Sådan bruges skydere til at undersøge funktioner,

Transkript

1 Sådan bruges skydere til at undersøge funktioner, tangenter og integraler Freyja In optics Hreinsdóttir when it comes down to show the path of rays of light through glass, lenses or systems of University lenses, many of Iceland physics teachers groan the experiments are quite complex, and you need a lot of 1 glass Indledning lenses etc. Now that s not always available, and adjustments to the system can usually only be I thicker, mange you lærebøger have to om take differentiering out the current er lens der øvelser and put af in den the new slags, one. hvor Students studerende can then bliver observe bedt the om at situation finde ligningen before the for change tangenten and after til grafen the change for en given but it funktion is not exactly ved en a gradual given værdi, change f.eks. that lets x = them 1. Disse opgaver observe løses how the sædvanligvis path of light ved actually at differentiere changes. We funktionen, want to demonstrate finde værdien how af you differentialkvotienten can show the path of ved en light given through -værdi a lens, f.eks. with the help, of for dynamic at finde geometry hældningen software for tangenten (DGS). og derefter finde ligningen for en This linje material gennem can det be givne useful punkt for science f.eks. teachers, who can use it to model experiments with lenses, Software som GeoGebra eller en grafregner er virkelig nyttige redskaber i sådanne situationer for at kontrollere, om det udregnede svar giver mening, og også for at forbinde de algebraiske beregninger, der lige er lavet, til det faktiske geometriske objekt, der er fundet frem til. Opgaven kan løses på to måder another i part GeoGebra: penetrates ved the at glass udregne and continues differentialkvotienten there, in another og angle. dennes The værdi same happens eller ved when at the bruge tangentværktøjet. light reaches the other Differentialkvotienten surface of the lens kan again udregnes mathematics ved at is skrive required Derivative to calculate the eller angle in i indtastningsfeltet which the light is og reflected dens værdi and refracted. ved en given For ideal -værdi lenses, ved there at skrive is an easy f.eks. equation calculating i indtastningsfeltet. these Man effects kan but også this bruge is just tangentværktøjet a model, and it does for work at well få tangenten only with direkte thin lenses på et and bestemt with light punkt. falling Hvis in det gøres near the på den centre måde, of the skal lens. man With først thicker definere lenses punktet and light på grafen being for more funktionen off-centre, ved the at calculations skrive f.eks. DGS it is i possible indtastningsfeltet to simulate eller the properties bruge pegeværktøjet of a lens without og actually klikke having på grafen to use for a funktionen. lens, laser light, Fig. 1 Graf for en funktion med to af dens tangenter

2 GeoGebra kan give ekstremværdierne for polynomier og kan udregne numeriske yderpunkter for andre Modelling funktioner, optical hvis der opgives lenses et interval with Dynamic (kommandoen Geometry er Extremum), Software og der er også en kommando, der giver punkterne for polynomiers vendepunkt (InflectionPoint). En anden opgavetype kan f.eks. være: Hældningen af tangenten til i punktet er. Find værdien af a. Denne equipment. type It opgave is difficult kan kun enough løses to med show algebra, a ray of dvs. light den in air studerende you need differentierer smoke, dust funktionen, or any other erstatter way værdien of making af x light med visible. og To løser show the path of for light få in værdien materials, af a: you need special equipment smoke done by removing one piece hvilket and putting giver another piece in. To see what happens, så if you make a lens når thicker, opgaven you have er omdannet to take out til the en current spørgsmål lens and inden put for in the algebra, new one. viser Students det sig can ofte, then at observe det ikke the er nødvendigt situation before at lave the en change graf over and funktionen after the change eller kontrollere but it is not svaret. exactly a gradual change that lets them De light fleste through matematikbøger a lens with the indeholder help of dynamic også mere geometry komplicerede software (DGS). opgaver af samme type, der omfatter placering af relative minima og maksima, vendepunkter, integraler mv. Det antages i de fleste tilfælde, at udregningerne laves i hånden, og at opgaven konverteres til algebra, dvs. udregning af ligninger. Fokus er snarere på algebra fremfor den faktiske udformning af funktionen. Nedenfor mathematics er en beskrivelse teachers. Well, af, now hvor where man kan is the bruge mathematics? GeoGebra There til at is løse a lot den of it slags in there! opgaver If a ray med of en mere light grafisk hits the tilgang. glass surface Mange of af an de optical opgaver, lens, der a part er set of it på, gets stammer reflected fra back materiale in a certain fra et angle, gymnasium and i Island another [3]. part penetrates the glass and continues there, in another angle. The same happens when the light reaches the other surface of the lens again mathematics is required to calculate the angle in 2 effects Brug but af this skydere is just a model, and it does work well only with thin lenses and with light falling in near the centre of the lens. With thicker lenses and light being more off-centre, the calculations Det become er ved more at bruge complex, GeoGebra and from meget the equations nemt undersøge, alone it would hvad be der difficult sker, når to see man what ændrer happens. værdien With af et (eller DGS it flere) is possible parametre, to simulate som the optræder properties i definitionen of a lens without af en actually funktion having som to den use a ovenfor. lens, laser Et light, sådant parameter defineres ved at vælge skyderværktøjet og klikke på visningen Graphics view. Derefter åbnes et lille vindue: Fig. 2 Dette vindue bruges til at indstille værdien for intervallet af parametret mv. Eksemplet ovenfor løses ved at oprette en skyder a og derefter definere funktionen ovenfor ved at skrive i indtastningsfeltet. For at GeoGebra kan forstå, skal man enten skrive eller.

3 This material can be Fig. useful 3 Funktionen for science f(x) teachers, med den who oprindelige can use it værdi to model på [?] experiments with lenses, I simulation, figuren ovenfor the pedagogic blev først value skyder is not a defineret quite the og same), derefter but funktionen complementing it.. Derefter It can as defineres well be useful punktet light hits the glass i indtastningsfeltet surface of an (det optical betegnes lens, a A), part og of tangentværktøjet it gets reflected back in a certain bruges angle, for and at another part penetrates the glass and continues there, in another angle. The same happens when the få light tangenten reaches til the other i det surface punkt. of Nu the bruges lens hældningsværktøjet again mathematics is required for at markere to calculate tangentens the angle in hældning. which the Den light ønskede is reflected værdi and af refracted. findes For ganske ideal enkelt lenses, ved there at flytte is an skyderen, easy equation til værdien calculating af these effects but this is just a model, and it does work well only with thin lenses and with light falling in hældningen near the centre er. of the lens. With thicker lenses and light being more off-centre, the calculations DGS it is possible to simulate the properties of a lens without actually having to use a lens, laser light, Fig. 4 Værdien giver den ønskede hældning Opgave: Grafen for funktionen har et minimum ved punktet og går gennem punktet. Find værdien af og ved at bruge skyder i GeoGebra (man skal ændre det interval, som er defineret udfra. Dette gøres ved at højreklikke på skyderen og vælge Object Egenskaber). Opgave: Der er en given funktion Fig.1 Reflection of light at a plane. Tangenten surface. til i punktet er vinkelret på linjen. Find værdien af og med skyderne i GeoGebra. Bemærk: Overvej, i hvilken rækkefølge skydernes værdi skal ændres.

4 simulation, Fig. 5 Grafen the for pedagogic value is not quite med the en same), tangent but gennem complementing punktet it. It can as well be useful. for mathematics Linjen teachers. Well, sammen now med where en is vinkelret the mathematics? linje, der There går gennem is a lot punktet of it in there! [?] If a ray of another part penetrates the glass and continues there, in another angle. The same happens when the 3 light 3.-grads reaches the other polynomium surface of the lens again mathematics is required to calculate the angle in Opgaven effects nedenfor but this is er just fra a et model, opgaveark, and it der does blev work udleveret well only til with gymnasiestuderende thin lenses and with [3]. light Det antages, falling in at de near studerende the centre løser of det the ved lens. at With bruge thicker algebra lenses efter differentiering. and light being more off-centre, the calculations Formålet er at finde et 3.-grads polynomium, der opfylder følgende DGS it is possible to simulate the properties of a lens without actually having to use a lens, laser light, betingelser: Funktionen har et minimum ved. og dens graf har et vendepunkt ved. Nedenfor er en række trin, som man kan gennemgå for at løse denne opgave med skydere i GeoGebra. 1. the Definer angle of tre incidence skyder (between, og the. Definer ray of 3.-grads light and polynomiet the normal) is equal to the angle of reflection: i indtastningsfeltet. Man kan gøre opgaven lidt nemmere ved at sikre sig, at skyderne kun omfatter hele tal. Dette gøres ved at højreklikke på skyderen og vælge Object egenskaber og under fanebladet Skyder sætte tilvæksten til Forsøg dig lidt frem med skyderne og prøv at finde værdier, så funktionen opfylder de givne betingelser. Læg især mærke til, hvilken virkning det har at ændre værdien af? 3. Skriv i indtastningsfeltet, højreklik på den viste graf, og vælg Properties. Skift farve på grafen for, så det er nemmere at skelne den fra grafen for. Skriv i indtastningsfeltet, og vælg en tredje farve til den fremkomne graf. 4. Udskift værdien af, og læg mærke til den virkning, det har på grafen for [?]. 5. Udskift værdien af Fig.1, og læg Reflection mærke of til light den virkning, at a plane det surface. har på grafen for. 6. This Det project er antaget, has been at funded f har with et vendepunkt support from ved the European Commission. Hvad siger in det its Lifelong os om grafen Learning for Programme? Kan Commission der findes cannot en værdi be held på responsible skyderen for, any der use opfylder which may denne be made betingelse? of the information contained therein.

5 7. Det er antaget, at har et minimum ved. Hvad siger det om grafen for? Kan der Andreas findes Ulovec en værdi på skyderen, der opfylder denne betingelse? Bemærk, at det måske er nødvendigt at ændre indstillingerne for skyderen. Det gøres ved at højreklikke på og vælge Properties. Grafen lenses, for many f skulle physics nu have teachers den ønskede groan facon, the experiments værdien are for quite d, der complex, giver den and rigtige you need placering a lot of af grafen, equipment. skal It stadig is difficult findes. enough to show a ray of light in air you need smoke, dust or any other way 8. glass Definer lenses punktet etc. Now that s not i indtastningsfeltet. always available, Udskift and adjustments værdien to af the, til system grafen can for usually går only gennem be punktet. Hvis det er svært at se grafisk, kan man skrive i indtastningsfeltet for at få en situation nøjagtig before værdi the (i change algebravinduet) and after the og change derefter flytte but it is, til not værdien exactly er a gradual. change that lets them 9. light De through rigtige a værdier lens with for the b, help c og of d dynamic er nu fundet, geometry og ligningen software for (DGS). funktionen skulle nu være i This algebravinduet. material can be useful for science teachers, who can use it to model experiments with lenses, another part penetrates the glass and continues there, in another angle. The same happens when the light reaches the other surface of the lens again mathematics is required to calculate the angle in effects but this is just a model, and it does work well only with thin lenses and with light falling in near the centre of the lens. With thicker lenses and light being more off-centre, the calculations DGS it is possible to simulate the properties of a lens without actually having to use a lens, laser light, Fig. 6 Løsningen på opgaven ovenfor Opgave: Hvis nu funktionen skal ændres, så vendepunktet er ved arbejdes med for at opnå det?, hvilken skyder skal der så Opgave: Hvad nu, hvis vendepunktet ifølge de nye oplysninger er ved? Opgave: Kan værdierne på skyderne ændres, så f(x) ikke har nogen ekstrema? Hvordan? Opgave: Kan værdierne på skyderne ændres, så f(x) ikke har noget vendetangenpunkt? Hvordan? En traditionel måde at løse den Fig.1 oprindelige Reflection opgave of light på at ville a plane være surface. at differentiere to gange og derefter This project bruge has oplysningen been funded with om support vendepunktet from the til European at få ligningen Commission in its Lifelong, Learning oplysningen Programme om

6 minimum til at få, og til sidst har man, eftersom er på grafen. Modelling optical lenses with Dynamic Geometry Software Opgave: Definer en skyder mere, og redefiner polynomiet som. Opsæt ligningerne (med blyant og papir), som man får, hvis denne funktion skal opfylde ovenstående forudsætninger. In optics when it Det comes skulle down nu give to show ligninger the path med of rays ubekendte, of light through så der er glass, en gruppe lenses funktioner, or systems der of opfylder lenses, many forudsætningerne. physics teachers Kan groan parametrene the experiments og redefineres are quite i complex, forhold til and for you at need få alle a lot 3.-grads of funktioner, equipment. der It is opfylder difficult forudsætningerne? enough to show a ray of light in air you need smoke, dust or any other way Opgave: done by Lav removing en tilsvarende one piece opgave and putting for et another 4.-grads piece polynomium. in. To see what happens if you make a lens Opgave: situation Lav before tilsvarende the change opgaver and after med the andre change funktionstyper, but it is not f.eks. exactly eksponentielle a gradual change og logaritmiske that lets them funktioner, trigonometriske funktioner mv. 4 reflection Opgaver and refraction med denne not instead løsningsmetode of the actual experiment (if one sees experiments only in Ikke for mathematics alle opgaver teachers. af denne Well, type now er nemme where at is løse. the mathematics? Hvis man prøver There løse is a en lot tilsvarende of it in there! opgave: If a ray of another Find part værdien penetrates af the a, så glass and continues there, in another opfylder angle. The same happens, when the på light samme reaches måde, the får other man surface ikke løsningen of the lens så nemt again som mathematics i de foregående is required eksempler. to calculate the angle in Når effects man begynder but this is at just gøre a model, det, der and blev it does gjort work før, kan well man only se, with at thin det ikke lenses er and så nemt with at light få en falling hældning med near nøjagtigt the centre værdien of the lens., dvs. With hældningen thicker lenses hopper and light mellem being store more og off-centre, små værdier. the calculations Det er derfor nemmere become more at klikke complex, på punktet and from på the skyderen equations og bruge alone it piletasterne would be difficult på tastaturet to see for what ændre happens. værdien With på skyderen. DGS it is possible Når det to gøres, simulate ses det, the properties at hældningen of a lens hopper without mellem actually værdier, having der to use er lidt a lens, større laser og light, mindre end etc. But. Det even er derfor the DGS, en god we ide need at mathematics indstille skyderen to create mere the præcist. simulation Højreklik in the first på place. for at gøre det, og vælg Object properties, hvorefter stigningen sættes til. Nu skal det selvfølgelig sikres, at GeoGebra 2 Easy bruger beginnings nok decimaler. light Det hits gøres a under plane Options, surface og derefter vælges Rounding. Med denne stigning ses det, at giver hældningen, og giver hældningen. Den korrekte værdi af er derfor et sted mellem de to. Fig. 7 Ændring af skyderens stigning Opgave: This project Prøv has at been forklare, funded hvad with support der sker. from Tip: the Løs European opgaven Commission med algebra. in its Lifelong Learning Programme Opgave: Commission Lav cannot stigningen be held endnu responsible mindre, for any og use prøv which at løse may opgaven. be made of the information contained therein.

7 Hvis man er tilstrækkeligt tålmodig til at arbejde med opgaven med endnu flere decimaler og mindre stigninger, Modelling skulle optical man til sidst lenses få det resultat, with at Dynamic Geometry ser ud til at komme Software meget tæt på de ønskede Andreas værdier Ulovec for hældningen. Tallet ser ud til at være tæt på en periodisk decimalbrøk, som kan konverteres til fraktionen, som er lige netop den løsning, man får ved at løse opgaven med algebra. 5 lenses, Newtons many physics lov teachers om groan køling the experiments are quite complex, and you need a lot of Ifølge of making Newtons light lov visible. om køling To show er ændres the path temperaturen of light in materials, på en genstand you need sig special proportionalt equipment med forskellen smoke i glass temperaturen lenses etc. på Now genstanden that s not always og det available, omgivende and medium. adjustments Det to the giver system differentialligningen can usually only be done by removing, hvor one T er piece temperaturen and putting på another genstanden, piece in. er To temperaturen see what happens på det if omgivende you make a medium, lens og thicker, k en you konstant. have to Denne take out ligning the current har løsningen lens and put in the new one. Students can then observe the observe how the path of light actually changes. We, hvor want c to er demonstrate en konstant. how you can show the path of Så light hvis through en kop a lens kaffe with med the en help temperatur of dynamic på geometry placeres software i (DGS). et rum ved ( ), og kaffen 5 minutter This material senere can har be temperaturen useful for science, kan teachers, man bruge who can de informationer use it to model til experiments at finde værdierne with lenses, for c og k reflection og således and få refraction en model, der not vil instead hjælpe of en the med actual at vurdere, experiment hvornår (if one kaffen sees kan experiments drikkes (f.eks. only in ved simulation, ). the pedagogic value is not quite the same), but complementing it. It can as well be useful Denne light hits type the opgaver glass surface løses i of reglen an optical med algebra, lens, a dvs. part man of it sætter gets reflected informationerne back a ind certain i en formel angle, and for at få another ligninger, part der penetrates skal løses: the glass and continues there, in another angle. The same happens when the light reaches Når t = the 0, other fås surface of the lens, så c = again 75, og mathematics formlen er is required to calculate. the angle in effects Når but t this = 5, is fås just a model, and it does, hvilket work well giver only [?] with thin lenses ( ) and with light falling in near the centre of the lens. With thicker lenses and light being more off-centre, the calculations Man become får derfor more complex, and from the equations, og det kan alone bruges it would til at be finde difficult ud af, to hvornår see what kaffen happens. har With temperaturen DGS it is possible to (i simulate løbet af ca. the 11 properties minutter). of a lens without actually having to use a lens, laser light, Det er nemt at tegne et billede af det i GeoGebra: Fig. 8 Afkøling af kaffe I stedet for at beregne k ovenfor, kunne man have oprettet en skyder for k og derefter ændret dens værdi, til kurven ville gå igennem [?] Man kan gøre opgaven mere interessant ved at variere informationerne med skyderen. Der er i figuren ovenfor en skyder (selvom den ikke blev brugt), men det giver ikke rigtigt mening kun at ændre dens værdi, fordi informationen Fig.1 om Reflection kaffens temperatur of light efter a plane 5 minutter surface. så også skulle ændres samt værdien af k (hvis er mindre end, vil kaffens temperatur være mindre end i løbet af 5 minutter).

8 Der skal bruges tre skydere mere, for temperaturen på genstanden i begyndelsen, for information Modelling om temperaturen optical efter lenses m minutter with og Dynamic endelig en skyder Geometry m for minutter. Software Det er nemt at nedskrive en formel for k i forhold til de givne parametre og skrive den i indtastningsfeltet i GeoGebra: ( ) Opgave: lenses, many Læg informationerne physics teachers ovenfor groan ind the i GeoGebra. experiments Antag are quite nu, at complex, kaffekoppen and you sættes need i a lot of vindueskarmen, equipment. It is hvor difficult temperaturen enough to show er a ray, og of efter light kun in air 3 minutter you need er temperaturen smoke, dust or nede any på other way. Hvornår of making kan light kaffen visible. drikkes? To show the path of light in materials, you need special equipment smoke Opgave: done by Brug removing modellen one piece ovenfor and igen putting for afkøling another piece af en in. dåsecola, To see der what fra happens starten har if you rumtemperatur. make a lens Køleskabstemperaturen thicker, you have to take er out the current, og den lens ideelle and put temperatur in the new for one. en cola Students er can then (det observe the selvfølgelig situation before en smagssag). the change Foretag and after nogle the change antagelser but for it is værdierne not exactly for a m gradual og change (man kan that evt. lets them eksperimentere observe how the med path det of og light sammenligne actually changes. med virkeligheden), We want to demonstrate og find ud how af, you hvor can længe show colaen the path skal of blive light i through køleskabet. a lens Prøv with nu the at help udskifte of dynamic køleskabet geometry med software fryseren (DGS). ( ), og løs opgaven ud fra det. Læg begge grafer ind i samme grafiske visning for at kunne sammenligne. 5 simulation, Skydere the pedagogic integration value is not quite the same), but complementing it. It can as well be useful Enkle light hits opgaver the glass inden surface for integration of an optical kan lens, løses a direkte part of i it GeoGebra, gets reflected dvs. back man in kan a certain definere angle, en funktion and og another bruge part kommandoen penetrates the Integral[f(x)] glass and continues for at få en there, primitiv in another funktion angle. og The kommandoen same happens Integral[ when f(x), the a, b] light for reaches at få den the other bestemte surface integral of the fra lens a til again b. Hvis mathematics man har is to required funktioner to calculate og the angle, in giver Integralmellem[f(x), g(x), a, b] integralen fra a til b. effects but this is just a model, and it does work well only with thin lenses and with light falling in I near denne the centre forbindelse of the bruges lens. With der thicker typisk lenses skydere and til light at being vise, more hvordan off-centre, hhv. the størsteværdien calculations og mindsteværdien become more complex, nærmer and sig værdien from the af equations integralen, alone når it antallet would be af intervaller difficult to øges. see what happens. With DGS it is possible to simulate the properties of a lens without actually having to use a lens, laser light, Fig. 9 Største- og mindsteværdier og integralen for en funktion Man kan også bruge skydere til at definere de dynamiske intervaller for integration.

9 Fig. 10 Integrering Dette simulation, kan være the nyttigt, pedagogic når value man skal is not studere quite the visse same), problemer but complementing inden for integration. it. It can as Der well er f.eks. be useful givet en for funktion mathematics, teachers. og man Well, skal besvare now where spørgsmålet, is the mathematics? over hvilket There interval is a lot er integralen of it there! af If a ray lig of med et light bestemt hits the tal. glass En sådan surface opgave of an vil optical som regel lens, blive a part løst of ved it gets at integrere reflected back, in udskifte a certain grænserne angle, and og another og derefter part penetrates løse opgaven. the glass and continues there, in another angle. The same happens when the light reaches the other surface of the lens again mathematics is required to calculate the angle in Med which skyderne the light is og reflected kan man and få refracted. GeoGebra For til ideal at beregne lenses, integralen there is an og easy derefter equation ændre calculating værdierne these og effects, til man but har this den is ønskede just a model, værdi. and it does work well only with thin lenses and with light falling in Nedenfor near the er centre opgave of the fra lens. en With matematikbog thicker lenses af Greenwell, and light Ritchey being more og Lial off-centre, [2]: the calculations En DGS sø it begynder is possible at blive to simulate forurenet the properties på et tidspunkt of a lens without med actually en hastighed having på to (i use gallons a lens, pr. laser time), light, der er etc. givet But af even formlen the [?] DGS, we need mathematics to create the simulation in the first place. hvor er tiden i timer. Samtidigt begynder et rensefilter at fjerne forureningen med en hastighed på [?] så the længe, angle søen of incidence er forurenet. (between the ray of light and the normal) is equal to the angle of reflection: Opgaven er nu at a) finde mængden af forurening efter timer, b) bruge en grafisk regnemaskine til at finde tidspunkt, hvor den hastighed, som forureningen kommer til søen med, er lig med den hastighed, som forureningen fjernes med, c) finde mængden af forurening i søen på det tidspunkt, der blev fundet under punkt b, og d) finde det tidspunkt, hvor al forureningen er fjernet fra søen.

10 another part penetrates the glass and continues there, in another angle. The same happens when the light reaches the other surface of the lens again mathematics is required to calculate the angle in which the light is reflected and Fig. refracted. 11 Del For a og ideal b af lenses, forureningsopgaven there is an easy equation calculating these effects but this is just a model, and it does work well only with thin lenses and with light falling in near the centre of the lens. With thicker lenses and light being more off-centre, the calculations Del a løses ved at integrere f(x) g(x) fra 0 til 12 og del b ved at finde skæringspunktet for de to DGS it is possible to simulate the properties of a lens without actually having to use a lens, laser light, grafer. Del c løses ved at integrere fra 0 til 25, hvilket giver 105 gallon forurening. Efter t = 25 timer oprenses forureningen hurtigere, end den foregår, så forureningsmængden nedsættes. Der er f.eks. ved t = 30 timer en forurening på 100 gallon. For at finde ud af hvornår al forureningen er oprenset, skal man finde den øverste grænse L af integralen, således at [?] ( ) Dette kan selvfølgelig løses ved at integrere funktionen i hånden og løse den for L, men det er ganske praktisk at bruge en skyder her. Dvs. der defineres en skyder L, integralen fra 0 til L beregnes, og skyderen flyttes, til man kommer til et svar, der er tilstrækkeligt tæt på 0.

11 another part penetrates the glass and continues there, in another angle. The same happens when the light reaches the other surface of the lens again mathematics is required to calculate the angle in effects Fig. 12 Efter but this 48 timer is just har a model, oprensningen and it does indhentet work well forureningen only with og thin oprenset lenses and den with ophobede light falling forurening near the centre of the lens. With thicker lenses and light being more off-centre, the calculations Opgave: DGS it is Løs possible opgaven to simulate ovenfor the ud properties fra den antagelse, of a lens at without forureningshastigheden actually having to use er dobbelt a lens, laser så hurtig. light, Opgave: Hvis det antages, at oprensningshastigheden er lineær, hvad skal den så være, for at situationen kan komme under kontrol på mindre end 24 timer? (Tip: definer en skyder for koefficienten g(x).) Referencer [1] GeoGebra, kan downloades fra [2] Greenwell, R. N., Ritchey, N.P. og Lial, M.L. (2003), Calculus for the Life Sciences, USA: Pearson Education. [3] Stærðfræði 403, Menntaskólinn við Hamrahlíð (2010).