Kort om. Potenssammenhænge Karsten Juul

Transkript

1 Kot om Potenssmmenhænge 011 Ksten Juul

2 Dette hæfte indeholde pensum i potenssmmenhænge, heunde popotionle og omvendt popotionle vible, fo gymnsiet og hf. Indhold 1. Ligning og gf fo potenssmmenhænge Dobbeltlogitmis oodintsystem Potensligning Sådn vose potenssmmenhænge Udegn og b i y b ud f to punte på gfen Potensegession Popotionle vible Omvendt popotionle vible Nå vible f vieligheden e omvendt popotionle... 8 Kot om potenssmmenhænge 011 Ksten Juul Dette hæfte n downlodes f Hæftet må benyttes i undevisningen hvis læeen med det smme sende en e-mil til j@mt1.d som dels oplyse t dette hæfte benyttes, dels oplyse om hold, læe og sole.

3 1. Ligning og gf fo potenssmmenhænge. Definition En smmenhæng ldes en potenssmmenhæng hvis ligningen e f typen y b hvo b e positiv. Bemæ En potenssmmenhæng e ie det smme som en esponentiel smmenhæng. En esponentiel smmenhæng h en ligning f typen y b hvo e esponent. Esempel Nogle vdtise omåde sl dæes med vdtise le de hve veje 38 enhede. Vi indse: Sætning Hvis omådet e le bedt, e lenes vægt Hvis omådet e 3 le bedt, e lenes vægt Hvis omådet e 8 le bedt, e lenes vægt 38 8 Hvis omådet e le bedt, e lenes vægt 38 Nå y e vægten f lene på et omåde de e le bedt, så e y 38 Dette e en potenssmmenhæng. En potenssmmenhæng y b e ftgende hvis e negtiv vosende hvis e positiv. Gf fo potenssmmenhæng og Gfen fo en potenssmmenhæng ligne nomlt en f gfene nedenfo. y 0,5 1,9 y 0,4 0.8 y Kot om potenssmmenhænge Side Ksten Juul

4 . Dobbeltlogitmis oodintsystem. -sen og y-sen e inddelt på en speciel måde. Mn sige t de e logitmise sle. Hvis sene blev fotst nedd, så ville vi se t lle tllene e positive. De e hveen 0 elle negtive tl. Advsel: Antllet f delestege mellem to hele tl e ie det smme lle stede på sene. Koodintsystemet e dobbeltlogitmis fodi både -sen og y-sen e logitmise. 0,73 Den så linje e gf fo y 68. I et sædvnligt oodintsystem e denne gf en um uve. Gfen fo en potenssmmenhæng e en et linje nå vi tegne den i et dobbeltlogitmis oodintsystem. Fo ingen nde smmenhænge e gfen en et linje i et dobbeltlogitmis oodintsystem. 3. Potensligning En ligning f følgende type (hvo e opløftet til en potens) (3.1) b c h løsningen (3.) c b Vi vil løse ligningen 8, Metode 1: Vi buge eletonis ligningsløse Vi tste ligningen 8, og få den løst mht. fo > 0 og få 1, Løsningen e 1, 6 Metode : Vi buge fomel (3.) 8, Ligningen 8, h løsningen 1, Løsningen e 1, 6 Metode 3: Vi omsive ligningen 8, 8, 8, 1,59503 Løsningen e 1, 6 Kot om potenssmmenhænge Side 011 Ksten Juul

5 4. Sådn vose potenssmmenhænge. Sætning Bevis Om en potenssmmenhæng y b gælde fo et positivt tl : Hve gng blive gnget med, så blive y gnget med. Vi stte med en tilfældig -vædi: 1 Vi gnge 1 med og få en en ny -vædi: 1 y-vædiene som høe til 1 og lde vi y 1 og y Opgve y b d y e y-vædien høende til -vædien fo b ( 1 ) d 1 b 1 ifølge potenseglen b 1 ( b) d vi blot h byttet om på æefølgen fo y 1 y1 b 1 De gælde ltså t vi få y nå vi gnge y 1 med Det v dette vi sulle bevise. b d y 1 e y-vædien høende til 1. Et dy vose sådn t y,7 hvo y e vægten i gm, og e længden i cm. Nå dyet e blevet 40 % længee, hvo mnge pocent tungee e det så blevet? Metode 1 som IKKE buge sætningen ovenfo Vi n f.es. stte med længden 1 : Nå 1 e y,7 1, 7 Længden de e 40 % længee end 1, e 1 1,40 1, 40. Nå 1, 40 e y,7 1,40 4, 656 Vi egne ud hvo mnge pocent vægten 4, 656 e støe end vægten, 7 : 1,956 4,656,7 1,956 0, ,3185%,7 Dyet blive 71 % tungee nå det blive 40 % længee. y b Metode som buge sætningen ovenfo At blive 40 % støe, e det smme som t blive gnget med 1, 40. Nå blive gnget med 1, 40, så blive y gnget med 1,40 1,71319 At y blive gnget med 1, 71319, e det smme som t y blive 71,319% støe. Bemæ t vi IKKE sætte 1,40 ind i ligningen. Vi buge esponenten f ligningen. Dyet blive 71 % tungee nå det blive 40 % længee. Kot om potenssmmenhænge Side Ksten Juul

6 5. Udegn og b i y b ud f to punte på gfen. Opgve: Puntene (, y) (, 1) og (, y) (4, 48) ligge på gfen fo smmenhængen y b. Udegn tllene og b. Metode 1. Vi sætte ind i fomle fo og b Af ( 1, y1) (, 1) og (, y ) (4, 48) få vi y log( y ) log( 1 48 ) 1 log( ) log( 4 ) 1 y1 1 b 3 1 Metode. Vi løse ligningssystem med eletonis ligningsløse Puntene (, y) (, 1) og (, y) (4, 48) ligge på gfen fo y b, så 1 b og 48 b 4 Vi tste dette ligningssystem og få det løst mht. og b. Vi få og b 3 Metode 3. Vi løse ligningssystem uden eletonis ligningsløse Puntene (, y) (, 1) og (, y) (4, 48) ligge på gfen fo y b, så 1 b og 48 b 4 Vi dividee høje ligning med venste: 48 b 4 1 b Vi foote de to bøe og omsive: En f potenseglene sige t b b Vi indsætte denne vædi f i ligningen dvs. 1 b b 3 1 b og få Metode 4. Vi buge potensegession Vi tste puntene (, y) (, 1) og (, y) (4, 48) og få udføt potensegession på dem. Vi få og b 3 Kot om potenssmmenhænge Side Ksten Juul

7 6. Potensegession. Opgve De målte tl i tbellen vise fo et bestemt dy smmenhængen mellem lde og længde. Alde i døgn Længde i mm Smmenhængen n med god tilnæmelse besives med ligningen y b hvo y e længde (målt i mm), og e lde (målt i døgn). Hvd sl og b væe fo t ligningen y b psse bedst med tbellen? Besvelse Denne tbel tste vi. Vi få udføt potensegession på hele tbellen og få y 6,7903 0,8007 Dvs. ligningen y b psse bedst nå 0,80 og b 6, 79 Bemæ Hvis vi ie buge hele tbellen, så due besvelsen ie. 0,8007 Gfen fo y 6,7903 gå ie gennem tbel-puntene, men det e den potensgf de fvige mindst f puntene. Hvodn tste vi på Nspie? I et vindue med Liste og Regne tste vi tbellen som vist til høje. I menuen vælge vi Sttisti/Stt-beegning.../Potensegession... Så femomme et vindue vi udfylde som vist nedest til høje. Nå vi i et mtemtifelt i et notevindue få vi tste f () og tye på Kot om potenssmmenhænge Side Ksten Juul

8 7. Popotionle vible. Definition Om to vible og y sige vi t y e popotionl med hvis y og e det smme tl fo lle vædie f. Opgve De to vible og y e popotionle. Tbellen vise nogle smmenhøende vædie f og y. Hvd e y nå e 10? Hvd e nå y e 15? Besvelse Udegne : D og y e popotionle, e de et tl så (1) y. I tbellen se vi t nå 4 e y 18. Dette indsætte vi i (1): 18 4 Denne ligning løse vi mht. og få 0,75 dvs. () y 0, 75 Udegne y : Fo t finde y nå e 10, sætte vi til 10 i (): y 0,75 10 Hef få vi y 7, 5 så y e 7,5 nå e y I opgven stå ie t vi sl udegne. Vi sl selv vide t vi sl udegne føst, så vi n buge til t udegne de tl de e spugt om. Vi n løse ligningen ved t dividee begge side med 4. Udegne : Fo t finde nå y e 15, sætte vi y til 15 i (): 15 0, 75 Vi løse denne ligning mht. og få 0 så e 0 nå y e 15 Vi n løse ligningen ved t dividee begge side med 0,75. Kot om potenssmmenhænge Side Ksten Juul

9 8. Omvendt popotionle vible. Definition Om to vible og y sige vi t hvis y e omvendt popotionl med y og e det smme tl fo lle vædie f. Opgve De to vible og y e omvendt popotionle. Hvd sl de stå på de tomme pldse i tbellen? 1 36 y 9 6 Besvelse Udegne : D og y e omvendt popotionle, e de et tl så (1) y. I tbellen se vi t nå 1 e y 6. Dette indsætte vi i (1): 6 1 Vi løse denne ligning mht. og få 7 De gælde ltså: () Udegne y : y 7 Fo t finde y nå e 36, sætte vi til 36 i (): 7 y 36 Hef få vi y så y e nå e 36 I opgven stå ie t vi sl udegne. Vi sl selv vide t vi sl udegne føst, så vi n buge til t udegne de tl de e spugt om. Vi n løse ligningen ved t gnge begge side med 1. Udegne : Fo t finde nå y e 9, sætte vi y til 9 i (): 7 9 Vi løse denne ligning mht. og få 8 så e 8 nå y e 9 Vi n løse ligningen ved føst t gnge begge side med og deefte t dividee begge side med 9. Kot om potenssmmenhænge Side Ksten Juul

10 9. Nå vible f vieligheden e omvendt popotionle. Opgve På en sæm e et etngel som vi n ænde ved t tæe med musen. Højde og bedde e omvendt popotionle. Højden e,5 nå bedden e 8 Hvd e højden nå bedden e 3,? Besvelse Vi lde højden fo h og bedden fo b. Udegne : D h e omvendt popotionl med b, findes et tl så h b D h, 5 nå b 8 må,5 8 Vi gnge begge side med 8 og få 0, dvs. (1) Udegne h : h 0 b Vi sætte b 3, i (1): h 0 3, Hef få vi h 6, 5 så højden e 6, 5 nå bedden e 3, Kot om potenssmmenhænge Side Ksten Juul