Eksamen Analyse 1, Juni 2015, Besvarelse 1. Opgave 1. ( ln x) q x p dx =

Transkript

1 Eksmen Anlyse, Juni 25, Besvrelse Ld p >, q, og r. Opgve () Vis t integrlet ( ln x)r x p dx konvergerer. [Vink: Smmenlign med x s for pssende vlgt s.] ( ln x)q x p dx. [Vink: Anvend (b) Bevis formlen ( ln x)q x p dx = q p+ delvis integrtion, TL s. 43, med u(x) = ( ln x) q og v (x) = x p.] (c) Vis ved induktion t for lle n =,, 2,... er ( ln x) n x p dx = n!. () (p + ) n+ Besvrelse: () Integrlet er ubestemt, idet integrnden ikke er defineret for x =. Vi vælger p > s > og smmenligner med xs dx som konvergerer ifølge TL Idet p > s gælder ( ln x) r x p /x s = ( ln x) r x p s for x + (TL 6.3.6), og grænsesmmenligningskriteriet giver derfor konvergens f integrlet. (b) Ved delvis integrtion fås for q og > ] ( ln x) q x p dx = [( ln x) q xp+ p + Idet p > vil ( ln ) q p+ p+ = ( ln ) q p+ p + + q p + q( ln x) q x p+ x p + dx ( ln x) q x p dx for, og så fås formlen. (c) Ld P n betegne udsgnet, t () gælder for et givet tl n. Det vises ved induktion t P n er snd for lle n. For n = ses ved elementær stmfunktionsbestemmelse t udsgnet xp dx = er sndt. p+ Vi ntger n og t P n er sndt, det vil sige, ( ln x) n x p dx = (n )! (p + ) n. (P n ) Vi skl vise t d gælder P n. Ifølge formlen fr (b) med q = n gælder ( ln x) n x p dx = n p + Heri indsættes P n og vi får (). Dermed er P n bevist ved induktion for lle n. ( ln x) n x p dx

2 Ld q >. Opgve 2 () Vis t rækken er konvergent. (qn + ) n+ (b) Ld h(x) = x q ln x hvis < x hvis x = Vis, t den følgende række er uniformt konvergent for x [, ]: n! (h(x))n. (c) Vis under nvendelse f potensrækken for eksponentilfunktionen smt ovenstående formel (), t der gælder: e h(x) dx = (qn + ) n+. Besvrelse: () Rækken er konvergent ifølge smmenligningskriteriet, idet (qn+) n+ (qn + ) n+ (q + ) n og er konvergent (TL 2..). (q+) n (b) Funktionen h er kontinuert idet x q ln x for x +. Den hr derfor en mksimumsværdi M over det begrænsede og fsluttede intervl [, ]. Rækken n! (h(x))n hr så mjorntrækken M n, som n! er konvergent (TL 2.8.2). Ifølge Weierstrss (TL 2.5.) er funktionsrækken derfor uniformt konvergent for x [, ]. (c) Vi nvender TL.4. (eller Sætning B fr Uge 2) på fsnitsfølgen for funktionsrækken fr (b), hvis sumfunktion netop er e h(x) ifølge TL D der er uniform konvergens fås e h(x) dx = ifølge () med p = qn. n! h(x) n dx = (qn + ) n+ 2

3 Vis t der gælder Opgve 3 x 2 = π ( ) n cos(nx) for lle x [ π, π]. Er rækken uniformt konvergent? Til beviset kn mn benytte (uden bevis) t funktionen x 2 cos(x) hr stmfunktionen 3( 2x cos(x) + ( 2 x 2 2) sin(x) ) for lle konstnter. n 2 Besvrelse: D funktionen f(x) = x 2 er stykvis differentibel og kontinuert, og opfylder f( π) = f(π), er den sumfunktion for sin Fourierrække ifølge JPS 3.5, og d f er lige er Fourierrækken en ren cosinusrække 2 + n cos(nx). Rækken er uniformt konvergent ifølge JPS 4.3 fordi f er stykvis C og kontinuert. Koefficienterne er givet ved for n og = π π n = x 2 cos(nx) dx π π = [ ( n 3 2nx cos(nx) + (n 2 x 2 2) sin(nx) )] π π = π n 3 4nπ( ) n = 4n 2 ( ) n x= π [ 3 x3] π x= π = 2 3 π2 for n =, som der står i opgven. 3

4 Opgve 4 () Ld k N og ld (c,..., c k ) være et sæt f positive tl c j enhver vektor z = (z,..., z k ) C k defineres >. For z = c z + + c k z k. Vis t er en norm på C k, og bestem c > og C > således t c z z C z for lle z E, hvor z betegner mksimumsnormen f z. Ld E = B(N, C) være vektorrummet f begrænsede funktioner f : N C, og ld c n være en konvergent række f positive tl c n >. For f E defineres f = c n f(n). (2) (b) Vis t er en norm på E, og t der findes en konstnt C > således t f C f u for lle f E, hvor f u betegner den uniforme norm f f. (c) Vis t der ikke findes nogen konstnt c > således t for lle f E. c f u f Ld ( n ) n N være en følge f komplekse tl n C. For hvert k N defineres en funktion g k E ved n hvis n k g k (n) = ellers. (d) Vis t (g k ) k N er en Cuchy følge i E med hensyn til hvis og kun hvis rækken c n n er bsolut konvergent. 4

5 Besvrelse: () Det er klrt t z for lle z C k og t λz = λ z for lle λ C. Hvis z = er c n z n = for lle n og så må z n = d c n >. For lle z, z E gælder z + z = = c n z n + z n c n z n + c n ( z n + z n ) c n z n = z + z. Altså er C k med et normeret vektorrum. Ld c = min k c n og C = k c n. For z C k vælges m fr,..., k} så z m = z. Så fås (b) For lle n gælder c z c m z m z = c n z n C z. c n f(n) c n f u Det følger derfor f smmenligningskriteriet TL t f < for lle f E og f = c n f(n) c n f u = C f u med C = c n. Det er klrt t f for lle f og t λf = λ f for lle λ C. Hvis f = er c n f(n) = for lle n og så må f(n) = d c n >. For lle f, g E og lle N N gælder c n f(n) + g(n) = c n ( f(n) + g(n) ) c n f(n) + c n g(n) f + g. hvorf det følger t f + g f + g. Altså er E med et normeret vektorrum. Uligheden f C f u blev vist ovenfor. 5

6 (c) Antg c f u f for lle f E, hvor c >. For hvert k N defineres e k E ved hvis n = k e k (n) = ellers. Det er klrt t e k E og e k u = for lle k. Endvidere er e k = c k. Med f = e k i ovenstående ulighed fås nu c c k for lle k. Idet divergenstesten TL 2..4 medfører t c k for k, fås c =, en modstrid. (d) Ld k l. Der gælder Altså er g l (n) g k (n) = g l g k = n hvis k < n l ellers. l n=k+ c n n. Ld s j = j c n n være fsnitsfølgen for c n n. D er s l s k = l n=k+ c n n. Altså er (g j ) j N en Cuchy følge med hensyn til hvis og kun hvis (s j ) j N er en Cuchy følge i R, og d R er fuldstændigt er det ækvivlent med t c n n er bsolut konvergent, dvs c n n konvergerer. 6