FRA BERNOULLIS FORUNDERLIGE POLYNOMIER OG TAL VIA EULER{MACLAURINS SUMFORMEL TIL ROMBERGS INTEGRALAPPROXIMATION. Mogens Esrom Larsen. 1.

Transkript

1 FRA BERNOULLIS FORUNDERLIGE POLYNOMIER OG TAL VIA EULER{MACLAURINS SUMFORMEL TIL ROMBERGS INTEGRALAPPROIMATION Mogens Esro Larsen. arts 5 Bernoullis polynoier og tal. Bernoullipolynoierne og Bernoullitallene blev indfrt af Jakob Bernoulli (654{75) i hans berte vrk, Ars Conjectandi (73), hvori an nder ange interessante ting isr o sandsynlighedsregning. Det af probleerne, so frer til Bernoullipolynoierne og dered {tallene, drejer sig o besteelse af potenssuer. Det er jo let nok at nde k n og den siple forel, k n n(n + ) er ogsa let at nde, an suerer blot tillige bagfra: k k + (n? k) n n(n + ) Men Bernoulli stillede sig opgaven, at bestee suerne af {te potenserne, altsa () k F (n; ); F? Vi ved allerede, at F (n; ) n og F (n; ) n(n+), en hvad er F (n; )? (Man kan jo gtte pa et 3{diegradspolynoiu i n og nde koecienterne ved at prve ed n ; ; 3; 4, og sa bevise forlen ved induktion efter n, en det vil vi afsta fra.) Bernoulli greb opgaven an pa den ade, at han sgte en lsning til opgaven, at nde en funktion, B(n; ), sadan at () B(n + ; )? B(n; ) n? Typeset by AMS-TE

2 MOGENS ESROM LARSEN. arts 5 Suerer vi denne ligning for en rkke vrdier af den variable n, forsvinder det este af venstre siderne (en sakaldt \teleskopsu"): k? (B(k + ; )? B(k; )) B(n + ; )? B(; ) Med andre ord, har vi en lsning til (), nder vi uiddelbart lsningen til () so (3) F (n; ) B(n + ; + )? B(; + ) + Dette er Bernoullis lsning, vi angler blot at nde en lsning til (). Vi sger lsninger, der er deneret for alle vrdier af den frste variable n, en kun positive, hele vrdier af den anden variabel,. Derfor skriver vi x i stedet for n: (4) B(x + ; )? B(x; ) x? Har vi to lsninger til (), B og B, sa vil funktionen B? B opfylde, at (B (x + ; )? B (x + ; ))? (B (x; )? B (x; )) x?? x? Den er ed andre ord periodisk ed periode. Hvis vi derfor har fundet to lsninger, der er polynoier i x, sa er deres dierens ogsa et polynoiu, der tiled er periodisk. Det a derfor vre konstant. Lsningen er altsa entydig bestet pa nr en konstant. Vi analyserer nu opgaven, dvs. at vi antager, at vi har lst opgaven og fundet et polynoiu, B(x; ). Vi dierentierer sa (4) ed hensyn til x, og far derved (5) B (x + ; )? B (x; ) (? )x? Det betyder, at polynoiet B (x; ) lser (4) for?. En anden lsning til (4) afviger herfra ed en konstant. Vi denerer nu Bernoullipolynoierne so de polynoier, der lser (4), og hvis konstantled er valgt sadan, at (6) B (x; ) B(x;? ) Dette betyder, at vi kan nde polynoierne ved sukcessiv integration. Da vi for har et andengradspolynoiu, a vi forvente, at polynoiernes grad er.

3 FRA BERNOULLIS FORUNDERLIGE POLYNOMIER OG TAL VIA EULER{MACLAURINS SUMFORMEL TI Antag nu, at vi har polynoiet B(x; ) af grad, so vi vil skrive pa foren: (7) B(x; ) B?k k xk hvor k! k!(? k)! er binoialkoecienten over k, og B?k er tal, vi skal nde. Vi har indiceret de, sa B er hjestegradskoecienten. Vi indstter nu (7) i (6) og far:?? B?k k kxk? B???k k xk? k k?? Nu er jo k?, so vi kan bruge pa venstre side satidig ed at vi udelader leddet for k, da det er, ens vi ndrer suationsindexet fra k til k? pa hjre side:?? B?k k? xk? B??k k? xk? Nar vi saenligner koecienterne i polynoierne pa hjre og venstre side af lighedstegnet, ser vi, at der glder forlen: (8) B??k B?k for k ; ; ; Denne flles vrdi vil vi fra nu af betegne ed B?k og kalde Bernoullitallet ed index? k. Med andre ord, vi denerer (9) B n B n+k n for k ; ; 3; Bernoulli polynoierne i (7) kan nu skrives ed Bernoulli tallene so () B(x; ) B?k x k k For at nde Bernoulli tallene og dered Bernoulli polynoierne, indstter vi () i (4) og bruger binoialforlen pa (x + ) k : B(x + ; )? B(x; ) B?k ((x + ) k? x k ) k k? k B?k x j k j j? k x j B?k k j j kj+

4 4 MOGENS ESROM LARSEN. arts 5 Vi benytter nu oskrivningen k!k! k j k!(? k)!j!(k? j)!!(? j)! j!(? j)!(k? j)!(? k)! j og far derved B(x + ; )? B(x; )? j? j? j x j j kj+ x j j j kj+ x j?j? j? j k? j? j k? j? j k k? j B?k B?k B?j?k Vi suerer nu den ydre su bagfra ved substitutionen i? j og far i B(x + ; )? B(x; ) x?i i B i?k i k i i? i x?i B j i j i idet vi til sidst har vendt retningen i den indre su ved substitutionen j i? k. Nu ved vi jo fra (4), at dette skal vre x?. Derfor er koecienterne pa nr koecienten til x?. Vi far saledes rekursionsforlerne til beregning af Bernoullitallene: j () i? j i j B B j for i > De frste Bernoullital ser eget uskyldige ud: () B ; B? ; B 6 ; B 4? 3 ; B 6 4 B 8? 3 ; B 5 66 ; B? ; B 4 7 6

5 FRA BERNOULLIS FORUNDERLIGE POLYNOMIER OG TAL VIA EULER{MACLAURINS SUMFORMEL TI en de vokser eget hurtigt, faktisk ligner de (n)! () n. F. eks. er nogle af de B? ; B 4? ; 353 B 6? Sa snart vi kender Bernoullitallene, kan vi uiddelbart skrive Bernoullipolynoierne op i henhold til (): B B x? (3) B x? x + 6 B 3 x(x? ) x? B 4 x 4? x 3 + x? 3 B 5 x(x? ) x? x? x? 3 B 6 x 6? 3x x4? x + 4 Ved deres hjlp lser vi uiddelbart Bernoullis proble, f. eks. k (n + )n(n? ) 3 n(n + )(n? ) 6 k 3 (n + )4? (n + ) 3 + (n + )? (n + ) (n + n +? n? + ) 4 n(n + ) Pa intervallet [; ] ser de frste saledes ud:

6 6 MOGENS ESROM LARSEN. arts B (x) B (x)

7 FRA BERNOULLIS FORUNDERLIGE POLYNOMIER OG TAL VIA EULER{MACLAURINS SUMFORMEL TI B 3 (x) B 4 (x) Forlen (6) har interessante anvendelser. Vi kan jo integrere den og tiled anvende (4) til at fa (4) Z B(x; )dx B(x; + ) + + (B(; + )? B(; + )) for > Denne egenskab kan uiddelbart benyttes til beregning af polynoier og tal, idet vi nder stafunktionen af det forrige Bernoulli polynoiu og sa korrigerer ed et konstantled, sa integralet bliver. Dette konstantled er sa Bernoullitallet. At ligningen (5) f(x + )? f(x) ( + )x kun lses af Bernoullipolynoiet B(x; + ) pa nr en konstant, har en interessant anvendelse. Vi kan jo gre prve ed funktionen (6) f(x) (?) + B(? x; + )

8 8 MOGENS ESROM LARSEN. arts 5 Vi nder uiddelbart f(x + )? f(x) (?) + (B(?x; + )? B(? x; + ))?(?) + ( + )(?x) ( + )x Med andre ord, f(x) afviger fra B(x; + ) ed en konstant. Fre for at nde denne, dierentierer vi blot de to funktioner og far derved forlen (7) B(? x; ) (?) B(x; ) Bernoullipolynoiets vrdi i er netop Bernoullitallet, og bortset fra B(x,), flger det af (4), at vrdien i ogsa er Bernoullitallet. Af (7) flger, at for ulige er B(; )?B(; ), sa for > ulige er B B(; ). Af (7) flger ogsa for ulige, at B( ; )?B( ; ). Af (7) flger, at for lige, er Bernoullipolynoiet B(x; ) syetrisk o linien x, ens det for ulige er syetrisk o punktet ( ; ). Fra 3 har de ulige Bernoullipolynoier de tre nulpunkter,, og. Men der kan ikke vre ere i intervallet [,]. Thi har det 'te af de endnu et nulpunkt, x, giver syetrien, at det har to, nelig yderligere? x. Altsa har det 5. Men sa har det 4 ekstreer i intervallet, sa iflge (6) har det (? )'te (lige) Bernoullipolynoiu ialt 4 nulpunkter i ],[. Igen iflge (6) har det ulige (? )'te Bernoullipolynoiu 3 nulpunkter i intervallet ],[, og hertil de to endepunkter, og. Altsa ialt 5. Men det glder jo for alle 5, sa vi ender ed at fa 5 nulpunkter for et polynoiu af grad 3. Derfor kan ingen af de ulige have ere end 3 nulpunkter, og heraf fas igen, at de lige a njes ed. Heraf flger nu for lige, at integralet vokser (aftager) indtil x, hvorefter det aftager (vokser) til for x. Det skifter ed andre ord ikke fortegn i intervallet. Derfor glder uligheden for < x < : (8) jb(x; )j < jb j Ligningen (9) f(x + )? f(x) ( + )x har abenbart lsningerne B(x; + ) + B(x + ; + ) og? B(x; + ), so begge er polynoier i x. Deres dierens bliver derfor igen et polynoiu, so tillige er periodisk og altsa konstant. Ved dierentiation af de to funktioner, fas sae funktion og derfor forlen () B(x; )?? B(x; ) + B(x + ) Heraf fas for x vrdien () B( ; )???? B For lige er den nueriske vrdi i vrdi i og. altsa lige netop indre end den nueriske

9 FRA BERNOULLIS FORUNDERLIGE POLYNOMIER OG TAL VIA EULER{MACLAURINS SUMFORMEL TI Euler{Maclaurins forel. Forlerne (6) og (4) k Leonhard Euler (77{784) i 73 og Colin Maclaurin (698{746) i 74 til at bruge Bernoullipolynoierne til at nde en rkkeudvikling af et vilkarligt integral af en ange gange dierentiabel funktion, f(x), udtrykt ved funktionens hjere aedede, () Z b a f(x)dx? Vi starter ed at udfre partiel integration af produktet af den vilkarlige funktion ed B(x; ). For neheds skyld betragter vi intervallet [; ]. (3) Z f(x)dx Z B(x; )f(x)dx B(x; )f(x) f() + f() Z? B(x; )f (x)dx? Z B(x; )f (x)dx Derefter udfres partiel integration pa det sidste integral Z B(x; )f (x)dx [B(x; )f (x)]? B (f ()? f ())? Z Z B(x; )f (x)dx B(x; )f (x)dx Det er abenbart en teknik, so vi kan blive ved ed at udfre, sa lnge f kan dierentieres Z B(x; )f () (x)dx + h B(x; + )f () (x) i? + B + + (f () ()? f () ())? + Z Z B(x; + )f (+) (x)dx B(x; + )f (+) (x)dx Vi foretrkker at slutte ed et ulige n?, sa det tilsvarende integral er Z B(x; n? )f (n?) (x)dx Til dette Bernoullipolynoiu vlger vi stafunktionen (4) B(x; n)? B n n

10 MOGENS ESROM LARSEN. arts 5 so er i endepunkterne, sa dierensen forsvinder. Herved fas oskrivningen Z B(x; n? )f (n?) (x)dx? n Z (B(x; n)? B n ) f (n) (x)dx Da (4) har konstant fortegn i intervallet, kan vi ved en vurdering af f (n) (x) elle konstante grnser, f (n) (x) fa integralet vurderet ved Z jb(x; n)? B n j dx Z jb(x; n)? B n j f (n) (x)dx Z jb(x; n)? B n j dx Det kan derfor udtrykkes so en slags iddelvrdi. Der ndes et tal ]; [, sa Z (B(x; n)? B n ) f (n) (x)dx f (n) () Z (B(x; n)? B n ) dx?b n f (n) () idet vi benytter (4). Nar vi substituerer den ene oregning i den forrige hele vejen tilbage til (3) far vi Euler{MacLaurins forel, Z n?? B n f(x)dx f() + f() + j B j (j)! f (j?) ()? f (j?) () (n)! f (n) () Forlen kan naturligvis transforeres til et vilkarligt interval, f. eks. intervallet [x ; x ], idet vi nu nder ]x ; x [: Z x f(t)dt x? x x (f(x ) + f(x )) + n? j B j (j)! (x? x ) j f (j?) (x )? f (j?) (x )? (x? x ) n+ B n f (n) () (n)! Roberg integration. Hvis vi nu skal beregne et integral over et interval, [a; b], sa deler vi det i N lige store delintervaller, der altsa hver far lngden h b?a N. Delepunkterne betegner vi a a; a a + h; ; a i a + ih; a N a + Nh b. Vi vil foretrkke at vlge N stor nok til, at h. Nar vi sa anvender Euler{ Maclaurins forel pa hvert delinterval, og lgger de alle saen saen, sa gar alle de aedede i delepunkterne ud od hinanden. Derved fas Euler{Maclaurins suforel: (5) Z b a f(t)dt h N? (f(a) + +? n? j N f(a )) + f(b)! + B j (j)! hj f (j?) (a)? f (j?) (b) B n (n)! hn+ f (n) ( )?

11 FRA BERNOULLIS FORUNDERLIGE POLYNOMIER OG TAL VIA EULER{MACLAURINS SUMFORMEL TI hvor ]a? ; a [. Da h b?a N (6) N hf (n) ( ) (b? a) og f (n) er kontinuert, kan vi skrive N f (n) ( ) N (b? a)f (n) () idet gennesnitsvrdien a antages i et punkt, ]a; b[. Indsttes (6) i (5), fas (7) Z b a Forlens frste led, f(t)dt h N? (f(a) + + n? j f(a )) + f(b)! + B j (j)! hj f (j?) (a)? f (j?) (b)? (b? a) B n (n)! hn f (n) () (8) K h N? (f(a) + f(a ) + f(b)! kaldes kordetrapezforlen, fordi det er den integralapproxiation, an far ud af at approxiere arealet under funktionens graf ed trapezer ed hjde h og siderne lig ed funktonsvrdierne i endepunkterne. Resten af forlen kan sa siges at vre udtryk for fejlen ved denne kordetrapezforel.? Approxiation ed kordetrapezer

12 MOGENS ESROM LARSEN. arts 5 Det berkelsesvrdige ved denne integrationsforel er, at koecienterne til h j kun afhnger af intervallets endepunkter, ikke af h eller N. Det betyder, at vi har en integrationsforel af foren Z b a n? f(t)dt K + c j h j? (b? a) B n (n)! hn f (n) ( ) j Hvis vi nu fordobler antallet af delintervaller og dered halverer skridtlngden, h, sa far vi en forel af udseendet: Z b a f(t)dt K + n? j c j h j? (b? a) B n (n)! n h f (n) ( ) Beregning af K krver blot beregning af funktionsvrdierne i alle intervallernes idtpunkter, de andre har vi i forvejen. Af disse to forler kan vi eliinere leddene, der indeholder koecienten c. Vi tager 4 af den anden og trkker den frste fra. Efter deling ed 3 fas: (9) Z b a idet vi denerer (3) f(t)dt 4K? K 3 + n? j c j h j (?j)? (b? a) B n h n (n)! 3 (f (n) ( )? (?n) f (n) ( )) n? K + c j hj + (b? a) B n h n (n)! 3 f (n) () j K 4K? K 3 c j c (?j)? j 3 og regner ed, at der ndes en vrdi,, sa f (n) () (f (n) ( )? (?n) f (n) ( )) Dered er fejlen pa K, der var af strrelsesorden h, ndret til en fejl pa 4 K, der er af strrelsesorden h 4. Nar blot h <, er det i sig selv en forbedring. Den ny integralapproxiation, (3), svarer til, at vi over et interval, ]a? ; a [, ed idtpunkt c, bruger approxiationen (3) h 6 (f(a?) + 4f(c ) + f(a ))

13 FRA BERNOULLIS FORUNDERLIGE POLYNOMIER OG TAL VIA EULER{MACLAURINS SUMFORMEL TI Funktion Trediegradsapproxiation Denne approxiation er genkendelig so Keplers tnderegel efter Johannes Kepler (57{63), so i 65 i sin berte bog, Stereoetria dolioru vinoru, brugte den til aling af indholdet af et halvfyldt vinfad, eller so Sipsons forel efter Thoas Sipson (7{76), der nvner den i en lrebog. Tanken er sipelthen den, at for givne tre punkter, e.g.,?; ;, har vi de givne funktionsvrdier, y? ; y ; y, sat i idtpunktet vrdien af funktionens aedede, y. Nu tnker vi os, at vi har lagt et polynoiu af tredie grad genne punkterne, sa det har aedet i lig ed funktionens: p(x) x 3 + x + x + p (x) 3x + x +

14 4 MOGENS ESROM LARSEN. arts 5 Nar vi integrerer polynoiet fra? til, far vi jo (3) Z? p(x)dx x4 4 + x3 3 + x + x 3 +? Vi behver altsa kun at nde og. Da p() y, har vi abenbart y. Stter vi x, far vi ligningerne y? +? + y? Lgger vi saen og indfrer y, far vi y + y?? y. Indsttes disse vrdier i (3), far vi integralapproxiationen for et interval af lngde : (3) Z? p(x)dx y + y?? y 3 + y y + y? + 4y 3 Korrigeres til skridtlngden h, fas (3). Vi kan gre det sae igen, halvere skridtlngden og beregne K 3. Ud fra K og K 3 kan vi sa forbedre approksiationen til Keplers tnderegel, K 3 (4K 3? K ), hvis fejl er af strrelsesorden h4. Ogsa her glder det, at koecienterne til hhv. h4 6 er den sae. Sa vi kan eliinere disse led og fa en fejl af strrelsesorden h6 og h4 6 i stedet for, ved at approksiere ed K 6K? K 5 Har vi ved sukcessiv halvering af skridtlngden dannet approxiationerne K ; K ; ; K n, kan vi danne et nster af approxiationer efter opskriften: (33) Kj i i K i?? j+ Ki? j i? i ; ; n? ; ; j ; ; n? i Vi kan overskueligt skrive de i et trekantet nster, hvor eningen er, at an frst beregner approxiationerne i sjlen til venstre, derefter ved hjlp af (33) udregner de vrige, altid ved hjlp af vrdien til venstre og den ovenover: K & (34) K! K & & K 3! K! K & & & K n! Kn?! Kn?! K n?

15 FRA BERNOULLIS FORUNDERLIGE POLYNOMIER OG TAL VIA EULER{MACLAURINS SUMFORMEL TI Nar vi har eliineret alle leddene i suen, nar vi til approxiationen K n?, hvis fejl bliver (35) jb n j (n)! h n 3 5 ( (n?)? ) (b? a)jf (n) ()j For sa vrdier af n kan vi jo regne koecienten ud, og for store vrdier kan vi for det frste vurdere nvneren i den anden brk ned til (36) 3 5 ( (n?)? ) > 3 n?3 (n?) for det andet benytte den ovenfor nvnte approxiation, (37) B n (n)! ' () n ' 4 n Indsttes (36) og (37) i (35), fas fejlvurderingen: (38) h n 4 n (b?a)jf (n) h n ()j (n?) n 4 n (b?a)jf (n) ()j hn n(n?) n (b?a)jf (n) ()j n Hvis vi nu for eksepel vil beregne ed decialer, altsa ed en fejl, der hjst er?, kan vi jo approxiere integralet (39) Z Z 4 + x dx tg v + tg v dv Vlger vi nu skridtlngden h, ser vi, at for n 4 bliver fejlen (35) af strrelse 4 jb 8 j 8!? (? )jf (8) ()j jf (8) ()j jf (8) ()j '?4 jf (8) ()j Med brug af (38) er det deriod hovedregning. Fejlen vurderes ved? jf (n) ()j jf (n) ()j '?3 jf (n) ()j idet vi blot har benyttet, at 4 ' 3. Udfres beregningerne i skeaet ovenfor, fas 3: & 3: ! 3: & & 3:49464! 3:459655! 3: & & & 3: ! 3: ! 3: ! 3:

16 6 MOGENS ESROM LARSEN. arts 5 Til saenligning er tabelvrdien 3: Denne etode til at forbedre integralapproxiationen er fra 955 og kaldes Roberg integration efter Werner Roberg (99{). Teknikken til eliination af fejl af lav orden er, so det ogsa fregar af ekseplet, langt ere konoisk end den banale, at forbedre vrdien ved sukcessive halveringer. Roberg integration har ikke alene stor praktisk betydning ved integralberegninger, en ideen er videreudviklet af Josef Stoer (934{) og Roland Bulirsch (93{) i 97 til den hidtil bedste etode til nuerisk lsning af dierentialligninger.