Paradokser og opgaver Gamma 142 To kroner stder til to af de tre til samme side, og udenpa dem stder den sidste krone til begge de to. Nu kunne det se

Transkript

1 Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen () og Silja Heilmann (HE) Vi modtager meget gerne lserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail eller per almindelig post (se adresse pa bagsiden). Frste indsendte, korrekte lsning til en af de stillede opgaver bringes i nste nummer af Gamma. Gamma har vret sa heldige endnu en gang at fa en rkke opgaver af lektor ved Matematisk Institut Mogens Esrom Larsen, som ogsa stillede opgaver i sidste nummer. Vi har modtaget besvarelser fra vores lsere og Mogens har givet svaret til resten af opgaverne. Opgave - De lystige kroner Der ligger seks kroner i enkroner pa et bord. De tre ligger pa en ret linie. De ligger ikke helt tt sammen, men sa tt at der ikke kan presses en krone til mellem to af dem. Den midterste ligger ikke lige midt imellem de to andre. 47

2 Paradokser og opgaver Gamma 142 To kroner stder til to af de tre til samme side, og udenpa dem stder den sidste krone til begge de to. Nu kunne det se ud til, at den sidste krone ligger lige langt fra de to yderste. Det gr den selvflgelig, hvis den tredie krone ligger lige midt mellem de to andre. Men gr den det altid? Opgave - Til ss B A C Pa et koralrev i nrheden af Paskeen holdt hvdingen meget af at sta pa vandski. Men det var kun muligt i det stille vand inden for revet. Desuden ville han altid sta sa tt forbi sin hytte som muligt, for at hans koner og brn kunne vinke til ham imens. Koralrevet havde form som to cirkelbuer, der er pa vej til at gribe ind over hinanden. Hvdingens hytte la lige netop der, hvor den ene cirkelbue gar over i den anden. Nu er problemet, at han vil have sin vandskibane i en ret linie forbi hytten. Hvordan skal han vlge sin bane, sa den i ret linie bliver sa lang som muligt? Opgave - Fluen i asken Pa bunden af en aske ligger en tndstik, der er 4 cm lang. Den ligger sadan, at svovlet netop er i centrum af askens bund, som forresten er 10 cm i diameter. 48

3 Gamma 142 Paradokser og opgaver Fluen Nu gar der en ue rundt pa asken langs kanten. Fluen ser med 1000 jne pa tndstikken, og den bemrker, at nogle steder fra syner tndstikken lngere end andre steder fra. Der er endda to steder, hvorfra tndstikken nrmest ligner et punkt. Nar uen bender sig der, hvorfra tndstikken syner strst, hvor langt er uen sa fra tndstikkens anden ende end svovlenden? Opgave - Vejerboden I den klassiske udgave af denne opgave er der givet 12 kugler, hvoraf de 11 er ens. Man skal sa afslre den aparte kugle ved udfrsel af vejninger. Samtidig skal det afgres, om den er lettere eller tungere end de andre. Til hjlp har man en almindelig skalvgt med to skale. Men til variation af temaet har vi denne gang 14 kugler, hvoraf de 1 vejer njagtig 10 g. Desuden har vi et 10 gramslod. Vi skal igen afslre den aparte kugle i lbet af hjst vejninger, men det er ikke krvet, at vi nder ud af, om den er lettere eller tungere end de andre. Hvordan skal man bre sig ad med det? 49

4 Paradokser og opgaver Gamma 142 Opgave - Ballon opgave Pa Experimentarium nord for Kbenhavn har de en opstilling, der bestar to balloner pustet uens op og monteret pa hver sin ende af et rr. I midten af rret sidder en lille ventil, der kanabne og lukke for forbindelsen mellem de to balloner. Nar brnene okkes om opstillingen, sprger den inke unge pilot i den bla kedeldragt: Hvad tror I der sker, nar jeg abner for forbindelsen mellem de to balloner? Ja kre lsere, hvad sker der med to balloner, der ikke er pustet lige meget op, nar luften pludselig kan lbe frit mellem dem? Og endnu vigtigere: Hvorfor sker det? HE 50

5 Gamma 142 Paradokser og opgaver Besvarelse af \En rrende historie" x b a y b Svaret er 12,5 cm. Nar en pind drejer om hjrnet, kan vi jo forlnge den til rring med de to rr. Den forlngede pind har et eller andet sted en minimumslngde, som netop er 12,5 cm. Hvis hovedrret har bredden a og birret bredden b, og ved en stilling af pinden rammer dens forlngelse hovedrret i afstanden x fra birret og birret i afstanden y fra hovedrret. Sa glder iflge Pythagoras, at lngden af den forlngede pind er q (a + y) 2 + (b + x) 2 Samtidig fas af de to ensvinklede trekanter med siderne a, x hhv. y, b, at eller bedre x = b a y xy = ab Minimum under bibetingelse opnas, nar rangen af matricen af partielle aedede er mindre end maksimal, her 2, altsa nar rangen af matricen 0 B@ y x 2(b + x) 2(a + y) 1 CA 51

6 Paradokser og opgaver Gamma 142 er 1, dvs, nar eller b + x y = a + y bx + x 2 = ay + y 2 Nar vi ganger med x 2 og bruger ligningen xy = ab, star der x 4 + bx = a 2 bx + a 2 b 2 = a 2 b(x + b) hvoraf x = a 2 b x og straks y = ab 2 Den kritiske lngde bliver herefter 2 2 a + b 2 Besvarelser af \Propellen og llen" Vi har faet en del besvarelser pa opgaven Propellen og llen" fra?141. " Den frste besvarelse har vi faet fra Inge Pettersen i Norge og den viser hvor stort arealet af hele guren fra sidste nummer er: Ved at forbinde cirklernes centre med de ydre skringspunkter mellem cirklerne fas en regulr sekskant med areal p 6 (r 1 2 r) = p 2 r 2 2 Arealet udenfor den regulre sekskant er 2 r2 = 2r 2 Det samlede areal af hele guren er derfor 52 (2 + 2p )r 2 :

7 Gamma 142 Paradokser og opgaver Vi har ogsa faet en anden besvarelse af Ole Sander fra Brndby Strand, der viser hvor stort arealet af en af propellerne/vindmllevingerne er, altsa en tredjedel af det areal som bliver dkket af lglasset ere gange under ingenir Rrstrms besg pa vrtshuset. Pa grund af symmetrien af guren ses det, at vinklerne mellem centerstrengene i de blade er 120, deraf flger at den vinkel der opstar ved at forbinde det punkt, hvor alle tre cirkler skrer (det indre skringspunkt) med centrum af en af cirklerne med skringspunktet mellem to af cirklerne (et af de ydre skringspunkter) er 60. Kald denne vinkel v. Der dannes ved denne konstruktion en trekant, og det ses, at det cirkeludsnit som vinklen v spnder over minus denne trekant er halvdelen af det nskede propelareal. Cirkeludsnitsarealet er Trekantens areal er 60 r 2 60 = r 2 6 rp p 4 r = r 2 4 Deraf ses, at arealet af et propelblad er p p 2 [ r2 6? r 2 4 ] = r2 (? 2 ): 5

8 Besvarelse af Trekantsdramaet Aristophanes forsger at gre sig lystig pa Euklids bekostning ved at sige, at ethvert sel ved, at den korteste vej er en ret linie. Men det er det ikke altid, f. eks. i denne opgave er det en cirkelbue. Hvis vi har en lsning og spejler trekanten i de sider, som kurven gar fra og til, sa vil vi efterhanden fa en regulr sekskant, hvor der i midten er omkranset en gur med prcis det halve areal. Samtidig er den omkransende kurve kortest mulig. Men sa er den jo en cirkel.