Elementær Gruppeteori. Ole Witt-Hansen 1981 (2018)

Transkript

1 Elmntæ Gutoi Ol Witt-Hnsn 98 08

2 Indhold. Algisk stuktu.... Komosition.... Homomoi...3. Gu ing og lgm...4. Algisk ing...4. Algisk lgm Et udvidlsslgm til d tionl tl hvo ligningn = h n od D komlks tls lgm...8

3 Elmntæ Gutoi. Algisk stuktu Vi skl h giv n kot ovsigt ov nogl lgisk g nmlig komosition gu ing og lgm. Diss g lndt ndt nødvndig o t indø og skiv d komlks imginæ tls lgm. Som udgngsunkt vil vi s å gnskn vd d hl tl Z d tionl tl Q hl tl og øk og d ll tl R som omtt d tionl tl smt d itionl tl.ks. og. Komosition Tllns stuktu kktist vd t mn o to vilkålig.ks. tionl tl og kn dnn t nt tl + ll som også t tionlt tl. Mn sig t ddition og multiliktion lus og gng komosition indno mængdn tionl tl. Givt n mængd M som kn væ næstn hvd som hlst så din mn n komosition * indno mængdn M som n ildning n unktion M M ind i M. I stdt o t skiv: = c skiv mn.. * = c En komosition * sålds n gngl som til to vilkålig lmnt kntt nto t lmnt c M hvo: c = * M M Eksml Addition + n komosition indno mængdn tionl tl: Hvis og tionl tl c = + t tionlt tl. Multiliktion. n komosition indno mængdn tionl tl: Hvis og tionl tl c = t tionlt tl. Funktionssmmnsætning : h g h g n komosition indn o mængdn ildning : R R. Skloduktt: n vkto. Kdsoduktt c dimod n ikk kommuttiv komosition indno mængdn ikk n komosition indno mængdn vkto idt skloduktt t tl og ikk vkto i ummt. Mtimultiliktion n ikk kommuttiv komosition indno mængdn.ks. mtic idt C = A B n mti. Logisk oto I dt ølgnd vil vi ind imllm nvnd nogl mtmtisk smol som tilld os t omul sætning å n komkt og ltid ntdig måd. D skivs mllm udsgn. dvs. sætning som ntn snd ll lsk hvis og udsgn gæld sålds: " " læss som " og ". Konjunktion " " læss som " ll " Disjunktion " " læss som " non " ll " ikk Ngtion " " læss som " hvis så " ll " mdø " Imliktion " " læss som " kun hvis " Omvndt Imliktion " " læss som " hvis og kun hvis " ll " nstdnd md " Dolt Imliktion

4 Elmntæ Gutoi Bug kvnto Nå mn skl omul mtmtisk sætning nvnd mn ot to vnding: Fo thvt gæld: Dtt skivs smolsk md n lkvnto: : D inds t o hvilkt dt gæld: Dtt skivs smolsk md n ksistnskvnto: : Histoisk not: Indtil 988 v nvndlsn logisk oto og kvnto intgt i mtmtikundvisningn i gmnsit. Mn t 000 ndts d hvkn logisk oto ll kvnto i læøgn md én undtgls nmlig min gn øg: Elmntæ Mtmtik som kun inds å min hjmmsid. Fodln vd nvndlsn kvnto og logisk oto ntuligvis t mn kn udtkk sig å n kot og ltid å dn smm ntdig måd En komosition * indno n mængd M sigs t væ kommuttiv hvis. M M : En komosition indno n mængd M sigs t væ ssocitiv hvis.3 M M c : M c c Hvilkt ot skivs kot: c M : c c Nå dt dj sig om tl lj mn t udtkk ssocitivitt som ddndns ll ktons ækkølg undodnt. Et lmnt sigs t væ t nutlt lmnt vd n komosition hvis og kun hvis:.4 M : D kn kun væ t nutlt lmnt. Antgs dt nmlig t og nutl lmnt så må d gæld: odi nutlt og odi nutlt Nå dt gæld tl dt nutl lmnt vd ddition som kndt tllt 0 og dt nutl lmnt vd multiliktion som kndt tllt. Et lmnt klds invst til hvis d gæld:.5 Dt invs lmnt til kn tgns ll lot - hvis misoståls kn undgås mn også nd tgnls mulig.ks. ll. Hvis n komosition ssocitiv kn t lmnt højst hv ét invst lmnt: Antg vi nmlig t t lmnt h to invs lmnt og o så må d gæld:

5 Elmntæ Gutoi 3 Hvis h t invst lmnt h ligningn: og nto n løsning og tilsvnd. Homomoi Vi tgt øst dn lgisk stuktu: R + ositiv ll tl md komositionn lus og gng smt dn ntulig logitm ln. Dn ntulig logitm n ijktion R + å R + som v dn lgisk stuktu idt:.6 ln ln ln ln ln Dtt gund dinitionn n homomoi. En ildning klds n homomoi M å H. hvo M og H to mængd md komositionn og hvis: : M M Hvis n ijktion som dt tilældt md ln så klds dn n isomoi. Ld M og H væ to lgisk stuktu. Og ld væ n isomoi M å H. D gæld d n ækk tmmlig indlsnd sætning:. Hvis n isomoi M å H så - n isomoi H å M. og.7. Hvis kommuttiv/ssocitiv så også kommuttiv/ssocitiv..8 Associtivittn viss hlt tilsvnd. 3. Sætning: Dt nutl lmnt i M * ilds i dt nutl lmnt i H..9 o 4. Dt invs lmnt i M * ilds i dt invs lmnt i H. * * *

6 Elmntæ Gutoi 4. Gu ing og lgm En lgisk stuktu G klds n gu hvis.. Komositionn * ssocitiv.. D inds t nutlt lmnt. 3. Ethvt lmnt h t invst lmnt. Eksml: Mængdn hl tl md komositionn + Z + dnn n gu. Mængdn gulæ mtic M dnn n gu. F.ks. mtic hvo dtm 0 Indn o n gu gæld okotningsgln: og Bgg dl ølg vd multiliktion md * - vnst ll høj. Dn sidst tingls kun nødvndig hvis * ikk kommuttiv. Algisk ing Ld os dnæst ntg t vi h n lgisk stuktu M som ognist vd to komosition. sigs t væ distiutiv md hnsn til hvis dn distiutiv lov gæld:. c M : c c c M : c c Eksml D hl tl Z ognist vd komositionn + og lus og gng idt d som kndt o ll hl tl gæld: + c = + c Dimod + ikk distiutiv md hnsn til idt d i lmindlighd ikk gæld: + c = + + c En lgisk stuktu M sigs t udgø n ing hvis: M * n kommuttiv gu. kommuttiv og ssocitiv. * distiutiv mht. ltså hvis: c M : c c Eksml: Z udgø n ing. Dt nutl lmnt vd ddition 0 og dt nutl lmnt vd multiliktion. Dt invs lmnt til tgns. I dt ølgnd vil vi o ovskulighdns skld skiv + i stdt o * og i stdt o også slv om dt ikk dj sig om tl. Dt nutl lmnt vd + tgns ht som 0 og hvis d inds t nutlt lmnt vd vil dt liv tgnt md også slv om dt ikk tgn t tl.

7 Elmntæ Gutoi 5 Dt invs lmnt til vd + tgns og hvis d inds t invst lmnt til mht. til så vil dt liv tgnt md -. D gæld n ækk små sætning.. M : M : 3. M : sålds dt modstt lmnt til ltså lig md sålds dt modstt tl til ltså lig md hvo vi h nvndt sulttt. At ølg t dt modstt lmnt til ltså lig md. Dt ltså dn univsll gldighd dn distiutiv lov d lv oklingn å hvoo minus gng minus giv lus. Hvis 0 0 og 0 klds og o nuldiviso. D inds ingn nuldiviso i d ll tl. Hvis n ing ikk indhold nuldiviso gæld nulgln og okotningsgln: Nulgln: Fokotningsgln:.3 0 og tilsvnd: Algisk lgm Et lgm L + kn kktiss som n mængd hvo:. L + n kommuttiv gu.. L\0 n kommuttiv gu. 3. Dn distiutiv lov gæld: c M : c c. En mængd M sigs t væ t dllgm L hvis M L og M + t lgm. D tionl tl Q t tl lgm som indhold d hl tl Z. D ll tl R t tl lgm som indhold d tionl tl.

8 Elmntæ Gutoi 6 D komlks tl C t lgm som h d ll tl som dl-lgm. To lgm L + og M sigs t væ isomo hvis d inds n ijktion φ som old kvn o n isomoi..3 L : og L : Hvis to lgm isomo d lgisk idntisk. Mn kn ott d to lgm i lgisk hnsnd som dt smm lgm hvo lot lmntn h skitt nvn til φ og komositionn h skitt nvn + til * og til. En mængd sigs t væ odnt hvis d inds n odningsltion t smmnligningskitium d old viss kv. Hvis < n odningsltion så skl dn old ølgnd to kv:. M :. c c Odningsltionn tnsitiv D hl tl Z d tionl tl Q smt d ll tl R odnt t odningsltionn < mind nd. D inds dimod ingn odningsltion o d komlks tl sålds t kvn. og. oldt. 3. Et udvidlsslgm til d tionl tl hvo ligningn = h n od Vi mæk øst t intt tionlt tl kn væ od i ligningn =. Antg nmlig t n uokotlig øk hvo og hl ositiv tl od i ligningn så vil d gæld: Vi sætt do: = og å: så og dmd må væ t lig tl. 4 H slutt vi t og dmd t lig tl. Dtt i stid md t økn kn ikk væ t tionlt tl. uokotlig så Ld os do ntg t d inds t tl som od i ligningn: = som vi tgn md. Iølg ovnstånd kn ikk væ t tionlt tl. Vi vil d vis t mn kn udvid d tionl tls lgm il t lgm hvo ligningn = h n od. Foløig kn vi ikk vid om t sådnt lgm ksist mn vi kn ostill viss kv som n tlmængd skl old o t dn udgø t lgm. Dt vi otg klds n nls idt vi ntg t d ktisk inds t udvidlsslgm L hvo vi så dg nogl nttig konklusion om stuktun L. Hvis t tl så skl mn kunn dd og multilic dt md tionl tl t d sædvnlig gngl. H slutt vi t hvis lgmt L indhold tllt så må dt også indhold ll tlln

9 Elmntæ Gutoi 7 + hvo og tionl tl. Vd nvndlsn d sædvnlig gngl o tl vis dt sig t dnn tlmængd ktisk udgø t lgm som dt mindst tllgm L som indhold tllt. At komositionn lus + og gng ktisk komosition i L kn ss ølgnd hvo tionl tl. 3. H ss t summn og oduktt to tl som tilhø L også tilhø mængdn L. At summn og odukt kommuttiv og ssocitiv næstn indlsnd d d tionl tl nto h diss gnsk. Endvid inds d t nul-lmnt nmlig = = 0. D inds også t -lmnt nmlig = og = 0. Dt modstt tl til + indlsnd - +. Ethvt lmnt i L\{0} h ndvid t invst lmnt som løsning til ligningn: Hvo ss t dt invs lmnt til også tilhø L. Dt invs lmnt til. Dt mæks t: 0 0 hvilkt umuligt d t tionlt tl. Til slut mæk vi t dn distiutiv lov gæld; hvo tilhø L. 3. Bmæk t gldighdn dn distiutiv lov udlukknd hvil å d ostilld gngl. Ud dnn nls kn mn ostill n m oml udvidls d tionl tl til t lgm hvo ligningn: = h n od. Fomlt vil mn å gund vos nls gå m som ølg: Vi tgt n mængd tl hvo og tionl tl. Fo diss tl din mn komositionn og å ølgnd måd:

10 Elmntæ Gutoi 8 3. Mn dn nls vi lld h lvt dt så indlsnd t vis t mængdn: L { Q Q Udgø t tllgm. Dt skull også væ klt hvilkt kn umiddlt viics t mængdn: Q } Q 0 } isomo idntisk md d tionl tls lgm. Dt klt t nul-lmntt i L 00 og ét lmntt i L 0. Som ksml vil vi vis t dt invs lmnt til Til slut vil vi udgn lmntt: Hvis vi tgn 0 md smolt og idntiic 0 md dt tionl tl å gund dn nævnt isomoi gæld dt ånt t: 0 L og. Hmd dt ktisk lkkds t udvid d tionl tls lgm til t lgm hvo ligningn: h n od. = 3. D komlks tls lgm Et hlt d smm tningslini kn mn vis t mn kn udvid d ll tls lgm til t lgm til t tllgm hvo ligningn: = - h n od. Dtt tllgm klds som kndt d komlks tl og d to ødd i ligningn tgns i og i hvo d så gæld t i = -. Fo t komlkst tl skiv mn = i i stdt o = F t lgisk snsunkt d ingn stuktul oskl å d to udvidls.

11 Elmntæ Gutoi 9 Hvis vi ukmt gn md d komlks tl som md ll tl idt vi husk t i = - å vi: 3.5 i i i i i i 3.6 i i i At dtt viklig komosition som udgø t kommuttivt og ssocitivt lgm ltivt lt t vis. Dn distiutiv lov viss ligsom ovno. At 0 og d nutl lmnt vd ddition og multiliktion indlsnd ud 3.5 og 3.6 Fo t vis t thvt lmnt osklligt nul h t invst lmnt viss lttst vd t indø dt komlkst konjugd til t komlkst tl = i. 3.7 i Dt ølg så: 3.7 i i 3.8 Klds o modulus ll dn numisk vædi t komlkst tl. Fo t komlkst tl + i skl vi ltså stmm t komlkst tl +i sålds t: i i Multilic vi dnn ligning md dt komlkst konjugd til + i å vi: 3.9 i i i i D tdition o t mn ldig skiv t komlkst tl i nævnn n øk så hvis vi skl udgn hvo = i og = i komlks tl gng mn lot md dt i i komlkst konjugd til i tæll og nævn: D komlks tl liv m udøligt hndlt i htt: Komlks tl som inds å min hjmmsid und mtmtik.