ANALYSE 1, 2014, Uge 3

Transkript

1 ANALYSE 1, 2014, Uge 3 Forelæsninger Tirsdg. Vi generliserer tlrækker til funktionsrækker ved t udskifte tllene med funktioner (TL Afsnit 12.5). Det svrer til forrige uges skridt fr tlfølger til funktionsfølger. Et centrlt resultt er Weierstrss mjorntkriterium (Sætning ). Afsnittet om funktionsrækker suppleres med en uddybning, som findes på denne ugeseddel. Desuden påbegyndes teorien for potensrækker, som er funktionsrækker hvor funktionerne er potensfunktioner (TL Afsnit 12.6). Potensrækker optræder for eksempel i form f Tylorrækker som er en fortsættelse f teorien for Tylor polynomier. Dgens hovedresultter vedrører konvergensforholdene for potensrækker. Vi indfører konvergensrdius og konvergensintervl som de centrle begreber, og vi formulerer hovedsætningen (TL ) om potensrækkens konvergens. Også til dette fsnit er der en kort uddybning til sidst på denne ugeseddel. Afleveringsfrist for Prøve 1 er Tirsdg den 6/5 kl 10:15. Torsdg. Hovedsætningen om potensrækker (TL ) bevises. Potensrækketeorien fortsættes derefter dels med omtle f de generelle regneregler, herunder ledvis integrtion og differentition (TL Afsnit 12.7), og dels med en diskussion f nogle f de vigtigste Tylorrækker smt deres konvergensforhold (TL Afsnit 12.8). De sidstnævnte resultter bygger på Tylors formel med restled, TL Sætning Dette fslutter brugen f TL til forelæsningerne. Fredg. Der fholdes en ekstr-forelæsning om fredgen, til ersttning for den tbte forelæsning fr sidste uge. I denne forelæsning introduceres en nden type rækker, de såkldte Fourier rækker, hvortil læsemterilet findes i Noter til Anlyse 1: Fourierrækker og Metriske rum. Denne dg gennemgås det indledende Afsnit 2.1.

2 I teorien for Fourierrækker hr komplekse tl en fremtrædende rolle, nvnlig i form f den komplekse eksponentilfunktion og de tilhørende Eulers formler cos θ = eiθ + e iθ 2 e iθ = cos θ + i sin θ, sin θ = eiθ e iθ. 2i Dette vil blive repeteret, hvorefter vi indfører trigonometriske polynomier og trigonometriske rækker. Tirsdg TL TL b) og e) Regneøvelser TL c), d) og f), TL b) og c) Torsdg TL e), TL , TL TL ), c), TL ), d), TL , TL De følgende opgver omhndler den teori der gennemgås ved forelæsningen smme dg. De er derfor bedst egnede til eftermiddgsøvelserne. TL ) (find også konvergensintervllet for de fundne rækker) TL TL c), d) TL c), g). Husk t begrunde, hvorfor den fundne række er Tylorrækken for den givne funktion.

3 Uddybninger Om funktionsrækker D de grundlæggende begreber vedrørende funktionsrækker og konvergens f sådnne kun er omtlt gnske kort i lærebogen (fsnit TL 12.5), gives her en uddybning. Givet en følge (f n ) n N f funktioner defineret på et intervl I, betegnes den tilsvrende funktionsrække med f n. Funktionen f n kldes rækkens n te led, og funktionen s k defineret ved s k (x) = f n (x), x I. kldes rækkens k te fsnit (i TL benyttes betegnelsen delsum). Funktionsfølgen (s k ) k N kldes fsnitsfølgen. At rækken konvergerer punktvis, hhv. uniformt, mod en funktion s på I, betyder per definition, t fsnitsfølgen konvergerer punktvis, hhv. uniformt, mod s på I. Formuleret eksplicit betyder dette følgende: Rækken f n konvergerer punktvis mod s hvis der for ethvert x I og ethvert ɛ > 0 findes K > 0, således t f n (x) s(x) < ɛ for lle k > K. Den konvergerer uniformt mod s hvis der for ethvert ɛ > 0 findes K > 0, så t f n (x) s(x) < ɛ for lle x I og lle k > K, ltså hvis vi kn bruge det smme K for lle x. Det er klrt t uniform konvergens mod s medfører punktvis konvergens mod s. I begge tilfælde betegnes grænsefunktionen s også med f n, og den kldes summen f rækken eller blot sumfunktionen.

4 Addition, subtrktion og multipliktion med tl f funktionsrækker defineres punktvis (ligesom for funktioner): f n ± c g n = f n = (f n ± g n ) (cf n ). hvor det er ntget, t lle funktioner er defineret på det smme intervl I. Der gælder, t hvis rækkerne på venstresiderne er punktvis, hhv. uniformt, konvergente på I, d er rækkerne på højresiden også punktvis, hhv. uniformt, konvergente på I, og de to identiteter gælder d også for sumfunktionerne. For punktvis konvergens følger dette umiddelbrt f de tilsvrende resultter for tlrækker (Sætning TL ). For uniform konvergens og ddition følger det f opgve TL , og for subtrktion og sklrmultipliktion ses det tilsvrende. Uniform konvergens f en funktionsfølge fgøres næsten ltid med Weierstrss kriteriet (TL Sætning ). Grunden til t uniform konvergens er vigtig er først og fremmest de følgende tre resultter. Sætning A. Ld f n være en uniformt konvergent funktionsrække på intervllet I og ntg, t hvert led f n er en kontinuert funktion på I. D er sumfunktionen kontinuert på I. Bevis. Dette følger umiddelbrt f TL Sætning , d s k = f f k er kontinuert på I for hvert k, hvis lle f n er kontinuerte. Sætning B. Ld f n være en uniformt konvergent funktionsrække på intervllet [, b] og ntg, t hvert led f n er en kontinuert funktion på [, b]. D er tlrækken ( ) b f n(x)dx konvergent med summen ( b ) ( b ) f n (x) dx = f n (x) dx. Bevis. Ifølge regnereglerne for integrler (TL Sætning 8.5.5) gælder ( b ) ( b ) f n (x) dx = f n (x) dx.

5 Ved t bruge TL Sætning på funktionsfølgen (s k ) fås t højresiden f den ovenstående identitet konvergerer mod b ( f n(x)) dx. Det gør venstresiden så også, og det viser påstnden. Sætning C. Ld f n være en funktionsrække og ntg, t hvert led f n er en kontinuert differentibel funktion på et åbent og begrænset intervl I smt, t den ledvis differentierede række f n er uniformt konvergent på I. Hvis der findes et c I, således t tlrækken f n(c) er konvergent, d er rækken f n uniformt konvergent på I med kontinuert differentibel sumfunktion, og der gælder ( ) d f n (x) = f dx n(x), x I. Bevis. Ifølge regnereglerne for differentition (TL Sætning 6.1.4) gælder s k(x) = f n(x). Ved t bruge TL Sætning på fsnitsfølgen (s k ) fås t den konvergerer uniformt mod en kontinuert differentibel funktion s på I, hvis differentilkvotient s netop er grænsefunktionen for følgen (s k ). I krft f identiteten ovenfor gælder derfor s = f n. Sætning B og C tillder os t ombytte rækkefølgen f summtion og integrtion/differentition, også selvom det er en uendelig sum (men selvfølgelig kun hvis de i sætningerne nævnte betingelser er opfyldt).

6 Om potensrækker Det følgende kn tilføjes i Sætning : Sætning D. Antg n=0 n(x ) n hr konvergensrdius r > 0. D konvergerer rækken uniformt på ethvert intervl [ c, + c] hvor 0 < c < r. Det følger nemlig f Lemm (og den efterfølgende bemærkning) hvis mn vælger b sådn t c < b < r, og det fremgår i øvrigt også f beviset for Sætning Konvergensrdius kn ofte bestemmes med kvotientkriteriet. Det kn være nyttigt en gng for lle t undersøge hvd det giver: Sætning E. Ld n=0 nx n være en potensrække, og ntg t grænseværdien ρ = lim n+1 n n eksisterer i [0, ]. D er ρ 1 [0, ] konvergensrdius for potensrækken. Her skl 0 1 fortolkes som og 1 fortolkes som 0. Bevis. Ld x 0. Af ntgelsen følger t kvotienten n+1 x n+1 n x n = n+1 x går mod ρ x for n. Det følger derfor f Kvotientkriteriet (TL ) t potensrækken er bsolut konvergent når ρ x < 1 og divergent når ρ x > 1, ltså henholdsvis når x < ρ 1 og x > ρ 1. Det følger nu f Sætning t konvergensrdius er lig ρ 1. Mn kn formulere et tilsvrende resultt med rodkriteriet. Prøv selv! n