Jordskælvs svingninger i bygninger.

Transkript

1 Jordsælvssvingninger side 1 Institut for Matemati, DTU: Gymnasieopgave Jordsælvs svingninger i bygninger. Jordsælv. Figur 1. Forlaring på de tetonise bevægelser. Jordsælv udløses når de tetonise plader som ontinenterne ligger på pludselig forsydes i forhold til hinanden. Årsagen til at jordsorpe lagene bevæges er muligvis onvetionsstrømme i jordens appe, se figur 1. Jordsælvene udløses i ca. 40 m s dybde og forplanter sig som bølger i jordens appe. Der er to slags jordsælvsbølger: Trybølgerne eller de longitudinale bølger og forsydningsbølgerne eller transversale bølger. Bølgerne registreres på jordoverfladen som vandrette og lodrette bevægelser i jordsorpen. Trybølgerne også aldet de primære bølger eller P-bølger bevæger sig hurtigst med hastighed af ca. 6 til 13 m/s. Forsydningsbølgerne også aldet S- bølger bevæger sig noget langsommere med en hastighed af ca. 3 til 7 m/s.

2 Jordsælvssvingninger side 2 Figur 2. Jordsorpens bevægelse vist som funtion af tiden for P- og S-bølger. Registreres jordsorpens bevægelse på jordoverfladen med en seismograf, an man se tidsforsellen imellem anomsten af P-bølger og S-bølger, se figur 2. Ud fra denne tidsforsel an afstanden til jordsælvets centrum beregnes. I figur 3 er vist de steder på jorden, hvor Figur 3. Jordsælvszoner. jordsælv foreommer hyppigt, de såaldte jordsælvszoner.

3 Jordsælvssvingninger side 3 Jordsælvs indflydelse på bygninger. Figur 4. Jordsælvs indflydelse på et hus. Ved udløsning af et jordsælv vil fundamentet pludselig bevæge sig i vandret retning og huset vil deformeres eller slippe fundamentet, hvorved nogle bygningselementer an vælte. I større bygninger an der opstå svingninger i onstrutionen, som vist i hosstående figur 5. Hvis huset ie er dimensioneret til at optage ræfter i vandret retning vil disse svingninger få huset til at styrte sammen. Som en simpel fysis model for et hus an vi benytte en bjæle, der er fast indspændt i den ene ende og fri i den anden ende. Indspændingen sal gøre rede for husets foranring i fundamentet og dermed husets fundering. Figur 6. To svingningsformer for en bjæle. Som en model for svingningerne, der an opstå ved et jordsælv, an vi bruge en af de svingningsformer, som en fast indspændt bjæle an svinge med. I figur 6 er vist 2 forsellige svingningsformer for en indspændt bjæle. Prøv at sammenligne billederne i figur 5 med svingningsformerne i figur 6. Figur 5. Indflydelse af jordrystelse på højhus.

4 Jordsælvssvingninger side 4 Svingningsmodel af højhus. Figur 7. Fast indspændt bjæle. Som en simpel model af et højhus benytter vi en bjæle med længden h, der er fast indspændt i den ene ende og fri i den anden ende. Belaster vi bjælen med en ydre raft P i den frie ende, som vist på figur 7, vil bjælen udbøje styet u. For sammenhængen imellem udbøjningen u og raften P gælder P = u, hvor er stivheden af bjælen i den frie ende. Et udtry for stivheden finder vi fra styrelæren 3 E I = 3 h x, bjælestivheden hvor er E er bjælens elasticitetsmodul, I x er bøjnings inertimomentet af bjælens tværsnitsareal og h er bjælens længde. For at unne regne på svingningen af bjælen anbringer vi nu en puntmasse m i den frie ende, Figur 8. Svingningssystem. som vist i figur 8. Regner vi bjælen for masseløs, har vi at gøre med et simpelt fjedermassesystem med stivheden og puntmassen m.

5 Jordsælvssvingninger side 5 Kalder vi massens udsving for x(t), giver Newtons 2. lov m && x (t) = - x(t) eller m & x& (t) + x(t) = 0, 2. ordens lineær, homogen differentialligning. En løsning x(t) til denne ligning er x(t) = x 0 sin(ω 0 t), hvor ω 0 = m, T = 2π ω 0. ω 0 er den cylise egenfrevens for det svingende system, og T er svingningstiden. Figur 9. Egensvingning for bjæle. Antallet af svingninger pr. tid f 0, som aldes frevensen, er 1 1 f 0 = = T 2π m egenfrevensen, måles i Hz ( hertz) Vi an onludere, at en masseløs bjæle med en punt masse placeret i den frie ende an besrive svingningen i et højhus, når udsvinget af højhuset ligner udsvinget sitseret i figur 8. For at modellen an være brugbar, må vi dog ræve, at egenfrevensen f 0, som vi beregner ud fra modellen, må svare til vireligheden. Hvis vi sætter modellens puntmasse m lig med højhusets samlede masse m h, vil modellens egenfrevens blive alt for lav. Årsagen til dette er, at den del af højhuset, der er nærmest fundamentet, næsten ie bevæger i forhold til fundamentet, hvilet ses ved at betragte udsvinget af den svingende bjæle i figur 8. Det er un den øverste del af huset der svinger med. Hvis vi derfor erstatter vores puntmasse m i modellen med massen m e = ¼ m h,vil en beregning give den rigtige egenfrevens af højhuset. m e aldes den ævivalente masse. Egenfrevensen af højhuset bliver derefter f 0 = 1 2π m e, m e = ¼ m h ævivalent masse. m h = højhusets masse.

6 Jordsælvssvingninger side 6 Jordsælvs svingninger. Vi antager nu, at højhuset med højden h og den samlede masse m h modelleres med en masseløs bjæle med en puntmasse m e = ¼ m h placeret ude i den frie ende, se figur 8. Vi forestiller os, at højhusets fundament bliver udsat for vandrette jordrystelser på grund af et jordsælv. Vi antager, at fundamentet til tiden t har bevæget sig styet δ(t), se figur 9. Figur 9. Svingning af fundament. Udsvinget af den ævivalente masse m e alder vi for x(t). Udsvinget af massen m e i forhold til fundamentet er da ( x(t) - δ(t) ), se figur 9. Newtons 2. lov anvendt på m e giver m e & x& (t) = - ( x(t) - δ(t) ) eller m e && x (t) + x(t) = δ(t), 2. ordens lineær, inhomogen differentialligning. Kender vi δ(t), an vi løse denne differentialligning og derved bestemme det masimale udsving i toppen af højhuset, samt den masimale elastise spænding, der opstår ved fundamentet.

7 Jordsælvssvingninger side 7 Opgaven. Figur 10. Højhuset Figur 11. Grundplan over højhus For det atuelle højhus vi betragter er h = 50 m, som vist i figur 10. Højhuset er opført af armeret eller forspændt beton. Grundplanen for huset, se figur 11, er vadratis med yderdimensionerne 25 m 25 m. Tyelsen af betonvæggene er overalt t = 0,30 m. For beton gælder: Easticitetsmodul : E = 24.1 GPa Massefylde: ρ = 2400 g/m 3 B Brudspænding: σ = 30 MPa, try, σ = BB 5.5 MPa, træ For armeret eller forspændt beton er brudspændingen ca. 75% at try brudstyren. Højhuset bliver udsat for et jordsælv, der giver fundamentet en vandret bevægelse givet ved med følgende data: δ(t) = δ 0 sin (ω s t) = δ 0 sin (2π f s t) Jordsælvs frevens f s = 4.0 Hz Amplitude: δ 0 = 8.0 cm.

8 Jordsælvssvingninger side 8 Spørgsmål 1. Bestem tværsnits arealets inertimomentet I x for højhuset. Beregn dernæst stivheden af højhuset, hvor Spørgsmål 2. = 3 E I h x 3 Bestem den samlede masse m h af højhuset. Beregn dernæst den ævivalente masse me hvor m e = ¼ mh Spørgsmål 3. Beregn højhusets cylise egenfrevens ω og egenfrevensen f, hvor ω 0 = [rad/s], f 0 = [Hz]. 2π m e m e Spørgsmål 4. Find en løsning af formen x(t) = x 0 sin(ω t) til den inhomogene differentiallgining s me && x (t) + x(t) = δ 0 sin (ω s t). Vin: Sriv differentialligningen på normeret form 2 2 & x& (t) + x(t) = ω δ0 sin (ω s t), ω0 =. ω 0 0 m e Spørgsmål 5. Sitser amplitude funtionen x 0 (ω s ). Bestem for de atuelle talværdier amplituden x 0 af højhusets udsving, samt amplituden af det relative udsving x 0 - δ 0 imellem top og fundament. Spørgsmål 6. Bestem den masimale spænding σ max ved højhusets fundament M (x δ ) h Ix max x = er modstandsmomentet. W W 1 a max 0 0 σ = =, hvor W x x 2 Hvad er onlusionen?