Opgave 1 (40%) Vi har et antal ngler, om vi vil have anbragt i et getr. Vi ved hvor ofte, der vil blive gt efter de forellige ngler, og ner at udnytte

Transkript

1 Sriftlig Eamen Datatruturer og lgoritmer (DM02) Intitut for Matemati og Datalogi Odene Univeritet Mandag den 12. januar 1998, l. 9{13 lle dvanlige hjlpemidler (lrebger, notater, etc.) amt brug af lommeregner er tilladt. Eamenttet betar af 4 opgaver pa 6 nummererede ider (1{6). Fuld bevarele eevarele af alle 4 opgaver. De enelte opgaver vgt ved bedmmelen er angivet i procent. Der ma gerne referere til algoritmer og reultater fra lrebogen inluive veleopgaverne. Specielt ma man gerne begrunde en patand med at henvie til, at det umiddelbart flger fra et reultat i lrebogen (hvi dette alta er andt!). Henvininger til andre bger (udover lrebogen) acceptere ie om bevarele af et prgmal. emr, at hvi der er et prgmal i en opgave, man ie an bevare, ma man gerne bevare de efterflgende prgmal og blot antage, at man har en lning til de foregaende prgmal. 1

2 Opgave 1 (40%) Vi har et antal ngler, om vi vil have anbragt i et getr. Vi ved hvor ofte, der vil blive gt efter de forellige ngler, og ner at udnytte denne information til at bygge et optimalt getr. Nedenfor e en re ngler og et begtal for hver ngle. Ngle a b c d e f egtal Summen af begtallene i dette eempel er 100, og tabellen fortller dermed, at ud af 100 gninger vil man ge efter a 30 gange, b 42 gange, c 3 gange, ov. Et getr, der unne vre et fornuftigt bud pa et optimalt arrangement, unne vre flgende: b a d c f e Dette tr haegvrdi 70. Dette er det totale antal anter, der al flge for at lave alle de gninger, der er angivet i tabellen. Dv. 30 a gninger, 42 b gninger, ov. egvrdien 70 er alta fundet om Et optimalt getr med henyn til en given tabel er et getr med mindt mulig begvrdi. Sprgmal a: Man unne tro, at et optimalt getr altid an lave ved at anbringe nglen med trt begtal i roden og forttte reurivt med at lave et ventre og hjre undertr af de ngler, der er mindre end, henholdvi trre end roden ngle. Vi ved et eempel, at dette ie er tilfldet. 2 Nedenfor denere en funtion OV, der al beregne begvrdien af et optimalt getr. Funtionen alde med en lite af begtal, der tar i reflge varende til orterede ngler. F.e. [30, 42, 3, 18, 2, 5] fra eemplet. Funtionen returnerer et paetaende af det totale antal gninger amt tret begvrdi. 2

3 def OV(bt, firt, lat): if firt > lat: return (0,0) elif firt == lat: return (bt[firt], 0) ele: MinVal = MXINT for i in range(firt, lat + 1): r = bt[i] (cl,vl), (cr,vr) = OV(bt, firt, i-1), OV(bt, i+1, lat) c, v = cl + r + cr, vl + cl + vr + cr if v < MinVal: Count, MinVal = c, v return (Count,MinVal) print OV([30, 42, 3, 18, 2, 5], 0, 5) # udriver ( 100, 70 ) Sprgmal b: Forlar ort i ord, hvordan OV virer. Herunder hvad for-len prver igennem, og hvad cl + r + cr amt vl + cl + vr + ceregner. 2 Sprgmal c: Vi (evt. gennem et eempel), at OV beregner amme delreultater adillige gange. 2 Sprgmal d: nvend dynami programmering til at ndre OV, a delreultater un beregne en gang. 2 Sprgmal e: Hvad bliver tidompleiteten af algoritmen, nar der anvende dynami programmering 2 3

4 Opgave 2 (25%) etragt nedentaende ie-orienterede, vgtede graf. a Sprgmal a: ngiv ved en tegning et lettet udpndende tr for grafen, amt det vgt. 2 Vi er nu pa en lae af vgtede orienterede grafer aldet frem-og-tilbage grafer. Knuderne i en adan graf er organieret i to lige lange rer, og der er et ulige antal nuder (mindt 3) i hver re. I verte re gar anterne mod hjre og i nederte re mod ventre. Deuden er der en ant mellem hvert par af nuder i amme poition i de to rer. Die anter gar iftevi ned og op (tartende med ned). Nedentaende graf er et eempel pa en frem-og-tilbage graf. a Sprgmal b: Forlar, hvordan man an beregne ortete veje fra verte ventre hjrne (mareret med \a" i eemplet) til alle andre nuder i en adan graf i tid O(n); dv. i tid proportional med antallet af nuder n i grafen. (Dijtra' algoritme er ie hurtig no.) 2 Det flgende prgmal handler ie om frem-og-tilbage grafer. Dijtra' algoritme forudtter, at vgtene pa anterne er ie-negative. Det er lart, at hvi der er negative rede, a er problemet let ie veldeneret, da tilngderne an gre vilarligt lave. Hu, at en red er en ti, der pa et tidpunt vender tilbage til udgangpuntet. Den alde negativ, hvi ummen af anterne vgte er negativ. Sprgmal c: Find et eempel, der vier, at Dijtra' algoritme fati ie virer, hvi der er negative vgte, elv hvi der ie er negative rede (det er ie ndvendigt at bruge ret mange nuder). Det al forlare, hvordan Dijtra' algoritme afvile pa det eempel, du angiver. 2 4

5 Opgave 3 (15%) Vi har givet en orteret lite af heltal om f.e. flgende: = [0,1,4,5,6,7,9,10,11,16,17,19,21,25,27,28,29] Nu lave der et antal opdateringer, der hver ietar i, at talvrdien pa en plad i liten forge eller forminde. Liten er herefter ie ndvendigvi orteret. Liten = [0,1,4,3,6,7,12,10,11,16,17,15,21,25,26,28,29] elevet ndret pa re plader i forhold til den oprindelige lite ; nemlig pa index 3, 6, 11 og 14. Vi ved om literne, at der ingen dubletter er (heller ie efter opdateringerne), og at der efter en opdatering er mindt to undrede elementer pa hver ide af et ndret. Vi er intereerede i at fa en udrift af index pa ndrede elementer. Da opdateringerne foretage direte i den oprindelige lite, ende den oprindelige lite ie lngere, a ndrede elementer, der tadig tar orteret, an naturligvi ie opdage. Hvi man ie an afgre, hvilet af to elementer, der elevet ndret, accepterer vi at fa begge index udrevet. Pa liten ovenfor ville vi forvente flgende udrift: Vi an nemlig ie ontatere ndringen pa index 14, og vi an heller ie e, om den ndring, der fati ete pa index 3, ete pa index 2 eller 3. Sprgmal a: Sriv en Python funtion, der tager en opdateret lite om argument og udriver den omtalte lite af index, der har ndret ig. 2 5

6 Opgave 4 (20%) I forbindele med dijunte mngder (dijoint et) irede vi logaritmi hjde ved at ammentte trer afhngig af dere trrele. I denne opgave er vi pa et alternativ til den metode, hvor vi i tedet for at gemme antallet af nuder, giver hver nude en rang. 1 Nar en ny nude lave (operationen MaeSet), give nuden rang 0. Nar to trer tte ammen med Union, gre roden med mindt rang til barn af den anden rod om nedenfor: r a Union (r a > ) = Der er alta ingen nuder, der far dere rang ndret. r a a aa a Hvi rdderne har amme rang, vlge vilarligt, og roden efter ammentningen far in rang talt op med en: r a Union (r a = ) = r c a aa r c = r a + 1 a Operationen Find ndrer ie truturen. Sprgmal a: Vi ved indution pa antallet af operationer, der udfre, at der er mindt 2 r nuder i et tr med rang r. 2 Sprgmal b: rgumenter for, at hvi en nude med rang r har et barn med rang r 0, a er r > r 0. 2 Sprgmal c: Vi, at Find er O(log n), hvor n er antallet af elementer i truturen. 2 1 Dette har intet at gre med den rang, der denere i forbindele med play tree. 6