Hvad er matematik? C, i-bog ISBN L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: info@lru.
|
|
- Magdalene Lund
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 1.1 Introduktion: Euklids algoritme er berømt af mange årsager: Det er en af de første effektive algoritmer man kender i matematikhistorien og den er uløseligt forbundet med problemerne omkring de inkommensurable størrelser. Vi vil i første omgang præsentere den i forbindelse med de naturlige tal, hvor den ikke giver anledning til problemer! a) Tænk på to meget store naturlige tal x 1 og x 2. Hvordan vil du finde det største fælles mål, dvs. det største naturlige tal, der går op i dem begge. Det vil fx være nyttigt at kende dette tal, hvis vi ønsker at forkorte en brøk, hvor de to tal du tænker på er tæller og nævner i brøken. Lad os nu se på et fiktivt eksempel, hvor arbejder i et regneark og lader regnearket frembringe de to meget store tal mellem 1 og en milliard ved hjælp af en passende tilfældighedsrutine: Regnearket foreslår altså 370 millioner 913 tusinde og 028 som det første tal og 117 millioner 576 tusinde og 372 som det andet tal. Vi kunne nu sagtens få regnearket til at beregne det største fælles mål, men i stedet vil vi anvende Euklids algoritme, der siger at du skal trække det mindste tal fra det største og det skal du fortsætte med! Euklids algoritme: Givet et par bestående af to tilfældige sammenlignelige størrelser. Træk den mindste størrelse fra den største størrelse. Se bort fra den største og begynd forfra med det nye par. Vi skal altså lave det givne par om til et nyt par bestående af dels det mindste element dels forskellen på det største og det mindste element. Men det kan vi jo klare med nogle cellekommandoer: b) I cellen a3 skriver du = min(a1:a2) (dvs. udregn det mindste af tallene i cellerne a1 og a2) I cellen a4 skriver du =max(a1:a2)-min(a1:a2) (dvs. udregn forskellen mellem det største og det mindste af tallene i cellerne a1 og a2.) Svært nu cellerne a3:a4 så du hele det nye par markeret. Derefter trækker du parret nedad fx til celle 200. Det afgørende er blot at du standser ved et lige nummer, så du får hele det sidste par med. Hvordan ser det ud i dit regneark. I mit regneark fandt jeg fx 1
2 Til sidst giver det mindste tal i algoritmen 0 og derefter gentager den bare sig selv. I dette tilfælde frembringer algoritmen altså parret {0,12}. Det viser sig da at 12 netop er det største fælles mål. Det kan vi sikre os er rigtigt ved at faktorisere de to tal: Vi ser da at begge tallene har faktorerne fælles og ikke andre! Men = 12 og derfor er 12 det største fælles mål. Det er ikke sikkert, du er lige så heldig. Det er faktisk svært at finde to tilfældige store tal, som har et fælles mål større end 1! Hvis du trækker faktoriseringen ned i regnearket kan du se noget andet interessant: 2
3 Alle parrene har 12 som det største fælles mål! Sommetider kan der godt være flere faktorer 2 eller faktorer 3 for det ene tal i parret, men selve parret har hele tiden netop 12 som det største fælles mål. Det ser altså ud som om det største fælles mål nedarves via algoritmen fra par til par! Det er en nøgleegenskab ved Euklids algoritme! Hvordan kan vi forstå denne nøgleegenskab? c) Antag at du har givet to tal a og b og at du ved at et tredje tal c går op i dem begge, dvs. c er et fælles mål. Antag fx at c går 17 gange op i a og 12 gange op i b. Hvad gælder da om differensen a b? Går k op i differencen og i givet fald hvor mange gange? Hvad gælder da om summen a + b? Går c op i summen og i givet fald hvor mange gange? Hver gang vi smider det største af tallene ud i et par bliver det erstattet af differencen. Hvis vi omvendt går baglæns i Euklids algoritme, vil et af tallene blive erstattet med summen de to tal. d) Prøv fx i hånden at gennemføre Euklids algoritme for de to tal a = 60 og b = 75. Kontroller at alle de fundne egenskaber vi har snakket om er gyldige for din udregning. Hvad bliver det største fælles mål. Det kunne du sikkert også have fundet selv hurtigere ved at gætte dig frem, men det afgørende er selvfølgelig at du nu har en systematisk og sikker metode til at finde det største fælles mål. 3
4 e) Prøv nu at forklare med dine egne ord: 1) Hvorfor alle parrene i Euklids algoritme har de samme fælles mål. 2) Hvorfor vi til syvende og sidst må finde et par, der indeholder 0, og hvor det andet tal, derfor nødvendigvis må være det største fælles mål. Bemærkning: Hvis to tal a pog b har 1 som det største fælles mål, dvs. de har ingen fælles primfaktorer, siges de at være indbyrdes primiske. Det er en bemærkelsesværdig kendsgerning at vi har en simpel algoritme for at afgøre om to givne hele tal er indbyrdes primiske, men vi kender ingen algoritme, der på tilsvarende hurtigt og simpelt kan afgøre om et givet helt tal er et primtal. Man kan indvende at Euklids algoritme ikke er så hurtig, men der findes simple kunstgreb, der sætter hastigheden op. Så Euklids algoritme er en rigtig succes-historie Opdagelsen af de inkommensurable størrelser VI har set at ethvert par af naturlige tal a og b har et største fælles mål, dvs. et tal c, der går op i dem begge, dvs. som kan måle dem begge. Vi skifter nu til geometrien og kigger på linjestykker. To linjestykker a og b kan også have et fælles mål c i form af et linjestykke, der går et helt antal gange op i både a og b. VI kan tænke på linjestykket c som en fælles målestok for linjestykkerne a og b: På figuren fx går linjestykket c netop 17 gange op i linjestykket a og 12 gange op i linjestykket b. Hvis vi bruger linjestykket c som måle-enhed får linjestykket a altså længden 17 og linjestykket b får længden 12. Så langt så godt: Vi kan måle længder af linjestykker, hvis vi vælger en måleenhed og ser hvor mange gange den går op. Vælger vi måleenheden behændigt kan vi endda bruge hele tal som måltal. Ifølge overleveringen tilskrives pythagoræerne udsagnet Alt er tal. Det er ikke helt klart, hvad der menes med udsagnet, men en mulig tolkning er at alt kan måles med hele tal og dermed beskrives ved hjælp af hele tal. Det forudsætter at vi kan finde en passende målestok at måle størrelser med. Her er der to muligheder: 4
5 1) Det kan være at der findes en universel målestok, der kan bruges til alle linjestykker. Hvis der fandtes en mindste størrelse, et atom for linjestykker, tænk fx på et lille punkt med en vis størrelse, som alle andre linjestykker kunne opbygges af. Så ville vi kunne bruge denne atomare enhed som målestok. Ideen er fristende, men løber hurtigt ind i det problem at vi kan blive ved med at halvere linjestykker og dermed frembringe vilkårligt små linjestykker i strid med at der skulle findes et mindste linjestykke. Så en sådan universel målestok er ikke en farbar antagelse. 2) Men det kunne også være at der findes målestokke af alle mulige størrelser, så når vi har givet to vilkårlige linjestykker a og b kan vi finde en passende målestok c, der passer for netop disse to linjestykker, men ikke nødvendigvis kan bruges for andre par af linjestykker. Det er den sidste opfattelse, man i almindelighed tilskriver pythagoræerne. De har næppe gjort den sig bevidst, men gået ud fra at sådan er verden indrettet. Hvorom alting er, kan vi finde den fælles målestok ved at anvende Euklids algoritme: Vi kan nemlig trække linjestykker fra hinanden eller lægge to linjestykker sammen (i forlængelse af hinanden). Der er bare en vigtig forskel mellem tal og linjestykker. Når vi arbejder med hele tal er der en mindste enhed, nemlig tallet 1. Det sikrer at Euklids algoritme nødvendigvi s går i stå. Når vi arbejder med linjestykker er der imidlertid ikke nogen nedre grænse for hvor små de kan være. Vi kan derfor ikke være sikre på at Euklids algoritme anvendt på linjestykker også rent faktisk går i stå: I princippet kan den fortsætte i det uendelige og blot frembringe stedse mindre par. I så fald findes der ikke nogen fælles målestok for de to linjestykker: Man siger der er inkommensurable (dvs. uden fælles mål). Som forberedelse til at forstå hvordan pythagoræerne i princippet kan have opdaget sådanne inkommensurable størrelser vil vi bede dig kigge på følgende video ved at klikke her. f) Genskab konstruktionen i detaljer og forklar hvad det er den viser. Hvad er Leo Rogers argument for at siden og diagonalen i et kvadrat er inkommensurable, dvs. ikke kan have en fælles målestok? Her følger en transskription fra slutningen af videoen: 5
6 Again with the pink square its diagonal is the square root of two if you use the side of the pink square as a unit. Now you can see that this process can go on and on and on and I think this is a very nice visual representation for the fact that you cannot coincide the length, no matter how small the units are, between the side of the square and its diagonal; and this is where we get non-rational numbers from. g) Hvad har konstruktionen at gøre med Euklids algoritme? 1.3 Siden og diagonalen i et kvadrat Vi vil nu prøve at forstå et af de klassiske argumenter for hvorfor siden og diagonalen i et kvadrat er inkommensurable. Vi følger da konstruktionen fra videoen i spor detalje, men knytter den eksplicit til Euklids algoritme. Du bedes følge med i dit dynamiske geometriprogram! h) Udgangspunktet er et kvadrat med en side s 0 og en diagonal d 0, hvor diagonalen d 0 oplagt er længere end siden s 0 : Hvordan vil du trække siden s 0 fra diagonalen d 0? 6
7 i) Resten bruger vi nu som siden s 1 i et nyt kvadrat, dvs. s 1 = d 0 s 0 : Den nye diagonal d 1 er da fremkommet ved at vi har trukket stykket QB fra siden s 0. Overvej nu hvor langt linjestykket QB er i forhold til de andre størrelser på figuren. Kig fx grundigt på firkanten CPQB og find ud af hvilke egenskaber denne firkant har. Gør rede for hvordan konstruktionen af den nye diagonal d 1 hænger sammen med Euklids algoritme. 7
8 j) Vi arbejder os nu ned mod hjørnet A idet vi gentager konstruktionen igen og igen: Hvorfor viser denne konstruktion nu, at siden og diagonalen nødvendigvis er inkommensurable (dvs. ikke kan have noget fælles mål)? Hvori består modstriden med antagelsen om et fælles mål? 1.4 Side-diagonal tallene Uden et fælles mål kunne man tro det ikke var muligt at knytte hele tal til siden og diagonalen i et kvadrat, men faktisk opstår der af sig selv en berømt talfølge, de såkaldte side-diagonaltal, i forbindelse med den ovenstående konstruktion. k) For at forstå disse tal åbner vi et regneark og gennemfører nu Euklids algoritme på samme måde som i den geometriske konstruktion. I hvert par sætter vi siden først og dernæst diagonalen: I cellerne a1 og a2 indskriver vi derfor s 0 og d 0 (uden at give dem talværdier!): 8
9 Derefter kan du trække cellerne a3 og a4 ned gennem regnearket og derved udføre Euklids algoritme. Du finder da en lang stribe af kombinationer af den oprindelige side s0 og den oprindelige diagonal d0 der gengiver de nye sider og diagonaler. l) Kontroller fx de følgende formler for s 3 og d 3 ved opmåling i din geometriske konstruktion: s 3 = 5 d 0 7 s 0, d 3 = 10 s 0 7 d 0 Det er koefficienterne til disse størrelser, der kaldes side-diagonaltallene. Nedskriv de første ti koefficienter til siderne og se om du kan gætte systemet i tallene: m) Da siderne (og tilsvarende diagonalerne) bliver stedse mindre vil de hurtigt nærme sig 0. Du kan kontrollere det i dit regneark ved at sætte siden s 0 til 1 og diagonalen d 0 til 2 (både symbolsk og som decimaltal). Hvis vi fx kigger på den tolvte side fås: s 12 = s d 0, s og s 12 = Hvad fortæller det om kvadratroden af 2? Hvilken brøk kan man bruge som approksimation til kvadratroden af 2. Hvor god er brøken? Kig fx på brøkens kvadrat! Side-diagonaltallene blev siden hen til stor inspiration for matematikerne. I bog A vender vi tilbage til dem og prøver at kigge nærmere på deres betydning i talteori. 2. Inkommensurabilitet - et begreb hos middelalderteologerne I et værk om Naturerkendelse og teologi konfronterede Olaf Pedersen, der var professor i fysik og videnskabshistorie, naturvidenskabelig og teologisk tilværelsestydning. Værket giver en historisk oversigt, som rækker fra den græske oldtid til det 19. århundrede, og han påviser heri, hvorledes middelalderens store tænkere i flere henseender foregreb det naturvidenskabelige gennembrud. Ikke mindst matematikken gav et videnskabeligt grundlag for en dybere filosofisk indsigt i naturens og universets sammenhænge. Du kan her finde et uddrag af værket, hvor vi møder en række af middelalderens største tænkere og specielt via Oresme får et indblik i deres forestillinger og måder at ræsonnere på. For Oresme er det naturligt at inddrage overvejelser om inkommensurable størrelser, når man skulle prøve at begribe verden. Hent skriftet. Hvad er de grundlæggende temaer, og hvordan indgår begrebet inkommensurable størrelser i Oresmes argumentation? Betyder begrebet det samme som det gør i dag for os? 9
Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel
Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel 20. juni 2016 I Herons formel (Danielsen og Sørensen, 2016) er stillet en række opgaver, som her gengives. Referencer Danielsen, Kristian og
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereDet Platon mener, er... Essay om matematikken bag Epinomis 990 c 5 ff
Det Platon mener, er... Essay om matematikken bag Epinomis 990 c 5 ff af Christian Marinus Taisbak Illustrationer: Claus Glunk Platons tekst i Erik Ostenfelds oversættelse Motto (Ian Mueller in memoriam):
Læs mereTalteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde.
Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske
Læs mereBjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten
Bjørn Grøn Euklids konstruktion af femkanten Euklids konstruktion af femkanten Side af 17 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen
Læs mereForslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)
Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder
Læs mereGeometri i plan og rum
INTRO I kapitlet arbejder eleverne med plane og rumlige figurers egenskaber og med deres anvendelse som geometriske modeller. I den forbindelse kommer de bl.a. til at beskæftige sig med beregninger af
Læs mereTalrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side
VisiRegn ideer 3 Talrækker Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Vejledning til Talrækker 2-4 Elevaktiviteter til Talrækker 3.1 Talrækker (1) M-Æ 5-9 3.2 Hanoi-spillet
Læs mereFaglige delmål og slutmål i faget Matematik. Trin 1
Faglige delmål og slutmål i faget Matematik. Trin 1 Faglige delmål for matematik i 1. og 2. klasse. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne efter 2. klasse har tilegnet sig kundskaber og færdigheder,
Læs mereKeplers verdensbillede og de platoniske legemer (de regulære polyedre).
Keplers verdensbillede og de platoniske legemer (de regulære polyedre). Johannes Kepler (1571-1630) var på mange måder en overgangsfigur i videnskabshistorien. Han ydede et stort bidrag til at matematisere
Læs mereProjekt 7.9 Euklids algoritme, primtal og primiske tal
Projekter: Kapitel 7 Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projektet giver et kig ind i metodee i modee talteori Det kan udbygges med
Læs mereFraktaler. Vejledning. Et snefnug
Fraktaler Vejledning Denne note kan benyttes i gymnasieundervisningen i matematik i 1g, eventuelt efter gennemgangen af emnet logaritmer. Min hensigt har været at give en lille introduktion til en anderledes
Læs mereMatematisk argumentation
Kapitlets omdrejningspunkt er matematisk argumentation, der især bruges i forbindelse med bevisførelse altså, når det drejer sig om at overbevise andre om, at matematiske påstande er sande eller falske.
Læs mereUndersøgende aktivitet om primtal. Af Petur Birgir Petersen
Undersøgende aktivitet om primtal. Af Petur Birgir Petersen Definition: Et primtal er et naturligt tal større end 1, som kun 1 og tallet selv går op i. Eksempel 1: Tallet 1 ikke et primtal fordi det ikke
Læs mereEksempler på elevbesvarelser af gådedelen:
Eksempler på elevbesvarelser af gådedelen: Elevbesvarelser svinger ikke overraskende i kvalitet - fra meget ufuldstændige besvarelser, hvor de fx glemmer at forklare hvad gåden går ud på, eller glemmer
Læs mereMatematik interne delprøve 09 Tesselering
Frederiksberg Seminarium Opgave nr. 60 Matematik interne delprøve 09 Tesselering Line Købmand Petersen 30281023 Hvad er tesselering? Tesselering er et mønster, der består af en eller flere figurer, der
Læs mereAT-1. Oktober 09 + December 10 + November 11. CL+JW. Stenhus. side 1/5
AT-1. Oktober 09 + December 10 + November 11. CL+JW. Stenhus. side 1/5 1. 2. 3. 4. AT-1. Metodemæssig baggrund. Oktober 09. (NB: Til inspiration da disse papirer har været anvendt i gamle AT-forløb med
Læs mereLineære ligningssystemer
enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.
Læs mereDivisorer. Introduktion. Divisorer og delelighed. Divisionsalgoritmen. Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal. Hvis der findes et helt tal q så
Introduktion 1) Hvad er Taleteori? Læren om de hele tal Primtal 2) Formalistisk struktur Definition Lemma Divisorer Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal Hvis der findes et helt tal q så d q =
Læs mereAlgebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber:
INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler
Læs mereProjekt 7.5 Inkommensurable størrelser i græsk matematik og filosofi
Projekt 7.5 Inkommensurable størrelser i græsk matematik og filosofi I den græske filosof Platons værk Menon beskriver han en dialog mellem Sokrates og adelsmanden Menon, og hvor Sokrates på et tidspunkt
Læs mereMatematik på Humlebæk lille Skole
Matematik på Humlebæk lille Skole Matematikundervisningen på HLS er i overensstemmelse med Undervisningsministeriets Fælles Mål, dog med få justeringer som passer til vores skoles struktur. Det betyder
Læs merePå opdagelse i Mandelbrot-fraktalen En introduktion til programmet Mandelbrot
Jørgen Erichsen På opdagelse i Mandelbrot-fraktalen En introduktion til programmet Mandelbrot Hvad er en fraktal? Noget forenklet kan man sige, at en fraktal er en geometrisk figur, der udmærker sig ved
Læs mereAllan C. Malmberg. Terningkast
Allan C. Malmberg Terningkast INFA 2008 Programmet Terning Terning er et INFA-program tilrettelagt med henblik på elever i 8. - 10. klasse som har særlig interesse i at arbejde med situationer af chancemæssig
Læs mereVinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1. Diskret matematik.
Vinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1 1 Paritet Diskret matematik. I mange matematikopgaver er det en god ide at se på paritet dvs. hvornår en bestemt størrelse er henholdsvis lige
Læs mereMatematikken bag kryptering og signering RSA
Matematikken bag kryptering og signering RSA Oversigt 1 Indbyrdes primiske tal 2 Regning med rester 3 Kryptering og signering ved hjælp af et offentligt nøgle kryptosystem RSA Indbyrdes primiske hele tal
Læs mereFra tilfældighed over fraktaler til uendelighed
Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed Tilfældighed Hvor tilfældige kan vi være? I skemaet ved siden af skal du sætte 0 er og 1-taller, ét tal i hvert felt. Der er 50 felter. Du skal prøve at
Læs mereTALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Læs mereUendelige rækker og Taylor-rækker
Uendelige rækker og Taylor-rækker Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige Folkeuniversitetet i København, efteråret 200 Thomas Bolander, FUKBH 0 s. /24 Forhold mellem endelighed
Læs mereEt udtryk på formena n kaldes en potens med grundtal a og eksponent n. Vi vil kun betragte potenser hvor grundtallet er positivt, altså a>0.
Konkrete funktioner Potenser Som udgangspunkt er brugen af potenser blot en forkortelse for at gange et tal med sig selv et antal gange. Hvis a Rskriver vi a 2 for a a a 3 for a a a a 4 for a a a a (1).
Læs mere6. Regression. Hayati Balo,AAMS. 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 1
6. Regression Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 1 6.0 Indledning til funktioner eller matematiske modeller Mange gange kan
Læs mereDeskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium
Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,
Læs mereDet gyldne snit, forløb i 1. g
Det gyldne snit, forløb i 1. g Mål - Træne at skrive elementære matematiske tekster på computer inkl. billeder, formler og tabeller - Bruge geometriprogram - Læse en elementær tekst selv om et fagligt
Læs mereKommentarer til matematik B-projektet 2015
Kommentarer til matematik B-projektet 2015 Mandag d. 13/4 udleveres årets eksamensprojekt i matematik B. Dette brev er tænkt som en hjælp til vejledningsprocessen for de lærere, der har elever, som laver
Læs mereOpgaver om koordinater
Opgaver om koordinater Formålet med disse opgaver er dels at træne noget matematik, dels at give oplysninger om og træning i brug af Mathcad: Matematik: Øge grundlæggende indsigt vedrørende koordinater
Læs mereOpgave 1 Regning med rest
Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan
Læs meret a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36
Slide 1/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 2/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 3/36 1) Hvad er Taleteori? sfaktorisering Slide 4/36 sfaktorisering 1) Hvad er
Læs mereSådan bruger du Spor. Schultz
Sådan bruger du Spor Schultz Hvad kan jeg bruge Spor til? Spor hjælper dig, når du skal vælge uddannelse og job. Først skal du svare på, hvad du vil, og hvad du kan. Resultatet er en liste med job, der
Læs mereSansernes og forstandens tvivlsomme brugbarhed
Sansernes og forstandens tvivlsomme brugbarhed I de syditalienske byer Kroton og Elea opstod omkring 500 f.v.t. to filosofiske retninger, som fik stor betydning for senere tænkning og forskning. Den ene
Læs mereÅrsplan for Matematik 8. klasse 2011/2012
Årsplan for Matematik 8. klasse 2011/2012 Formål for faget matematik Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand
Læs mereOm at løse problemer En opgave-workshop Beregnelighed og kompleksitet
Om at løse problemer En opgave-workshop Beregnelighed og kompleksitet Hans Hüttel 27. oktober 2004 Mathematics, you see, is not a spectator sport. To understand mathematics means to be able to do mathematics.
Læs mereRegneark II Calc Open Office
Side 1 af 10 Gangetabel... 2 Udfyldning... 2 Opbygning af gangetabellen... 3 Cellestørrelser... 4 Øveark... 4 Facitliste... 6 Sideopsætning... 7 Flytte celler... 7 Højrejustering... 7 Kalender... 8 Dage
Læs mereTal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.
1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber
Læs mereÅrsplan for matematik i 1. klasse 2010-11
Årsplan for matematik i 1. klasse 2010-11 Vanløse den 6. juli 2010 af Musa Kronholt Formål for faget matematik Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden
Læs mereProjekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A)
Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Indhold Introduktion... 2 Hilberts 16 aksiomer Et moderne, konsistent og fuldstændigt aksiomsystem for geometri...
Læs mereEksperimenterende undersøgelse af vinkelsummer i 4. 6.kl.
Eksperimenterende undersøgelse af vinkelsummer i 4. 6.kl. Målsætning: Lærermål: At observere på og udvikle brugen af geogebra i forbindelse med eksperimenterende undersøgelser af vinkelsummer i matematik
Læs mereÅrsplan i matematik for 1. klasse
Årsplan i matematik for 1. klasse Der arbejdes med bogsystemet Multi 1A og 1B Periode Emne/ Målet for forløbet er, at eleverne: Handleplan Evaluering fokuspunkt Uge 33-36 Tal bliver fortrolige med matematikbogens
Læs mereFig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord
Simulation af χ 2 - fordeling John Andersen Introduktion En dag kastede jeg 60 terninger Fig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord For at danne mig et billede af hyppighederne flyttede jeg rundt
Læs mereFaglig læsning i matematik
Faglig læsning i matematik af Heidi Kristiansen 1.1 Faglig læsning en matematisk arbejdsmåde Der har i de senere år været sat megen fokus på, at danske elever skal blive bedre til at læse. Tidligere har
Læs mereHvorfor skal børn lære at programmere? App Academy. Alle fortjener at kunne programmere
Hvorfor skal børn lære at programmere? App Academy Alle fortjener at kunne programmere App Academy Jernbanegade 27 6000 Kolding +45 51 922 722 info@appacademy.dk www.appacademy.dk Programmering på skemaet
Læs mereTrolling Master Bornholm 2015
Trolling Master Bornholm 2015 (English version further down) Sæsonen er ved at komme i omdrejninger. Her er det John Eriksen fra Nexø med 95 cm og en kontrolleret vægt på 11,8 kg fanget på østkysten af
Læs mere2.1 Euklidisk konstruktion af nogle regulære polygoner
Geometri og bilhjul Miroslava Sovičová, Štefan Havrlent, Ľubomír Rybanský Constantine the Philosopher University Nitra, Slovakia 1 Introduktion En matematiklærer der vil præsentere eleverne for noget nyt
Læs mereFormler, ligninger, funktioner og grafer
Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,
Læs mereKryptologi og RSA. Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk)
Kryptologi og RSA Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk) 1 Introduktion Der har formodentlig eksisteret kryptologi lige så længe, som vi har haft et sprog. Ønsket om at kunne sende beskeder, som uvedkommende
Læs mereREELLE TAL. Tilknytning til Kolorit 9 matematik grundbog. Vejledende sværhedsgrad. Indhold og kommentarer
LÆRERVEJLEDNING REELLE TAL Kopiark Indhold og kommentarer Vejledende sværhedsgrad Tilknytning til Kolorit 9 matematik grundbog Danskerne og ketchup Medieforbrug Decimaltal, brøker og procent og 2 Procentregning
Læs merewww.aalborg-friskole.dk Sohngårdsholmsvej 47, 9000 Aalborg, Tlf.98 14 70 33, E-mail: kontor@aalborg-friskole.dk
www.aalborg-friskole.dk Sohngårdsholmsvej 47, 9000 Aalborg, Tlf.98 14 70 33, E-mail: kontor@aalborg-friskole.dk Årsplan for matematik i 8.klasse I timerne vil vi bruge bogen matematiktak 8.klasse, programmer
Læs merematematikhistorie og dynamisk geometri
Pythagoras matematikhistorie og dynamisk geometri med TI-Nspire Indholdsfortegnelse Øvelse 1: Hvem var Pythagoras?... 2 Pythagoras læresætning... 2 Geometrisk konstruktion af Pythagoræisk tripel... 3 Øvelse
Læs mereDen mundtlige dimension og Mundtlig eksamen
Den mundtlige dimension og Mundtlig eksamen Mål med oplægget At få (øget) kendskab til det der forventes af os i forhold til den mundtlige dimension At få inspiration til arbejdet med det mundtlige At
Læs mereTranslokationstale. Byskovskolen, Afd. Benløse. Onsdag den 26. juni 2013. Tiden. Vi har tolv ure i huset. alligevel slår tiden ikke til.
Translokationstale Byskovskolen, Afd. Benløse Onsdag den 26. juni 2013 Tiden Vi har tolv ure i huset alligevel slår tiden ikke til. Man går ud i sit køkken henter kakaomælk til sin spinkle søn men når
Læs mereProdukter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock
Produkter af vektorer i dimensioner Peter Harremoës Niels Brock Septemer 00 Indledning Disse noter er skrevet som supplement og delvis erstatning for tilsvarende materiale i øgerne Mat B og Mat A. Vi vil
Læs mereItalien Rossella Masi, lærer Rapport om undervisningsbesøg Wien, Østrig 15.12. -19.12.2008
Italien Rossella Masi, lærer Rapport om undervisningsbesøg Wien, Østrig 15.12. -19.12.2008 Før besøget Jeg begyndte mine forberedelser til turen med at deltage i fire fem-timers moduler i engelsk, en del
Læs mere25282 Hæve/Sænke skammel Design synsvinkel: Bruger synsvinkel: Produktion, konstruktion: Andre overvejelser:
Hæve/Sænke skammel. Vi har valgt at tage fat i den problemstilling, som hedder Faldulykker i hjemmet. Langt de fleste ulykker sker i og omkring hjemmet. Stød og slagskader pga. fald, er på toppen af listen
Læs merebrikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt
brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt
Læs mereMatematik i 5. klasse
Matematik i 5. klasse Igen i år benytter vi os af Faktor i femte. Systemet indeholder en grundbog, hvortil der er supplerende materiale i form af kopiark, som er tilpasset de gennemgåede emner. Grundbogen
Læs mereMODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN
MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..
Læs mereMatematik, basis. Undervisningen på basisniveau skal udvikle kursisternes matematikkompetencer til at følge undervisningen
avu-bekendtgørelsen, august 2009 Matematik Basis, G-FED Matematik, basis 1. Identitet og formål 1.1 Identitet I matematik basis er arbejdet med forståelsen af de faglige begreber i centrum. Den opnåede
Læs mereEgenskaber ved Krydsproduktet
Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereOm at udregne enkeltstående hexadecimaler i tallet pi
Om at udregne enkeltstående hexadecimaler i tallet pi I 996 var det en sensation, da det kom frem, at det var lykkedes D. Bailey, P. Borwein og S. Plouffe at finde en formel for tallet π, med hvilken man
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereAnalytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011
Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereTjek. lønnen. Et værktøj til at undersøge lokal løndannelse og ligeløn på offentlige arbejdspladser. 2007 udgave Varenr. 7520
Tjek lønnen Et værktøj til at undersøge lokal løndannelse og ligeløn på offentlige arbejdspladser 2007 udgave Varenr. 7520 Indholdsfortegnelse Forord... 3 Teknisk introduktion... 4 Indledning... 5 Introduktion
Læs mereqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd
Læs mere2. Christian den Fjerde. Årsplan 2015 2016 (Matematik PHO) Elevbog s. 2-11
Lærer. Pernille Holst Overgaard Lærebogsmateriale. Format 2 Tid og fagligt område Aktivitet Læringsmål Uge 33-36 Elevbog s. 2-11 Additions måder. Vi kende forskellige måder at Addition arbejder med addition
Læs mereFagårsplan 12/13 Fag: Matematik Klasse: 3.A Lærer:LBJ Fagområde/ emne At regne i hovedet
Fagårsplan 12/13 Fag: Matematik Klasse: 3.A Lærer:LBJ Fagområde/ emne At regne i hovedet penge Periode Mål Eleverne skal: Lære at anvende simpel hovedregning gennem leg og praktiske anvende addition og
Læs mereDokumentation af programmering i Python 2.75
Dokumentation af programmering i Python 2.75 Af: Alexander Bergendorff Jeg vil i dette dokument, dokumentere det arbejde jeg har lavet i løbet opstarts forløbet i Programmering C. Jeg vil forsøge, så vidt
Læs mereFormler og diagrammer i Excel 2000/2003 XP
Formler i Excel Regneudtryk Sådan skal det skrives i Excel Facit 34 23 =34*23 782 47 23 =47/23 2,043478261 27³ =27^3 19683 456 =KVROD(456) 21,3541565 7 145558 =145558^(1/7) 5,464829073 2 3 =2*PI()*3 18,84955592
Læs merePeriodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum
Jørgen Erichsen Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum I artikelserien Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN kommer jeg bl.a. ind på begrebet
Læs mereProblembehandling. Progression
Problembehandling Progression Problemløsning Problemløsning forudsætter at man står overfor et problem som man ikke har en færdig opskrift til at løse. Algoritme Når man har fundet frem til en metode eller
Læs mereKomplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013
Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil
Læs mereAppendiks 1: Om baggrund og teori bag valg af skala
Appendiks 1: Om baggrund og teori bag valg af skala De nationale test gav i 2010 for første gang danske lærere mulighed for at foretage en egentlig måling på en skala af deres elevers præstationer på grundlag
Læs merebrikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F+E+D preben bernitt
brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F ISBN: 978-87-92488-06-0 2. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk
Læs mereIntroduktion til mat i 4 klasse Vejle Privatskole 2013/14:
Introduktion til mat i 4 klasse Vejle Privatskole 2013/14: Udgangspunktet bliver en blød screening, der skal synliggøre summen af elevernes standpunkt. Det betyder i realiteten, at der uddeles 4 klasses
Læs mereEn dialogisk undervisningsmodel
8 Lær e r v e j l e d n i n g En dialogisk undervisningsmodel Helle Alrø gør i artiklen En nysgerrigt undersøgende matematikundervisning 6 rede for en måde at samtale på, som kan være et nyttigt redskab,
Læs mereForslag til løsning af Opgaver om areal (side296)
Forslag til løsning af Opgaver om areal (side96) Opgave 1 6 0 8 Vi kan beregne arealet af 6 8 0 s 4. ved hjælp af Heron s formel: ( ) 4 4 6 4 8 4 0 6. Parallelogrammets areal er det dobbelte af trekantens
Læs mereInvesterings- og finansieringsteori, F05, ugeseddel 3
18. februar 2005 Rolf Poulsen AMS Investerings- og finansieringsteori, F05, ugeseddel 3 Seneste forelæsninger Tirsdag 15/2: Afsnit 3.2 og 3.3 indtil eksempel 5. Fredag 18/2: Resten af afsnit 3.3, afsnit
Læs mereMatematik. Matematiske kompetencer
Matematiske kompetencer stille spørgsmål, som er karakteristiske for matematik og have blik for hvilke typer af svar, som kan forventes(tankegangskompetence) erkende, formulere, afgrænse og løse matematiske
Læs mereMatematik Basis. Faglige mål. Kernestof. Supplerende stof
Matematik Basis Undervisningens mål er, at kursisten kan: a) forstå tallenes opbygning i positionssystemet samt gange og dividere med et multiplum af 10 b) forstå de fire regningsarter og vælge hensigtsmæssige
Læs mereNoter om primtal. Erik Olsen
Noter om primtal Erik Olsen 1 Notation og indledende bemærkninger Vi lader betegne de hele tal, og Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3...} N = {0, 1, 2, 3...} Z være de positive hele tal. Vi minder her om et
Læs mereDen mundtlige prøve i matematik og forenklede Fælles Mål Odense 20. April 2015
Den mundtlige prøve i matematik og forenklede Fælles Mål Odense 20. April 2015 153 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14+ 15 + 16 + 17 153 = 1! + 2! + 3! + 4! + 5! 153 = 1 3 + 5
Læs mereIndledning. Sikkerhed I: At undgå det forkerte. Notat om oplæg til sikkerhedsforskning. Erik Hollnagel
Notat om oplæg til sikkerhedsforskning Erik Hollnagel Indledning En konkretisering af forskning omkring patientsikkerhed må begynde med at skabe klarhed over, hvad der menes med patientsikkerhed. Dette
Læs mereSide til side-vejledning. 1 Tal. Faglige mål. Division. Potenser. Talfølger
Side til side-vejledning 1 Tal Faglige mål Kapitlet Tal tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Division: kunne regne division med decimaltal og negative tal samt kende til anvendelsen af division i
Læs mereRapport Bjælken. Derefter lavede vi en oversigt, som viste alle løsningerne og forklarede, hvad der gør, at de er forskellige/ens.
Rapport Bjælken Indledning Vi arbejdede med opgaverne i grupper. En gruppe lavede en tabel, som de undersøgte og fandt en regel. De andre grupper havde studeret tegninger af bjælker med forskellige længder,
Læs mereDet er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.
Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår
Læs mereEuklids algoritme og kædebrøker
Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n
Læs mereOm ensvinklede og ligedannede trekanter
Om ensvinklede og ligedannede trekanter Vi vil her give et bevis for sætningen, der siger at for trekanter er begreberne ensvinklet og ligedannet det samme. Sætningen er langt fra trivial trekanter er
Læs mereUNDERVISNING I PROBLEMLØSNING
UNDERVISNING I PROBLEMLØSNING Fra Pernille Pinds hjemmeside: www.pindogbjerre.dk Kapitel 1 af min bog "Gode grublere og sikre strategier" Bogen kan købes i min online-butik, i boghandlere og kan lånes
Læs mereHvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8
Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt
Læs mereNordisk Matematikkonkurrence. samt Danmarks Matematiklærerforening. Skoleåret 2008 2009 Opgaver ved semifinalen
Opgave 1 Opdeling af figur I har fået udleveret et ark med syv regulære sekskanter. Inddel dem i 6 6 på syv forskellige måder. Det er kun tilladt at bruge rette linjer. Nedenfor kan I se en af måderne
Læs mereFærdigheds- og vidensområder Evaluering. Tal: Færdighedsmål
Klasse: Jorden mat Skoleår: 16/17 Eleverne arbejder med bogsystemet format, hhv. 4. og 5. klasse. Bøgerne er bygget op, så emnerne følger hinanden hele vejen, hvorfor årsplanen er opbygget efter disse.
Læs mereIndhold. Forord 11. Introduktion 17. 1 Matematiske modeller og modellering hvad er det, og hvorfor undervises der i dem? 21. 2 Vækstmodeller 45
Indhold Forord 11 DEL I AT MODELLERE VERDEN MED MATEMATIK Introduktion 17 1 Matematiske modeller og modellering hvad er det, og hvorfor undervises der i dem? 21 Matematiske modeller og matematisk modellering
Læs mere