Et udtryk på formena n kaldes en potens med grundtal a og eksponent n. Vi vil kun betragte potenser hvor grundtallet er positivt, altså a>0.

Transkript

1 Konkrete funktioner Potenser Som udgangspunkt er brugen af potenser blot en forkortelse for at gange et tal med sig selv et antal gange. Hvis a Rskriver vi a 2 for a a a 3 for a a a a 4 for a a a a (1). Et udtryk på formena n kaldes en potens med grundtal a og eksponent n. Vi vil kun betragte potenser hvor grundtallet er positivt, altså a>0. Eksempel 1 I datalogi dukker potenser på formen2 n ustandselig op. De opstår, fordi computere (og dataloger) ofte står med to valgmuligheder, så som sand eller falsk og 0 eller 1. Hvis man skal træffe n sådanne valg i træk, bliver det samlede antal valgmuligheder netop 2 n. En computers arbejdslager består af en lang række bits som kan have en af de to værdier 0 og 1 (bit er en forkortelse for BInary digit). Ved at bruge flere bits kan man repræsentere mange forskellige værdier: Bits Forskellige værdier = = = = = = = = = = = Det er almindeligt at bruge 8, 16, 32 eller 64 bits til at repræsentere et heltal. Af historiske årsager bruger Java navnene byte, short, int og long om disse repræsentationer. Jo større tal man har brug for, jo flere bits må man afsætte. Et lønningssystem kan formentlig nøjes med en int, mens finansloven har brug for en long. 1

2 Vi har defineret potensen a n som det tal man får ved at gange a med sig selv n gange. Det er derfor oplagt at vi har regnereglerne a m+n = a m a n (2) a m n =(a m ) n (3) Vi får brug for at udvide definitionen af potenser til at dække eksponenter der ikke er positive heltal. Fidusen er at gøre det således at de to regneregler ovenfor stadig gælder (jf. udvidelsen af mængder til multimængder). Lad os betragte potenser på formena 0 først. Ifølge (2) skal der for alle n N gælde a n = a 0+n = a 0 a n. (4) Men så era 0 nødt til at være 1. Og det er så vores definition. Tilsvarende bliver vi tvunget til at definere potenser med negative eksponenter på en bestemt måde. Ifølge (2) har vi 1=a 0 = a n n = a n+n = a n a n. (5) Så a n er nødt til at være 1 a n. Og det er så vores definition. Potenser på formen a m n er ifølge (2) nu givet ved a m n = a n+m = a n a m = 1 a n am = am a. (6) n Indtil nu har vores eksponenter alle været heltal. Lad n være forskellig fra 0. Ved brug af (3) får vi a = a 1 = a n n = a 1 n n =(a 1 n ) n. (7) Altså må vi definere a 1 n som det tal, der ganget med sig selv n gange giver a. Dette tal kaldes den n te rod af a og skrives n a. I tilfældes n =2skrives blot a og dette tal kaldes kvadratroden af a. Tilsvarende kaldes 3 a for kubikroden af a. Vi har altså pr. definition at ( n a) n = a. Potenserpåformen a m n er ifølge (3) nu givet ved a m n = a m 1 n =(a m ) 1 n = n a m. (8) Vi har hermed defineret potenser a q for alle rationale tal q, dvs.foralle brøker. En udvidelse til alle relle tal, altså potenserpåformena r hvor r R, er også mulig. Lad os betragte a π.vivedatπ kan skrives som en uendelig decimalbrøk π =3, (9) 2

3 Vi kan derfor tilnærme π med brøkerne 3 1, 31 10, , , , ,... (10) og vi definerer a π som grænseværdien af følgen a 3 1,a 31 10,a ,a ,a ,a ,... (11) Detaljerne i denne definition falder uden for dette kursus, men kan findes i enhver bog om kalkulus. Vi slutter med en opsummering: Definition af potenser Lad a Rvære positiv. Vi definerer: a 0 =1 a n = a } a {{ a} for n N og n>0 n faktorer a n = 1 for n N og n>0 a n a m n = n a m for m, n N og n>0 a r = grænseværdien af a q når q går mod r gennem rationale tal for r R Denne definition kan bruges til at bevise regneregler for potenser. Regneregler for potenser Lad a, b Rvære positive og r, s R.Sågælder: a 0 =1 a r = 1 a r a r s = ar a s a r+s = a r a s a r s =(a r ) s (a b) r = a r b r ( a b )r = ar b r Opgave 1 Lad m, n N. Vis ud fra definitionen at a m n = am a n. 3

4 Potensfunktioner Der er to oplagte måder hvorpå man kan lave sig funktioner ud af potenser, idet man enten holder grundtallet eller eksponenten fast og lader den anden variere. Ved at fastholde eksponenten får vi potensfunktioner som alle har formen x r hvor r er et fast, reelt tal. (12) Da vi her kun betragter positive grundtal er alle vores potensfunktioner funktioner på R +, mængden af alle positive, reelle tal. Dvs. x r : R + R +. Figur 1 viser grafen for nogle potensfunktioner. Opgave 2 Lad x r være en potensfunktion med r 0.Visatx r er en bijektion og har invers x 1 r. Hvorfor er potensfunktionen x 0 ikke en bijektion? Hvorfor har den ingen invers funktion? Bemærk at da x r og x 1 r = r x med r 0 er inverse funktioner har vi to identiteter som kan bruges til at simplificere udtryk: r xr = x og ( r x) r = x for alle x R + og r Rmed r 0. (13) Opgave 3 Simplificér udtrykket x 9 7 x 56. Eksponentialfunktioner og logaritmer Ved at fastholde grundtallet i stedet for eksponenten får vi eksponentialfunktioner som alle har formen a x hvor a er et fast, reelt tal, større end 0. (14) Da a r > 0 for alle r Rhar vi a x : R R + og enhver sådan eksponentialfunktion med a 1 er en bijektion. Opgave 4 Hvorfor er 1 x : R R + ikke en bijektion? Hvorfor har den ingen invers funktion? De inverse funktioner til eksponentialfunktionerne kaldes logaritmer. Vi definerer simpelthen for a 1: eller med andre ord: log a x =dettaly Rsom opfylder a y = x (15) log a x = y a y = x. (16) 4

5 Funktionen log a : R + Rkaldes logaritmen med grundtal a. Viharigento identiteter som kan bruges til at simplificere udtryk: log a (a x )=x for alle x Rog (17) a log a x = x for alle x R +. Vi kan desuden vise følgende regneregler for logaritmer: Regneregler for logaritmer Lad a, b Rvære positive og forskellige fra 1 og lad r, s R.Sågælder: log a 1=0 log a ( 1 r )= log a r log a ( r s )=log a r log a s log a (r s) =log a r +log a s log a (r s )=s log a r log a x = log b x log b a Opgave 5 Simplificér følgende udtryk: log log 4 8 log 6 9+log 6 4 (log 4 16) (log 4 2) (log a b) (log b a) log 2 (2 n ) 2 log 2 n 4 log 2 n Opgave 6 Bevis regnereglerne ovenfor ved at bruge regnereglerne for potenser og (16). Figur 2 viser grafen for nogle eksponentialfunktioner og logaritmer Fakultet Fakultet er en funktion n! :N N. Den er defineret på denaturligetalsom følger: 0! = 1 og n! =1 2 n for n N med n>0. (18) Fakultet optræder ofte i kombinatorik, idet n! er antallet af mulige rækkefølger af n forskellige objekter. F.eks. findes der 52! forskellige måder at ordne de 52 spillekort på. Det første kort kan vælges på 52 forskellige måder. Det næste på 51 forskellige måder, derefter er der 50 muligheder osv. Ved det næstsidste kort har man 2 muligheder, mens det sidste kort kun kan vælges på1måde. Dette giver i alt = 52! muligheder. Fakultet vokser temmelig hurtigt. F.eks. er 52! omtrent 8, Med andre ord må det betragtes som meget usandsynligt at komme til at blande et sæt spillekort på samme måde to gange i ens liv (hvis ellers man blander ordentligt). 5

6 y x Figur 1: Nogle potensfunktioner. I rækkefølge fra hurtigst til langsomst voksende: x 3,x 2,x 1 = x, x 1 2 = x, x 1 3 = 3 x. Den aftagende funktion (med punkteret linie) er x 1 = 1 x. 6

7 y x Figur 2: Nogle eksponentialfunktioner og logaritmer. I rækkefølge fra hurtigst til langsomst voksende: 3 x, 2 x, log 2 x, log 3 x. De aftagende funktioner (med punkteret linie) er 1 x = 1 og log 2 2 x 1 x. 2 7

8 Anvendelse i datalogi I datalogi anvendes logaritmer, potensfunktioner, eksponentialfunktioner og fakultet især til analyse af algoritmers ressourceforbrug som funktion af inputtets størrelse. Ressourcer kan være tid, plads i arbejdslageret, båndbredde på nettet eller antallet af gange algoritmen bruger harddisken. Generelt betragtes kun voksende funktioner programmer arbejder sjældent hurtigere jo mere input de får! Da inputtets størrelse måles i antallet af tegn der skal bruges til at skrive inputtet ned, er et programs ressourceforbrug formelt en voksende funktion fra N til R +. Her gælder Enhver logaritme vokser langsommere end enhver potensfunktion som vokser langsommere end enhver eksponentialfunktion. Fakultet vokser hurtigere end alle de øvrige funktioner. Formelt gælder for ethvert positivt r R + og ethvert reelt tal a>1: n 0 N. n N.n>n 0 = log a n n r (19) n 0 N. n N.n>n 0 = n r a n (20) n 0 N. n N.n>n 0 = a n n!. (21) Dvs. hvis blot inputstørrelsen n er stor nok, dvs. større end n 0,såerlog a n mindre end n r. Tilsvarende er n r mindre end a n som er mindre end n! for stort nok n. Bemærk at dette gælder uanset a og r. F.eks. er en algoritme, hvis udførelsestid er givet ved n hurtigere på distancen end en tilsvarende algoritme, hvis udførelsestid er givet ved 1,0001 n. Her skal inputstørrelsen n dog være ret stor for at den første er at foretrække frem for den sidste. Eksempel 2 Vi vil undersøge for hvor stort input en algoritme med udførelsestid n 3 er hurtigere end en algoritme, hvis udførelsestid er 1,5 n : n n 3 1,5 n n n 3 1,5 n 1 1 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,1 8

9 Det sker således for n>23. Betragt en moderne 3GHz pc som altså kan foretage 3 milliarder simple beregninger pr. sekund. Hvis n 3 og 1,5 n angiver antallet af sådanne simple beregninger vil et input af størrelsen 500 tage den kubiske algoritme ca. 4 hundrededele af et sekund, mens den eksponentielle algoritme skal bruge mindst 3, sekunder et astronomisk tal, i omegnen af antallet af elementar-partikler i det synlige univers! Eksempel 3 Logaritmiske udførelsestider opstår typisk i situationer, hvor en algoritme i hvert trin kan se bort fra halvdelen af input. Da et naturligt tal n N kun kan halveres ca. log 2 n gange før vi når ned på 0 eller 1, vil sådanne algoritmer have udførelsestid ca. log 2 n. Et klassisk eksempel er binær søgning hvor et bestemt element søges i en sorteret liste elementet kan være et bestemt navn og listen kan være en telefonbog. Hvis vi starter med at kigge midt i listen, vil vi (1) finde det søgte element, (2) finde et element der er for stort, eller (3) finde et element der er for lille. I de to sidste tilfælde kan vi se bort fra hhv. den øvre og den nedre del af listen, hvorefter vi kan fortsætte søgningen på samme måde med det midterste element i den resterende liste. Da logaritmer med grundtal 2 optræder så ofte i datalogi, forkorter man tit log 2 n til log n. I andre sammenhænge (matematik, fysik, teknik, på de fleste lommeregnere) betyder log n derimod log 10 n,såpaspå! Eksempel 4 Eksponentielle udførelsestider optræder typisk i situationer, hvor en algoritme er nødt til at undersøge alle valgmuligheder. Et klassisk eksempel er en algoritme, der skal afgøre om et givent udsagnslogisk udtryk er en tautologi. Her kender vi essentielt set ikke nogen bedre algoritme end at opstille sandhedstabellen for udsagnet (se Martin, afsnit 1.2.1). Hvis udtrykket har n booleske variabler, har tabellen 2 n rækker, en for hvert muligt valg af sandhedsværdi til hver variabel. Eksempel 5 Udførelsestider på formen n! optræder typisk i situationer, hvor en algoritme er nødt til at undersøge alle mulige rækkefølger af n elementer. Et klassisk eksempel er en algoritme, der skal afgøre om en givent vejkort med n byer har en Hamiltonvej, dvs. en vej, der besøger samtlige n byer netop én gang. Igen kender vi ingen bedre algoritme end essentielt set at prøve alle mulige rækkefølger af byer fra en ende af. Og der er n! sådanne rækkefølger. 9