Projekt 5.7 Hovedsætninger om differentiable funktioner et opgaveforløb

Transkript

1 Hvd er mtemtik?, e-og Projekter: Kpitel 5 Projekt 57 Hovedsætninger om differentile funktioner Projekt 57 Hovedsætninger om differentile funktioner et opgveforlø Projektet er en udvidelse f fsnittet i grundogen, idet der er lgt en række opgver ind Vælger mn på et hold t rejde med dette som supplerende stof, kn opgverne styrke forståelsen Middelværdisætningen er et stærkt redsk i teoretisk mtemtik, hvorimod den mere sjældent finder nvendelse til løsning f prktiske eregningsopgver Det skyldes, t sætningen hr en nden krkter end vi er vnt til: Det er en såkldt eksistenssætning, der udtler sig om, t der findes et tl, hvorom noget estemt gælder; men sætningen siger ikke hvilket tl, eller noget som helst om, hvordn vi finder dette tl Rolles sætning, som vi først viser, er et speiltilfælde f Middelværdisætningen; men vi viser den først, fordi den kn nvendes til t give et grfisk set letforståeligt evis for middelværdisætningen ROLLES SÆTNING Hvis f er differentiel i intervllet, og f ( ) f ( ) 0, så findes et, hvor Den grfiske sitution kn være følgende: ; f' 0 eller Bemærkning Sætningen optræder første gng i en og, som den frnske mtemtiker Mihel Rolle udgv i 69 Rolle eviste ikke sætningen, men formulerer den som et hjælpemiddel til t løse visse ligninger Hn er ikke kendt for meget ndet i mtemtikhistorien Bevis Vi skelner mellem to tilfælde: f er konstnt lig med 0 Så er f '() 0 for lle, og sætningen er indlysende snd f er ikke konstnt D f speielt er kontinuert, siger hovedsætning om kontinuerte funktioner, t Vm f α;β α og β er henholdsvis minimum og mksimum, og mindst Vm( f ) er et lukket intervl: ét f dem er forskelligt fr 0; feks β 0 Mksimum ntges i et tl ; : f( ) β Tegn situtionen! Sætningen om lokle ekstrem siger d, t f '() 0 Men det vr netop påstnden i Rolles sætning, som hermed er vist Ved hjælp f Rolles sætning vises nu: MIDDELVÆRDISÆTNINGEN Hvis f er differentiel i Den grfiske sitution kn være følgende:, så findes et tl ;, så f' ( ) f ( ) f 08 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-48 Køenhvn K Tlf: Emil: info@lrudk

2 Hvd er mtemtik?, e-og Projekter: Kpitel 5 Projekt 57 Hovedsætninger om differentile funktioner l B A Bemærkning : f ( ) f ( ) er hældningen på linjen l Det er ltså i en vis forstnd den gennemsnitlige stigning, når vi går fr A til B Derf nvnet Middelværdisætningen Bemærkning : Du kn her finde en nimtion, der illustrerer middelværdisætningen for en vilkårlig kurve Bevis Ld l() være den lineære funktion, hvis grf er l Så er l( ) f ( ) og l( ) f ( ), og endvidere l' ( ) Vi dnner nu en ny funktion g: g( ) f ( ) l( ) f ( ) f for lle g() opfylder etingelserne i Rolles sætning: g f l Den er differentiel, og 0, smt g( ) f ( ) l( ) 0 Vi nvender Rolles sætning på g: Der findes et ;, så: g' 0 f ' l' 0 f ' l' f ' f ( ) f Overvej hvorfr vi fik den sidste identitet! Denne sidste identitet vr netop påstnden i Middelværdisætningen, som hermed er vist Bemærk t konstruktionen f g rent grfisk svrer til t vi drejer systemet med f og l ned, så A og B kommer til t ligge på -ksen Her nvendes Rolles sætning der er en vndret tngent og vi drejer så tilge igen, og får en tngenthældning svrende til stigningstllet for l 08 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-48 Køenhvn K Tlf: Emil: info@lrudk

3 Hvd er mtemtik?, e-og Projekter: Kpitel 5 Projekt 57 Hovedsætninger om differentile funktioner ØVELSE (forudsætter, t mn hr gennemgået integrlregning) ) Anvend Middelværdisætningen til t evise Integrlregningens middelværdisætning: Hvis f er kontinuert i, så findes et tl, så: eller skrevet på en nden måde: f ( ) d f ( ) ( ) f f d (Hjælp: Ld F() være en stmfunktion til f() Opskriv middelværdisætningen for F() i intervllet udnyt definitionen på det estemte integrl) ) Lv en tegning, hvor f() > 0 og giv en grfisk egrundelse for Integrlregningens middelværdisætning Vi hr nu pprtet klr til t evise: MONOTONISÆTNINGEN Hvis f er differentiel i et intervl I, så gælder:, og 3 f' 0 f' 0 f' 0 for lle I for lle I for lle I f er voksende i I f er ftgende i I f er konstnt i I Bevis for Vælg og, så Vi skl vise, t f er voksende, dvs vise, t f ( ) f ( ) : f ( ) f ( ) Betrgt nu f på intervllet, og nvend Middelværdisætningen her: ; Der findes et mellem og, så: f' ( ) Omskriv til: f ( ) f ( ) f '( ) ( ) f ( ) f Se nu på fortegnet for højre side: f' 0 ifølge ntgelsen i ( ), idet tllene er vlgt sådn 0 Derfor er hele højre side positiv; men det etyder: f f ( ) ( ) 0, eller med ndre ord: f( ) er større end ( ) Konklusion: f ( ) f ( ), eller: f er voksende f ØVELSE Gennemfør selv eviserne med de ændringer, der skl lves i punkt og 3 08 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-48 Køenhvn K Tlf: Emil: info@lrudk

4 Hvd er mtemtik?, e-og Projekter: Kpitel 5 Projekt 57 Hovedsætninger om differentile funktioner Opgver Du er kørt i il fr en y A til en y B 50 km orte Turen tog i lt timer Argumentér for, t unset hvordn du kørte, så vr frten mindst én gng under turen præis 75 km/t To fly på ruten Køenhvn New York strter smtidig fr hver sin lufthvn Turen for egge fly tog 7 timer Vis, t de på et tidspunkt under flyveturen fløj med nøjgtig smme frt (ortset fr strt- og sluthstigheden på 0 km/t) 3 3 Illustrer middelværdisætningen for f ( ) + + i intervllet ) Vis t påstnden i sætningen er følgende: Der findes et tl i intervllet ;, så f' ( ) 3 ) Bestem det eller de tl, hvor f' ( ) 3, og demonstrer derved, t sætningen er snd i dette tilfælde 4 Illustrer middelværdisætningen for f ) Vis t påstnden i sætningen er følgende: Der findes et tl i intervllet, så f' ( ) i intervllet : ; ) Vis t dette svrer til ligningen: f '( ) + ) Bestem det tl, der opfylder denne ligning, og vis t dette ligger i d) Illustrer resulttet grfisk : ) Vis t såfremt f er differentiel og hr 4 forskellige nulpunkter i forskellige nulpunkter i smme intervl, så hr f' ( ) mindst 3 ) Generliser påstnden i ) til situtionen, hvor f hr n forskellige nulpunkter i ) Vis t såfremt f er to gnge differentiel i, og f hr tre forskellige nulpunkter, d hr f''( ) mindst ét nulpunkt i smme intervl ) Formuler selv, hvd der tilsvrende gælder om den tre gnge fledede f (3), hvis f er tre gnge differentiel i, og f hr 4 nulpunkter i dette intervl ) Anvend ovenstående teknik til t rgumentere for, t et n'tegrdspolynomium højst hr n forskellige rødder ) Vis t såfremt f og g er differentile i, f ( ) g( ), og f '( ) g' ( ) gælder, t f ( ) g( ) for lle ; (Hjælp: Lv et indirekte evis, dvs ntg der findes et 0, hvor f ( ) g( ) Middelværdisætningen) for, så 0 0 ) Vis tilsvrende: Hvis der yderligere gælder: f '( ) g' ( ) for lle ; f ( ) g( ) for lle ;, og udnyt så, så er også 8 (forudsætter kendsk til de trigonometriske funktioner) Anvend resultterne i opgve 7 til t vise følgende uligheder: sin( ) tn( ) π, for 0 08 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-48 Køenhvn K Tlf: Emil: info@lrudk

5 Hvd er mtemtik?, e-og Projekter: Kpitel 5 Projekt 57 Hovedsætninger om differentile funktioner 9 Vis Den generliserede middelværdisætning: Hvis f og g er differentile i intervllet f f f ' g g g' I ;, og g' 0 i I, så findes et tl i I, så: (Hjælp: Argumenter først ved hjælp f middelværdisætningen for, t g( ) g( ) 0 funktionen h( ) f ( ) f ( ) g g g f, og vis h( ) h( ) 0 middelværdisætningen på ( ) h( ) ) Betrgt dernæst Anvend så endelig 0 Vis ved hjælp f resulttet i opgve 9, Den generliserede middelværdisætning, følgende vigtige sætning til vurdering f grænseværdier (sætningen kldes l Hôpitl s regel, opkldt efter en rig frnsk delsmnd, der køte sætningen f en knp så rig, men meget dygtig mtemtiker): Hvis f og g egge hr grænseværdien 0 for, hvis, når, og hvis f' g' L, når, så gælder også, t f g L g, når og g' 0 Sætningen gælder også, hvis vi indskrænker os til t se på grænseværdier fr højre eller venstre (Hjælp: Hvis f og g ikke er kontinuerte i, så lv en kontinuert udvidelse f dem, dvs definér funktioner F() og G(), der er lig med henholdsvis f og g når, og som egge er 0 i Vælg dernæst et, og vis ud fr Den generliserede middelværdisætning, t der findes et mellem og, så: f f ' g g' Foretg nu grænseovergngen og konkludér ud fr ovenstående ligning) Anvend opgve 0 til t finde følgende (, d og e forudsætter kendsk til de trigonometriske funktioner): ) grænseværdien f sin( t) t, for t 0 ) grænseværdien f , for 0 ) grænseværdien f d) grænseværdien f ln ( ), for sin ( t) t π, for t π e) grænseværdien f sin, for 0 ( ) (For e: sæt på fælles røkstreg, og udnyt reglen to gnge) 08 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-48 Køenhvn K Tlf: Emil: info@lrudk

6 Hvd er mtemtik?, e-og Projekter: Kpitel 5 Projekt 57 Hovedsætninger om differentile funktioner 6 Gør rede for, hvor præis det er, vi nvender monotonisætningen, og hvor vi nvender den første hovedsætning om kontinuerte funktioner En opgve indeholder følgende delspørgsmål: Bestem monotoniforhold for f( ) 3 Anvend monotonisætningen til t evise følgende formler: ln ln( ) r ln( ) r ln( ) (Bemærk: Du må ikke nvende regnereglerne for logritmefunktionerne; det er jo dem, vi er i færd med ) t vise Du må derimod nvende, t ln' (Hjælp: Betrgt funktionen g( ) ln ln( ) 4 Anvend monotonisætningen til t vise: (Hjælp: Opdel i to tilfælde: 0 + ) og e 0 + Alterntivt evis: Udnyt resulttet i opgve 7), og t, for ln 0 0, og etrgt funktionen f ( ) e ( ) + 5 ) Anvend monotonisætningen og resulttet i opgve 4 til t vise: e + +, når ) Anvend monotonisætningen og resulttet ovenfor til t vise: 3 0 e + + +, når 3! ) Generliser resulttet ovenfor og vis: e , når 3! 4! 0 6 (Forudsætter t mn hr gennemgået integrlregning) Den entrle sætning om stmfunktioner siger: Hvis f er kontinuert med stmfunktionen F, så kn enhver nden stmfunktion til f skrives på formen: F() + k, hvor k er en konstnt Find eviset for denne sætning, og gør rede for, hvor præis det er, vi nvender monotonisætningen 08 L&R Uddnnelse A/S Vognmgergde DK-48 Køenhvn K Tlf: Emil: info@lrudk