Skriftlig Eksamen. Datastrukturer og Algoritmer (DM02) Institut for Matematik og Datalogi. Odense Universitet. Torsdag den 2. januar 1997, kl.

Størrelse: px

Starte visningen fra side:

Download "Skriftlig Eksamen. Datastrukturer og Algoritmer (DM02) Institut for Matematik og Datalogi. Odense Universitet. Torsdag den 2. januar 1997, kl."

Nicklas Bech
7 år siden
Visninger:

1 Skriflig Eksamen Daasrukurer og lgorimer (DM0) Insiu for Maemaik og Daalogi Odense Universie Torsdag den. januar 199, kl. 9{1 lle sdvanlige hjlpemidler (lrebger, noaer, ec.) sam brug af lommeregner er illad. Eksamensse besar af 4 opgaver pa 6 nummererede sider (1{6). Fuld besvarelse er besvarelse af alle 4 opgaver. De enkele opgavers vg ved bedmmelsen er angive i procen. Der ma gerne refereres il algorimer og resulaer fra lrebogen inklusive velsesopgaverne. Speciel ma man gerne begrunde en pasand med a henvise il, a de umiddelbar flger fra e resula i lrebogen (hvis dee alsa er sand!). Henvisninger il andre bger (udover lrebogen) acceperes ikke som besvarelse af e sprgsmal. Bemrk, a hvis der er e sprgsmal i en opgave, man ikke kan besvare, ma man gerne besvare de eferflgende sprgsmal og blo anage, a man har en lsning il de foregaende sprgsmal. 1

2 Opgave 1 (0%) Vi ser pa rekangler af hjde og lngde n. Se eksempel nedenfor To feler er naboer, hvis de sar ved siden af hinanden eller ovenover hinanden. En nabovej er en sekvens af feler, hvor alle par af pa hinanden flgende feler er naboer. Vejen skal ga fra e af de o yderfeler il vensre il e af de o yderfeler il hjre. Yderfelerne il vensre er alid 0, mens alle andre feler har vrdier srre end eller lig med 0. Nedenfor ses e eksempel pa en nabovej Omkosningen af en nabovej er summen af allene i dens feler. Nabovejen ovenfor har alsa en omkosning pa 6. I denne opgave er vi ineressere i a nde omkosningen af den (en) billigse nabovej. Flgende rekursive funcion kan bruges il de. Parameeren er e rekangel som illusrere ovenfor. Mere prcis er en lise af sma liser, hvor de sma liser har lngde o. F.eks. er [0] lig med [0,0], og [] lige med [4,]. def f(, x, y): if x == len(): reurn 0 else: h = f(, x + 1, y) v = f(, x + 1, 1 - y) reurn [x][y] + min(h, [x][1 - y] + v) Sprgsmal a: Forklar kor i ord, hvad f(, x, y) beregner, og hvordan den gr de. Herunder hvad h og v bruges il, sam hvad 1 - y skal beyde. Sprgsmal b: Hvad er kompleksieen af algorimen som funkion af n? rgumener for di svar.

3 Sprgsmal c: Vis, a f kaldes med prcis de samme paramere adskillige gange (f.eks. ved a vise e eksempel). Sprgsmal d: Lav en bedre udgave ved a anvende dynamisk programmering. Hvad bliver kompleksieen af lsningen? rgumener for di svar. Opgave (0%) Nedenfor er angive en funkion, der sorerer elemener i en lise i ikke-afagende orden. def sor(): i = 0 while i < len(): # I for j in range(len()-(i+1)): if [j] > [j+1]: [j], [j+1] = [j+1], [j] i = i + 1 En soreringsmeode er sabil, hvis elemener med samme ngle alid vil sa i samme indbyrdes rkkeflge i de sorerede oupu som i de oprindelige inpu. Sprgsmal a: Er soreringsmeoden ovenfor sabil? rgumener for di svar. Vi denerer nu, a en lise er i c-uorden, hvor c er e helal, hvis ehver elemen i lisen er anbrag hjs c pladser fra den plads, de ville sa pa, hvis lisen var sorere. Sprgsmal b: ngiv en en lille ndring i algorimen, sadan a den nu krer i id O(n) pa liser, der er i c-uorden (den behver ikke lngere virke pa liser, der ikke er i c-uorden). rgumener for a ndringen virker. Vi ser nu igen pa den oprindelige algorime (resen af opgaven anager alsa ikke, a inpu er i c-uorden). Sprgsmal c: rgumener for, a i len() ^ udsnie i fra og med len() i il og med len() 1 er sorere og indeholder de srse elemener i er en invarian for while-lkken (udsnie er om frse gang, man kommer il while-lkken).

4 Sprgsmal d: Vis, a funkionen er korrek. Dvs. a den erminerer, og a lisen pa de idspunk er sorere. Opgave (0%) I denne opgave skal vi se pa en implemenaion af en symbolabel kalde en reap (sammenrkning af ree og heap). Implemenaionen er i form af e sger med elemener, der bade har en ngle og en priorie. Vi anager dog, a ingen ngler far ildel samme priorie. Nglerne skal nu opfylde den sdvanlige sgersbeingelse (binary search ree invarian), mens priorieerne skal opfylde den sdvanlige heap-beingelse (heap invarian). Nedenfor ses en reap. Nglerne sar vers i knuderne og priorieerne neders Knuderne i re er objeker af flgende ype: class Node: def ini (self, k, p, l, r): self.key = k self.pri = p self.lef = l self.righ = r Variablen roo anages i de flgende a referere il res rod. Sprgsmal a: Skriv en funkion MinKeys, sa kalde MinKeys(roo, m) udskriver prcis de ngler, der er mindre end eller lig med m. Kompleksieen af funkionen skal vre proporional med res hjde plus anal ngler, der er mindre end m. 4

5 Sprgsmal b: Skriv en funkion MinPris, sa kalde MinPris(roo, m) udskriver prcis de priorieer, der er mindre end eller lig med m. Kompleksieen af funkionen skal vre proporional med analle af priorieer, der er mindre end m. Indselse i en reap klares som flger: Frs indses elemene som sdvanlig i e sger efer nglen. Derefer roeres der (vensre- og hjreroaioner), indil heap-beingelsen igen er opfyld. Indser vi f.eks. elemene med ngle 1 og priorie, laves der en vensreroaion fulg af en hjreroaion. Se nedenfor. S S 0 1! ! Sprgsmal c: Vis, a hvis n elemener indses i en oprindelig om reap i voksende rkkeflge med hensyn il nglerne, sa foreages der e amorisere konsan anal roaioner pr. indselse. Vink: Hvad sker der med lngden af hjresien under en indselse? Opgave 4 (0%) Opgaven drejer sig om en ype ikke-orienerede, vgede grafer, kalde ringgrafer, der besar af en kde af ringe. Der er minds o ringe, og enhver ring indeholder minds re kaner. Vgene er ikke-negaive helal. Man har give referencer il o punker, a og b; e i hver yderring. Nedenfor ses e eksempel, hvor kden besar af re ringe

6 @ 4 Q a H Q @@ 6 H @@ b Lad n beegne analle af knuder i grafen og m analle af kaner. Sprgsmal a: Vis, a der ndes en konsan c, sa m cn. nag, a grafen er reprsenere ved den sdvanlige kanlisereprsenaion. Dvs. hver knude har ilknye en lise af referencer il prcis de andre knuder, den er forbunde il. Sprgsmal b: Forklar kor i ord, hvordan man alid kan nde vgen (cos) af e leese udspndende r (minimum spanning ree) for en ringgraf i id O(n). I Kingson vises de, a kompleksieen af Kruskal's algorime er O(m log m) for sammenhngende grafer. De kunne dog sagens vre, a algorimen afvikles hurigere pa srlige (simple) grafyper. En liniegraf er en ikke-orienere, sammenhngende, vge graf, der besar af en sekvens af punker, hvor de o endepunker kun har en kan, mens resen har o kaner; en il hver naboknude. E eksempel ses nedenfor De er klar, a de leese udspndende r for en liniegraf simpel hen besar af alle kaner. Flgende sprgsmal drejer sig om a vise, a Kruskal's algorime ikke en gang er liner pa liniegrafer. Som prioriesk og disjunke mngder i Kruskal's algorime anvendes naurligvis implemenaionerne fra bogen (\heap" og \Galler-Fischer"). Sprgsmal c: rgumener for, a man for ehver k kan lave en liniegraf med n k knuder og ildele kanerne vge, sadan a Kruskal's algorime vil age id proporional med n log n. 6

Relaterede dokumenter

Skriftlig Eksamen. Datastrukturer og Algoritmer (DM02) Institut for Matematik og Datalogi. Odense Universitet. Fredag den 5. januar 1996, kl.

Skriftlig Eksamen. Datastrukturer og Algoritmer (DM02) Institut for Matematik og Datalogi. Odense Universitet. Fredag den 5. januar 1996, kl. Skriflig Eksamen aasrukurer og Algorimer (M0) Insiu for Maemaik og aalogi Odense Universie Fredag den 5. januar 1996, kl. 9{1 Alle sdvanlige hjlpemidler (lrebger, noaer, ec.) sam brug af lommeregner er