dyreste og billigste, men han forstår dem ikke i sammenhæng med den stillede opgave. Han laver igen paralleller til hans hverdagserfaringer med dyre ting og billig ting. Hvilket i og for sig er fint at han kan. Han skal bare kunne bruge det og relatere det til den matematiske sammenhæng som han arbejder med. Her er der igen en indikation om at han befinder sig i Høines(1998) 1. Fase og operere med det uformelle matematiksprog. Ubevidst afkoder han også ordet prisforskellen han er bare ikke opmærksom på at det er det ord, som peger ham i retning af hvad vi skal gøre med de tal, vi får fra den dyreste og den billigste transport. Dertil afkoder han den forkerte regningsart. Han fortæller at han addere tallene, men rent praktisk subtrahere han dem. Det indikere at han er klar over, hvad han skal gøre han kan bare ikke sprogmæssigt forklare det. Hvis vi sætter det ind i ligningen for læsning = afkodning x forståelse, vil det så sådan ud Læsning = afkodning x 0, fordi Jonas ikke forstår han skal relatere afkodning til den kontekstuelle sammenhæng. Dermed giver ligning 0, og den faglige læsning finder ikke sted. Hvis vi ser på Jonas forklaringer i forhold til Brudholms(2007) læseforståelse, kan vi se at Jonas skemateori omhandler den viden, han har fra sin egen hverdag. Men han formår ikke at udbygge 23

24 Lr11se1411 Louise Jakobsen Professionsbachelor Matematik 1.-6. Klasse - 26. maj 2015 skemaerne, så han kan få det rette forestillingsbillede frem, som passer til opgaven. Derudover opholder han heller ikke relevant viden i hans arbejdshukommelse, og dermed får han ikke tilføjet den nye viden, til hans allerede etablerede skemaer. Og det er den nye viden som danner baggrund for, at han får de rette forestillingsbilleder frem. I det han ikke formår at få de rette forestillingsbilleder frem, mangler han den baggrundviden, som er forudsætningen for at forstå teksten. Man kan opstille Jonas forestillingsbillede til det andet spørgsmål i opgave 2 således: Her bliver Jonas forventede skema brudt, fordi hans skema ikke stemmer overens med den måde teksten skal forstås på, så opgaven kan løses matematisk korrekt. Han afkoder de rigtige ord, og hans tolkning af deres betydning er for så vidt rigtig nok, men han formår ikke at relatere det til opgavens kontekst. Idet Jonas skema er mangelfuldt udviklet i relationen til stofområdet, som teksten omhandler, oplever han vanskeligheder med forståelsen af teksten i forhold til opgaven. På trods af at hans skemaer er mangelfulde, finder han forholdsvis hurtig ud af, hvilke ord som skemaet skal udbygges med. Dermed har han potentiale for at udvikle det metakognitive aspekt. Her skal læreren gå ind og støtte ham i at udbygge og modificere skemaerne, så næste gang han støder på en opgave som indeholder de samme ord som skal afkodes og forstås, er hans skemaer ikke mangelfulde, og han kan få de rette forestillingsbilleder frem. Læreren kunne fx støtte Jonas i at udbygge hans skema således: 24

25 Lr11se1411 Louise Jakobsen Professionsbachelor Matematik 1.-6. Klasse - 26. maj 2015 Handlings muligheder Et tiltag læreren kan foretage, for at støtte eleverne med den faglige læsning i et lærerbogssystem som Kontext, er at undervise eleverne i hvordan deres matematikbog er opbygget. Det kan fx gøres ved at læreren præsentere de tekstelementer der indgår i kapitlerne, så eleverne bliver bevidste om opbygningen. (1. Tegning der illustrerer problemstillingen 2. Indledende tekst 3. Opgaver 4. Tekniske tegninger) Efterfølgende bedes eleverne om at udpege de forskellige tekstelementer i kapitlet. Når eleverne bliver bekendte med opbygning af kapitlet, og ved hvordan den faglige tekst er opbygget, kan det støtte eleverne til at orientere sig i teksten, og bevidst benytte sig de forskellige tekstelementer de behøver, for at løse den matematiske problemstilling. Hvis man gentager denne proces hver gang man starter et nyt kapitel op, bliver eleverne mere og mere bekendte med strukturen, og det bliver lettere for dem at forstå, huske og anvende tekstelementerne. Hvis vi ser på dette tiltag i forhold til Brudholms(2007) punkter for læseforståelse, vil dette tiltag styrke eleverne i at skabe de mentale forestillingsbilleder, fordi eleverne bliver bevidst om, hvilke tekstelementer de kan benytte, til at få hjælp til fremstilling af de indre mentale billeder. Disse forestillings billeder kan derefter bidrage til at ændre eller udbygge elevernes baggrundsviden, og dermed deres skemaer, så de bedre kan forstå en lignende problemstilling i fremtiden. Idet eleverne bliver trænet i at 25

26 Lr11se1411 Louise Jakobsen Professionsbachelor Matematik 1.-6. Klasse - 26. maj 2015 navigere og orientere sig i tekstelementerne, styrke det dem i at få en aktiv læseindstilling, og dermed at være metakognitiv, når de arbejder med den faglige læsning i matematik. For at støtte eleverne i deres faglige læsning, og styrke deres muligheder for at opnå en aktiv læseindstilling, kan læreren snakke med eleverne om emnet inden selve matematik arbejdet går i gang. Hvad er hensigten med teksten i starten er hver kapitel? Hvordan bliver de matematiske problemer fremstillet i opgaverne? På den måde kan man styrke elevernes viden om matematik, ved at tale med dem om, hvordan man taler om matematik. Ved at få eleverne peget ind på, hvordan man taler om matematik uden for skolen, kan man få inddraget deres erfaringsviden og tidligere erfaret matematisk viden, og dermed, hvis vi kigger på Brudholms(2007) punkt 2 og 4 for læseforståelse, få dem peget ind på hvilke kognitive skemaer de skal tage i brug, for at få det rette forestillingsbillede frem. På den måde er de bedre indstillet på den faglige læsning, som jo består af afkodning x forståelse. Hvis vi tager udgangspunkt i Vygotskys teori om at læring er socialt baseret, kan dette både indledes ved klassesamtale med læreren, eller at eleverne får nogle minutter, til at sidde i nogle teams og snakke om, hvad de har erfaret med matematik i en kontekstuel sammenhæng. Her har læreren også mulighed for at gå rundt mellem de forskellig teams, og hører elevernes sprog, og hvis vi tager udgangspunkt i Høines(1998) sprogfaser, kan læreren se hvilken fase eleverne befinder sig i, og hvor man evt. skal gå ind og støtte, for at de får tilegnet sig det formelle matematisksprog, og dermed bevæger sig over i 3. fase hvor sproget bliver af 1. orden. Hvis vi kigger på det tredje opmærksomhedsfelt i den faglige læsning er det undervisnings struktur. Det er vigtigt at eleverne oplever en struktur i undervisningen, som kontinuerligt retter deres opmærksomhed mod det matematiske sprog både mundtligt og skriftligt, for at understøtte deres læseforståelse, idet det kræver træning og øvelse at tilegne sig det formelle matematiksprog i Høines(1998) 3. fase. Ud fra min empiri har jeg erfaret at eleverne har en tendens til at falde tilbage til deres eget uformelle sprog, (fase 1) hvis ikke de bliver holdt op på, at bruge det formelle sprog. Hvis undervisningens strukturere ikke fastholder denne opmærksomhed på elevernes sprog, kan det ende med at når de kommer i udskolingen, har de stadig ikke tilegnet sig sproget af 1. orden. Hvis de ikke har det, kan de opleve endnu flere vanskeligheder med den faglige læsning, da de vil bruge mere tid på at forstå opgaverne, og dermed ikke har så lang tid til at løse dem efterfølgende. 26

27 Lr11se1411 Louise Jakobsen Professionsbachelor Matematik 1.-6. Klasse - 26. maj 2015 I forbindelse med dette kan et redskab som procesnotater være nyttigt at anvende. Hvis eleverne bliver trænet i at udfylde procesnotater hver gang de arbejder med opgaver som indeholder faglig læsning, får de både en struktur i undervisningen samt et redskab til få oversat matematik sprog til dansk sprog. Procesnotater kan være et træningsredskab til at hjælpe eleverne med deres matematiske sprogudvikling gennem Høines(1998) sprogfaser. Strategien hjælper eleverne til at gennemtænke hvert trin i relation til den matematiske problemstilling. Procesnotat 28 Problem Hvad ved jeg Tegn Hvad gør jeg Udregn Svar (med tekst) Hvis vi ser på procesnotatet i forhold til Michael Wahl Andersen(2010), kan procesnotatet hjælpe eleverne til at skabe relationer mellem forskellige repræsentationer af det matematiske indhold. Det understøtter den skriftlige kommunikation i form af den faglige læsning, men også da eleverne skal 28 Santa og Engen 1996 27

28 Lr11se1411 Louise Jakobsen Professionsbachelor Matematik 1.-6. Klasse - 26. maj 2015 formulere svaret i form af en tekst. Den mundtlige kommunikation sker, når eleverne er metakognitive i deres læsning og afkoder ord, som har betydning for håndteringen af opgaven og efterfølgende snakker om forståelsen af ordene. Hverdagssituationerne bliver præsenteret idet eleverne inddrager deres egne erfaringer, via deres hidtil forestillingsbilleder. Disse tre ydre repræsentationer bidrager til elevernes indre repræsentationer i form af mentale billeder, der afspejler opgaven. Når de mentale billeder er internaliserede, er der skabt nye forestillingsbilleder, som hermed har udbygget elevernes skemateori, set i forhold til Brudholms(2007) læseforståelse. Alle disse forskellige repræsentationer skal bidrage til at fastholde de mentale billeder i elevernes arbejdshukommelse, mens de håndtere opgaven, så de får nemmere ved at løse den. Disse procesnotater kan eleverne arbejde med, efter de har snakket i deres team om det matematiske emne som problemstillingen berører. De første par gange, hvor procesnotatet skal introduceres, kan læreren læse opgaverne igennem med eleverne igen, og i fællesskab finde de nødvendige oplysninger og fortage regneoperationer. Efterhånden som eleverne bliver bekendte med procesnotatet, kan de udfylde dem i deres teams, uden at læreren skal læse opgaven igennem med dem igen. Procesnotaterne skal fungere som et støttende stillads, som eleverne kan anvende som et redskab, til at oversætte det matematiske sprog. Brugen af procesnotater kan derfor identificeres med Høines(1998) 2. sprogfase. Formålet med det støttende stillads er, at elevene har noget at støtte sig op af, når de er i en læringsproces. Det støttende stillads skal med tiden blive overflødigt. Når det er blevet overflødigt behøver eleverne ikke længere at oversætte de matematiske udtryk, og de har bevæget sig over i Høines(1998) 3. Sprogfase og en ny udviklings zone, set i forhold til Vygotsky. En af fordelene ved procesnotatet er at eleverne kan ligge det fra sig, når det ikke længere er nødvendigt, og de kan tage det frem igen senere i deres skolegang, når de støder på mere komplicerede problemstillinger, og dermed forebygge vanskelighederne. Derfor er det en god ide at introducere procesnotaterne så tidlig i skolegangen som muligt, så eleverne bliver trygge ved det som et støttende stillads, og ved at de har det at falde tilbage på, når de støder på en problemstilling som volder dem problemer, hvad enten det er i 4. klasse eller 8. klasse. For elever som stadig oplever vanskeligheder med den faglige læsning på trods af procesnotaterne, kan læreren udvide procesnotaterne. For at støtte disse elever i deres tilegnelse af strategier, kan læreren her gå endnu mere i dybden med at snakke om problemstillingen og få sat forståelige ord på informationerne, så de har bedre mulighed for at reflektere over disse strategier. Det støtter 28

29 Lr11se1411 Louise Jakobsen Professionsbachelor Matematik 1.-6. Klasse - 26. maj 2015 elevene yderligere i, at få skabt de mentale billeder, da man går mere i dybden med de ydre repræsentationsformer. Eleverne skal her arbejde i makkerpar, så de kan bidrage med deres forskellige synspunkter støttet af læreren, som hjælper med oversættelsesleddet. Arbejdsgangen styres af læreren, så eleverne ikke mister overblik i opgaven. Udvidelsen kan fx se således ud: 29 Arbejdsgang, makkerpar Kryds af Læs opgaven højt (A læser) Genfortæl opgaven med egne ord (B genfortæller) Hvad handler opgaven om, og hvordan skal den løses? -Hvad er spørgsmålet? -Hvad ved vi? -Hvad ved vi også? Tegn et billede af opgaven Find og vælg løsningsstrategier Giv et overslag* Udregn resultat Sammenhold resultatet med overslaget og spørgsmålet * Overslaget kan springes over, hvis læreren vurderer at eleverne vil blive forvirret af at skulle give et overslag uden en udregning. Eller hvis eleverne vil tage deres overslag som et nederlag hvis de rammer helt forkert. Overslaget kan læreren tilføje senere hen, hvor eleverne er blevet bekendte med arbejdsgangen og begynder at føle sig trygge ved den. Eleverne kan så ikke sammenholde deres resultat med overslaget, men må nøjes med at sammenholde med spørgsmålet, som for nogle kan være udfordrende nok. Læs opgaven højt: Her handler det om elevernes læseafkodning. Formålet med dette er at fokusere på vigtigheden af, at eleverne afkoder teksten korrekt. 29 Wahl Andesen 2010: side 94 29

30 Lr11se1411 Louise Jakobsen Professionsbachelor Matematik 1.-6. Klasse - 26. maj 2015 Genfortæl opgaven med egne ord: Formålet er her at afklare elevernes forståelse, og fokusere på, at de får den korrekte forståelse. Dette understøtter repræsentationen af den mundtlige kommunikation. Hvad handler opgaven om, og hvordan skal den løses?: Her handler det om elevernes elementære læsekompetence og dermed deres metakognitive evne. Formålet er fokusere på elevernes evne til at identificere de nødvendige data. Der ligger også et fokus på elevernes arbejdshukommelse - idet evne til løbende at holde deres opmærksomhed på væsentlige aspekter og oplysninger også er et kernepunkt. Det er vigtig at eleverne afkoder og forstår de matematiske symboler. Tegn et billede af opgaven: Her handler det om elevernes mentale repræsentation. Formålet er at fokusere på vigtigheden af at danne mentale billeder på det matematiske indhold. Så eleverne foretager en omkodning af opgaven, som de kan holde i deres arbejdshukommelse, mens de arbejder med opgaven. Find og vælg løsningsstrategier: Her handler det om elevernes funktionelle læsekompetence og matematikkompetence. Formålet er at få eleverne til bevidst at uddrage hensigtsmæssige strategier og anvende dem korrekt. Giv et overslag: Her handler det om elevernes hverdagserfaringer og talforståelse. Formålet er at give eleverne nogle indledende overvejelser til det kommende resultat. Her kommer deres forestillingsbilleder i brug. Udregn resultatet: Her handler det om elevernes matematiske færdigheder. Formålet er at støtte elevernes i deres mestring af de matematiske færdigheder, så de kan nå frem til det korrekte resultat. Sammenhold resultatet med overslaget og spørgsmålet: Her handler det om elevernes refleksion. Formålet er at få eleverne til at reflektere over rimeligheden af resultatet, og støtte dem i at generalisere løsninger. 30

31 Lr11se1411 Louise Jakobsen Professionsbachelor Matematik 1.-6. Klasse - 26. maj 2015 Denne arbejdsgang støtter også op omkring det socialkonstruktivistiske læringssyn i form af Vygotskys socialt baserede læring. Eleverne lærer i samarbejde med hinanden idet de hører hinandens synspunkter, refleksioner og strategier. Når de i fællesskab gennemgår disse procesnotater, er de sat i en ydre læringssituation, som de har mulighed for at internalisere til en indre læring, så strategierne kan blive deres egne. Læringen sker her både i samarbejde med lærerens ydre struktur, samt elevernes forskellige refleksioner. Del 2: En inkluderende undervisning Inklusion Inklusions begrebet handler om tilstedeværelse, socialisering og uddannelse for alle elever i almene klasser og standard-fællesskaber. Det handler om den enkelte elevs ret til deltagelse i fælles læringsmiljøer. Alenkær(2008) definere inklusion som at man oplever sig som en naturlig og værdifuld deltager af et fællesskab 30 Alenkær(2014) skelner mellem kvantitativ inklusion og kvalitativ inklusion. Han beskriver kvantitativ inklusion som administrativ inklusion, forstået på den måde, så snart eleverne er registret i en almen klasse, er de inkluderet. Succeskriteriet af inklusion måles ud fra mængden af elever der opholder sig i den almene skole 31. Hvorimod den kvalitative inklusion bygger på tre forhold: fysiske betingelser, socialt samspil, opgaveløsning. 30 Alenkær, Rasmus (2008): side 48. 31 Alenkær, Rasmus: Kvalitativ inklusion (2015) 31

32 Lr11se1411 Louise Jakobsen Professionsbachelor Matematik 1.-6. Klasse - 26. maj 2015 I dette begreb findes der ikke opdelinger som normal og særlige. Alle er specielle. Succeskriteriet er her når eleverne oplever sig inkluderende. Det kan også være små så vel som store fællesskaber oplevelsen af inklusion forekommer. Det kan være et team arbejde i klassen bestående af nogle elever, som udgøre små fællesskaber. Disse små læringsfællesskaber er af stor betydning for elevens oplevelse af tilhørsforhold og generelle socialisering. 32 Eleverne skal mødes på deres fysiske betingelser, sociale behov og læringsforudsætninger. Her er det lærerens job at være differentierende, og skabe arbejdsmiljøer der går ind og støtter og udfordrer elevernes individuelle niveauer, samtidig med de har en følelse af, at de er en aktiv deltager og bidrager med noget til fællesskabet. Undervisningsdifferentiering Som nævnt i indledning har regeringen et mål om øget inklusion i de danske folkeskoler. Da alle elever er forskellige individer med forskellige generelle forudsætninger fx interesser, motiver, følelser og social baggrund, stiller det krav til lærerens planlægning og gennemføringen af undervisningen. Derfor er begrebet undervisningsdifferentiering i fokus. Undervisningsdifferentiering er et princip, som skal være en ledetråd for tilrettelæggelse og gennemførelse af undervisningen. Begrebet kan beskrives således: Undervisningsdifferentiering er et princip for tilrettelæggelse og gennemførelse af undervisningen i en klasse eller gruppe, hvor den enkelte elev tilgodeses, samtidig med at man bevarer fællesskabet muligheder. 33 Formålet med undervisningsdifferentiering er altså at tilgodese den enkelte elev, samtidig med at bevare elevens erfaringer med at indgå i et fællesskab. Dermed er forholdet mellem individ og fællesskab det grundlæggende. Læreren skal se elevernes diversitet og mangfoldighed som en ressource, når hun planlægger udviklings og læringsprocesser. Der kan differentieres inden for alle de didaktiske kategorier mål, indhold, undervisnings-arbejds- og organisationsformer, undervisningsmaterialer og evaluering. 34 32 Alenkær, Rasmus: Kvalitativ inklusion artikel publicerede 5. februar 2014 33 Trankjær 2010: side 88 34 Krogh-Jespersen 2011: side 195 32

33 Lr11se1411 Louise Jakobsen Professionsbachelor Matematik 1.-6. Klasse - 26. maj 2015 SMTTE-model: P-CKemaet vil være bygget omkring den didaktiske SMTTE-model. Ved at benytte SMTTE-modellen har man mulighed for løbende at evaluere undervisningen, og se om målene bliver realiseret. Det er blandt andet begrebet tegn der giver den mulighed. Her kan man holde øje med om tegnene på forståelse i relationen til målet er til stede hos eleverne, eller om det er nødvendigt at fortage nogle tiltag i undervisningen, for at hjælpe udviklingen på vej. Den løbende evaluering er også med til at kvalificere lærerens næste målsætninger og indholdsvalg. Så undervisningen hele tiden kan planlægges og tilrettelægges, så eleverne føres ind i næste udviklings zone. P-CKema P-CKemaet er et planlægningsskema som lærerne kan anvende til at udvikle undervisningsfaglighed. Skemaet er et værktøj til en syntese af faglig viden, pædagogisk viden og kontekstviden som transformeres til undervisningen. Skemaet sikrer at undervisningen trækker på en række videns former og personlige erfaringer som er overvejet. 35 De 4 mest centrale punkter er: faglig pointe, læringsmål, undervisningsaktiviteter og evaluering. Udgangspunktet for undervisningen defineres i den faglige pointe. Ud fra denne pointe tilrettelægges undervisningsplanen. Hertil tilføjes læringsmålene, som er det primære styrende redskab, for udvælgelsen af undervisningsaktiviteter. Til sidst kommer evalueringsaktiviteter, som skal sikre at eleverne opnår læringsmålene. 36 Undervisningsforløb: Faglig læsning Faglige Pointe Faglig læsning indgår i mange matematikbøger og opgaver der vedrører matematik i hverdagen. Det er noget eleverne får brug for uden for folkeskolen. 35 Petersen, Jørgen Haagen: P-CKema et redskab til ar udvikle undervisningsfaglighed. S. 1 36 Petersen, Jørgen Haagen: P-CKema et redskab til ar udvikle undervisningsfaglighed. S. 1 33

34 Lr11se1411 Louise Jakobsen Professionsbachelor Matematik 1.-6. Klasse - 26. maj 2015 Faglig læsning indeholder informationer, som er nødvendige for at løse en matematisk problemstilling. Faglige læsning kan komme i forskellige former (tekst, billeder, tabeller.) Faglig læsning indgår også i andre fag. Procesnotat er et hjælpemiddel til håndtering af tekstfyldte problemstillinger. Dannelse Dannelsesmålet er at eleverne bliver i stand til at sætte sig ind i tekster, som både har et matematisk og multimodalt indhold. De skal ud fra disse kunne forholde sig fagligt og kritisk til indholdet. De skal samtidig få relationer mellem matematik i skolen og matematik i hverdagen. Matematik i anvendelse: Vælge og benytte regningsart i forskellige praktiske sammenhænge. Fælles mål Erhverve en begyndende forståelse for matematik som beskrivelsesmiddel. Matematiske arbejdsmåder: Modtage, arbejde med og videregive enkle skriftlige og mundtlige informationer, som indeholder matematikfaglige udtryk. Arbejde individuelt og sammen med andre om løsning af praktiske problemstillinger og matematiske opgaver. 1.-3. Klasse Problembehandling: (Fase 2) -Du skal kunne løse enkle matematiske problemer. -Du skal have viden om enkle strategier til matematisk problemløsning. Modellering: (Fase 2) -Du kan tolke matematiske resultater i forhold til enkle hverdagssituationer. -Du har viden om sammenhænge mellem matematiske resultater og enkle hverdagssituationer. 34

35 Lr11se1411 Louise Jakobsen Professionsbachelor Matematik 1.-6. Klasse - 26. maj 2015 Læringsmål -Du kan komme med forslag til, hvordan man kan gribe opgaven an. -Du skal kunne finde relevante informationer ud fra en faglig tekst, som kan bruges til at løse den matematiske problemstilling. -Du skal vide hvilke elementer en faglig tekst kan indeholde. Tegn på læring: 1. Du kan udpege enkle relevante informationer i teksten. 2. Du kan opstille informationer i en matematisk algoritme 3. Du kan aflæse billeder og tabeller Udfordringsopgave: Du skal selv udforme en tekst opgave / regnehistorie, som dine kammerater kan prøve at løse. Den kan fx indeholde tegninger, tekst, tabel osv. Faglig loft Det næste faglige step vil være at eleverne kan anvende matematik som beskrivelsesmiddel, både i deres eksperimenterende arbejde, men også til forklaring af en løst opgave. 1.-3. Klasse Kommunikation: (Fase 2) -Du kan vise den matematiske tænkning med uformelle skriftlige noter og tegninger. -Du har viden om forskellige former for uformelle skriftlige noter og tegninger. Kommunikation: (Fase 3) -Du kan anvende enkle fagord og begreber mundtligt og skriftligt. -Du har viden om enkle fagord og begreber. Elevbegrundelse (Taler direkte til eleverne) Nu skal vi beskæftige os med en arbejdsmetode som hedder faglig læsning. Vi skal lærer hvordan man vi skal håndtere opgaver, som er fyldt med tekst, tabeller og billeder. (multimodale tekster) Vi skal lære nogle små tricks, som kan 35

36 Lr11se1411 Louise Jakobsen Professionsbachelor Matematik 1.-6. Klasse - 26. maj 2015 hjælpe os, når vi skal løse de her opgaver. Når vi har lært det, så kan alle mulige matematikopgaver bare komme an, så er vi klar til at løse dem i fremtiden. Når vi har lært at afkode og forstå multimodale tekster, så kan vi også bedre holde styr på de matematiske ting, som vores dagligdag indeholder. Vi kan fx holde øje med at vi får mest ud af vores lommepenge, eller når I er med mor og far ude og handle, så kan I hjælpe dem med at finde de bedste priser. Osv. Elevforudsætninger Eleverne i klassen er spredt, forstået på den måde at nogle elever har fine forudsætninger til at arbejde med emnet, mens andre elever oplever udfordringer med arbejdshukommelsen og deres fremstilling af forestillings billeder. Derfor skal der være fokus på de rette hjælpemidler, som kan hjælpe eleverne til at realisere læringsmålene. Rammefaktorer Vanskeligheder: Det kan være vanskeligt at få eleverne fokuseret på selve arbejdsmetoden som det primære, og resultaterne som det sekundære. Det kan også være vanskeligt at få engageret de elever der hidtil har oplevet nederlag i undervisningen. Samt at få motiveret dem til at deltage aktivt i processen, som for nogle kan synes at være lang i forhold til andre elever. Muligheder: Mulighederne ligger i at eleverne kan trække på deres hverdagserfaringer, og (hvis det lykkes) kan se sammenhængene mellem matematikken i og uden for skolen. Der er også gode muligheder for samarbejde, og eleverne kan lærer af hinandens erfaringer og kompetencer. Undervisnings handlinger og Undervisningsaktiviteter Deduktiv undervisning: Forklaring omkring hvad faglig læsning er, og hvordan man arbejder med det. Det foregår via en klassesamtale, hvor der bliver skrevet/tegnet ting på tavlen. Herefter forklaring omkring hvordan bogsystemet Kontext bygger opgaverne omkring faglig læsning op. (Indledende tekst billeder tabeller opgaver). De forskellige tekstelementer udpeges, og vi snakker om hvad de kan fortælle os. (Dette gentages hver gang et nyt kapitel påbegyndes) 36

37 Lr11se1411 Louise Jakobsen Professionsbachelor Matematik 1.-6. Klasse - 26. maj 2015 Herefter introduceres procesnotatet, ved en fælles gennemgang af punkterne. Afhængig af elevernes forståelse af procesnotatet, udfyldes et sammen på klassen eller hvis de fanger essens i det efter gennemgangen, bliver de delt i par og går i gang med opgaverne. (Det matematiske arbejde i opgaverne vil primært bestående af regningsarterne) For elever der oplever vanskeligheder med procesnotatet og har brug for ekstra støtte, kan samles i en gruppe som ledsages af læreren. Her uddybes skemaet, og der bruges længere tid på at forstå de ord der skal afkodes. Forståelsen repræsenteres i forskellige former, så eleverne kan danne relationer mellem teksten, tegninger, mentale billeder og arbejdsgang. Opgaver gennemgås på to måder: -Fælles i klassen. -Eleverne danner nye makkepar, og skal her forklare deres procesnotat til makkeren og forklare deres arbejdsgang. Induktiv undervisning: informations jagt Aktiviteten består af 4 dele 1. Eleverne deles i grupper og får udleveret en indledende tekst samt opgaverne dertil. (Grupperne får forskellige tekster og opgaver) De skal her læse teksten og opgaverne, og i fællesskab snakke om hvilke informationer de skal ud og lede efter. (Informationerne består af billeder og tabeller) 2. Når de er blevet enige om hvad de leder efter, går de på jagt efter de rigtige informationer. Informationerne er fordelt/gemt forskellige steder på skolen (i skolegården, på gangen, team rummene og klassen). 3. Når informationerne er samlet ind, skal de løse opgaverne. 4. Til sidst fremlægger de deres opgave for klassen. Evaluering Forløbet vil være bygget op omkring SMTTE-modellen hvor der er løbende evaluering. Den løbende evaluering, vil være i form af elevernes proces notater og opsamlinger af opgaver på klassen. Men for at afslutte forløbet vil der blive brugt Tankekort, som evaluering det giver læreren mulighed for at danne sig et billede af elevernes forudsætninger og kvaliteten af deres forståelse. 37

38 Lr11se1411 Louise Jakobsen Professionsbachelor Matematik 1.-6. Klasse - 26. maj 2015 Eleverne får trænet og udtrykt sig i forskellige sproglige modaliteter, samtidig med de giver udtryk for de forestillinger, de har, når de læser en faglig tekst. Samt de får noget at hænge op i klassen, som de kan bruge som et reminder værktøj, når faglig læsning igen indgår i en af deres opgaver. I P-Ckemaet ligger fokusset på den faglige læsning som matematisk arbejdsmåde, og ikke så meget på det matematiske fagstof. Formålet er at træne eleverne i denne form for arbejdsmetode, som vil indgå i deres fremtidige lærerbøger. Undervisningsplanen strækker sig over ca. ti lektioner. Forløbet ville blive planlagt ud fra den didaktiske model SMTTE-modellen, for at optimere lærernes muligheder for at se hvor eleverne har brug for ekstra støtte til forståelse af en opgave. Fordelen ved at læreren har mulighed for at opdage forståelses problemer tidligt er, at man hurtigt kan foretage nogle tiltag til at hjælpe forståelsen på vej, så eleverne ikke mister motivationen og troen på at de kan lære det. Det er bl.a. også i disse tiltag, hvor læreren kan differentiere undervisningen. Da læringsmålet i dette forløb er faglig læsning som arbejdsmetode, vil undervisningsdifferentieringen ligge i materialerne til undervisningen og organisationsformerne. I gennemgangsfasen vil opgaverne, eleverne blive præsenteret for, være de samme. Efter en gennemgang med læreren, arbejder eleverne sammen i makkerpar om at udfylde procesnotaterne. Læringen er her bygget op efter det socialkonstruktivistiske syn, hvor den sociale interaktion danner basis for læringen. I makkerparrene snakker eleverne om de forskellige punkter i procesnotatet, alle elever skal have mulighed for at udtrykke deres forståelse og ideer til løsning. Mens procesnotatet drøftes går læreren rundt blandt eleverne, lytter til deres drøftelser og deres brug af det matematiske sprog, så læreren kan identificere, hvilke elever der skal støttes, og hvilke elever der skal udfordres. Når de er identificeret organiseres makkerparrene således at de elever der skal støttes finder sammen, og de elever der skal udfordres finder sammen. Så kan læreren nemlig differentiere undervisningsmaterialet i form af forskellige opgaver til eleverne, som passer til hver deres individuelle niveau. Arbejdsgangen er planlagt ud fra at undervisningen skal være inkluderende for alle elever dvs. Eleverne skal opleve sig som en del af fællesskabet. Derfor er arbejdsgangen baseret på Vygotskys begreb zonen for nærmeste udvikling. Eleverne hjælper hinanden i den sociale interaktion, ind den næste udviklingszone, ved at udveksle personlige forestillingsbilleder og erfaringsviden omkring opgaverne. De arbejder sammen om at relatere opgavernes repræsentationer med hinanden, så de få skabt de rette mentale billeder, så de kan løse opgaven. Disse mentale billeder skal eleverne internalisere, så de fremkalder dem som forestillingsbilleder 38

39 Lr11se1411 Louise Jakobsen Professionsbachelor Matematik 1.-6. Klasse - 26. maj 2015 næste gang de arbejder med en lignede problemstilling. På den måde har de i samarbejde rykket sig ind i den næste udviklings zone. Eleverne bliver også socialiseret med forskellige klassekammerater, da de i starten bliver sat sammen tilfældigt, hvorefter de arbejder sammen med andre kammerater efter at materialerne er blevet differentieret. Målet om inklusionstanken søges her opnået ved at alle elever er tilstede i klassen, de socialiseres med hinanden og de bliver uddannet til at kunne håndtere den faglige læsning i matematik opgaver. Elevernes dannelse Ifølge folkeskoleloven 1 stk. 3, står der at en af folkeskolens opgaver bl.a. er at danne eleverne, til at kunne deltage i samfundet uden for skolen: Folkeskolen skal forberede eleverne til deltagelse, medansvar, rettigheder og pligter i et samfund med frihed og folkestyre. Skolens virke skal derfor være præget af åndsfrihed, ligeværd og demokrati. 37 For at folkeskolen bliver præget af åndsfrihed, ligeværd og demokrati, skal eleverne være medbestemmende. Det vil sige at eleverne skal samarbejde med læreren om at fastlægge arbejdsformer, metoder og stofvalg. Dog skal det siges at eleverne ikke direkte har nogle medbestemmelsesret. Det er stadig lærerens ansvar at tilrettelægge og gennemføre undervisningen. Men samarbejdet skal bidrage til elevernes demokratiske dannelse, da de gerne skulle få en følelse af at blive hørt, forstået og imødekommet. Den følelses skulle gerne medføre at eleverne tager ansvar for egen læring og deltagelse i læringssituationer. Wolfgang Klafki professor i pædagogik definere dannelsens formål som: Dannelse og opdragelse har til opgave at hjælpe det umyndige menneske til myndighed. 38 Klafki forbinder to dannelsesteorier - formal dannelse og material dannelse til en dannelsesteori, den kategoriale dannelse. Han mener hverken at den formale eller materielle dannelse alene kan muliggøre en omfattende dannelse hos det enkelte individ, derfor inddrager han aspekter fra begge dannelsesteorier og introducere den kategoriale dannelse. Formal dannelse (fokus på subjket) Material dannelse (fokus på objekt) Kategorial dannelse 37 https://www.retsinformation.dk/forms/r0710.aspx?id=163970 38 Werner & Meyer 2006: side. 169 39

40 Lr11se1411 Louise Jakobsen Professionsbachelor Matematik 1.-6. Klasse - 26. maj 2015 Den formale dannelse har fokus på det subjektive. Her dannes det enkelte individ (eleven), og der er fokus på individets opvækst. Mens den materielle dannelse har fokus på det objektive. Her dannes individet ved tilegnelse af det kulturelle og videnskabelig viden, og fokusset er på det indhold som individerne beskæftiger sig med (undervisningen). I den kategoriale dannelse, bliver dannelsen forstået som: det fænomen det bevirker, at vi igennem egen oplevelse eller i forståelse af andre mennesker umiddelbart bliver klar over enheden af et objektivt (materialt) og et subjektivt (formalt) forhold. 39 Her inddrager Klafki både et objektivt og subjektivt syn. Det vil sige at han tænker i en dialektisk sammenhæng mellem det faglige stof og elevens udvikling af sine potentialer. Derudover ser han dannelsen som indbegrebet af processer, hvor i blandt han introducere begrebet den dobbelte åbning: Denne dobbelte åbning sker som synliggørelse af almen, kategorialt oplysende indhold på den objektive side og som klarhed over almene indsigter, oplevelser, erfaringer på subjektets side. (Klafki 1963a, s. 43). Undervisningen som følge af P-Ckemaet vil bidrage til elevernes kategoriale dannelse. Da undervisningens primære fokus ligger på arbejdsprocessen. Arbejdsprocessen skal danne eleverne til at blive i stand til at sætte sig ind i tekster, som både har et matematisk og multimodalt indhold. I denne forbindelse er der potentiale for den dobbelte åbning ved, at det kategoriale oplysende indhold er undervisningen af metoder til at håndtere multimodale tekster i en matematisk sammenhæng. Mens elevernes erfaringer, oplevelser og almene indsigter kommer i spil i løsningsarbejdet af opgaverne. Intentionen med organisationsformerne klassedialog/læreroplæg og gruppearbejde, er at eleverne åbner sig over for det objektive indhold (undervisningen) og internationalisere det, så de får et subjektivt forhold til det, som de kan underbygge deres arbejdshukommelse med. Dermed kan man sige at den faglige læsning er åbnet kategorialt for eleverne, og eleverne gennem deres arbejde med den faglige læsning, er blevet åbnet over for deres subjektive forhold til den faglige læsning. Sådan så eleverne kan se relationen til deres dagligdag. Dertil kan nævnes at forløbet også vil bidrage til den demokratiske dannelse, da eleverne gerne skulle føle sig anerkendt og inkluderet i fællesskabet, idet det meste af undervisningen foregår i sociale interaktioner med andre klassekammerater. I denne interaktion får eleverne erfaringer omkring sig selv og omverdenen i forståelse af deres kammerater. Disser erfaringer er med til at danne eleverne til at kunne agere og deltage i samfundet. Derudover understøtter forløbet også 39 Werner & Meyer 2006: side 176 40

41 Lr11se1411 Louise Jakobsen Professionsbachelor Matematik 1.-6. Klasse - 26. maj 2015 elevernes oplevelse af at kunne bidrage med noget i undervisning, da de har arbejdet med differentierede opgaver, og dermed har de noget de kan forklare de andre, som de ikke har arbejdet med. Del 3 Metodekritik I min undersøgelsesmetode valgte jeg for det første at undersøge om eleverne i 9. Klasse oplevede problemer med faglig læsning. Det valgte jeg for at få en dokumentation for, om faglig læsning rent faktisk opfattes som et problem blandt eleverne selv. Undersøgelsesmetoden bestod af et spørgeskema, som skulle fastslå deres holdning. Jeg kunne også have valgt interviews med enkelte elever. Men denne metode havde taget længere tid, samtidig med at jeg kun ville have fået få synspunkter på området. Ved at benytte et spørgeskema kan jeg nå ud til flere elever, og dermed få et bedre analyse grundlag, for elevernes problematiseringen. Jeg vurderer det er mest nødvendigt at disponere min tid i 3. Klasse, da min nysgerrighed ligger i, hvordan man kan arbejde med faglig læsning i indskolingen. Min anden undersøgelse fandt sted i 3. Klasse, hvor metoden var en passiv observatør rolle i en undervisning, hvor jeg havde udvalgt materialet, samt et alene interview med en udvalgt elev, som oplevede vanskeligheder i arbejdet med faglig læsning. Risikoen ved begge metoder er, at der kan sidde elever med andre problemer, end dem der kommer frem i det fælles forum og mit alene interview. Dermed er der en risiko for at disse problemer ikke identificeres. Det kan være elever som er passive i den kollektive undervisning - hvor passiviteten skyldes uidentificerede problemer, men som måske fejlfortolkes som forståelse fra lærerens side af. Det er bl.a. derfor jeg argumenterer for en undervisning der fokuserer på elevernes indbyrdes kommunikation omkring opgaverne, og hvor alle elever kommer med deres individuelle forestillingsbilleder omkring emnet. Det giver læreren en mulighed for at lytte til de elever som ellers er passive i det fælles forum. Der er dog stadig elever som undgår denne kommunikation, enten ved at sige de er enige i kammeraternes mening, eller ved at læreren simpelthen ikke når hen til dem i lektionen. Derudover tager min undersøgelsesmetode heller ikke højde for sproglige faktorer. For eksempel elever med anden etnisk baggrund, som oplever generelle sproglige vanskeligheder med det danske sprog. 41

42 Lr11se1411 Louise Jakobsen Professionsbachelor Matematik 1.-6. Klasse - 26. maj 2015 I analysen af elevernes matematik sprog anvendte jeg Marit Johnsen Høines(1998) sprogfaser, til at identificere deres generelle sprogbrug, som skulle give en indikation om, hvilke faglige ord der skabte vanskeligheder. Idet det er læreren der skal foretage alle observationerne er sprogbrugen, kan modellen være for omfattende. Det kan være vanskeligt at nå rundt til alle elever, og give dem muglighed for at anvende det matematiske sprog. På baggrund af analysen i undersøgelsen fandt jeg frem til at procesnotatet, kan være et stilladserne redskab eleverne kan anvende. Det kan samtidig have den dobbelte effekt, ved at læreren kan samle procesnotaterne ind, og ud fra deres nedskrevne tanker, identificere hvor vanskelighederne optræder. Det bidrager også med et indblik i deres matematiske sprogbrug. Ud fra undersøgelsen fandt jeg også frem til at forskellige repræsentationer af det samme indhold, bidrog til en bedre forståelse. Hvis vi igen tager udgangspunkt i procesnotatet, er det især den skriftlige- og mundtlige kommunikation, som kommer i fokus. Man kan kritisere det lidt for ikke at have så stor fokus på konkrete materialer. Men på den anden side kan det være svært at anskaffe konkrete materialer som afspejler hverdags situationer. Her vil en udflugt til en forretning være en mulighed. Men det kræver et samarbejde med en pædagog eller en anden lærer som kan tage med. Samtidig med at en lektions varighed sjældent er nok. Man kan selvfølgelig bruge konkrete materialer, som hjælp til udregning af algoritmerne, samt fastholdelse af vigtige talinformationer i teksten. Her kan de konkrete materialer bestå af centicubes, viskelæder, små bolde, eller hvad skolen nu har til rådighed. Diskussion Projektet er fokuseret omkring et socialkonstruktivistisk læringssyn med hovedfokus på det sociokulturelle. Jeg kunne også have valgt at inkludere et kognitivt psykologisk perspektiv, præsenteret af Piaget, i projektet for at underbygge konstruktionen af elevernes skemateori, i analysen af elevernes læseforståelse. Et sådan fokus havde peget projektet i retningen af det enkelte individs tilegnelsesproces. Dette fokus er ikke valgt, grundet regeringens mål om øget inklusion i folkeskolerne. Jeg vurderer at inklusionstanken lægger mere op til en fokusering på læringspotentialet i de sociale fælleskaber og elevernes kollektive dannelse, som alligevel fører til kreative individualister, igennem disse fællesskaber. På den baggrund vurderer jeg, at et sociokulturelt læringssyn vil være mere relevant at undersøge. 42

43 Lr11se1411 Louise Jakobsen Professionsbachelor Matematik 1.-6. Klasse - 26. maj 2015 Jeg argumenterer for at elevernes læring hovedsageligt er baseret på et socialt grundlag. Og inklusionsprincippet dermed er en afgørende faktor. Men ud over princippet inklusion bygger på elevernes socialisering og læringspotentiale i social deltagelse, ligger der også et politisk økonomisk synspunkt. Man kan være bange for, at der bliver administrativt inkluderet i fællesskaber, hvor det er muligt for systemet at inkludere, forstået på den måde at eleverne groft sagt er administrativt inkluderet så snart de er skrevet ind i en almen skoleklasse. Hvis der inkluderes administrativt, er det ikke elevens bedste der er i hensigten. Det skal også give mening for eleven at blive forsøgt inkluderet. Man skal selvfølgeligelig stræbe efter at inkludere i det store almen fællesskab, men det skal både opleves som meningsfuldt for dem der i fællesskabet, og for den elev der forsøges inkluderet. Hvis det ikke er meningsfuldt for begge parter, bør der være andre muligheder. Det er selvfølgelig også det at regeringens resterende 4% er til for, men spørgsmålet er om det er nok? Det får vi nok et svar på om et års tid, når den nye folkeske har fået nogle erfaringer med den nye reform. Valget af læringsbegrebet zonen for nærmeste udvikling præsenteret af Vygotsky, kan godt forstås som om, den næste udviklings zone, kun styres af læreren og at læreren altid har ret. Den forståelse vil gå imod formålsparagraffen, som siger eleverne skal inddrages og have medbestemmelse. Desuden har læreren ikke altid ret, hvis læreren går ind med den attitude, er der risiko for at undervisningen primært vil foregå via envejskommunikation, og det begrænser elevernes muligheder for refleksion og udfoldelse i det sociale fællesskab. Hvis vi ser på det i forbindelse med rammerne for skolesystemerne, er det overodnet læringsmål allerede fastsat. Der kan det diskuteres om zonen for nærmeste udvikling tager afsæt i elevernes potentialer for udvikling, hvis udviklingen peger i retning af anderledes kulturelle kontekster? Eller om udvikling bliver til noget relationelt inden for den aktuelle udvikling peget i retning af skolesystemets overordnede mål. Her vil jeg argumentere for at relationerne mellem lærer og elever er afgørende. Er der opbygget en god relation vil læreren kunne vejlede eleverne, ud fra alle potentialerne, og man kan i samarbejde fastsatte undermål, som både understøtter skolesystemet rammer og elevens potentialer. 43

44 Lr11se1411 Louise Jakobsen Professionsbachelor Matematik 1.-6. Klasse - 26. maj 2015 Konklusion Formålet med min undersøgelse, var at finde frem til hvordan jeg som lærer kan støtte elever i matematikvanskeligheder i form af faglig læsning, og samtidig skabe en inkluderende undervisningen. Metoden til indsamling af min empiri bestod af et spørgeskema i to 9. Klasser, en passiv observatør rolle i en 3. Klasse mens de blev præsenteret for kapitlet om Familien Elkjær i lærerbogssystemet Kontext. Og elev interview med udvalgte elever, mens de løser opgaverne til kapitlet. I analysen af 9.klassernes spørgeskema, kom jeg frem til at det store problemområde i den faglige læsning, befandt sig i oversættelsesleddet mellem hverdagssproget og det matematiske symbolsprog, dvs. i den repræsentative fase. Derfor har mine fokusområder gennem analysen i 3. Klasse været elevernes læseforståelse (Brudholm 2007) og deres tilegnelse og brug af det matematiske (Høines 1998). Analysen af kapitlet Familien Elkjær i Kontext, gav mig en indikation om, hvad der kan være vigtigt at fokusere på i undervisningen, inden eleverne kaster sig ud i opgaverne. Jeg fandt frem til at en undervisningen af kapitlernes struktur og opbygning, kan understøtte elevernes navigation i multimodale tekster. Elever kan forholdsvis let blive forvirret over de mange tekstelementer der indgår i kapitlet, og de kan have vanskeligt ved at finde ud af, hvor de skal finde de informationer, de skal bruge for at løse opgaverne. Idet eleverne bliver trænet i at navigere og orientere sig i tekstelementerne, støtter det dem i at få de rette forestillingsbilleder frem, som ifølge Brudholm(2007) kan hjælpe dem til inddrage de rette hverdagserfaringer, som de kan trække på, for at løse opgaverne, og dermed udbygge deres mentale skemaer. Derudover styrker navigationen dem i at få en aktiv læseindstilling, og dermed at være metakognitiv, når de arbejder med den faglige læsning i matematik. Resultatet af min analyse, af mit interview og observationer i 3. Klasse, stemmer overens med de vanskeligheder, som spørgeskemaet i 9. Klasse påpegede. Nemlig at problemet primært ligger i afkodningen og forståelsen af den faglige tekst, og ikke så meget i den faglige udregning. Når først eleverne har fået fat i de rigtigt tal, kan de godt løse den matematiske opgave korrekt. Den faglige stærke elev i 9. Klasse (bilag 2), påpegede blandt andet at vanskelighederne kan opstå i oversættelsen fra matematisk til dansk. Det var netop det jeg så i undervisningen i 3. Klasse. 50 % af den kommunikation der foregik i undervisningen fandt sted i Høines(1998) Høines 1. Sprogfase, hvor det uformelle matematiksprog operer. Det vil sige at eleverne har svært ved at relatere deres 44

45 Lr11se1411 Louise Jakobsen Professionsbachelor Matematik 1.-6. Klasse - 26. maj 2015 hverdagserfaringer til spørgsmålene i opgaverne. Det var kun 22,9% af kommunikationen som fandt sted i Høines(1998) 3. Sprogfase, hvor eleverne kunne afkode og forstå den faglige tekst korrekt og opstille den rette algoritme. Når sprogbruget kommer over i den 3. Fase og operere med den formelle matematik, kan eleverne bevæge sig fra den repræsentative fase til den abstrakte fase uden vanskeligheder. Det er netop det område jeg foreslår nogle handle anvisninger til. For at styrke overgangen fra den repræsentative fase til den abstrakte fase, og dermed fra den uformelle matematik til den formelle matematik, foreslår jeg procesnotat som et konstruktivt redskab. Procesnotat er et redskab til at belyse det samme indhold på forskellige måder. Det vil sige det skaber relationer mellem repræsentationer, som Michael Wahl Andersen(2010) argumentere for har en afgørende betydning for elevernes forståelse. Relationerne mellem den mundtlige og skriftlige kommunikation hjælper eleverne til reflektere over teksten og udpege de relevante informationer. Det træner dem i at være metakognitive i deres læsning, som ifølge Brudholm(2007) er en forudsætning for at være en god læser. Procesnotatet kan derfor anvendes som et støttende stillads i Høines(1998) 2. Sprogfase for eleverne i deres arbejde, med at oversætte fra det uformelle til det formelle matematik. Eleverne skal samarbejde om at udfylde disse procesnotater, da læringen ifølge Vygotsky bedst finder sted i den sociale interaktion. Idet eleverne samarbejder om at udfylde punkterne i procesnotaterne, får de glæde af hinandens baggrundviden og forestillingsbilleder. Og gennem den sociale interaktion i den mundtlige kommunikation kan de komme frem til nye mentale billeder, som understøtter løsningen på opgaven. De nye mentale billeder får eleverne mulighed for at internalisere til deres egen, som de kan viderebygge deres indre skemaer med, så næste gang de får en lignede opgave, er det disse nye erfaringer/forestillingsbilleder de finder frem. På den måde har læringen fundet sted på bagrund af en social interaktion. For at eleverne får glæde af den sociale interaktion, kræver det at de er inkluderet i undervisningen. Derfor argumenterer jeg for en inkluderende undervisning, hvor den sociale interaktion blandt eleverne er i fokus. Jeg bygger inklusions princippet på Alenkærs(2014) definition på kvalitativ inklusion. Målet med den kvalitative inklusion er et elevernes oplevelse af kvalitet både fysisk, socialt og fagligt. For elever der har brug for ekstra støtte til håndteringen af den faglige læsning, vil jeg samle til et mindre fællesskab, hvor alle er i samme faglige båd. Det mindre fællesskab er stadig placeret i klassen, det fx kan være rundt om et bord, og den sociale interaktion er stadig i fokus. Her bliver arbejdsgangen mere lærerstyret, da jeg vil vejlede eleverne gennem et mere uddybende procesnotat, som har ekstra fokus på relationer mellem repræsentationerne. Læringsmålene er stadig det samme, men undervisningsmaterialerne bliver differentieret for at opnå målet om den kvalitative inklusion. Ved 45

46 Lr11se1411 Louise Jakobsen Professionsbachelor Matematik 1.-6. Klasse - 26. maj 2015 at differentiere materialerne har man mulighed for at udfordre og støtte på de områder det er nødvendigt. Jeg præsenterer et P-Ckema med et undervisningsforløb som har de skitserede punkter i fokus. Ud over P-Ckemaets primære formål understøtter det også elevernes dannelse ud fra Klafkis kategoriale dannelse. Undervisningen åbner op for den objektive arbejdsproces med den faglige læsning. Mens eleverne gennem deres arbejde med undervisningsmaterialerne, får et subjektivt forhold den faglige læsning, så eleverne kan se relationen til deres dagligdag. Undervisningen organiseres gennem klassedialog og gruppearbejde, for at eleverne åbner sig over for det objektive indhold (undervisningen) og internationalisere det, så de får et subjektivt forhold til det, som de kan underbygge deres arbejdshukommelse med. Perspektivering Faglig læsning skaber ikke kun vanskeligheder i matematikfaget. Man kan faktisk støde på elementer af faglig læsning i alle fag. Også i disse fag er det vigtigt at elevernes præsenteres og trænes i de enkelte fags struktur og opbygning af tekstelementer. Forskning peger på at det netop er tekst genre og tekststruktur som kan være årsag til elevers læseforståelsesvanskeligheder i fagene. Ud over træning i tekstelementers opbygning, kunne man også forestille sig, at nogle af de andre læringsteknikker også gjorde sig gældende i andre fag end matematik. Dysthe(1997) konkluderede at det er rimeligt at tro, at ved bevidst at binde læsning og skrivning og samtale sammen opnår man det bedste læringspotentiale. Også her er der fokus på relationer mellem repræsentationer, som vi så at Micheal Wahl Andersen(2010) også påpegede vigtigheden af i arbejdet med det matematiske arbejde. Luhmanns senmoderne kommunikationsmodel I forbindelse med analysen af min undersøgelse og de dertil følgende handlings forslag, er jeg optaget af elevernes sprogbrug. Både i form af tilegnelsen af det matematiske sprog, men også i forbindelse med repræsentationsformen mundtlig kommunikation af opgaverne. I tilknytning til dette kunne det være interessant, at gå mere i dybden med den egentlige kommunikation der foregår eleverne imellem, og se om den ønskede effekt med repræsentationsformen mundtlige kommunikation egentlig opnås. 46

47 Lr11se1411 Louise Jakobsen Professionsbachelor Matematik 1.-6. Klasse - 26. maj 2015 Luhmann inspirerer til denne kommunikationsmodel: 40 Modellen kan anvendes til at anslysere elevernes indbyrdes kommunikation, for at vurdere om repræsentationsformen mundtlige kommunikation eleverne imellem, bidrager til en forståelse af opgaverne. Luhmanns senmoderne kommunikationsmodel består af 3 selektioner. Elev A står for den ene part bestående af: 1. Information (hvad vil eleven kommunikere) 2. Meddelelse (hvordan vil eleven ytre sit budskab.) Elev B foretager den tredje selektion: 3. Forståelse. Når Elev B svarer på Elev A s kommunikation, er processen modsat. Der må Elev B meddele en information, som Elev A må fortolke og forstå. Den tredje selektion bliver her den variable, forstået på den måde, at man ikke kan vide hvordan modparten forstår den meddelte information. Derfor er det nødvendigt, at eleverne bliver ved med at kommunikere og spørge ind til hinandens forståelser, indtil forståelsen hos modparten er blevet, som man nogenlunde havde forventet. Denne kommunikation kalder Luhmann for forståelseskontrol. 40 Madsen 2012: side 183 47

48 Lr11se1411 Louise Jakobsen Professionsbachelor Matematik 1.-6. Klasse - 26. maj 2015 Rasmus Alenkær IC3 I projektet har jeg også fokus på, hvordan man kan tilrettelægge en inkluderende undervisning. Men jeg belyser ikke området omkring, hvordan man kan vurdere og arbejde med elevernes kvalitative inklusion. Læreren må gennem observationer vurdere om eleverne er kvalitativ inkluderet eller om der skal gøres en yderligere indsats. Disse observationer kan tage lang tid og være vanskelige at holde styr på. Alenkær(2014) præsenterer IC3-modellen, som et redskab til at afspejle det kvalitative inklusions perspektiv. IC3-modellen kan anvendes som en dialogmetode blandt kollegaer. Formålet er at få en målrettet og konstruktiv dialog omkring elevens muligheder for kvalitativ inklusion. Lærer, pædagoger og andre fagpersoner kan ud fra modellen drøfte deres iagttagelser og refleksioner, over elevens umiddelbar placering. Placering siger dog ikke noget om elevens subjektive oplevelse, før eleven inkluderes i dialogen. Gennem den konstruktive og målrettede dialog giver IC3-modellen et grafisk overblik over hvilke specifikke inklusionsudfordringer der omgiver den elev der er i fokus. 41 41 Alenkær, Rasmus (2014): Kvalitativ inklusion og IC3 48