Bilag 3: Uddrag af Matematik 1999. Skriftlig eksamen og større skriftlig opgave ved studentereksamen og hf. Kommentarer på baggrund af censorernes tilbagemeldinger HF-tilvalgsfag (opgavesæt HF 99-8-1) 'Grafregnerkravet' - og elevernes brug af grafregner Med hensyn til brugen af grafregnere ved de skriftlige prøver på hf-tilvalg forventes eksaminanderne - ud over at kunne foretage de sædvanlige beregninger som på en traditionel lommeregner - at kunne benytte grafregnerens faciliteter til at tegne graf for en eller flere funktioner i samme grafvindue ud fra givne forskrifter vælge et passende grafvindue og ændre det valgte vindue aflæse funktionsværdier og foretage andre grafiske aflæsninger, f.eks. bestemme nulpunkt / ekstremer for en funktion samt skæringspunkter mellem grafer. Eksaminanderne på hf tilvalg forventes ikke at kunne udnytte grafregnerens muligheder for regression. I situationer, hvor f.eks. et nulpunkt / maksimum ikke kan bestemmes ved beregning, eller kun vanskeligt lader sig bestemme uden en grafregner, vil der - som en hjælp til eleverne - kunne forekomme formuleringer som: "Benyt grafregneren til at bestemme nulpunkt / maksimum for... " Som følge af indførelse af grafregner på hf tilvalg er der ikke længere på dette niveau krav om, at lommeregnerens hukommelse skal være tom ved prøvens start. Det helt centrale problem har været: Hvordan dokumenteres de resultater, kursisterne opnår ved hjælp af grafregneren? Kursisterne er MEGET dårlige til at forklare, hvordan grafregneren bruges. Mange dygtige drenge bruger grafregneren, hvor det overhovedet er muligt - men ikke altid hvor det er 'lovligt', som fx ved BEREGN. Derved og pga. manglende begrundelser mister de en del point. I undervisningsvejledningen inkl. supplementet til undervisningsvejledningen, dec. 97: 'Principper for formulering af skriftlige eksamensopgaver i matematik på B-niveau' kan man finde nogen hjælp. Her står der, at eksaminandens tankegang skal fremgå klart af besvarelsen, og at det i forbindelse med brug af lommeregner er særlig vigtigt, at der gøres rede for den anvendte fremgangsmåde: "Hvis der har været anvendt specielle faciliteter på grafregneren, bør det fremgå af besvarelsen, på hvilken måde dette er sket - dog er det ikke tanken, at dette skal ske ved at angive indtastningssekvenser."
En besvarelse der blot består i, at eksaminanden skriver: 'Jeg har brugt min lommeregner og får x = -0,76 ' er altså ikke fyldestgørende; der skal mere til. I tilfældet med opg. 5 sidste spørgsmål bør der ved SOLVE opskrives, hvilken ligning, der løses. ved INTERSECT forklares, at man finder skæringspunktet mellem de to nærmere angivne grafer i det og det vindue, eller man skal referere til en grafskitse (og i opgave 5 har mange eksaminander allerede i det foregående spørgsmål fået tegnet en pæn graf på mm-papir, som de kan henvise til), hvoraf der skal fremgå en relevant dimensionering af vinduet, ligesom det skal fremgå, hvilket gæt / hvilket punkt man går ud fra, samt hvilke afgrænsninger der er foretaget. ved TRACE kombineret med ZOOM bør man skitsere det, der ses i vinduet, med angivelse af en form for dimensionering af 'slut'-vinduet, og man bør angive grafregnerens resultat med mange cifre. Lige som ved tabelopslag bør man angive det resultat, man faktisk ser på sit hjælpemiddel - her grafregneren; derefter kan man afrunde og forsøge at tilpasse resultatet til den givne problemstilling. Flere censorer har givet udtryk for, at de i opg. 5 i sidste spørgsmål kunne have ønsket sig en angivelse af den præcision, hvormed skæringspunktets x-værdi skulle angives. Dette problem har været diskuteret indgående i opgavekommissionerne, og vi har ikke kunnet finde en hensigtsmæssig måde at stille et sådant krav på: For hvad sker der egentlig i de forskellige lommeregnere, og hvad sker der ved benyttelse af alle de forskellige faciliteter? Det skal eleverne i hvert fald ikke have overblik over. I opgave 3, andet spørgsmål brugte næsten ingen eksaminander grafregnerens facilitet til regression, selvom det var tilladt - der står 'bestem tallene a og b' i opgaveformuleringen. I supplementet til undervisningsvejledningen af dec. 97: 'Principper for formulering af skriftlige eksamensopgaver i matematik på B-niveau', står der, at når modellen er givet, kan konstanterne bestemmes ved: 1) beregning af konstanterne 2) regression på basis af samtlige punkter i datasættet 3) aflæsning på den tilhørende rette linje tegnet i et passende koordinatsystem. I første spørgsmål i opgave 3, hvor modellen skal bestemmes, "er det ikke nok at se på størrelsen af korrelationskoefficienten. Der kræves dokumentation baseret på indtegning af datasættet i et relevant koordinatsystem." At dømme efter besvarelserne og censorkommentarerne lå det meget tungt med dokumentation af brug af grafregner. Det ser ud som om, at arbejdet med at integrere grafregneren i undervisningen ikke helt har fået den plads, som det burde have haft: Det er mit indtryk, at grafregneren ikke er anvendt som støtte ved spørgsmål, hvor den kunne være nyttig. Opgavesættet er et godt signal til lærerne om, at integration af grafregneren i undervisningen er en absolut nødvendighed, hvis man vil 'gøre det godt' for sine elever. Men 'ting tager tid', også at indarbejde et sådant nyt hjælpemiddel i undervisningen. Dette blev der taget hensyn til ved karakterfastsættelsen. Censorerne blev i år bedt om at se mildt på
'spinkle' grafregnerforklaringer - specielt når det drejede sig om karakteren 5 eller 6: Skal en elev bestå eller ej? Kunne kursisten trods alt bruge grafregneren, selvom der savnedes dokumentation og forklaringer? Nogle censorer har spurgt, om de nu er forpligtede til at kende hver eneste grafiske lommeregner på markedet for at kunne vurdere elevernes brug af den. Det er naturligvis ikke tanken, og en fyldestgørende dokumentation og forklaring af problemstillingen i forbindelse med brug af grafregneren skulle gerne overflødiggøre dette problem. I afsnittet om det 2-årige forløb til B-niveau findes et afsnit om eksaminandernes brug af grafregnere. I det afsnit er der givet eksempler på såvel utilstrækkelige som på fyldestgørende besvarelser af et grafregnerspørgsmål. 2-årigt forløb til B-niveau (opgavesæt 99-8-2) 'Grafregnerkravet' - og elevernes brug af grafregner Elevernes brug af grafregner kommenteres udførligt af censorerne, og elevernes usikkerhed over for, hvilke krav der stilles til en besvarelse baseret på brug af grafregner, illustreres med mange eksempler. Mange tror, at "ved anvendelse af grafregner" er en beskrivende sætning. Der er ingen tradition for at forklare, hvordan en grafregner benyttes ved opgaveløsning. Her er fx to besvarelser af sidste spørgsmål i opgave 6a: "Mindste tidsforbrug = 902 s er fundet på GR" og "Menuen CALC-Minimum benyttes til at finde min(f) i intervallet 0<x<200. Resultat fmin = 901,6 s dvs. ca. 902 s for x = 48,98 m" Eleverne fortæller ikke meget om, hvordan de bruger grafregneren. Hvordan vurderes fx følgende besvarelse af opgave 3: "Funktionen tegnet på grafregner, monotoni: voksende i [-1;0,8], aftagende i [0,7;3], voksende i [3;4] og Vm =[0,5;-9]"? I mange tilfælde, hvor man kan se, at et resultat må være fremkommet ved brug af grafregner, savnes forklaring og/eller dokumentation. Nogle af opgaverne kunne være løst alene ved brug af grafregner ledsaget af en passende forklaring, men det har jeg nu ikke set eksempler på. Det kan skyldes, at der endnu hersker stor usikkerhed - også blandt lærere - om de krav, der stilles til en fuldt acceptabel besvarelse på grafregner. Flere spørgsmål bliver 'knald eller fald', når eleverne skriver, at de har brugt SOLVER. Enten er facit rigtigt eller forkert. Det er især de to valgfri opgaver 6a og 6b, der giver mulighed for brug af grafregner. Begge opgaver indeholder spørgsmål, hvor løsning ved hjælp af grafregner, vil være tilstrækkeligt. I opgave 6a står dette eksplicit i spørgsmålet "Bestem ved hjælp af grafregneren...", mens der i 6b fx blot står "Bestem de tidspunkter...". Nogle censorer noterer, at de havde foretrukket, at der i begge opgaver var refereret direkte til grafregneren. Som hovedregel er opgaverne formuleret, så der ikke stilles krav om, at der anvendes en ganske bestemt løsningsmetode. Det er kun i situationer, hvor løsningen ikke kan bestemmes ved beregning eller kun vanskeligt lader sig bestemme uden grafregner, at grafregneren nævnes eksplicit i opgaveformuleringen, jf. brev til skolerne af 29. okt. 99: 'Vedr. lommeregnere'.
For at illustrere de fremtidige krav til dokumentation i en besvarelse baseret på grafregner gives i det følgende en række eksempler på besvarelser af det sidste spørgsmål i opgave 6a med tilhørende kommentar og forslag til pointtildeling. Ud fra den foreslåede pointtildeling kunne dette spørgsmål maksimalt give 5 point. Da ikke alle af de nedenfor anvendte grafregnerfaciliteter findes på alle lommeregnere, vil relevansen af de forskellige eksempler afhænge af, hvilken grafregner man benytter. Det mindste tidsforbrug er 1187 s. Fundet ved grafregner. Et forkert svar og helt udokumenteret. 0 point. Det mindste tidsforbrug er 902 s. Fundet ved grafregner. Et korrekt svar, men helt udokumenteret. Ca. 1 point. Ved at bruge ZOOM og TRACE på min grafregner, har jeg fundet, at t = 900 s. Et næsten korrekt svar uden synlig dokumentation. Ca. 1 point. Jeg har tegnet grafen for f på min grafregner og aflæst det mindste tidsforbrug til ca. 902 s. Et korrekt svar uden synlig dokumentation. Ca. 2 point. Jeg har brugt CALC-minimum til at finde det mindste tidsforbrug. Det er 902 s. Et korrekt svar uden forklaring på, hvordan den nævnte lommeregnerrutine er benyttet. Ca. 2 point. Menuen CALC-Minimum benyttes til at finde min(f) i intervallet 0<x<200. Resultat fmin =901,6 s ~ 902 s for x = 48,98 m. Her savnes en graf-skitse som dokumentation, ca. 3 point. Ved at bruge ZOOM og TRACE på min lommeregner har jeg fundet t = 900 s. Se figuren [korrekt figur med enheder på akserne og minimum er markeret]. Dokumentationen er der, men pga. manglende angivelse af grafregnerens resultat - dvs. en nedskrivning af de relevante tal - og manglende kommentar om vinduet ved det sidste ZOOM gives ca. 3 point. Jeg har skrevet funktionsudtrykket for f ind i Y1. Ved at tegne grafen for f og se i tabellen kan jeg se, at det mindste tidsforbrug angivet i et helt antal sekunder er ca. 902 s, idet Y1=901,69, når x = 49. Ved x=48 er Y1=901,7, og ved x=50 er Y1 = 901,7.
Denne besvarelse er stort set fyldestgørende, ca. 4 point. Eleven tager sit udgangspunkt i, at der er tale om en anvendelsesopgave og går efter at aflevere resultatet i et helt antal sekunder. Man kunne have ønsket sig en kommentar om, at x-værdierne kun undersøges for heltallige værdier, og at man kun interesserer sig for et helt antal meter. 0<y<1200, se figuren. Ved at bruge TRACE har jeg aflæst f's mindsteværdi til 901,95627, når x = 55,696203. Dvs. det mindste tidsforbrug er ca. 902 s. Med en korrekt figur indeholdende de relevante markeringer er dette en god besvarelse. Der optræder dog en lille unøjagtighed på x i forbindelse med brug af TRACE, og der kunne med fordel have været forsøgt med et mindre vindue/et ZOOM. Ca. 5 point. 0<y<1200, se figuren. Ved at bruge ZOOM og TRACE har jeg aflæst f's mindsteværdi til 901,69299, når x = 48,549912. Dvs. det mindste tidsforbrug er ca. 902 s. Denne besvarelse er også fyldestgørende. Ca. 5 point. 0<y<1200, se figuren. Ved at bruge minimum i CALC-menuen har jeg fundet f's mindsteværdi til 901,69117, når x = 48,984948. Dvs. det mindste tidsforbrug er ca. 902 s. Her savnes en kommentar om grafregnerens afgrænsning af det interval, der skal søges i, altså om brugeren skal markere et interval, eller om grafregneren automatisk starter en søgning i hele grafområdet. Ca. 5 point. Figuren viser en skitse af grafen for f i vinduet 40<x<60 og 800<y<920. På figuren kan man se, at minimum for f ligger omkring 900. Ved brug af TRACE har jeg fundet det til 902, hvilket så er det mindste tidsforbrug. 0<y<1200, se figuren. Ved at bruge minimum i CALC-menuen har jeg fundet f's mindsteværdi til 901,69117, når x = 48,984948. Jeg brugte x=30,379747 som venstre endepunkt og x=91,139241 som højre endepunkt. Dvs. det mindste tidsforbrug er ca. 902 s. 0<y<1200, se figuren. Ved at bruge ZOOM og TRACE har jeg aflæst f's mindsteværdi til 901,69299 når x = 48,549912. Dvs. det mindste tidsforbrug er ca. 902 s. Det sidste vindue, jeg brugte, var 48,1012<x<65,8227 og 868,42105<y<915,7894. Jeg finder minimumsstedet ved at brug fmin på funktionen f. x=fmin(y1,x,0,200)=48,98496495. Det mindste tidsforbrug er så y-værdien. y=y1(fmin(y1,x,0,200))=901,6911659. Dvs. tidsforbruget er ca. 902 s.