Longitudinal dynamik: Indledning. Vi betragter her synkrotroner En synkrotron vil have en (el. flere) RF-kaviteter

Transkript

1 Moderne acceleratorers fysik og anvendelse Forelæsning 7 Longitudinal Dynamik & RF kaviteter Longitudinal dynamik (synkrotroner) Energitilvækst Bundter og Buckets Transitionsenergien Synkrotron bevægelse RF kaviteter Genopfriskning (hurtig intro) Elektromagnetiske bølger Skindybde Bølgeledere Gruppe og fase hastighed Kaviter (den cylindriske kavitet (Pill-box)) Q-faktor Shunt-impedance LCR ækvivalent kredsløb Transittid Indkobling LCR ækvivalent kredsløb RF power generering Longitudinal dynamik: Indledning Vi betragter her synkrotroner En synkrotron vil have en (el. flere) RF-kaviteter til acceleration RF: RadioFrekvens (3 khz 3 GHz) Spændingen i en RF-kavitet vil oftest svinge sinusformet U RF U sin(ω RF t), hvor ω RF πf RF

2 Hvorfor vekselfelter? Maxwell: Faraday s lov Dvs. med statiske (eller langsomt varierende) felter er integralet nul rundt langs en ring (Faradays lov). Vekselfelt: Feltet kan vende forkert, mens partiklerne er andetsteds. Longitudinal dynamik: Nogle definitioner Omløbsfrekvens: fβc/lβc/πr m RF frekvensen skal være et helt multiplum af omløbsfrekvensen: f RF q f q er den harmoniske (ofte kaldet h) Spænding per omgang: U U er den samlede spænding en partikel ser Kunne godt hidrøre fra flere kaviteter UU sin(ψ) hvor Ψ er fasen af partiklen i forhold til RF en (under forudsætning af at RF en svinger sinusformet) Synkron partikel: Modtager lige præcis den rigtige energitilvækst hver omgang E U sin(ψ )-W hvor W er energitab til Synkrotron Stråling (SR) og E (hvis <>) leder til acceleration Ψ har her ikke noget med betatron fasetilvækstfunktionen at gøre

3 Bundter og Buckets Den synkrone partikel ser altid den rigtige (passende) spænding Andre partikler vil ikke altid se den passende spænding, men vil i faserummet (ΔΨ, ΔE) oscillere i energi og tid (fase), omkring den synkrone partikel En partikel der er langsommere bliver bagefter, og kommer til kaviten senere. Den ser da en større spænding, og udsættes derfor for en større acceleration, hvilket vil øge partiklens hastighed Ψ Ψ Bundter og Buckets Partiklerne vil samle sig i bundter ( bunches ) omkring den synkrone partikel I et lineært område omkring den synkrone partikel, vil bevægelsen være som en harmonisk oscillator Længere væk vil bevægelsen blive ulineær Det stabile område omkring et givet synkront punkt hedder på engelsk en RF- bucket (en RF- spand ) Hvis Ψ>π-Ψ, så er partiklen ikke låst til en given bucket Ψ π-ψ Ψ π-ψ Ψ 3

4 Bundter og Buckets 3 Hvis Ψ>π-Ψ, så er partiklen ikke låst til en given bucket Stationære buckets / adiabatisk indfangning Hvis partiklerne ikke skal accelereres (E ) og ikke taber energi (W ) er Ψ RF- spanden vil da fylde hele faserummet Under f.eks. injektion kan man langsomt skrue op for spændingen Herved kan man opnå en bedre indfangning g af f.eks. en kontinuert stråle 4

5 Fasestabilitet, igen En mere energirig partikel vil bevæge sig på en større bane Δp Rm Rm + D D p, er middelværdien af dispersionen i dipolerne For hastigheder nær lysets, vil hastigheden ikke øges, men banelængden vil være større. En mere energirig partikel vil derfor have en større omløbstid. Hældningen i det synkrone punkt må derfor være modsat. Middeldispersion α D( s) D D ds L R( s) L π R m Transitionsenergien En ideel partikel har omløbstiden En ikke-ideel partikel har omløbstiden L : Ideel banelængde v : Ideel hastighed Dvs og dermed Idet, hvor α er momentum compaction parameteren (fra lattice) og som er en relativistisk relation (se appendiks B) fås 5

6 Transitionsenergien Δfrev ΔT Idet f rev T er frev T Dvs Δf rev Δp Δp Δp f ( α) ( ) η γ p γ γ p p rev γ t α kaldes transitionsenergien, og er den energi hvor omløbsfrekvensen ikke ændrer sig med energi (eller impuls) Slip-faktoren η angiver forholdet mellem relativ omløbsfrekvens og relativ impuls ændring t η Δf f Δ p p γ γ t α γ Under acceleration skal man ændre fasen af RF feltet, når γγ t Synkrotron bevægelse Vi så tidligere at en partikel for små udsving omkring Ψ (lineær genskabende kraft) udfører en ellipsebevægelse i faserummet Vi har altså en harmonisk oscillator Denne vil have en frekvens f s, kaldet synkrotron frekvensen Bevægelsen vil være beskrevet ved _ ΔE ΔE sin(πf st) ΔΨ ΔΨ cos(πf t) s 6

7 Synkrotron bevægelse - fase Ændringen af fasen (per omgang) er givet ved rev Sætter man ind, fås rev og endelig ΔΨ angiver en partikels totale faseoffset T f q f TRF RF rev harmoniske rev relativistisk relation Synkrotron bevægelse 3 - energi For den ideelle partikel havde vi (per omgang) For en ikke-ideel partikel, har vi Differencen er ΔΨ angiver en partikels totale faseoffset Da synkrotronoscillationen tager mange omgang kan vi finde energitilvæksten per tidsenhed ved blot at dividere med omløbstiden Med lidt trigonometri fås 7

8 Synkrotron bevægelse 4 Differentiers mht. tiden fås og med fra tidligere fås hvor rev Ligning for harmonisk bevægelse Dæmpning (udæmpede) frekvens a s er normal (meget) lille, i.e. a s «Ω Bemærk at for at have stabil bevægelse skal det gælde at Synkrotron bevægelse 5 Synkrotronfrekvensen kan også skrives som Ω η heu cos( Ψ ) fs f rev π π E tot β hvor h her angiver den harmoniske På samme måde som vi definerede betatron tune (Qværdien) har vi også synkrotron tune n Q s f f s rev η heu πe cos( Ψ ) tot β Typisk temmelig lille (~.) ASTRID Elektroner: Q s.3 (f s ~ khz) 8

9 Synkrotron bevægelse 6 - Separatrix Separatrix en adskiller det stabile område fra det ustabile område og er givet ved Ligeledes kan man vise at den maksimale energiafvigelse (Bucket-højden) er givet ved ΔE E max.5 % typisk Opsummering Fasestabilitet: Partiklerne udfører longitudinale synkrotron oscillationer (harmonisk oscillator) Transitionsenergi: η Δf f f Δ p p γ γ t α γ Synkrotron frekvens: η heu cos( Ψ ) f fs πetotβ rev Den synkrone fase(ψ ): U s U sin(ψ ) U s : spændingen den synkrone partikel skal have (middelspændingen for beamet) (under antagelse af at beamet ikke accelereres) U : Kavitetens max spænding 9

10 Kaviteter Genopfriskning (hurtig gennemgang) Elektromagnetiske bølger Skindybde Bølgeledere Gruppe og fase hastighed Den cylindriske kavitet (Pill-box) Q-faktor Shunt-impedance Transittid Indkobling LCR ækvivalent kredsløb RF power generering

11 Elektromagnetiske bølger I vakuum: I et medie: Poynting vector (local power flux): Elektriske og magnetiske felter ved en overflade To regler skal være opfyldt langs overfladen af en (perfekt) leder: E Dvs E skal være vinkelret på overfladen H Dvs H skal være parallel med overfladen

12 Skindybde Skindybden er den afstand (/e) som et elektromagnetisk felt kan trænge ind i en (ikke-perfekt) leder Overflade modstand R surf σδ s Bølgeleder To EM bølger Nederste er en refleksion af den øverste Summen af de to EM bølger Fasehastigheden: v p v/sin(θ)

13 Bølgeledere Man kan vise at bølgelængden inde i bølgelederen λ z er givet ved hvor λ c er den kritiske bølgelængde for bølgelederen. λ c er givet ud fra formen og dimensionerne af bølgelederen Betingelse: λ<λ c (eller f>f c ) Hvis vi indfører bølgetallet: k z π/λ z får vi dispersionsrelationen πc ω kc λ Dispersion her er IKKE samme begreb som D(s) fra lattice Gruppehastighed / dispersion Dispersionsrelationen: k z π/λ z Fasehastigheden: v ph ω/k z f λ z > c Gruppehastigheden: v g dω/dk z Er den største hastighed hvormed man kan overføre information Altid mindre end c (lysets hastighed) Man kan vise at der her gælder v g v ph c 3

14 Bølgeledere 3: Rektangulære bølgeledere For en rektangulær bølgeleder har vi for Transversale Elektriske felter (TE modes), at λ c er givet ved 3 GHz bølgeleder (l~ cm) Bølgeledere 3: Cylindriske bølgeledere For en cylindrisk bølgeleder har vi for Transversale Magnetiske felter (TM modes), at Ved overfladen skal E z være lige nul Det betyder at λ c er da givet ved (D er diameteren) πd λ c x n hvor x n er den n te nulpunkt i Bessel funktionen J x.4483, x 5.5, x

15 Kavitet Tager vi nu en bølgeleder og lukker begge ender får vi en kavitet. Der kan nu opstå stående bølger, hvis længden af kaviteten passer med et helt antal, af den halve longitudinale bølgelængde l z Altså Bemærk at q godt kan være, svarende til l z (k z ) Den resonante bølgelængde l r bliver da q + + λ λ λ λ 4 l r c z c Cylindrisk kavitet (Pill-box) For en cylindrisk kavitet har vi og dermed λr, med q,,,... x n q + πd 4 l hvilket for n og q giver πd πd λ x.4483 λ Man kan vise at felterne (TM nq ) er givet ved qπ D ' xn qπ Er E J r sin z xn l D l xn qπ Ez EJ r cos z D l For n og q (TM ) fås.4483 Er, Ez E J r D c πd x c.4483c 9.5MHz f λ πd D[m] n l D/ 5

16 Q-faktoren for en kavitet Kvalitetsfaktoren Q for en kavitet er defineret som hvor W s : Energien lagret i det elektromagnetiske felt W d : Energien afsat per periode delt med π P d : Afsat effekt R surf σδ s Shunt modstanden V er den spændingsforskel partiklen ser Man kan nu definere shunt modstanden som hvor P d er den afsatte (middel) effekt, som må være lig den effekt vi skal tilføre kaviteten for at opretholde et konstant felt V er den maximale spænding, hvilket giver faktoren R s ~ - MΩ typiske tal: V: -8 kv, P d : - kw 6

17 LCR ækvivalent kredsløb Kaviteten I g : RF generatoren I b : Beam induceret Ser vi bort fra her LCR ækvivalent kredsløb University Physics: Indføres nu L ω og Z ωl LC C ω C R får vi Z( ω) R ( ω ω ) + 4 Z ω Med Q Z R og Δω ω ω samt Δω << ω fås Z( ω) + Q R 4( Δω) ω Cavity gain (Q6) R R s Frequency [MHz] 7

18 LCR ækvivalent kredsløb 3 Energien lagret i en kondensator (igen fra University Physics): V CV, idet C Zω Zω W s Q var i en kavitet forholdet mellem lagret og afsat energi W Q ω P V Z ω s ω d V R R Z stemmer Ved hvilken frekvens er amplituden halveret? Z(( Δω) ½ ) R ω Q ( Δω) ½ Cavity gain (Q6) Frequency [MHz] Svingningstiden (dæmpningstiden/fyldningstiden) Slukker vi generatoren svinger kredsen jo stadig hvilket en kavitet præcis også vil gøre Pga. modstanden vil svingningen langsomt dø ud En ren RC kreds vil aflades med τrc Pga. svingningerne (ml. L og C) fås dog L Q Q τ RC QZC Q C Q LC C ω πf X 8

19 Transit-tids faktoren En partikel vil tage tid om at passere kavitetens gab Der vil derfor være en reduktion i den maximale spænding Med fås transit-tids faktoren som angiver reduktionen i spænding En stor G eller en lille β giver en lille Γ For at holde Γ stor laver man ofte nose-cones Kobling Feltet kan kobles ind i kaviteten via en antenne hvis magnetfelt vekselvirker med (eksiterer) det magnetiske felt i kaviteten Det er også muligt at bruge kapacitiv kobling til det elektriske felt, men det er ikke så almindeligt Bemærk næserne 9

20 Astrid kaviteten Kaviteter til ioner (ferrit fyldte kaviteter) Ioner er ofte langsomme. Når de accelereres ændres frekvensen derfor meget (faktorer, måske endda x) Man fylder derfor kaviteten med ferrit Høj permeabilitet Kan ændre (sænke) permeabiliteten (m) med et statisk B-felt (op til en faktor ) ferritten øger dog tabet og sænker dermed Q et f n λ n c ε μ r r σ 4 ε ε rμr λn c c ε μ

21 RF power generering Transistor baseret (solid state) Dækker stort set alle frekvenser (DC - 3 GHz) Ofte bredbåndet Fra få Watt til -5 kw (DC) DC eller pulseret Rør baseret (tetrode el. triode) Op til nogle få MHz (typisk f.eks. til FM udsendelse (radio)) Smal- eller bredbåndet Up til i hvert fald kw DC Klystron ~3 MHz til ~GHz Meget smalbåndet Meget power (op til MW DC, og 5 MW pulseret) IOT 3-5 MHz (UHF (TV) udsendelse) Meget smalbåndet Høj power (5 kw DC) Moderne Klystron i den lavere ende af klystronens frekvensområde Klystron

22 Styring / kontrol Man er selvfølgelig nødt til at have elektronik der sikrer konstant amplitude konstant på resonans Low-Level RF