Matematisk formelsamling til A-niveau - i forsøget med netadgang til skriftlig eksamen 1

Transkript

1 Mtemtisk fomelsmling til A-niveu - i fosøget med netdgng til skiftlig eksmen Food Mtemtisk fomelsmling til A-niveu e udejdet fo t give et smlet ovelik ove de fomle og det symolspog, de knytte sig til kenestoffet fo dette niveu i gymnsiet og på hf. Selv om lle hjælpemidle i dg e tilldt ved en del f den skiftlige eksmen, vil en fomelsmling væe pktisk t hve fo elevene, også i det dglige ejde. Fomelsmlingen h deimod ingen juidisk sttus, og kenestoffet til skiftlig eksmen e ikke defineet f den. Fo ovelikkets skyld e medtget fomle fo el og umfng f en ække elementægeometiske figue. Endvidee indeholde fomelsmlingen en liste ove mtemtiske stnddsymole. Hensigten hemed e dels t give elevene et hutigt ovelik, dels t idge til, t undevisee og fofttee f undevisningsmteile kn nvende enstet nottion, symolspog og teminologi. Listen ove mtemtiske stnddsymole gå defo ud ove kenestoffet, men holde sig dog inden fo det mtemtiske unives i gymnsiet og på hf. En ække f fomlene i fomelsmlingen e kun nvendelige unde visse foudsætninge (f.eks. t nævneen i en øk e foskellig f ). Sådnne foudsætninge e f hensyn til oveskueligheden ikke eksplicit nævnt. Figuene e medtget som illusttion til fomlene, og den enkelte figu nskueliggø ofte ét lndt flee mulige tilfælde. Betydningen f de støelse, de indgå i fomlene, e ikke ltid foklet, men vil dog væe det i tilfælde, hvo denne etydning ikke følge umiddelt f skik og ug i den mtemtiske littetu. Fomelsmlingen udgives f Mtemtiklæefoeningen og e udejdet f et udvlg nedst f foeningen: Fomnd fo Mtemtiklæefoeningen Minne Kesselhhn, folgsdiektø Jøgen Dejgd, fgkonsulent Bjøn Gøn, fomnd fo opgvekommissionen fo hf Get Schomcke, fomnd fo opgvekommissionen fo gymnsiet Ellen Stengd Munkholm, medlem f opgvekommissionen fo hf Flemming Møk, medlem f opgvekommissionen fo gymnsiet Sven Toft Jensen. Redktionen e fsluttet ugust 7. Minne Kesselhhn Mtmtiklæefoeningen Bjøn Gøn Fgkonsulent Bemæk: Denne fomelsmling e edigeet til ug i fosøg med netdgng ved skiftlig eksmen i mtemtik og må ikke nvendes i nden smmenhæng. Fomelsmlingen må kun nvendes f hold, de deltge i fosøget.

2 Til føste delpøve delpøven med fomelsmling foventes eleven t kunne: Foståelsesindhold: Opstille enkle fomle, ligninge og diffeentilligninge Redegøe fo konstntenes etydning i det gfiske folø fo føste- og ndengdspolynomie smt eksponentielle funktione Fotolkning f konstnte i vækstmodellene: Lineæ, eksponentiel, foskudt eksponentiel og logistisk Aflæse og fotolke fodolings- og hlveingskonstnt fo eksponentiel vækst Anvende viden om smmenhængen mellem fledet funktion og monotonifohold Fotolke vædien f fledet funktion Aflæse væksthstighed gfisk Anvende viden om smmenhængen mellem stmfunktion, estemt integl og el Fotolke egenske ved løsninge til diffeentilligninge (uden t løse diffeentilligningen) Aflæse og fotolke de sttistiske deskiptoe ud f et givet oksplot, histogmme og sumkuve Fomelindhold: Anvende nuleglen og løse føste og ndengdsligninge Anvende kvdtsætningene og educee udtyk Sætte tl ind i fomle Anvende Pythgos læesætning Foetge eegninge i ensvinklede teknte Isolee ukendte støelse, heunde nvende logitme og potense Bestemme egnefoskifte fo lineæe og eksponentielle funktione Diffeentiee polynomie, e k, ln( ) og, heunde Anvende de egneegle fo diffeentition, som e eskevet i kenestoffet Bestemme en tngentligning Bestemme integle f polynomie,, e k smt funktionen Anvende de egneegle fo integtion, som e eskevet i kenestoffet Redegøe fo om en given funktion e en løsning til en diffeentilligning Anvende eglene fo vektoegning Anvende vektoielle væktøje til t sve på spøgsmål om otogonlitet, pllelitet og el Opstille pmetefemstillinge og ligninge fo linje i plnen Omskive cikelligninge med henlik på t estemme centum og dius

3 Bemæk: Fomle og symole omtlt på sidene 7-3 kn også indgå i egge delpøve. Fo t gøe det oveskueligt h vi mkeet elevnte fomle til ug i føste delpøve med gønt. Indholdsfotegnelse Pocentegning... 4 Popotionlitet... 4 Kvdtsætninge... 4 Potensegneegle... 4 Ensvinklede teknte... 5 Retvinklet teknt... 5 Vilkålig teknt... 5 Vektoe i plnen... 6 Linje i plnen... 8 Cikel... 9 Pel... 9 Vektoe i ummet... 9 Plne i ummet... Linje i ummet... Kugle... Polynomie... 3 Logitmefunktione... 4 Eksponentielt voksende... 5 funktione... 5 Eksponentielt ftgende... 6 funktione... 6 Potensfunktione... 7 Tigonometiske funktione... 8 Diffeentilegning... 9 Afledet funktion... Stmfunktion... Regneegle fo integtion... Ael og umfng... Diffeentil ligninge... 3 Guppeede osevtione... 4 Uguppeede osevtione... 5 Ael og omkeds, umfng og oveflde f geometiske figue... 6 Mtemtiske stnddsymole

4 PROCENTREGNING Begyndelsesvædi B Slutvædi S () S = B ( + ) Vækstte () = S B Pocentvis ænding p (3) p% = % Sttkpitl K Rente p % p. temin Kpitl K efte n temine (4) K = K ( + ) n, hvo p = PROPORTIONALITET og y e popotionle Popotionlitetsfkto k (5) y = k y k = og y e omvendt popotionle (6) y= k y = k KVADRATSÆTNINGER Kvdtet på en sum (7) Kvdtet på en diffeens (8) ( + ) = + + ( ) = + To tls sum gnge smme to tls diffeens POTENSREGNEREGLER (9) () ( + )( ) = s s = + () s = s () ( ) s = s (3) ( ) = (4) = (5) = (6) (7) (8) s = = = s 4

5 ENSVINKLEDE TREKANTER (9) c = = = k c () c = k = k = k c RETVINKLET TREKANT Pythgos sætning () c = + Cosinus () cos A = c Sinus (3) sin A = c Tngens (4) tn A = VILKÅRLIG TREKANT Cosinuseltion (5) (6) Sinuseltion (7) (8) Tekntens el T (9) c = + cosc + c cosc = = = c sin A sin B sin C sin A sin B sin C = = c T = sinc 5

6 VEKTORER I PLANEN Koodintsættet fo vekto (3) = Længden f vekto (3) = + Multipliktion f vekto tllet k med (3) k k = k Summen f to vektoe (33) Diffeensen mellem to vektoe (34) + + = + = (35) AB = y y Sklpoduktet (pikpoduktet) f og (36) = + (37) = cosv, hvo v e vinklen mellem og (38) cosv = 6

7 Otogonle vektoe (39) = Pojektionen f på (4) = Længden f pojektionen (4) = Tvævektoen til (4) = = Deteminnten fo vektopet (, (43) ) det(, ) = = = (44) det(, ) = sinv, hvo v e vinklen f til Pllelle vektoe (45) det(, ) = Aelet f det pllelogm, de udspændes f og (46) A = det(, ) 7

8 LINJER I PLANEN Hældningskoefficienten fo linjen gennem A og B y y (47) = Ligning fo linjen gennem punktet (, ) med hældningskoefficient (48) y = + Ligning fo linjen gennem punktet A(, y ) med hældningskoefficient (49) y = ( ) + y Ligning fo linjen l gennem P med nomlvekto n = (5) ( ) + y ( y) = Pmetefemstilling fo linjen l gennem P med etningsvekto = (5) = + t y y (5) Afstnden f P til linjen l med ligningen + y + c = e dist( Pl, ) = + y + c + 8

9 CIRKEL Ligning fo ciklen med centum C (, y ) og dius PARABEL (53) ( ) + ( y y ) = Ligning fo pel (54) y = + + c d Toppunktet T (55) T =, 4, hvo d = 4c VEKTORER I RUMMET Koodintsættet fo vekto (56) = 3 Længden f vekto (57) =

10 Multipliktion f vekto med tllet k (58) k k = k 3 k 3 Summen f to vektoe (59) + + = Diffeensen mellem to vektoe (6) = Koodintsættet fo vekto AB (6) AB = y y z z Sklpoduktet (pikpoduktet) f og (6) = (63) = cosv, hvo v e vinklen mellem og (64) cosv = Otogonle vektoe (65) =

11 Pojektionen f på (66) = Længden f pojektionen (67) = Vektopoduktet (kydspoduktet) f og (68) Længden f (69) = = sinv, hvo v e vinklen mellem og Aelet A f det pllelogm, de e udspændt f og (7) A =

12 PLANER I RUMMET Ligning fo plnen α gennem punktet P(, y, z ) med nomlvekto n = c (7) ( ) + y ( y) + cz ( z) = Afstnd f punktet P til plnen α med ligningen (7) + y + cz + d = + y+ cz+ d dist( P, α) = + + c LINJER I RUMMET Pmetefemstilling fo linjen l gennem P med etningsvekto (73) y = y + t z z 3 KUGLE (75) Ligning fo kuglen med centum C (, y, z ) og dius ( ) + ( y y ) + ( z z ) =

13 POLYNOMIER Føstegdspolynomium, lineæ funktion f (76) f ( ) = + Hældningskoefficienten (77) = y y Nå en lineæ model f ( ) = + skl estemmes ud f et tlmteile, nvendes lineæ egession på hele tlmteilet. Andengdspolynomium p med nulpunkte (ødde) og (78) p( ) = + + c = ( )( ) Nulpunkte (ødde) i p (79) d + d =, =, hvo d = 4c 3

14 LOGARITMEFUNKTIONER Gfen fo den ntulige logitmefunktion (8) ln fo (8) ln fo (8) y = ln = e y (83) ln e = (84) ln( ) = ln( ) + ln( ) (85) ln = ln( ) ln( ) (86) ln( ) = ln( ) Gfen fo logitmefunktionen med gundtl (87) log fo (88) log fo (89) y = log = y (9) log = (9) log( ) = log( ) + log( ) (9) log = log( ) log( ) (93) log( ) = log( ) 4

15 EKSPONENTIELT VOKSENDE FUNKTIONER Gfen fo en eksponentielt voksende funktion f > vækstten > (94) f( ) = = ( + ) k = e, hvo k = ln (95) f( ) fo (96) f( ) fo Femskivningsfktoen ud f punkte på gfen (, y ) og (, y ) (97) y y = = y y Gfen fo f ( ) = i et enkeltlogitmisk koodintsystem Fodolingskonstnten T (98) T = log ln ln (99) T = log = ln = k Nå en eksponentiel model f ( ) = skl estemmes ud f et tlmteile, nvendes eksponentiel egession på hele tlmteilet. 5

16 EKSPONENTIELT AFTAGENDE FUNKTIONER Gfen fo en eksponentielt ftgende funktion f < < vækstten < () f( ) = = ( + ) k = e, hvo k = ln () f( ) fo () f( ) fo Femskivningsfktoen ud f punkte på gfen (, y ) og (, y ) (3) y y = = y y Gfen fo f ( ) = i et enkeltlogitmisk koodintsystem Hlveingskonstnten T (4) T = (5) T ( ) ( ) ( ) log ln ln ln log( ) ln( ) k k = = = = Nå en eksponentiel model f ( ) = skl estemmes ud f et tlmteile, nvendes eksponentiel egession på hele tlmteilet. 6

17 POTENSFUNKTIONER Potensfunktion (6) f ( ) = Gfe fo f ( ) = Gfen fo f ( ) = i et doeltlogitmisk koodintsystem Bestemmelse f tllet ud f to punkte på gfen (, y ) og (, y ) (7) y y log ln y y = = log ln Nå gnges med tllet +, så gnges f ( ) med tllet + y (8) + = ( + ) y Nå en potensmodel f ( ) = skl estemmes ud f et tlmteile, nvendes potensegession på hele tlmteilet. 7

18 TRIGONOMETRISKE FUNKTIONER Gdtl v omst til dintl (9) v = π din 36 Rdintl omst til gdtl v () v = 36 gde π Definition f cos og sin () (cos ) + (sin ) = () cos( + π)=cos( ) (3) cos( ) = cos( ) (4) cos(π ) = cos( ) Gfen fo cosinus (5) sin( + π)=sin( ) (6) sin( ) = sin( ) (7) sin(π ) = sin( ) Gfen fo sinus 8

19 DIFFERENTIALREGNING Diffeentilkvotienten f ( ) fo funktionen f i tllet (8) f( ) f( ) f ( ) = lim f ( + h) f( ) = lim h h Ligning fo tngenten t til gfen fo f i P(, f ( )) (9) y= f ( )( ) + f( ) = ( ) + y, hvo = f ( ) og y = f( ) () ( k f ( )) = k f ( ) () ( f ( ) + g( )) = f ( ) + g ( ) Regneegle fo diffeentition () ( f ( ) g( )) = f ( ) g ( ) (3) ( f( ) g( )) = f ( ) g( ) + f( ) g ( ) (4) ( f ( g ( ))) = f ( g ( )) g ( ) 9

20 AFLEDET FUNKTION Funktion Logitmefunktion (5) ln Afledet funktion dy y = f( ) y = f ( ) = d Eksponentilfunktione (6) e e = (7) e k k e k (8) Potensfunktione (9) (3) = ln = (3) = = Tigonometiske funktione (3) cos sin (33) sin cos STAMFUNKTION Funktion Stmfunktion f ( ) f ( ) d Eksponentilfunktione (34) e e (35) e k e k k (36) ln Potensfunktione (37) + + (38) = ln (39) = 3 = 3 3 Tigonometiske funktione (4) cos sin (4) sin cos

21 REGNEREGLER FOR INTEGRATION (4) f ( ) d = F ( ) + c, hvo F( ) e en stmfunktion til f ( ) Uestemt integl (43) k f ( ) d= k f ( ) d (44) ( f ( ) + g( )) d= f ( ) d+ g( ) d (45) ( f ( ) g( )) d= f( ) d g( ) d Integtion ved sustitution, hvo t = g( ) (46) f( g( )) g ( ) d= f ( t) dt (47) [ ] f ( ) d= F ( ) = F ( ) F ( ), hvo F( ) e en stmfunktion til f ( ) c (48) f ( ) d= f( ) d+ f( ) d c Bestemt integl (49) k f( ) d= k f( ) d (5) ( f ( ) + g( )) d= f( ) d+ g( ) d (5) ( f ( ) g( )) d= f( ) d g( ) d Integtion ved sustitution (5) [ ] g( ) g( ) f( g( )) g ( ) d= f() t dt = F() t g( ) = F( g( )) F( g( )), hvo F( ) e en stmfunktion til f( ) g( )

22 AREAL OG RUMFANG Aelet A f det mkeede omåde (53) A= f( ) d Aelet A f det mkeede omåde (54) A= ( f( ) g( )) d Rumfnget V f omdejningslegemet (55) V = π ( f( )) d

23 DIFFERENTIAL LIGNINGER Ligning Løsning (56) y = h ( ) y = h ( ) d (57) y = k y y = ce k (58) y = y y= + ce (59) y = y( y) y = + c e (6) y = y( M y) M y = + c e M (6) y + ( ) y = ( ) y= d+ c ( ) ( ) ( ) e A A A ( )e e, hvo A() e stmfunktion til () 3

24 GRUPPEREDE OBSERVATIONER Histogm (6) Aelet f en lok sve til intevllets fekvens Histogm med ens intevllængde (63) Højden f en lok sve til intevllets fekvens Sumkuve (64) Q : nede kvtil, 5%-fktilen m : medin, 5%-fktilen Q : øve kvtil, 75%-fktilen 3 4

25 UGRUPPEREDE OBSERVATIONER Pikdigm (65) Osevtionene fst på en tllinje (66) Min : mindste osevtion (67) M : støste osevtion (68) m : medin (midteste osevtion, nå ntllet f osevtione e ulige, elles tllet midt mellem de to midteste osevtione) (69) Q : nede kvtil (medinen fo den nedeste hlvdel f osevtionene) (7) Q 3 : øve kvtil (medinen fo den øveste hlvdel f osevtionene) (7) Boksplot, kssedigm (oksens højde e uden etydning) Middeltl fo osevtionssættet,,..., n (7) = n... n 5

26 AREAL OG OMKREDS, RUMFANG OG OVERFLADE AF GEOMETRISKE FIGURER Teknt h g A Højde Gundlinje el A = hg Pllelogm h Højde g Gundlinje A el A = hg Tpez h Højde, pllelle side A el A = h+ ( ) Cikel A Rdius el A= π O omkeds O= π Kugle O Rdius oveflde O = 4π V umfng V = 4 3 π 3 Cylinde Kegle h O V h s O V Højde Gundfldedius kum O = π h fl d umfng V = π h Højde Sidelinje Gundfldedius kum O= π s fl d umfng V = 3 π h 6

27 MATEMATISKE STANDARDSYMBOLER Symol Betydning Eksemple, emækninge m.v. {.,.,.,.} mængde på listefom { 5,,3,} {,4,6,... } N, mængden f ntulige tl N = {,,3,... } Z, mængden f hele tl Z = {...,,,,,,... } Q, mængden f tionle tl R, mængden f eelle tl tl, de kn skives q p, p Z q N tilhøe / e element i N G p( ) mængden f de elemente i G, fo N < =,,3 { } { } { } hvilke p() e snd p fkotet, G e undefostået { < 9} = ] 3;3[ { ( )} {(, y) p(, y )} omåde i plnen {( y, ) < < y 5} [ ; ] lukket intevl [ ;3] = { R 3} ] ; ] hlvåent intevl ] ;3] = { R < 3} [ ; [ hlvåent intevl [ ;3 [ = { R < 3} ] ; [ åent intevl ] ;3 [ = { R < < 3} e en ægte delmængde f {,,3} N fællesmængde A B foeningsmængde A B \ mængdediffeens A \ B A komplementæmængde U \ A Ø den tomme mængde disjunkte mængde mængdepodukt A B= Ø [ ;] [ ;] enyttes til t ngive et gfvindue og i etydningen åde og (konjunktion) < y = 5 7

28 Symol Betydning Eksemple, emækninge m.v. elle i etydningen og/elle (disjunktion) medføe, hvis så (impliktion) ensetydende, hvis og kun hvis (iimpliktion) < > 5 = = 4 = 4 = = n i n i= n i... n i= 4 i= i = n! n fkultet, n udåstegn n! =... n= i, fo n i=! = n f ( ) funktionsvædi f ved funktionen f f ( ) kn også stå fo funktionen f Dm( f ) definitionsmængden fo f Vm( f ) vædimængden fo f f ( ) = +, så e f (4) = 3. I visse smmenhænge uges udtyksmåden funktionen y = + elle funktionen + f g smmenst funktion ( f g)( ) = f( g( )) f omvendt (inves) funktion s = f t t = f s () ( ) log, log( ) ln, ln( ) e sin, sin( ) cos, cos( ) tn, tn( ) cot, cot( ) logitmefunktionen med gundtl den ntulige logitmefunktion den ntulige eksponentilfunktion eksponentilfunktionen med gundtl, > potensfunktion numeisk (solut) vædi f sinus cosinus tngens cotngens y = log = y y = ln = e e y etegnes også ep() eksponentilfunktion elle en eksponentiel udvikling kldes undetiden fo en potensfunktion elle en potens-udvikling kldes undetiden fo en 3 = 3, 7 = 7 etegnes også s() sin tn = cos cos cot = sin 8

29 Symol Betydning Eksemple, emækninge m.v. sin ( y) omvendt funktion til sinus sin ( y) = sin = y π sin (,5) =, sin (,5) = 3 6 sin etegnes også Acsin cos ( y) omvendt funktion til cosinus cos ( ) y = cos = y cos (,5), cos (,5) 6 cos π = 3 = etegnes også Accos tn ( y) omvendt funktion til tngens tn ( y) = tn = y π tn () =, tn () = 45 4 tn etegnes også Ac tn lim f ( ) gænsevædien f f ( ) fo gående mod 8 lim + = 3 lim f ( ) f ( ) fo gænsevædien f f ( ) fo gående mod f ( ) gå mod fo gående mod lim = + 3 fo 8 f ( ) fo f ( ) gå mod fo gående mod e fo Δ -tilvækst Δ = Δy, Δ f funktionstilvækst fo y f( ) Δ y=δ f = f( ) f ( ) = Δy Δf, Δ Δ diffeenskvotient fo y = f( ) Δy Δf f( ) f( ) = = Δ Δ f ( ) diffeentilkvotienten fo y = f( ) i f( ) f( ) f ( ) = lim Δf = lim = Δ Δ Δ Δy lim Δ f fledet funktion f y = f( ) d Betegnes f ( ), y, f( ), d d df dy ( f( )),,,( 3 + ) d d d 9

30 Symol Betydning Eksemple, emækninge m.v. ( n) f den n te fledede funktion f y = f( ) f () ( ) skives ofte f ( ), y elle d y d f ( ) d f ( ) d AB AB AB AB en stmfunktion (uestemt integl) til f ( ) det estemte integl f til f f ( ) linjestykket AB længden f linjestykket AB cikeluen AB længden f cikeluen AB, AB vekto, AB længden f vektoen tvævekto etegnelsen kn også nvendes sklpodukt, pikpodukt etegnelsen enyttes også vektopodukt, kydspodukt deteminnten fo vekto- pet (, ) etegnelsen det(, ) også enyttes e pllel med e vinkelet på l m læses også l og m e otogonle A vinkel A A = elle A = ABD vinkel B i teknt ABD (, ) vinklen v mellem og, hvo v 8 3

31 vinklen f til etvinklet teknt midtnomlen n fo linjestykket AB h højden f B på siden elle dens folængelse m medinen f B på siden v B vinkelhlveingslinjen fo vinkel B teknt ABC s omskevne cikel teknt ABC s indskevne cikel 3

32 3