ANALYSE 1, 2015, Uge 2

Transkript

1 ANALYSE 1, 2015, Uge 2 Forelæsninger Denne uges tem er uendelige rækker. Tirsdg: Tlrækker. En uendelig tlrække består ligesom en uendelig tlfølge f uendelig mnge tl. Forskellen mellem de to begreber består udelukkende i deres fortolkning. Tlfølgen fortolker vi blot som opremsningen f dens led, men når vi tler om en række tænker vi os t leddene lægges smmen. Groft sgt drejer det sig ltså om en uendelig sum. Det vigtigste er t klrlægge hvorvidt det giver mening t rækkens sum hr en tlværdi. Det kldes konvergens f rækken (TL 12.1). For rækker med udelukkende positive led findes (TL 12.2) nogle nyttige kriterier (også kldet tests) for konvergens: integrlkriteriet, smmenligningskriteriet, kvotientkriteriet og rodkriteriet. Det næste emne (TL 12.3) er konvergens f lternerende rækker, hvor leddene er skiftevis positive og negtive. Til slut (TL 12.4) behndles generelle tlrækker, hvor der ingen fortegnskrv er til de enkelte led, som endd også kn være komplekse tl. Her indføres bsolut konvergens som det vigtigste begreb. Bemærk t fsnit mrkeret med * i Lindstrøms Klkulus som regel kun er kursorisk pensum: Der vil ikke direkte blive stillet opgver i disse fsnit til eksmen, men kendskb til resultterne i fsnittene kn f og til være en hjælp. Det gælder feks fsnittet Ombytte v led i TL Torsdg: Vi generliserer tlrækker til funktionsrækker ved t udskifte tllene med funktioner (TL Afsnit 12.5). Det svrer til forrige uges skridt fr tlfølger til funktionsfølger. Et centrlt resultt er Weierstrss mjorntkriterium (Sætning ). Afsnittet om funktionsrækker suppleres med en uddybning, som findes på denne ugeseddel. 1

2 Desuden påbegyndes teorien for potensrækker, som er funktionsrækker hvor funktionerne er potensfunktioner (TL Afsnit 12.6). Potensrækker optræder for eksempel i form f Tylorrækker som er en fortsættelse f teorien for Tylor polynomier. Dgens hovedresultter vedrører konvergensforholdene for potensrækker. Vi indfører konvergensrdius og konvergensintervl som de centrle begreber, og vi formulerer hovedsætningen (TL ) om potensrækkens konvergens. Også til dette fsnit er der en kort uddybning til sidst på denne ugeseddel. Første obligtoriske fleveringsopgve med frist den 5/5 vil være tilgængelig fr tirsdg. Regneøvelser Læg mærke til t listen f opgver er opdelt efter bogens fsnit. Hvis mn ikke kn nå lle opgver er det bedre t prioritere enkelte opgver fr lle fsnit fremfor lle opgver fr enkelte fsnit. Det smme princip gælder som regel opdelingen i underopgver med bogstvbetegnelser. Tirsdg TL , TL , TL I disse opgver er det underforstået, t definitionsmængden er R. TL ), b), c), TL (I spørgsmål kn du ignorere bemærkningen om prtilbrøksopspltning og blot verificere påstnden direkte.) Torsdg Progrmmet for torsdg består f følgende opgver. Bemærk t de sidste opgver omhndler stof der gennemgås ved forelæsningen torsdg, og de egner sig derfor bedst til eftermiddgen. TL ), c), TL b) TL (Ps på med integrlkriteriet for negtive værdier f p, eller brug et ndet kriterium for disse.) TL e) og g), TL b) TL ) og c). Afgør også om disse rækker konvergerer bsolut. TL (mere udfordrende) TL b) og e) TL c), d) og f), TL b) og c) 2

3 Uddybninger Om funktionsrækker D de grundlæggende begreber vedrørende funktionsrækker og konvergens f sådnne kun er omtlt gnske kort i lærebogen (fsnit TL 12.5), gives her en uddybning. Givet en følge (f n ) n N f funktioner defineret på et intervl I, betegnes den tilsvrende funktionsrække med f n. Funktionen f n kldes rækkens n te led, og funktionen s k defineret ved s k (x) = f n (x), x I. kldes rækkens k te fsnit (i TL benyttes betegnelsen delsum). Funktionsfølgen (s k ) k N kldes fsnitsfølgen. At rækken konvergerer punktvis, hhv. uniformt, mod en funktion s på I, betyder per definition, t fsnitsfølgen konvergerer punktvis, hhv. uniformt, mod s på I. Formuleret eksplicit betyder dette følgende: Rækken f n konvergerer punktvis mod s hvis der for ethvert x I og ethvert ɛ > 0 findes K > 0, således t f n (x) s(x) < ɛ for lle k > K. Den konvergerer uniformt mod s hvis der for ethvert ɛ > 0 findes K > 0, så t f n (x) s(x) < ɛ for lle x I og lle k > K, ltså hvis vi kn bruge det smme K for lle x. Det er klrt t uniform konvergens mod s medfører punktvis konvergens mod s. I begge tilfælde betegnes grænsefunktionen s også med f n, og den kldes summen f rækken eller blot sumfunktionen. 3

4 Addition, subtrktion og multipliktion med tl f funktionsrækker defineres punktvis (ligesom for funktioner): f n ± c g n = f n = (f n ± g n ) (cf n ). hvor det er ntget, t lle funktioner er defineret på det smme intervl I. Der gælder, t hvis rækkerne på venstresiderne er punktvis, hhv. uniformt, konvergente på I, d er rækkerne på højresiden også punktvis, hhv. uniformt, konvergente på I, og de to identiteter gælder d også for sumfunktionerne. For punktvis konvergens følger dette umiddelbrt f de tilsvrende resultter for tlrækker (Sætning TL ). For uniform konvergens og ddition følger det f opgve TL , og for subtrktion og sklrmultipliktion ses det tilsvrende. Uniform konvergens f en funktionsfølge fgøres næsten ltid med Weierstrss kriteriet (TL Sætning ). Grunden til t uniform konvergens er vigtig er først og fremmest de følgende tre resultter. Sætning A. Ld f n være en uniformt konvergent funktionsrække på intervllet I og ntg, t hvert led f n er en kontinuert funktion på I. D er sumfunktionen kontinuert på I. Bevis. Dette følger umiddelbrt f TL Sætning , d s k = f f k er kontinuert på I for hvert k, hvis lle f n er kontinuerte. Sætning B. Ld f n være en uniformt konvergent funktionsrække på intervllet [, b] og ntg, t hvert led f n er en kontinuert funktion på [, b]. D er tlrækken ( ) b f n(x)dx konvergent med summen ( b ) ( b ) f n (x) dx = f n (x) dx. Bevis. Ifølge regnereglerne for integrler (TL Sætning 8.5.5) gælder ( b ) ( b ) f n (x) dx = f n (x) dx. 4

5 Ved t bruge TL Sætning på funktionsfølgen (s k ) fås t højresiden f den ovenstående identitet konvergerer mod b ( f n(x)) dx. Det gør venstresiden så også, og det viser påstnden. Sætning C. Ld f n være en funktionsrække og ntg, t hvert led f n er en kontinuert differentibel funktion på et åbent og begrænset intervl I smt, t den ledvis differentierede række f n er uniformt konvergent på I. Hvis der findes et c I, således t tlrækken f n(c) er konvergent, d er rækken f n uniformt konvergent på I med kontinuert differentibel sumfunktion, og der gælder d dx ( ) f n (x) = f n(x), x I. Bevis. Ifølge regnereglerne for differentition (TL Sætning 6.1.4) gælder s k(x) = f n(x). Ved t bruge TL Sætning på fsnitsfølgen (s k ) fås t den konvergerer uniformt mod en kontinuert differentibel funktion s på I, hvis differentilkvotient s netop er grænsefunktionen for følgen (s k ). I krft f identiteten ovenfor gælder derfor s = f n. Sætning B og C tillder os t ombytte rækkefølgen f summtion og integrtion/differentition, også selvom det er en uendelig sum (men selvfølgelig kun hvis de i sætningerne nævnte betingelser er opfyldt). Om potensrækker Det følgende kn tilføjes i Sætning : Sætning D. Antg n=0 n(x ) n hr konvergensrdius r > 0. D konvergerer rækken uniformt på ethvert intervl [ c, + c] hvor 0 < c < r. Det følger nemlig f Lemm (og den efterfølgende bemærkning) hvis mn vælger b sådn t c < b < r, og det fremgår i øvrigt også f beviset for Sætning Konvergensrdius kn ofte bestemmes med kvotientkriteriet. Det kn være nyttigt en gng for lle t undersøge hvd det giver: 5

6 Sætning E. Ld n=0 nx n være en potensrække, og ntg t grænseværdien ρ = lim n+1 n n eksisterer i [0, ]. D er ρ 1 [0, ] konvergensrdius for potensrækken. Her skl 0 1 fortolkes som og 1 fortolkes som 0. Bevis. Ld x 0. Af ntgelsen følger t kvotienten n+1 x n+1 n x n = n+1 x går mod ρ x for n. Det følger derfor f Kvotientkriteriet (TL ) t potensrækken er bsolut konvergent når ρ x < 1 og divergent når ρ x > 1, ltså henholdsvis når x < ρ 1 og x > ρ 1. Det følger nu f Sætning t konvergensrdius er lig ρ 1. Mn kn formulere et tilsvrende resultt med rodkriteriet. Prøv selv! n 6