Skriftlig Eksamen. Datastrukturer og Algoritmer (DM02) Institut for Matematik og Datalogi. Odense Universitet. Torsdag den 6. juni 1996, kl.

Transkript

1 Skriftlig Eksamen Datastrktrer og Algoritmer (DM0) Institt for Matematik og Datalogi Odense Universitet Torsdag den 6. jni 1996, kl. 9{13 Alle sdvanlige hjlpemidler (lrebger, notater, etc.) samt brg af lommeregner er tilladt. Eksamenssttet bestar af 4 opgaver pa 6 nmmererede sider (1{6). Fld besvarelse er besvarelse af alle 4 opgaver. De enkelte opgavers vgt ved bedmmelsen er angivet i procent. Der ma gerne refereres til algoritmer og resltater fra lrebogen inklsive velsesopgaverne. Specielt ma man gerne begrnde en pastand med at henvise til, at det middelbart flger fra et resltat i lrebogen (hvis dette altsa er sandt!). Henvisninger til andre bger (dover lrebogen) accepteres ikke som besvarelse af et sprgsmal. Bemrk, at hvis der er et sprgsmal i en opgave, man ikke kan besvare, ma man gerne besvare de efterflgende sprgsmal og blot antage, at man har en lsning til de foregaende sprgsmal. 1

2 Opgave 1 (0%) Medianen af en liste af tal er pr. denition det tal, der ville sta i midten, hvis listen blev sorteret (det venstre af de to midterste, hvis der er et lige antal). Mere formelt er medianen af den sorterede flge x 1 ; x ; : : : ; x n elementet med indeks b n+1 n+1 c; altsa rndet ned. For eksempel er medianen af tallene 4; 3; 1; ; 4; tallet, da det er det tredie (b 6+1 c) tal i 1; ; ; 3; 4; 4. I denne opgave antager vi, at vi givet et indeks i kan ase vrdien x i i konstant tid. Specielt kan vi fa fat i x n+1 b c i konstant tid. N har vi givet to sorterede lister A og B (begge af lngde n), og vi vil gerne nde medianen af deres forening. For eksempel er medianen af foreningen af 1; ; ; 3; 4; 4 og 3; 4; 5; 6; 6; 7 tallet 4 (midterst i 1; ; ; 3; 3; 4; 4; 4; 5; 6; 6; 7). Sprgsmal a: Forklar, hvordan man kan lave en algoritme, der lser problemet i liner tid; dvs. (n). Sprgsmal b: Lav en hrtigere rekrsiv algoritme, der lser problemet. Hjlp: Sammenlign de to listers medianer og lav et tilsvarende problem af halv strrelse. Sprgsmal c: Opstil en rekrsionsligning (recrrence eqation), der dtrykker tiden for at lse et sadan problem som fnktion af tiden, det tager at lse problemet af halv strrelse. Udled kompleksiteten af algoritmen (O-notation).

3 Opgave (35%) Fra Kingston kendes binomialker (siderne 153{156), der har en operation meld, som kan stte to sadanne strktrer sammen til en. I denne opgave skal vi se pa en anden implementation af en prioritetsk, der ogsa skal have en meld operation. To heap-ordnede trer kan meld'es til et heap-ordnet tr ved at ette deres hjrestier. Hjrestien er stien fra roden til det blad, der er lngst til hjre (fra n af kaldet hjrebladet). Knderne i disse trer har indtil videre tre felter: left, right og pri til henholdsvis venstre- og hjrebarn samt prioritet. Nedenfor ses et eksempel pa to heap-ordnede trer, der meld'es sammen. 6 n 14n 1 n 10n 16n 11n 1 n meld 5n 15n 8 n = 30n 5 n 14n 1 n 15n 6 n 16n 30n 10n 8 n 11n 1 n Operationen foretages af flgende algoritme. Det antages, at argmenterne til fnktionen er rdderne i de to trer. Operationen ma gerne delgge de oprindelige trer (og gr det da ogsa)! fnction meld(s,t) if s = nil then retrn t endif if t = nil then retrn s endif if s.pri < t.pri then s.right = meld(s.right, t) r = s else t.right = meld(s, t.right) r = t endif retrn r end 3

4 Vi dstyrer n knderne med et ekstra felt, rank. En knde x's rank deneres til at vre lngden af den korteste sti fra x til en knde, der mangler et venstreeller hjrebarn (eller begge). I resltattret ovenfor (tret helt til hjre) har bl.a. knderne med prioritet 8 og 15 rank 0, mens roden har rank (da vi kan komme til knden med prioritet 1 i to skridt). Sprgsmal a: Hvilke knder kan risikere at fa ndret deres rank, nar der foretages en meld vha. fnktionen meld? Sprgsmal b: Antag, at de heap-ordnede trer s og t har kndernes rank registreret i det nye felt. Angiv, hvordan algoritmen ovenfor skal modiceres for at r = meld(s,t) har de korrekte vrdier i rank-felterne efter operationen. Vi kalder n et heap-ordnet tr med rank-felter venstretngt, hvis der glder for alle knder x, at hvis det har et hjrebarn, sa har det ogsa et venstrebarn. Desden skal der glde, at hvis x har bade et venstrebarn y og et hjrebarn z, sa er y:rank z:rank. I illstrationen ovenfor er de to argmenttrer venstretnge, men resltattret er ikke (knden med prioritet 5 er et problem). Sprgsmal c: Antag, at s og t er venstretnge trer. Angiv, hvordan algoritmen ovenfor skal modiceres, for at r = meld(s,t) bliver et venstretngt tr efter operationen. Sprgsmal d: Vis, at hjrestien i et venstretngt tr med n elementer har lngde O(log n). Hjlp: Vis ved indktion i kndernes rank, at der for alle knder x glder, at x:rank size(x), hvor size(x) er antallet af knder i ndertret, der har x som rod. Vis dernst, at x:rank er lig med afstanden til hjrebladet for alle knder x pa hjrestien. Ovenstaende viser, at meld er O(log n), hvor n 1 og n er strrelsen af de to argmenter, og n = max(n 1 ; n ). Sprgsmal e: Forklar, hvordan operationerne insert og deletemin kan implementeres med tidskompleksitet O(log n). 4

5 Opgave 3 (5%) Opgaven drejer sig om en srlig type orienterede vgtede grafer med ikkenegative vgte. Knderne sidder i et rektanglrt gitter, og hver knde har en kant til dens sydlige, stlige og sydstlige naboer (hvis disse knder ndes). Den nordvestligste knde kaldes startknden. Grafer, der ser d som lige beskrevet, kaldes i det flgende sydstgrafer. Et eksempel med 5 rkker og 9 sjler ses nedenfor. Startknden er markeret med en ring. Kanternes vgte er ikke angivet pa tegningen. i ? -? -? -? -? -? -? -? -?? -? -? -? -? -? -? -? -?? -? -? -? -? -? -? -? -?? -? -? -? -? -? -? -? -? Sprgsmal a: Hvis en sydstgraf har r rkker og s sjler, sa har den natrligvis n = r s knder. Hvor mange kanter har den? Svaret skal dtrykkes ved r og s. Vi er n interesserede i at beregne lngden af den korteste vej fra startknden til alle andre knder i grafen. Sprgsmal b: Hvilken kompleksitet garanterer Dijkstra's algoritme os, hvis vi brger den til at lse ovenstaende problem pa sydstgrafer? Svaret skal vre pa formen O(f), hvor f er en fnktion af n. Sprgsmal c: Beskriv selv en algoritme, der for sydstgrafer lser problemet i tid O(n). Selv om den generelle analyse af tidskompleksiteten af Dijkstra's algoritme ikke lover os, at algoritmen afvikles i tid O(n) pa sydstgrafer, knne det jo godt vre, at det alligevel skete. Det er dog ikke tilfldet: Sprgsmal d: Argmenter for, at det kan tage mere end liner tid at afvikle Dijkstra's algoritme pa sydstgrafer. Hjlp: se pa sydstgrafer med r = og meget sma vgte pa de verste s 1 kanter og meget store vgte pa resten. 5

6 Opgave 4 (0%) Opgaven drejer sig om hashing nder anvendelse af teknikken chaining. Som det forklares i Kingston side 14, har man en tabel, hvis indgange er hgtede lister af ngler. Derved kan man lave insert i konstant tid (man stter bare ind frst i listen), mens delete kan tage tid proportionalt med listens lngde. Risikoen for at fa lange lister (dvs. risikoen for kollisioner) afhnger natrligvis af tabellens strrelse. For at holde delete rimeligt eektiv bestemmer vi os n til, at nar antallet af ngler i strktren n dgr halvdelen af tabelstrrelsen size, sa laver vi en ny, dobbelt sa stor tabel (dvs. af strrelse size) og ytter alle nglerne over i den nye tabel. Dette kaldes en genbygning. Dette sker selvflgelig i forbindelse med en insert, sa insert er n ikke lngere O(1), men betydeligt dyrere. Tabelstrrelsen size starter med at vre og er dermed altid en -potens. Sprgsmal a: Hvor lang tid tager en insert, der dlser en genbygning, henholdsvis en, der ikke gr? Sprgsmal b: Betragt fnktionen 4(n size ). Hvordan ndres denne ved en 4 insert, der dlser en genbygning, henholdsvis en, der ikke gr? Sprgsmal c: Vis, at insert er amortiseret O(1). 6