Det bedste sted - en undersøgelse med cirkler

Transkript

1 Modelling optical lenses with Dynamic Geometry Software Det bedste sted - en undersøgelse med cirkler Ján Šunderlík og Eva Barcíková 1 lenses, Indledning many physics teachers groan the experiments are quite complex, and you need a lot of Bratislava, Slovakiets hovedstad, er en lille storby, der ligger ved Donaufloden og har mange broer. En glass af turistattraktionerne lenses etc. Now that s er også not always udsigten available, fra disse and broer. adjustments På figur to 1 the ses system tre af broerne can usually ovenfra. only be De er ikke done lige by gamle. removing Til one venstre piece er and den putting ældste another bro, som piece også in. hedder To see det: what Den happens ældste if Bro. you I make midten a lens er den nyeste thicker, bro, you der have hedder to take Apollobroen. out the current Den lens sidste and bro put hedder in the Havnebroen. new one. Students can then observe the Fig.1: Tre broer i Bratislava set ovenfra Som helt almindelig turist kan man gå ad Donaupromenaden, som vi har farvet rød. Promenaden er ca. 455 m lang, og der er tre udsigtspunkter. Som en (ualmindelig) turist kan man spørge sig selv, hvor er det "bedste udsigtspunkt", hvis man vil se Apollobroen (figur 2).

2 Modelling optical lenses with Dynamic Geometry Software etc. But Fig. even 2. for Apollobroen the DGS, we (Wikimedia) need mathematics to create the simulation in the first place. Vi 2 Easy kan godt beginnings blive enige om, light at det hits "bedste a plane sted" vil surface være stedet med den største vinkel, som Apollobroen kan ses fra. Der er tre udsigtspunkter (1, 2, 3). Hvilket er ud fra vores antagelse bedst, hvis 2.1 man Reflection vil se Apollobroen? Hvis nu du ser dig selv om en ualmindelig turist, dvs. du ligner en videnskabsmand mere, end du troede, eller måske snarere en problemløser. Den proces, vi nu skal igennem, er en spørgeteknik, som er en metode, der svarer til den måde, som matematikere arbejder på. Er du klar? Så lad os begynde. 2 Opgave 1 Hvordan kan man finde svaret på det foregående spørgsmål? Hvor på promenaden er det bedste udsigtspunkt, hvis man vil se Apollobroen? 2.1 Sådan kan det løses Vi kan forenkle spørgsmålet med en model. Den er lavet ud fra den omstændighed, at broen rører ved flodbredden. Vi forlænger derfor linjen langs promenaden og konstruerer en linje, der ligger vinkelret på broen. Det betyder, at alle steder langs med promenaden har en fælles stråle, og vi flytter bare toppunktet af udsigtsvinklen Fig.1 tættere Reflection på broen. of light Det at er a plane således surface. ikke svært at forstå, at jo tættere toppunktet er på broen, desto større er vinklen. Hvad så med de punkter, der ligger meget tæt på en af

3 broens sider? Hvilken vinkel nærmer den sig (konvergerer)? Prøv på internettet at finde den bedste Modelling optical lenses with Dynamic Geometry Software vinkel, hvis man skal se på en genstand. near the Fig. centre 3 Udsigt of the til lens. Apollobroen With thicker fra udsigtspunkter lenses and light på Donaupromenaden being more off-centre, (Foto the fra calculations Google Earth) Fig. 4 Udsigtspunkt C Fig. 5 Udsigtspunkt B Fig. 6 Udsigtspunkt A 2.2 Bemærkninger til læreren Vi kan nemt lade de studerende undersøge spørgsmålet og selv komme med løsninger. Det kan vil være en god ide at give dem en fotokopi af kortet eller lade dem udforske spørgsmålet vha. et geometriprogram. Det er nemt af finde et billede af det hele ovenfra med det gratis program Google Earth. Geometriprogrammet kunne f.eks. være GeoGebra. Det er vigtigt at opfordre de studerende til at formulere deres egne tanker og spørgsmål, som kan hjælpe dem med at finde en løsning. Det er vigtigt, at de ikke får løsningen lige med det samme. Man kan også bede de studerende formulere deres forklaring og lade dem skrive den ned på et stykke papir.

4 2.3 Modelling Matematiske optical begreber lenses der with udvikles Dynamic Geometry Software Sammenligning af vinkler Matematisk modellering 3 lenses, Opgave many physics 2 teachers groan the experiments are quite complex, and you need a lot of Det of making er meget light populært visible. blandt To show turister the path tage of light en sejltur in materials, på Donaufloden. you need special Så lad equipment os også gøre smoke det. På sejlturen glass lenses har etc. vi igen Now mulighed that s not for always at se available, Apollobroen and adjustments fra forskellige to the synsvinkler. system can Hvor usually er det only "bedste sted" done at by se removing Apollobroen one piece fra, hvis and vi putting kommer another fra Den piece gamle in. To Bro? see what happens if you make a lens When a ray of light Fig. hits 7. Den a plane gamle glass Bro surface, (i forgrunden) a part of og it is Apollobroen reflected. The (i baggrunden) law of reflection says that 3.1 Sådan kan det løses Hovedspørgsmålet er, hvordan vi kan finde den største vinkel, som indeholder to punkter. Vi kan igen prøve at udarbejde (bruge) en matematisk model, som ikke tager højde for begrænsninger ved det menneskelige øje og andre faktorer. Derefter vil vi prøve at se mere realistisk på spørgsmålet. Udsigtsvinklen er det største vinkel, hvor en genstand kan ses med acceptabelt resultat. Størrelsen af vinklen øges, når toppunktet nærmer sig centrum af segmentet MN. Lad os kalde dette centrum for S. Fra punkt S er der samme afstand til punkt M og N. Men inden for den matematiske model kan vi fortsat overveje andre steder, der er lige langt fra begge slutpunkter. Vi taler om et uendeligt antal steder. Vi kunne betegne dem cirkler, der går igennem punkt A og B.

5 Modelling optical lenses with Dynamic Geometry Software Fig. reflection 8 Vinkelret and refraction halveringslinje, not instead der er lavet of the i Geogebra actual experiment Fig. 9. (if Vinkelret one sees halveringslinje experiments only på et in ark papir Det light andet hits hovedpunkt the glass surface er derfor of an at optical finde det lens, geometriske a part of it sted, gets som reflected centrene back af in de a cirkler, certain der angle, går and igennem another part slutpunkterne penetrates for the Apollobroen glass and continues M og N, there, aftegner. in another angle. The same happens when the Undersøgelse Vi near kan the bruge centre GeoGebra of the lens. og vælge With en thicker passer lenses (under and værktøj light - being cirkel more og bue off-centre, værktøj) the, hvor calculations vi indstiller radius become hen more ad vejen complex, og derefter and from nærmer the equations os cirklen alone på it punkt would M be og difficult N. Centrene to see what af cirklerne happens. danner With et geometrisk DGS it possible sted, som to simulate vi kan forsøge the properties at definere of a lens efter without undersøgelsen. actually having Det er to bedst use a lens, at have laser mindst light, tre cirkler. Vi kan definere det via den induktive proces med at finde det geometrisk sted. Det geometriske sted af punkter, der er lige langt fra to punkter, er den vinkelrette halveringslinje. Fig. 10. Vinkelret halveringslinje Fig.1 Reflection lavet of med light værktøjet at a plane "passer" surface. og "Midtnormal" halveringslinje på kortet i GeoGebra (Foto fra Google Earth)

6 Modelling optical lenses with Dynamic Geometry Software Vi kan også fortsætte med punkter, der er forskellige fra den vinkelrette halveringslinje. Vi kan udvikle ideen med midtpunkt af segmentet. Lad de studerende undersøge vinklerne i en cirkel, der har centrum i midtpunktet af segmentet MN. Lad os kalde cirklen k 1. Hvad er vinklen MSN? Vi kan In optics nu vælge when et it hvilket comes som down helst to show punkt, the f.eks. path of X på rays cirklen. of light Hvor through stor glass, er vinklen? lenses Hvad or systems med andre of punkter? lenses, many Hvordan physics kan teachers vi definere groan den centrale the experiments vinkel og forholdet are quite til complex, den perifere and you vinkel? need Størrelsen a lot of af den equipment. perifere It vinkel is difficult er halvdelen enough af to den show centrale a ray of vinkel light in i cirklen. air you need smoke, dust or any other way Ud of making fra denne light viden visible. og informationerne To show the path om of light en passende in materials, vinkel you fra need opgave special 1 kan equipment vi finde de smoke steder, hvorfra vi kan se broen i denne vinkel. I forbindelse med undersøgelsen vil vi gerne finde ud af, hvor stor thicker, vinkel you β have er sammenlignet to take out the med current den lens centervinkel. and put in Størrelsen the new one. af Students vinklen can øges, then når observe toppunktet the S nærmer situation sig before langs the aksen change af and segmentet after the MN change til centrum. but it is Derefter not exactly skal a gradual cirklen change k mindst that have lets et them punkt fælles observe med how linje the path c. Den of light maksimalt actually tilladte changes. tilnærmelse We want to af demonstrate punkt S how til linjen you can MN show forekommer, the path of når cirklen light through kun rører a lens ved with linjen the c help i et of punkt dynamic X. Dette geometry vil være software vinklen (DGS). MSN, og derfor er vinklen MXN den maksimale. When a ray of light hits a plane glass surface, Fig. 11. a Center- part of og it is periferivinkel reflected. The law of reflection says that 3.2 Bemærkninger til læreren I forbindelse med undersøgelser kan arbejdet nogle gange føre ind i en blindgyde. Det er nødvendigt at være klar til at understøtte de studerendes undersøgelsesarbejde med andre startpunkter eller inden for nøglepunkter, som kan bringe dem videre i arbejdet. 3.3 Matematiske begreber der udvikles Matematisk modellering Vinkelret halveringslinje - det geometriske sted Forholdet mellem central og perifer vinkel Cirkel tegnet rundt om trekant 4 Opgave 3 Havnebroen er ikke nær så spændende som Apollobroen. Men det er den bro, der leder den hurtige trafik This project hen over has been Donaufloden. funded with Det support er det from første the European adgangssted Commission for rejsende, in its Lifelong der kommer Learning med Programme bil eller bus

7 fra motorvej D1 for at se den gamle by. Og endnu en gang: hvor er det bedste sted til at se Modelling optical lenses with Dynamic Geometry Software Apollobroen fra Havnebroen? 4.1 Sådan kan det løses En mulighed kunne være at bruge konceptet om det geometriske sted. En anden er at bruge teorien om "power In optics point" when på it cirklen. comes down Lad os to koncentrere show the path os om of rays den første. of light through glass, lenses or systems of Vi equipment. kan foretage It is nogle difficult indstillinger enough to show og bruge a ray GeoGebra of light in til air at lave you en need model smoke, over dust situationen. or any other Vi way lægger kortet of making over light broerne visible. fra Google To show Maps the ind path i of GeoGebra light in materials, og undersøger you need spørgsmålet special equipment her. Vi starter smoke med at konstruere glass lenses en etc. linje Now c that s på den not ene always side available, af broen and og adjustments et punkt X to på the denne system linje. can Derefter usually only bruger be vi værktøjet done by removing "Vinkel" i one GeoGebra piece and og putting måler vinklen another MXN. piece Hvad in. To nu, see hvis what punktet happens X (der if you ligger make på a linjen lens s) kan thicker, flytte you sig have langt to linjen take out c? the Flyt current derefter lens med and put punktet in the X new langs one. linjen, Students og se, can hvad then observe der sker the med vinklen. Kan du forklare hvorfor? Hvordan light through kan a vi lens finde with ud the af, help hvor of dynamic vinklen er geometry størst? software (DGS). Hvordan This material hænger can udsigtsvinklen be useful for sammen science teachers, med afstanden who can fra use genstanden? it to model Hvor experiments er det punkt with på lenses, Havnebroen, reflection and hvorfra refraction der er den not største instead udsigtsvinkel of the actual alt experiment efter afstanden (if one fra sees genstanden experiments - Apollobroen? only in Forestil simulation, dig the f.eks. pedagogic et punkt value i floden. is not Hvordan quite the er same), det forbundet but complementing med cirklerne, it. It can hvis as well centre be er useful på den vinkelrette halveringslinje? Vi undersøgte det i spørgsmål 2. Vi ved fra spørgsmål 1, at centrum af cirklen ligger på den vinkelrette halveringslinje, men vi ved ikke præcist hvor. Vi leder efter centrum S light x for reaches cirklen k the x, der other vil surface have berøring of the lens med linjen again s mathematics og gå gennem is punkt required M og to calculate N. the angle in Hvordan which the kan light vi is finde reflected ud af, and hvor refracted. vinklen For er ideal størst? lenses, there is an easy equation calculating these Vi effects kan lade but de this studerende is just a model, komme and med it does forslag, work well eller only vi kan with bruge thin lenses tidligere and with forslag. light Lad falling f.eks. in de studerende undersøge spørgsmålet vha. cirkler i GeoGebra, forsøge at få cirklen til at nærme sig punkterne DGS it is possible MN og to linjen simulate c. Vi the kan properties derefter of tale a lens med without de studerende actually having om, at to use det a formentlig lens, laser opfylder light, vores etc. But formål, even for men the at DGS, det ikke we need er matematisk mathematics nøjagtigt. to create the simulation in the first place. Lad os gå baglæns - flytte vores tanker fra slutresultatet og gå bagud. Den proces vil føre os til en løsning. 2 Easy Vi beginnings har brug for at undersøge light hits den endelige a plane løsning. surface Vi skal se efter et geometrisk sted med samme afstand fra linjen og punkterne M eller N. Hvilket geometrisk sted ligger lige langt fra punkt M og fra linjen c? Metatænkning When a ray of og light metakommentarer hits a plane glass er surface, meget væsentlige a part of it element is reflected. som The en del law af of reflection says that undersøgelsesprocessen. Vi kan dele spørgsmålet op i to. A) Hvilket geometrisk sted beskriver centrum af de cirkler, der rører ved to faste punkter? B) Hvilket geometrisk sted beskriver centrum af de cirkler, der rører ved en fast linje, og som går igennem et fast punkt? A) Vi undersøgte det i spørgsmål 2. B) Til at begynde med bruger vi en induktiv tilgang for bedre at kunne forstå konceptet. Først skal vi overveje, hvilken udsigtsvinkel er størst? Vi kan tegne cirkler på planet, der rører ved linjen og et punkt.

8 Modelling optical lenses with Dynamic Geometry Software Fig. situation 12 Undersøgelse before the change af parabler and after i Geogebra the change but Fig. it 13 is not Undersøgelse exactly a gradual af paraboler change på that papir lets them For light at through definere a lens det ønskede with the help geometriske of dynamic sted geometry vil vi gerne software bruge (DGS). den viden, vi har fået om cirkler og geometrisk This material konstruktion. can be useful (Denne for science tilgang teachers, er for who erfarne can matematikstuderende, use it to model experiments der kan with bruge lenses, deres viden reflection i nye and situationer refraction til at undersøge not instead nye of koncepter.) the actual experiment (if one sees experiments only in Vi simulation, kan nu gå the fra pedagogic kortet over value til is den not quite universelle the same), model, but complementing fordi vi ikke ved it. It præcist, can as well hvor be punktet useful S (centrum af den ønskede cirkel) ligger. 1: another Vi kan part vælge penetrates et punkt the og glass kalde and det continues punkt M, there, der er in givet another på planet. angle. The (Vi kan same ikke happens flytte when det. Det the er i virkeligheden light reaches the end other af broens surface ender.) of the Hvad lens er det again punktsæt, mathematics der er is lige required langt fra to calculate et givet punkt? the angle in Det effects er en but cirkel this med is just centrum a model, i punkt and it M does og en work konstant well only afstand with r thin - radius. lenses and with light falling in Fig. 14 Undersøgelse af paraboler - trin 1 Fig. 15Undersøgelse af paraboler - trin 2 Forstil dig nu et punkt på cirkelperiferien, der kan flyttes frit rundt. Lad os vælge et punkt og kalde det punkt S. Dette punkt ligger på cirklen l. Tilsvarende vælger vi punktet M også på cirklen k, der har samme centrum som S. Tilføj nu linjen p til dine overvejelser. Denne linje er tangent til cirklen i punkt T, som er forskelligt fra punkt M og ligger på cirklen k. Fordi p tangerer cirklen k ved vi, at ST er vinkelret på linjen p. Ud fra definitionen af den cirkel, vi talte om i begyndelsen af vores overvejelser, ved vi også, at SM = ST.

9 Modelling optical lenses with Dynamic Geometry Software situation before the change and after Fig. the 16 change Undersøgelse but it af is paraboler not exactly - trin a gradual 3 change that lets them Det light væsentlige through a lens er, at with punkt the T help ikke of er dynamic fast, så geometry vi kan frit software flytte det (DGS). hen ad linjen p. Til gengæld er punkt M This fast. material can be useful for science teachers, who can use it to model experiments with lenses, Hvad kan vi sige om afstanden fra punkt S til M og afstanden fra punkt S til linje p, når vi flytter cirklen (vi flytter den ved punkt T)? Flyt punkt T, og prøv at forudsige, hvad der sker. Hold øje med, hvad der sker. M_S_p.html Fig. 17 Formodning om linje og punkt for det geometriske sted Forestil dig, at punkt S trækker røde punkter efter sig. Igen - hvad er navnet på dette geometriske sted? Kurven er en parabel. : den er sættet af alle de punkter på planet, hvis afstand fra et fast punkt M er lig med deres afstand fra den faste linje p. Hvor mange cirkler er der, som rører ved punkt M og linje p, og hvis radius er r? Hvor punkter er der på linjen? Vi har hidtil antaget, at punkt M er et fast punkt på planet. Hvad sker der, hvis vi lader punkt M flytte sig langs cirklen, f.eks. cirklen m med centrum J? Lad os have en linje p og en Fig.1 cirkel Reflection m med centrum of light at J. a Forestil plane surface. dig et punkt med samme afstand til denne linje og cirklen m. Hvor mange af den slags punkter er der? Hvilken form for geometrisk sted definerer This project de? has Lad been os funded igen gøre with support det trin from for trin: the European Commission in its Lifelong Learning Programme

10 Forestil dig nu, at punktet M kan flyttes frit gennem den givne cirkel m med centrum S 1. Modelling optical lenses with Dynamic Geometry Software Hvad er det punktsæt, der er lige langt fra en given cirkel? Det er en koncentrisk cirkel. Fig. light 18 hits Undersøgelse the glass surface af parabler of an - optical trin 1 med lens, cirkel a part of Fig. it gets 19 Undersøgelse reflected back af in parabler a certain - trin angle, 2 med and cirkel which Denne the light koncentriske reflected cirkel and er refracted. også et sæt For af ideal alle lenses, centre there for cirkler, is an easy der rører equation en given calculating cirkel these m. Alle effects disse centre but this er is lige just langt a model, fra det and givne it does centrum work well S 1. only with thin lenses and with light falling in become Opgaven more med complex, at finde and sættet from af the alle equations centre for alone de it cirkler, would der be difficult rører en to fast see linje what og happens. fast cirkel, With er DGS således it is possible den samme to simulate som at the skulle properties finde of det a lens sæt without af alle centre actually for having de cirkler, to use der a lens, rører laser ved light, en fast linje, og som går igennem et fast punkt. 2 Easy parabola_aplet_k_p.html beginnings light hits a plane surface Fig. 20 Formodning om det geometriske sted og cirklen

11 Vi burde nu være klar til at gå tilbage til kortet og finde det bedste sted. Vi vil konstruere to geometriske Modelling steder optical for den vinkelrette lenses halveringslinje with Dynamic til segment Geometry MN og parabolen Software til linje s og punkt M. Andreas Skæringspunktet Ulovec for disse kurver giver os centrum af cirklen k, der er tegnet rundt om punkt M, N og linje s. Skæringspunkterne for denne cirkel og linje s giver os det "bedste sted", vi ønskede, så vi kunne se på Apollobroen fra Havnebroen Bemærkninger Reflection til læreren Fig. 21 Anvendelse af tillært viden til løsning af opgave 3 Denne When a opgave ray of light er velegnet hits a plane til 10. glass og surface, 11. kl. (1. a part og 2. of år it is af reflected. gymnasiet). The Enkelte law of reflection studerende says kan that have svært the angle ved of selv incidence at finde (between løsningen. the Der ray kan of light være and flere, the hvis normal) de ikke is equal er vant to the til angle at arbejde of reflection: på denne måde. Selvom der kan være vanskeligheder, bør vi lade de studerende prøve at komme med forslag. Der burde også sættes tid af til, at de selv kan forsøge at finde deres egen tilgang til det. Efter nogle forgæves forsøg kan man skabe et undersøgelsesforum med en mindre grad af åbenhed, som kan hjælpe de studerende med at bryde spørgsmålet op i mindre dele og således forstå hovedideen. Ved at arbejde på denne måde kan man hjælpe de studerende med bedre at kunne forstå brugen af koniske kurver. Det kan også være med til at få dem til at arbejde på måder, der ikke kan lade sig gøre uden at bruge dynamiske geometriprogrammer. Til slut beder vi de studerende samle deres resultater sammen og formulere en model (på en deduktiv måde), som kan fungere under forskellige omstændigheder og med forskellige genstande. Arbejdes der på denne måde, kan det måske være med til at få dem til at forstå, hvordan og hvorfra matematiske læresætninger kommer. 4.3 Matematiske begreber der udvikles Parabol - geometrisk sted Matematisk modellering

12 Anvendelse af modeller, udvikling af viden til at finde ud af løsningen på et problem fra den virkelige Modelling optical lenses with Dynamic Geometry Software verden Induktiv Andreas tankegang Ulovec Lave formodninger 5 lenses, Afsluttende many physics teachers opgave groan the experiments are quite complex, and you need a lot of Hvis of making vi tænker light på, visible. at en To bekvem show udsigtsvinkel the path of light ville in være materials, 36 o, you så kan need vi special generalisere equipment vores løsning smoke fra opgave glass lenses 2 til et etc. geometrisk Now that s sted, not hvorfra always vi available, kan se Apollobroen and adjustments ved to denne the system vinkel. can usually only be Vi thicker, kan igen you lade have de to studerende take out the komme current med lens deres and put egne in ideer. the new one. Students can then observe the Vi situation vælger before konstruktionen the change af and det after geometriske the change sted, but hvorfra it is not vi exactly kan se a broen gradual ved change en 36that o vinkel, lets them ved at udregne observe vinklen how the i path en ligesidet of light actually trekant. changes. På denne We måde want kan to demonstrate vi udregne how vinklen you MSN, can show som the skulle path of være 72 light o. Fra through dette a punkt lens with kan vi the lave help en of cirkel. dynamic Vi geometry gør det samme software med (DGS). den anden side. Vi har derefter et sæt punkter This material med den can bedste useful udsigtsvinkel for science til teachers, at se Apollobroen who can use i Bratislava. it to model experiments with lenses, Fig. 22 Løsning på indledende opgave (Google Maps)

13 Fig. 23 Apollobroen (Wikimedia) Modelling optical lenses with Dynamic Geometry Software 6 lenses, Yderligere many physics undersøgelse teachers groan the experiments are quite complex, and you need a lot of Hvordan of making ændres light visible. situationen, To show hvis the vi i path stedet of bruger light in et materials, kamera med you et need andet special fokus? equipment smoke Hvordan glass lenses kan etc. vi finde Now that s et sted not på always promenaden, available, hvorfra and adjustments vi kan se to to the broer system ud fra can den usually bedste only vinkel? be Hvordan ændres situationen, hvis promenaden ikke er vinkelret på broen i opgave 2? Hvad ændres, hvis promenaden buer, som den gør mellem Apollobroen og Havnebroen? Hvor er så helt præcist det bedste sted at se Apollobroen fra? Disse light through spørgsmål a lens kan with føre the til help opgaver of dynamic med geometry cirkler ud software fra Apollonius' (DGS). tanker. Det er måske bare et tilfælde, This material at Apollobroen can be useful lader for os science få øje på teachers, et cirkelproblem, who can use hvor it vi to kan model bruge experiments Apollonius. with Der lenses, er dog i virkeligheden reflection and mange refraction flere eksempler, not instead der of ikke the bare actual kan experiment bruges i matematiktimerne. (if one sees experiments only in Det simulation, er også vigtigt the pedagogic at lade value de studerende is not quite bearbejde the same), det, but de complementing har fundet ud af, it. på It can ensartet as well økonomisk be useful vis, så for de mathematics kan bruges teachers. til yderligere Well, udforskning now where is og the opgaveløsning. mathematics? There is a lot of it in there! If a ray of 7 light Diskussion reaches the other surface of the lens again mathematics is required to calculate the angle in I effects vores undersøgelse but this is just benyttede a model, vi and os it meget does work af tilnærmelse well only with ved thin at lave lenses skitser and with på et light kort falling fra Google in Maps near the i GeoGebra. centre of the Disse lens. resultater With thicker var kun lenses vejledende, and light men being de more kan opfylde off-centre, vores the formål calculations med at udvikle become de more matematisk complex, begreber. and from Det the vil equations være fint alone at diskutere it would be dette difficult med de to studerende. see what happens. For at forbedre With nøjagtigheden DGS it is possible kan to vi simulate bruge GPS the properties og tilføje of koordinater, a lens without der actually vil hjælpe having os to med use a at lens, finde laser det light, "bedste sted". Cirkler 2 Easy kan beginnings studeres og bruges light på mange hits måder. a plane I vores surface artikel brugte vi cirkler som et begreb, de studerende kendte. I forbindelse med undersøgelsen hjalp cirklerne dem med at forstå det nye begreb ved 2.1 at Reflection løse en opgave. Vi vil gerne endnu en gang understrege, hvor vigtigt det er at foretage undersøgelsen vha. cirkler. Det er selvfølgelig alt for omfattende at komme ind på det i denne artikel. Vi When ønskede a ray at of vise light i det hits mindste a plane glass et lille surface, eksempel a part på, of hvordan it is reflected. man kan The gå law om of bord reflection i disse says begreber that og give the angle læseren of incidence et udgangspunkt (between for the yderligere ray of light undersøgelser. and the normal) is equal to the angle of reflection: 8 Konklusion Processen med at undersøge og stille spørgsmål er selve essensen af matematik, hvor man forsøger at besvare spørgsmål ud fra forespørgsler. Vi ville gerne simulere en proces, som ville kunne bruges i klasseværelset. Uløste spørgsmål er som en finger, som prikker til matematikernes nysgerrighed og giver lyst til at finde svaret. Så lad os også gøre det. Vi ser det uløste spørgsmål som en finger, der giver de studerende "behov" for at finde løsningen. Det er derfor, vi gerne ville mere eller mindre vende de traditionelle opgaver i lærebøger om, så de kom tilbage til selve det, der karakteriserer matematisk undersøgelse. Vi benægter selvfølgelig ikke den fordel, der er ved at lære teorien og at bruge en deduktiv tankegang. Vi ser processen med at finde sin egen metoder som en dynamisk proces inden for matematikundervisningen, som kan understøtte de studerendes forståelse.

14 Referencer Modelling optical lenses with Dynamic Geometry Software [1] Andreas Banwell, Ulovec C.S., Saunders, K.D., Thata, D. Starting points, Tarquin Publications, Norfolk, 1986, ISBN