Søgning og Sortering. Philip Bille

Transkript

1 Søgning og Sortering Philip Bille

2 Plan Søgning Linæer søgning Binær søgning Sortering Indsættelsesortering Flettesortering

3 Søgning

4 Søgning En tabel A[1..n] er sorteret (i ikke-faldende rækkefølge) hvis A[1] A[2] A[n] Søgningsproblemet: Givet en sorteret tabel A og et tal x, afgør om der findes indgang i, så A[i] = x.

5 Lineær søgning Undersøg for alle indgange A[i] om A[i] = x. Tid: Θ(n)

6 Binær søgning Kig på midterste indgang m i A. A[m] = x: færdig A[m] < x: fortsæt rekursivt på højre halvdel. A[m] > x: fortsæt rekursivt på venstre halvdel. Stopper når tabellen har størrelse 1

7 Analyse Hvor hurtigt kører den? Analog til analyse af rekursiv toppunktsalgoritme. Et rekursivt kald tager konstant tid. I hver rekursion halverer vi tabellen vi kigger på. Vi stopper når tabellen har størrelse 1. Køretiden er Θ(log n)

8 Alternativ analyse Lad T(n) være køretiden for binær søgning. Opskriv og udregn rekursionsligningen for T(n). T (n) = ( T (n/2) + c hvis n>1 d hvis n =1

9 T (n) = ( T (n/2) + c hvis n>1 d hvis n =1 T (n) =T = T = T n 2 n 4 n 8 + c + c + c + c + c + c. n = T 2 k + ck. n = T 2 log 2 n + c log 2 n = T (1) + c log 2 n = d + c log 2 n = (log n)

10 Søgning Lineær søgning løser søgningsproblemet i Θ(n) tid. Binær søgning løser søgningsproblemet i Θ(log n) tid.

11 Sortering

12 Sortering Sorteringsproblemet: Givet en tabel A[1..n] returner en tabel B[1..n] med samme indhold som A men i sorteret orden.

13 Anvendelser Oplagte: Sortere en liste af navne, organisere et MP3 bibliotek, vise Google PageRank resultater, vise Facebook feed i kronologisk rækkefølge. Ikke oplagte: Datakompression, computergrafik, bioinformatik, anbefalingssystemer (film på Netflix, bøger på Amazon, reklamer på Google,..). Nemme problemer for sorteret data: Binær søgning, find median, identificer duplikater, find tætteste par, find statiske perifere observationer (outliers).

14 Indsættelsessortering (insertion-sort) Start med en ikke sorteret tabel. Kig på indgangene fra venstre til højre. Ved indgang i: Indsæt A[i] i rækkefølge blandt deltabellen A[1..i-1]. For at finde rette sted sammenligner vi med indgangene fra højre til venstre.

15 Korrekthed Hvorfor virker det? Før iteration i består deltabellen A[1..i-1] af de tal der oprindeligt var i A[1..i-1] i sorteret rækkefølge. Iteration i indsætter A[i] i deltabellen A[1..i-1] Efter iteration i består deltabellen A[1..i] af de tal der oprindeligt var i A[1..i]

16 Analyse Hvor hurtigt kører den? Hvor lang tid tager det at indsætte A[i] i korrekt position? Samlet tid = Θ(tid for at indsætte alle indgangene i korrekt position)

17 Analyse Indsættelsessortering kører i Θ(n 2 ) tid.

18 Flettesortering (mergesort) Hurtigere sorteringsalgoritme. Ide: Rekursiv sortering vha. fletning af sorterede deltabeller.

19 Fletning (merge) Mål. Kombiner to sorterede tabeller til én sorteret tabel i lineær tid Ide: Hold styr på mindste element i hver sorteret tabel. Indsæt mindste af de to elementer i en ekstra tabel. Gentag indtil færdig.

20 Analyse Hvert skridt i algoritmen tager Θ(1) tid. I hvert skridt flytter vi en indgang frem i en af tabellerne. Linæer tid i sum af længde af tabellerne.

21 Flettesortering Del A i to halvdele. Sorter hver halvdel rekursivt. Flet de to halvdele sammen. Stop når tabel har størrelse 1

22

23

24

25

26

27 Analyse Lad T(n) være køretiden af flettesortering. Hvor hurtigt kører den? Ide: T(n) = Θ(total tid brugt på fletning) Fletning tager lineær tid. T(n) = Θ(total længde af tabeller over alle rekursive kald)

28

29 Analyse Flettesorting kører i Θ(nlog n) tid.

30 Del og hersk (divide-and-conquer) Flettesortering er eksempel på en del-og-hersk algoritme. Del-og-hersk: algoritmisk designparadigme Del: Opdel problemet i et eller flere delproblemer Hersk: Løs delproblemerne rekursivt Kombiner: Sæt løsningerne til delproblemerne sammen til en samlet løsning for problemet. Flettesortering: Del: Del A i to halvdele. Hersk: Sorter hver halvdel rekursivt. Kombiner: Flet de to halvdele sammen.

31 Sortering Indsættelsessortering i Θ(n 2 ) tid. Flettesortering i Θ(nlog n) tid. Fletning i Θ(n) tid.

32 Opsummering Søgning Linæer søgning Binær søgning Sortering Indsættelsesortering Flettesortering