Givet en cirkulr plade med den stationre temperaturfordeling u(r;), hvor u(r;) tilfredsstiller

Transkript

1 SKRIFTLIG EKSAMEN I MATEMATIK B-sektorens 7. semester 7. januar 1999 kl Alle hjlpemidler undtagen symbolske matematik programmer er tilladt OPGAVE 1 Givet en cirkulr plade med den stationre temperaturfordeling u(r;), hvor u(r;) tilfredsstiller Laplace ligningen, og hvor (r;) angiver polre koordinater. Der er flgende temperaturfordeling pa randen af den cirkulre plade med radius c f() cos() Sprgsmal 1 (1%) Bestem den stationre temperaturfordeling u(r;). OPGAVE Givet funktionen f(t) t cosh(at) Sprgsmal 1 (1%) Bestem Laplace transformationen af f(t). OPGAVE Givet begyndelsesvrdiproblemet d y dt + dy dt + y e,t y() ; y (),1 9 ; Sprgsmal 1 (1%) Bestem y(t) vha. Laplace transformation.

2 OPGAVE Givet den partielle dierentialligning i polre koordianter (r;) for funktion u(r;) u rr + 1 r u r + 1 r u + k u Sprgsmal 1 (1%) Idet separationsmetoden benyttes, nskes de tilhrende ordinre dierentialligninger opstillet. Sprgsmal (%) Der betragtes en skive med radius c. Find en lsning til den partielle dierentialligning saledes, at lsningen er begrnset for r<c, og tilfredsstiller randbetingelsen u(c; ) f(), hvor f er en given funktion deneret pa intervallet <. OPGAVE Givet flgende generaliserede egenvrdiproblem K', M' K 1 Sprgsmal 1 (1%) ; M Bestem egenvrdier og egenvektorer for egenvrdiproblemet, saledes at disse er ortonormale mht. M matricen. Sprgsmal (%) Indfr et skift 1: og bestem egenvrdier og egenvektorer for det modicerede egenvrdiproblem. Sprgsmal (1%) Den laveste egenvrdi og tilhrende egenvektor nskes bestemt approksimativt vha. invers iteration. Opstil ligninger og udfr frste iteration med startvektoren [1, 1] T. Sprgsmal (1%) Delaveste egenvrdier og tilhrende egenvektorer nskes bestemt approksimativt vha. subspace iteration. Opstil ligninger og udfr frste iteration med startvektoren

3 LSNINGER OPGAVE 1 Sprgsmal 1: Lsningen til randvrdiproblemet er givet ved, cf. (1.1-11) u(r;)a + 1X n1 r A n n cos(n) +B n sin(n) (1) For r ndes f() A + 1X n1 A n n cos(n) +B n sin(n) cos() () Ved sammenligning af venstre og hjresiden af () flger umiddelbart A ; A 1 A A ; B 1 B ; A () og dermed u(r;) r cos() () Alternativt kan A, A n, B n bestemmes af (1.1-1), (1.1-1), (1.1-1) A 1 A n 1 n B n 1 n R R R f()d f() cos(n)d f() sin(n)d 9 > >; ()

4 OPGAVE Sprgsmal 1: Af stning 7.7 flger, at Lft cosh(at)g, d Lfcosh(at)g (1) ds Af stning 7.g haves Lfcosh(at)g s s, a ; s>jaj () Af (1) og () ndes herved Lft cosh(at)g, d ds s s, a, s, a, s, s, a s + a, s, a () OPGAVE Sprgsmal 1: Givet begyndelsesvrdiproblemet d y dt + dy dt + y e,t y() ; y (),1 9 ; (1) Laplace transformation af dierentialligningen giver, cf. stning 7. eller (7.-) s Y (s), sy(), y ()+, sy (s), y() + Y (s) Lfe, tg s +s +1 Y (s) Y (s), s +1 + s +1 +s, 1+ +, s ) s +1 s +1 1, + s +1, () s +1 ) Ved anvendelse af stning 7.b og stning 7. ndes Lfe at t n g Lft n g s!s,a n! s n+1 s!s,a n!, s, a n+1 ()

5 Med a,1 flger da ( L,1 1, s +1 n+1 ) 1 n! e,t t n () Af () og () flger endelig y(t) L,1 fy (s)g t e,t +e,t + te,t () OPGAVE Sprgsmal 1: Partikulre lsninger til dierentialligningen sges pa produktformen u(r;)r(r)t () ) R (r)t () + 1 r R (r)t () + 1 r R(r)T () +k R(r)T () ) r R (r) R(r) + r R (r) R(r) + r k, T () T () (1) Ved standardargumentationen i forbindelse med separationsmetoden frer dette til flgende dierentialligninger for R(r) og T () r R (r) +rr (r) +, r k, R(r) () T () + T () () () angiver den parametriske Bessel dierentialligning med og k, se (6.-1). () og () glder for positive separationskonstanter. For haves specielt r R (r) +rr (r) +r k R(r) () T () ()

6 6 Sprgsmal : () har den fuldstndige lsning T () c 1 cos() +c sin() (6) Temperaturfeltet ma vre kontinuert, hvorfor vi for enhver vrdi af ma have, at T ( + )T (, ). Vi kan nu udtrykke, som ( + +),,hvilket indebrer, at kontinuitetsbetingelsen kan skrives T () T ( + ). Af (6) flger heraf, at n n ; n 1; ;::: (7) () har den fuldstndige lsning T () c 1 + c () Periodiciteten indebrer i dette tilflde, at c,hvorfor lsningen bliver T () c 1. Havde man valgt separationskonstanten,, ville periodiciteten kun kunne opfyldes for T (), hvilket frer til den trivielle lsning u(r;). De fuldstndige lsninger til () og () bliver med ; 1;:::, cf. (6.-1) R(r) c J n (kr) +c Y n (kr) ; n ; 1; ;::: (9) Bessel funktionerne af anden art og orden nopfylder, at Y n (kr)!,1for r!. Skal u(r;) derfor holde sig begrnset i pladens centrum, ma c. Hermed er bestemt produktlsningerne u (r;)c 1 c J (kr) u n (r;)c J (kr) c 1 cos(n) +c sin(n) ; n 1; ;::: 9 ; (1) Iht. superpositionsstningen 1.1 vil en linearkombination af lsningerne (1) ogsa tilfredstille dierentialligningen, periodiciteten og holde sig begrnset for r!. Lsningen, der tilfredsstiler randbetingelsen ved r c antages derfor pa formen u(r;) A J (kr) + 1X n1 J n (kr) A n cos(n) +B n sin(n) (11) For r c haves u(c; ) f() J (kc)a + 1X n1 J n (kc)a n cos(n) +J n (kc)b n sin(n) (1)

7 7 (1) er en Fourier rkkeudvikling af f() med p, a J (kc)a, a n J n (kc)a n, b n J n (kc)b n, cf. (11.-). A, A n, B n bestemmes flgelig af (11.-9), (11.-1), (11.-11) A 1 1 J (kc) A n 1 1 Jn(kc) B n 1 1 Jn(kc) R f()d R f() cos(n)d ; n 1; ;::: R f() sin(n)d ; n 1; ;::: 9 > >; (1) OPGAVE Sprgsmal 1: Givet det generaliserede egenvrdiproblem 1 ', 1,,, ' ) ' (1) Den karakteristiske ligning bliver 1,,, (, ) 16, + For ndes egenvektoren til ' : 1 A (, ) (1, )(, ), 16 ) i < : 1, p 7 ' :7 ; i 1 ; i 1+ p 7 ' :69 ; i () () hvor det ses, at ' T M' 1, jvf. (1.1). For 1 1,p 7 og 1+p 7 har egenvektorerne formen ' i ' 1;i ; i 1; () ' ;i

8 I frste omgang normeres egenvektorerne, saledes at ' ;i 1. ' 1;i bestemmes dernst af den. ligning i (1) ' 1;i +,, i 1 ) '1;i,1+ 1 i (,, p 7 16 ; i 1,+ p 7 16 ; i () Herved er bestemt egenvektorerne s p7, ' 1 p,, p 7 16 ',: : s p7+ ; ' p 7 p, ' :1 (6) :1 Man efterviser let, at de anfrte egenvektorer opfylder normeringen ' T i M' j ij. Sprgsmal : Egenvrdierne efter skiftet 1: bliver, cf. () og (1.7) i < : 1, p 7, 1:,,p 7 ',:9 ; i 1, 1: : ; i 1+ p 7, 1:,+p 7 ' 1:19 ; i (7) Egenvektorerne er undret ved skiftet, jvf. (1.7). Sprgsmal : Invers iteration udfres i henhold til iterationsskemaet ( ). Her udregnes A K,1 M 1:,: :,1: : () frst for at lette de flgende regninger. Den unormerede startvektor er opgivet til x 1 1,1 (9) Dernst udregnes den unormerede egenvektor efter 1. iteration x Ax 1 1:,: :,1: : 1,1 1:6667,:1667 (1)

9 9 Modalmassen bliver m x T Mx [1:6667,:1667 ] 1:6667,:1667 1:6111 (11) Den normerede egenvektor efter 1. iteration bliver herved x 1 p m x :96,: (1) Egenvektoren afviger stadig betragteligt fra den eksakte lsning (6). Derimod bliver den tilhrende egenvrdi bestemt ved Rayleigh's brk en meget skarp vrevrdi 1 x T Kx :9 (1) Sprgsmal : Subspace ireration udfres i henhold til iterationsskemaet ( ). Som startvektorer benyttes X (1) Ved 1. iteration udregnes frst X AX 1 1: 1: :,:,1: (1) Stivhedsmatrix og massematrix i det projekterede underrum bliver K X T 9: : KX 1 : 1:6667 M X T MX 9: 1: 1: 17:777 (16) (17) Egenvrdiproblemet bliver K q, M q (1)

10 1 Den karakteristiske ligning bliver det 9, 9:, 1, 1 1:6667, 17:777 :91, 69: + : ) i :9 ; i 1 :1 ; i (19) Egenvektorerne normeres indledningsvis pa formen q i q1;i 1 ; i 1; () q 1;i bestemmes af den frste ligning (1), 9:, 9:i q1;i +, :, 1: i ) 1 ) q 1;i, :, 1: i,:7 ; i 1 9:, 9: i,1: ; i (1) Herved er bestemt modalmatricen,:7,1: Q [q 1 q ] 1 1 () Egenvektorerne efter 1. iteration bliver X X Q 1: 1: :,:,1:,:7,1: 1 1 1:,:1,:1,:779 (),1:196,:6 Normeres lsningerne () til modalmassen 1 ndes X :6,:116,:1,: (),:,:9