Uendelige rækker og Taylor-rækker
|
|
- Caroline Karlsen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Uendelige rækker og Taylor-rækker Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige Folkeuniversitetet i København, efteråret 200 Thomas Bolander, FUKBH 0 s. /24
2 Forhold mellem endelighed og uendelighed Et spørgsmål: Er det muligt på endelig tid at udføre uendeligt mange på hinanden følgende handlinger? (hver handling tager en tid > 0 at udføre). Thomas Bolander, FUKBH 0 s. 2/24
3 Forhold mellem endelighed og uendelighed Betragt påstanden som opstår, hvis vi svarer nej til ovenstående spørgsmål: Det er ikke muligt på endelig tid at udføre uendeligt mange på hinanden følgende handlinger? (hver handling tager en tid > 0 at udføre). Hvis vi enten eksplicit eller implicit antager at denne påstand er sand, ledes vi frem til at bevægelse er umulig i kraft af Zenons berømte paradokser (jvf. kursets første forelæsning), herunder Achilleus og skildpadden samt Zenons dichotomi (Aristoteles, Fysik VI:9)... Thomas Bolander, FUKBH 0 s. 3/24
4 Achilleus og skildpadden Achilleus løber om kap med den meget langsommere skildpadde. Skildpadden får 00 meters forspring. Et kort stykke tid efter løbet er begyndt når Achilleus til der hvor skildpadden startede. Men på dette tidspunkt er skildpadden nået et lille stykke videre, lad os sige 0 meter. Det vil nu tage Achilleus lidt yderligere tid at løbe disse 0 meter, hvorefter skildpadden er nået endnu længere ( meter), og derefter endnu noget tid at nå til dette tredje punkt, mens skildpadden stadig bevæger sig fremad. Konklusion: hver gang Achilleus når til et punkt hvor skildpadden har været, er der endnu et stykke vej han skal bevæge sig hvis han vil overhale den. Da Achilleus således skal nå uendeligt mange punkter hvor skildpadden allerede har været, kan han aldrig overhale den. Thomas Bolander, FUKBH 0 s. 4/24
5 Zenons dichotomi A 8 AB 4 AB 2 AB B Hvis en given genstand skal bevæge sig lad os sige fra et givet punkt A til et givet punkt B, så vil genstanden først skulle tilbagelægge halvvejen imellem A og B, dvs. afstanden /2AB. Men for at tilbagelægge afstanden /2AB må genstanden først tilbagelægge halvdelen af denne afstand, dvs. /4AB. Men for at tilbagelægge /4AB må genstanden først tilbagelægge /8AB og så fremdeles. Denne opdeling kan fortsættes i det uendelige. Konklusion: Genstanden kan aldrig begynde sin bevægelse fra A til B, da den altid må skulle begynde med at tilbagelægge et uendeligt antal afstande i en endelig tid, hvilket er (antaget) umuligt. Thomas Bolander, FUKBH 0 s. 5/24
6 Fra Aristoteles til Archimedes Aristoteles og hans samtidige havde ikke rådighed over den nødvendige matematik til at løse disse bevægelsens paradokser på en tilfredsstillende måde. Det er først 00 år senere med Archimedes at vi får de første værktøjer til at begynde at kunne løse paradokserne... Thomas Bolander, FUKBH 0 s. 6/24
7 Gensyn med parablens kvadratur I forbindelse med parablens kvadratur (jvf. kursets anden forelæsning) viser Archimedes at arealet under parablen er opadtil begrænset af følgende sum af arealer: ABC + 4 ABC ABC ABC + 4 n ABC, for alle værdier af n. Det må betyde at også følgende uendelige række har en endelig sum: Vi kan altså godt udføre uendeligt mange handlinger på endelig tid, hvis f.eks. den første handling tager tiden, den næste tiden /4, den tredje tiden /6, osv. Thomas Bolander, FUKBH 0 s. 7/24
8 Uendelige rækker Uendelig række: Et summationsudtryk med uendeligt mange led. Kan skrives på formen a + a 2 + a 3 + eller den forkortede form a n. n= Eksempel Hvilken sum har denne række? Rækken svarer til den som opstår i paradokset om Achilleus og skildpadden, hvis skildpadden får et forspring på en tiendedel af distancen og Achilleus er 0 gange så hurtig som skildpadden. Thomas Bolander, FUKBH 0 s. 8/24
9 Geometriske rækker Rækken fra forrige slide var et eksempel på en geometrisk række. En anden sådan række er følgende: Hvilken sum har denne række? Bemærk at dette er rækken som opstår i Zenons dichotomi. Thomas Bolander, FUKBH 0 s. 9/24
10 Konvergens og divergens af uendelige rækker Det faktum at uendelige rækker af positive tal kan have en endelig sum opløser Zenons paradokser (det første eksplicitte argument med denne konklusion blev givet af Grégoire de Saint-Vincent i 647). Men der er stadig overraskelser i vente med hensyn til at summere uendeligt mange tal... Nicole Oresme ( ) viser at følgende faldende række af tal kaldet den harmoniske række ikke har en endelig sum: Bevis uden ord: ( 4 + 4) + ( ) + = = = Thomas Bolander, FUKBH 0 s. 0/24
11 Afsnit og afsnitsfølger for uendelige rækker I dag skelner vi mellem konvergente og divergente rækker: konvergente rækker er dem som har en entydig endelig værdi, divergente er dem som ikke har det. For at definere disse begreber præcist har vi brug for et par nye termer. Definition. Lad der være givet en uendelig række a + a 2 + a 3 +. Summen s n = a + a a n kaldes for rækkens n te afsnit. Talfølgen kaldes for rækkens afsnitsfølge. s, s 2, s 3,... Eksempel. Afsnitsfølgen for rækken er, 0, 00, 000, 0000, Thomas Bolander, FUKBH 0 s. /24
12 Konvergens og divergens af uendelige rækker Vi er nu klar til at definere konvergens og divergens af uendelige rækker. Definition. En uendelig række a + a 2 + a 3 + siges at være konvergent med summen s, hvis rækkens afsnitsfølge er konvergent med grænseværdi s, altså hvis s n går mod s når n går mod uendelig. En uendelig række, der ikke er konvergent, siges at være divergent. Eksempler. Rækken er konvergent med summen 0/9, da afsnitsfølgen, 0, 00, 000,, =,.,.,.,., 0000 konvergerer mod dette tal. Den harmoniske række er divergent. Thomas Bolander, FUKBH 0 s. 2/24
13 Konvergens og divergens af uendelige rækker Bemærk at vi definerede konvergens og divergens ved hjælp af et moderne grænseværdi-begreb. Dette var ikke til rådighed for hverken Aristoteles, Archimedes, Oresme eller Saint-Vincent. Helt frem i 800-tallet var der stadig problemer med den grundlæggende forståelse og de grundlæggende begreber vedrørende uendelige rækker... Thomas Bolander, FUKBH 0 s. 3/24
14 Flere paradokser med uendelige rækker Leonard Euler ( ), en af historiens største matematikere, var blot en af mange som kom på glatis når det gjaldt uendelige rækker. Euler betragtede følgende uendelige række, kaldet Grandis række: Sætter vi paranteser i denne række på følgende måde: ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + bliver det klart at rækken må have summen 0. Sætter vi imidlertid paranteserne på følgende måde i stedet: får vi summen. + ( + ) + ( + ) + ( + ) + En tredje mulighed er at lade s betegne summen af Grandis række og så konstatere at der gælder: s = ( ) = s Heraf konkluderes s = /2. Thomas Bolander, FUKBH 0 s. 4/24
15 Flere paradokser med uendelige rækker En anden stor matematiker, Gottfried Wilhelm Leibniz (646 76) nåede også frem til summen /2, men på en anden måde. Han betragtede Grandi-rækkens afsnitsfølge:, 0,, 0,, 0,, 0,... Eftersom elementerne i afsnitsfølgen skiftevis er og 0 med lige stor sandsynlighed, mente Leibniz man kunne konkludere at summen er gennemsnittet af disse to værdier, dvs. værdien /2. Dette argument blev accepteret af blandt andet Daniel Bernoulli ( ). Selv tidens allerstørste matematikere, og nogen af historiens største matematikere overhovedet, havde altså kvaler med disse uendelige rækker. I dag ville vi blot konkludere at følgen ikke er konvergent, og at al snak om en sum derfor er meningsløst. Thomas Bolander, FUKBH 0 s. 5/24
16 Flere paradokser med uendelige rækker Matematikeren og filosoffen Luigi Guido Grandi (67 742) konkluderede at fordi summen af rækken tydeligvis både er 0 og /2 kan verden skabes ud af intet! Der er her en klar analogi til Zenons paradokser, hvor konklusionen var at bevægelse er umulig. I begge tilfælde opstår paradokserne på grund af fejlagtige skjulte antagelser, og i begge tilfælde konkluderes universelle og vidtrækkende ting om naturens beskaffenhed. paradoks: Zenons paradokser Grandis paradoks fejlagtig antagelse: alle rækker divergerer Grandi-rækken konvergerer konklusion: bevægelse er umulig verden kan skabes af intet Vi skal senere i kurset ser mange flere eksempler på paradokser i matematikken, der på lignende vis er opstået som konsekvens af manglende forståelse af uendelighedens væsen. Thomas Bolander, FUKBH 0 s. 6/24
17 Vi ved at den harmoniske række = n + n= divergerer, mens følgende geometriske række = 2 n n= En lille øvelse konvergerer. Hvad med følgende række, hvis n te led for alle n 5 ligger mellem det n te led fra den harmoniske række og det n te led fra den geometriske række? = n(n + ) n= Thomas Bolander, FUKBH 0 s. 7/24
18 Løsning på øvelsen En (uendelig) metode til at bestemme summen af rækken er følgende:. Tag enhedsintervallet og del op i 2. Fjern den ene halvdel. Det fjernede udgør rækkens første afsnit, s. 2. Del resten op i 3. Fjern den ene tredjedel. Det fjernede udgør nu s Del resten op i 4. Fjern den ene fjerdedel. Det fjernede udgør nu s Del resten op i 5. Fjern den ene femtedel. Det fjernede udgør nu s Det er klart at vi kan blive ved med at fjerne mere og mere af enhedsintervallet, men også at vi aldrig får brug for mere end dette enhedsinterval. Med andre ord gælder at rækkens sum er både mindst og højst, det vil sige,. Thomas Bolander, FUKBH 0 s. 8/24
19 En mere algebraisk løsning på øvelsen En mere algebraisk fremgangsmåde er følgende. Bemærk først at der gælder: (n + ) n = = n + n(n + ) n(n + ) n(n + ) n n(n + ) = n n + Dette kan benyttes til at lave følgende omskrivninger: s n = n(n+) = ( 2 ) + ( 2 3 ) + ( 3 4 ) + + ( n n+ ) = + ( ) + ( ) + + ( n + n ) n+ = n+ Det ses nu let at s n må gå mod når n går mod uendelig. Hvorfor er det pludselig OK at flytte rundt på paranteserne før vi ved om rækken konvergerer eller ej? Thomas Bolander, FUKBH 0 s. 9/24
20 Rækker og approksimationer Uendelige rækker har en enorm betydning i den moderne matematik og datalogi, især fordi disse rækker giver anledning til måder at approksimere tal og funktioner på. Denne anvendelse blev studeret allerede af Newton, Euler og Leibniz m.fl. Thomas Bolander, FUKBH 0 s. 20/24
21 Rækker og approksimationer Leibniz viste i 674 følgende berømte resultat: π = Dette giver en måde at beregne approksimationer af tallet π på, da ethvert afsnit af den uendelige række vil være en approksimation til π, og da vi kan få en vilkårlig præcis approksimation blot ved at medtage tilstrækkeligt mange led. Leibniz række tilnærmer sig π ret langsomt (der kræves næsten 300 led for blot at få de første 2 decimaler rigtigt). Moderne computere beregner i stedet π via følgende noget mere sofistikerede række, som blev fundet af Chudnovsky-brødrene i 987: π = n=0 Denne række giver 4 rigtige decimaler per led! (6n)!( n) (3n)!(n!) 3 ( ) 3n Thomas Bolander, FUKBH 0 s. 2/24
22 Approksimationer af funktioner En endnu større anvendelsesmæssig betydning har brugen af uendelige rækker til at approksimere funktioner. James Gregory ( ), Newton, Brook Taylor (685 73), Bernoulli og Colin Mclaurin ( ) arbejdede alle på dette problem (delvist uafhængigt). Mclaurin viste at der for enhver uendeligt differentiabel funktion f (x) gælder følgende: f (x) = f (0) + f (0)x + f (0) x 2 2! + f (0) x 3 3! + Dette er et specialtilfælde af det der i dag kaldes Taylors sætning, og den uendelige række kaldes i det generelle tilfælde en Taylor-række. Vi ved i dag at formlen ikke nødvendigvis gælder for alle værdier af x, men kun indenfor et såkaldt konvergens-interval rundt om x = 0. Dette interval er naturligvis afhængigt af valget af funktionen f (x). Hverken Taylor eller Mclaurin adresserede disse konvergensproblemer. Thomas Bolander, FUKBH 0 s. 22/24
23 Betragt igen Mclaurins formel: Taylor-rækker f (x) = f (0) + f (0)x + f (0) x 2 2! + f (0) x 3 3! + Approksimationerne formlen giver anledning til kan illustreres med følgende eksempel, hvor den blå kurve (eksponentialfunktionen) tilnærmes af den røde (afsnit af den uendelige række): led 2 led 3 led 4 led Thomas Bolander, FUKBH 0 s. 23/24
24 Anvendelser af Taylor-rækker Taylor-rækker har mange anvendelser: Integration af komplicerede funktioner, som ikke kan integreres med andre midler. Løsning af komplicerede differentialligninger. Generelt approksimationer af funktioner på computer. Senere i kurset skal vi se på Fourier-rækker, som er en alternativ metode til at approksimere funktioner via uendelige rækker. Disse afviger fra Taylor-rækker ved at de funktioner man tilnæmer med er sinus-funktioner fremfor polynomier. Fourier-rækker ligger blandt andet bag langt de fleste moderne komprimeringsalgoritmer for billed, lyd og video, f.eks. JPEG- og MPEG-kompressioner. Fourier-rækker og deres slætninge benyttes også i dag til f.eks. ansigtsgenkendelse. Kort sagt: De berømte matematikeres kamp for at forstå de uendelige rækkers inderste væsen har på ingen måde været spildte, og de fleste mennesker er i dag dagligt i berøring med teknologier, som kun er mulige som følge af disse matematikeres indsigter og teoretiske landvindinger. Thomas Bolander, FUKBH 0 s. 24/24
Her skal du lære om 1. Talfølge og talrække 2. Afsnitssum 3. Konvergens 4. Konvergente rækker har små led 5. Regneregler
Oversigt [S] 8.2 Her skal du lære om. Talfølge og talrække 2. Afsnitssum 3. Konvergens 4. Konvergente rækker har små led 5. Regneregler Calculus - 2003 Uge 4. - Uendelig række Definition Givet en talfølge
Læs merePotensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen
Potensrækker Morten Grud Rasmussen 1 10 november 2015 Definition og konvergens af potensrækker Definition 1 Potensrække) En potensrække er en uendelig række på formen a n pz aq n, 1) hvor afsnittene er
Læs mereMatematisk argumentation
Kapitlets omdrejningspunkt er matematisk argumentation, der især bruges i forbindelse med bevisførelse altså, når det drejer sig om at overbevise andre om, at matematiske påstande er sande eller falske.
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25
Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereVarmeligningen og cosinuspolynomier.
Varmeligningen og cosinuspolynomier. Projekt for MM50 Marts 009 Hans J. Munkholm 0. Praktiske oplysninger Dette projekt besvares af de studerende, som er tilmeldt eksamen i MM50 uden at være tilmeldt eksamen
Læs mereAlgebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber:
INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler
Læs mereDifferentialregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel
Læs mereKomplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet
Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N
Læs mereMM502+4 forelæsningsslides
MM502+4 forelæsningsslides uge 11+12 1, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1 I nærværende forbindelse er 11 + 12 23 1 Egenskaber for
Læs mereOm at udregne enkeltstående hexadecimaler i tallet pi
Om at udregne enkeltstående hexadecimaler i tallet pi I 996 var det en sensation, da det kom frem, at det var lykkedes D. Bailey, P. Borwein og S. Plouffe at finde en formel for tallet π, med hvilken man
Læs mereFraktaler. Vejledning. Et snefnug
Fraktaler Vejledning Denne note kan benyttes i gymnasieundervisningen i matematik i 1g, eventuelt efter gennemgangen af emnet logaritmer. Min hensigt har været at give en lille introduktion til en anderledes
Læs mereP2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering.
P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering. Vejledere: Leif K. Jørgensen, Diego Ruano 1. februar 2013 1 Indledning Temaet for projekter på 2. semester af matematik-studiet og matematikøkonomi-studiet
Læs mereGödels ufuldstændighedssætninger
Gödels ufuldstændighedssætninger Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige 2 Folkeuniversitetet i København, efteråret 2011 Thomas Bolander, FUKBH 11 s. 1/21 Gödels ufuldstændighedssætning
Læs mereEt udtryk på formena n kaldes en potens med grundtal a og eksponent n. Vi vil kun betragte potenser hvor grundtallet er positivt, altså a>0.
Konkrete funktioner Potenser Som udgangspunkt er brugen af potenser blot en forkortelse for at gange et tal med sig selv et antal gange. Hvis a Rskriver vi a 2 for a a a 3 for a a a a 4 for a a a a (1).
Læs mereI Indledning. I Indledning Side 1. Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 Nyt Teknisk Forlag. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen.
Side 1 0101 Beregn uden hjælpemidler: a) 2 9 4 6+5 3 b) 24:6+4 7 2 13 c) 5 12:4+39:13 d) (1+4 32) 2 55:5 0102 Beregn uden hjælpemidler: a) 3 6+11 2+2½ 10 b) 49:7+8 11 3 12 c) 4 7:2+51:17 d) (5+3 2) 3 120:4
Læs mereNogle didaktiske overvejelser vedrørende indledende undervisning i funktionsbegrebet i gymnasiet og nærværende hæftes nytte i så henseende.
Nogle didaktiske overvejelser vedrørende indledende undervisning i funktionsbegrebet i gymnasiet og nærværende hæftes nytte i så henseende. af Dinna Balling og Jørn Schmidt. Hæftet Lige og ulige sætter
Læs mereOpgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel
Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel 20. juni 2016 I Herons formel (Danielsen og Sørensen, 2016) er stillet en række opgaver, som her gengives. Referencer Danielsen, Kristian og
Læs mereLineære ligningssystemer
enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.
Læs mereEpistel E2 Partiel differentiation
Epistel E2 Partiel differentiation Benny Lautrup 19 februar 24 Funktioner af flere variable kan differentieres efter hver enkelt, med de øvrige variable fasthol Definitionen er f(x, y) x f(x, y) f(x +
Læs mereMatematiske metoder - Opgaver
Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.
Læs mere2. del. Reaktionskinetik
2. del. Reaktionskinetik Kapitel 10. Matematisk beskrivelse af reaktionshastighed 10.1. Reaktionshastighed En kemisk reaktions hastighed kan afhænge af flere forskellige faktorer, hvoraf de vigtigste er!
Læs mereHøjere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord
Læs mereDifferentialligninger. Ib Michelsen
Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3
Læs mereEpistemisk logik og kunstig intelligens
Epistemisk logik og kunstig intelligens Thomas Bolander, DTU Informatik Gæsteforelæsning i Kognitionsforskning II, CST, KU, efteråret 2009 Thomas Bolander, Kognitionsforskning II 09 s. 1/22 Logik Logik
Læs mereSamlet Funktion Køn Anciennitet Alder
Samlet Funktion Køn Anciennitet Alder Løn - hvor enig er du i følgende synspunkter: Lokalt aftalte løntillæg skal udgøre en større del af den samlede løn? ikke- TR % over Antal 44 TR 5 K 14 U 10 ÅR 16
Læs mereSubstitutions- og indkomsteffekt ved prisændringer
Substitutions- og indkomsteffekt ved prisændringer Erik Bennike 14. november 2009 Denne note giver en beskrivelse af de relevante begreber omkring substitutions- og indkomsteffekter i mikroøkonomi. 1 Introduktion
Læs mereNewton-Raphsons metode
Newton-Raphsons metode af John V. Petersen Indhold Indledning: Numerisk analyse og Newton-Raphsons metode... 2 Udlede Newtons iterations formel... 2 Sætning 1 Newtons metode... 4 Eksempel 1 konvergens...
Læs mereOm at løse problemer En opgave-workshop Beregnelighed og kompleksitet
Om at løse problemer En opgave-workshop Beregnelighed og kompleksitet Hans Hüttel 27. oktober 2004 Mathematics, you see, is not a spectator sport. To understand mathematics means to be able to do mathematics.
Læs mereRapport Bjælken. Derefter lavede vi en oversigt, som viste alle løsningerne og forklarede, hvad der gør, at de er forskellige/ens.
Rapport Bjælken Indledning Vi arbejdede med opgaverne i grupper. En gruppe lavede en tabel, som de undersøgte og fandt en regel. De andre grupper havde studeret tegninger af bjælker med forskellige længder,
Læs mereGæste-dagplejen D a g p lejen Odder Ko Brugerundersøgelse 2006
Gæste-dagplejen Dagplejen Odder Kommune Brugerundersøgelse 2006 Undersøgelsen af gæstedagplejeordningen er sat i gang på initiativ af bestyrelsen Odder Kommunale Dagpleje og er udarbejdet i samarbejde
Læs mereØvelse 10. Tobias Markeprand. 11. november 2008
Øvelse 10 Tobias Markeprand 11. november 2008 Kapitel 10 i Blanchard omhandler vækst, dvs. økonomien på det lange sigt. For at kunne foretage analyser af vækst og dets årsager må man kunne sammenligne
Læs mereOm at gå til mundtlig eksamen en manual for studerende
Om at gå til mundtlig eksamen en manual for studerende Hans Hüttel 14. juni 2005 Folk ytrer tit en meget forståelig utryghed ved det at gå til mundtlig eksamen. Eksamen er en unormal situation og som eksaminand
Læs mereOverordnet set kan man inddele matematikholdige tekster i to kategorier tekster i matematiksammenhænge og tekster i andre sammenhænge.
I Fælles Mål 2009 er faglig læsning en del af CKF et matematiske arbejdsmåder. Faglig læsning inddrages gennem elevernes arbejde med hele Kolorit 8, men i dette kapitel sætter vi et særligt fokus på denne
Læs mereViètes formel Jens Siegstad
6 Viètes formel Jens Siegstad Vi skal i denne artikel vise Viètes formel. Theorem 1 (Viètes formel) π = = a k + + hvor a n = + a n 1 for n > 1 og a 1 =. +... Ovenstående formel blev vist i 1593 af Francois
Læs mereLØN- OG PERSONALE- ADMINISTRATION I DANSKE VIRKSOMHEDER
LØN- OG PERSONALE- ADMINISTRATION I DANSKE VIRKSOMHEDER 2015 EXECUTIVE SUMMARY I marts og december 2015 gennemførte Bluegarden en undersøgelse med fokus på de største udfordringer inden for løn- og personaleadministration
Læs mereBernoullis differentialligning v/ Bjørn Grøn Side 1 af 10
Bernoullis differentialligning v/ Bjørn Grøn Side af 0 Bernoullis differentialligning Den logistise differentialligning er et esempel på en ie-lineær differentialligning Den logistise differentialligning
Læs mereDeskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium
Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,
Læs mereIntegralregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement
Læs mereSandsynlighedsregning 2. forelæsning Bo Friis Nielsen
Vigtigste nye emner i.,. og.5 Sandsynlighedsregning. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Siene Danmarks Tekniske Universitet 800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Binomialfordelingen
Læs mereOversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9
Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9 Nøgleord og begreber Potensrækker og opgaver Binomialformlen Binomialkoefficienter Binomialrækken Taylor polynomier Vurdering af Taylor s restled Eksponentialrækken konvereger
Læs mereAnalyse 1, Prøve 2 Besvarelse
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet maj Analyse, Prøve Besvarelse Opgave (3%) (a) (%) Bestem mængden af x R for hvilke rækken ( + (x) n ) er konvergent og angiv sumfunktionen
Læs mereGödels ufuldstændighedssætninger
Gödels ufuldstændighedssætninger Thomas Bolander, DTU Informatik UNF foredrag, HCØ, 13. april 2010 Thomas Bolander, UNF, F10 s. 1/34 Introduktion En populær formulering af Gödel s (første) ufuldstændighedssætning
Læs mereEgenskaber ved Krydsproduktet
Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereHvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8. 2011 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lru.
1.1 Introduktion: Euklids algoritme er berømt af mange årsager: Det er en af de første effektive algoritmer man kender i matematikhistorien og den er uløseligt forbundet med problemerne omkring de inkommensurable
Læs mereMatematik interne delprøve 09 Tesselering
Frederiksberg Seminarium Opgave nr. 60 Matematik interne delprøve 09 Tesselering Line Købmand Petersen 30281023 Hvad er tesselering? Tesselering er et mønster, der består af en eller flere figurer, der
Læs mereDen homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1
1/7 Den homogene ligning Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning a 0 d n y dt n + a1 d n 1 y dt n 1 hvor a 0,..., a n R og a 0 0. Vi skriver ligningen på kort form som + + dy
Læs mereArchimedes Princip. Frank Nasser. 12. april 2011
Archimedes Princip Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereIntroduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)
Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer
Læs mereTALEPAPIR DET TALTE ORD GÆLDER
TALEPAPIR DET TALTE ORD GÆLDER 1. Indledning Jeg er af kommunaludvalget blevet bedt om at svare på tre spørgsmål: Spørgsmål W om, hvorvidt der set i lyset af oplysninger fra EVA s seneste rapport om kommunernes
Læs mereEn Maple time med efterfølgende elevgruppe diskussion og refleksionssamtale med lærer.
Bilag 5 En Maple time med efterfølgende elevgruppe diskussion og refleksionssamtale med lærer. Indledning Vi har som led i projektet observeret en del lektioner, med helt eller delvis fokus på Maple-brug.
Læs mereUdviklingen af det moderne uendelighedsbegreb
Udviklingen af det moderne uendelighedsbegreb The development of the modern concept of infinity Af Ida Marie Friisberg og Christina Glentvor Skou Larsen Vejleder: Mogens Niss Ro Roskilde Universitet, IMFUFA,
Læs mereParadokser og Opgaver
Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen (MEL) Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på
Læs mereInformation. Stammeundervisning for skolebørn
Information Stammeundervisning for skolebørn Hvad er stammen? Stammen er brud i den almindelige tale, f.eks. i form af gentagelser af ord, stavelser eller lyd ud over, hvad de fleste af os oplever. Man
Læs mereFormler, ligninger, funktioner og grafer
Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,
Læs mereKompetenceafklaring. (www-adresse på vej) 109
Kompetenceafklaring Der er næppe tvivl om, at det både er nemmest og mest interessant at tjene penge, hvis man benytter sine stærkeste kompetencer. Det skulle man tro, alle gjorde, men det ser ikke ud
Læs mereHar undervisning og studieaktiviteter i de enkelte LG-moduler støttet dig i at opnå et udbytte svarende til kompetencemålene?
1 Læreruddannelsen UCL. Undervisningsevaluering. Fagevaluering LG, hovedområde: almen dannelse: KLM Fagevaluering 2014 114 studerende har besvaret spørgeskemaet. Alle fra årgang 2013. Uddannelsessted:
Læs mereInterview PH-Lampe(Mikkel, Lukas, Anders)
Interview PH-Lampe(Mikkel, Lukas, Anders) Gruppen producerer en bordlampe, som skal kunne give et godt lys uden at skinne i øjnene. Interviewer Respondent 1 Respondent 2 0:00 Når vi skal arbejde med it-redskaber
Læs mereOptimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering
Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen
Læs mereTalteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde.
Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske
Læs mereSom udgangspunkt var denne foretaget med henblik på, at man vil lave en afstemning om hvorvidt man ville anke retssagen i mod os i have 56.
Min forundring Når jeg læser skrivelse fra Strandparkens advokat ser jeg han blandt har skrevet: Under henvisning til Rettens fristudsættelse skal jeg oplyse at bestyrelsen hos min klient delvist er fratrådt(min
Læs mereKomplekse tal og polynomier
Komplekse tal og polynomier John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal, polynomier og legemsudvidelser. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med
Læs mereThomas Binderup, Jette Vestergaard Jul og Bo Meldgaard
Indhold i reformen Thomas Binderup, Jette Vestergaard Jul og Bo Meldgaard Folkeskolereformen som afsæt for fokus på læreprocesser I skoleåret 2014-2015 påbegyndtes arbejdet med at implementere den folkeskolereform,
Læs mereRelativitetsteori. Henrik I. Andreasen Foredrag afholdt i matematikklubben Eksponenten Thisted Gymnasium 2015
Relativitetsteori Henrik I. Andreasen Foredrag afholdt i matematikklubben Eksponenten Thisted Gymnasium 2015 Koordinattransformation i den klassiske fysik Hvis en fodgænger, der står stille i et lyskryds,
Læs mereTaylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel
enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier
Læs mereDet er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.
Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår
Læs mereMundtlig prøve i Matematik
Mundtlig prøve i Matematik Tirsdag d. 9. september 2014 CFU Sjælland Mikael Scheby NTS-Center Øst Dagens indhold Prøvebekendtgørelse highlights Vekselvirkning mellem formalia, oplæg og arbejde med eksempler
Læs mereVærkstedsarbejde i matematik i 5. klasse
Værkstedsarbejde i matematik i 5. klasse Om grundbogen Format er et læremiddel, som både har en grundbog med 8 hovedafsnit, et tilhørende evalueringsmateriale og til hvert af hovedafsnittene er der ligeledes
Læs mereReelle tal. Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.
Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 9. klasse handler om de reelle tal. Første halvdel af kapitlet har karakter af at være opsamlende i forhold til, hvad eleverne har arbejdet med på tidligere
Læs mereIntroduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak
Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk
Læs merenu været studeret i mere end to tusinde år, og litteraturen om det er meget stor.
7. Logik til hverdag Hvis et argument skal virke i en given situation, fordrer det ikke bare, at det er et logisk gyldigt argument. Gyldigheden skal også være indlysende. Argumentet skal være overbevisende.
Læs mereDen automatiske sanseforventningsproces
Den automatiske sanseforventningsproces Af forsknings- og institutleder Flemming Jensen Det kunne ikke gøres enklere. Jeg ved, at for nogle ser meget teoretisk ud, mens det for andre måske endda er for
Læs mereOplysningsskema til brug for ansøgning om støtte til køb af bil eller afgiftsfritagelse efter servicelovens 114.
til brug for ansøgning om støtte til køb af bil eller afgiftsfritagelse efter servicelovens 114. Formålet med at udfylde dette skema er at sikre, så nøjagtige og korrekte oplysninger som muligt, til brug
Læs mereIndholdsfortegnelse. DUEK vejledning og vejleder Vejledning af unge på efterskole
Indholdsfortegnelse Indledning... 2 Problemstilling... 2 Problemformulering... 2 Socialkognitiv karriereteori - SCCT... 3 Nøglebegreb 1 - Tro på egen formåen... 3 Nøglebegreb 2 - Forventninger til udbyttet...
Læs mereKill Your Darling. Manuskript af Michael Valentin og Lin Alluna. Gennemskrivning: 7. Dato: 31/3-2008
Kill Your Darling Manuskript af Michael Valentin og Lin Alluna Gennemskrivning: 7. Dato: 31/3-2008 1 Scene 1 INT. FORHAL På SGI (STATENS GENINSTITUT) - DAY Lægen (30) går gennem forhallen og hilser på
Læs mereFibonacci følgen og Det gyldne snit
Fibonacci følgen og Det gyldne snit af John V. Petersen Indhold Fibonacci... 2 Fibonacci følgen og Binets formel... 3... 4... 6... 6 Bevis for Binets formel... 7 Binets formel fortæller os, at...... 9...
Læs mereInterview med K, medhjælper i Hotel Sidesporets restaurantkøkken
BILAG H Interview med K, medhjælper i Hotel Sidesporets restaurantkøkken Informanten var udvalgt af Sidesporets leder. Interviewet blev afholdt af afhandlingens forfattere. Interview gennemført d. 24.09.2015
Læs mereAllan C. Malmberg. Terningkast
Allan C. Malmberg Terningkast INFA 2008 Programmet Terning Terning er et INFA-program tilrettelagt med henblik på elever i 8. - 10. klasse som har særlig interesse i at arbejde med situationer af chancemæssig
Læs mereMundtlig prøve i Matematik
Mundtlig prøve i Matematik Mandag d. 9. september 2013 CFU Sjælland Mikael Scheby Dagens indhold Velkomst, præsentation, formål med dagen Vekselvirkning mellem formalia, oplæg og arbejde med eksempler
Læs mereDelprøven uden hlælpemidler
Matematik B - Juni 2014 Af hensyn til CAS-programmet er der anvendt punktum som decimaltegn. Delprøven uden hlælpemidler Opgave 1 AB=8, A1B=12, AC=10 Opgave 2 Hvor y er salget af øko. fødevarer i mio.
Læs mereFørst falder den med 20% af 100 = 20 kr, dernæst stiger den med 30% af 80 = 24 kr. Der er 91 dage mellem datoerne, svarende til 13 uger.
ud af deltagere må være børn, da der er dobbelt så mange børn som voksne. Derfor er der i alt børn med på skovturen. ud af børn må være piger, da der er dobbelt så mange piger som drenge. Det vil sige,
Læs mereGRID. Intern faglig debat på Kunstakademiets Arkitektskole, Afd 6. N 38 Oktober 2000 - Særnummer i samarbejde med Pro 2
GRID Intern faglig debat på Kunstakademiets Arkitektskole, Afd 6 Einig zu sein ist göttlich und gut; woher ist die Sucht denn Unter den Menschen, daß nur Eines und Einer nur sei? HÖLDERLIN N 38 Oktober
Læs mereANALYSE 1, 2014, Uge 5
ANALYSE, 204, Uge 5 Afleveringsfrist for Prøve 2 er Tirsdag den 20/5 kl 0:5. Forelæsninger Tirsdag Vi går videre med Afsnit 4 om uniform konvergens af Fourierrækker, hvor hovedsætningen er Sætning 4.3.
Læs mereAristoteles Metafysik 2. bog (a) oversat af Chr. Gorm Tortzen
Aristoteles Metafysik 2. bog (a) oversat af Chr. Gorm Tortzen Indledning Denne lille bog (eller fragment af en bog, kaldet Lille alfa ) er en selvstændig introduktionsforelæsning til fysikken, dvs. det
Læs mereKombinatoriske Spil. Noter til QGM Math Club af Tobias Kildetoft
Kombinatoriske Spil Noter til QGM Math Club af Tobias Kildetoft 1 Forord Disse noter er i stor grad baseret på bogen Lessons in Play af Michael H. Albert, Richard J. Nowakowski og David Wolfe (fra nu af
Læs mereNaturvidenskabelig metode
Naturvidenskabelig metode Introduktion til naturvidenskab Naturvidenskab er en betegnelse for de videnskaber der studerer naturen gennem observationer. Blandt sådanne videnskaber kan nævnes astronomi,
Læs mereInvesterings- og finansieringsteori, F05, ugeseddel 3
18. februar 2005 Rolf Poulsen AMS Investerings- og finansieringsteori, F05, ugeseddel 3 Seneste forelæsninger Tirsdag 15/2: Afsnit 3.2 og 3.3 indtil eksempel 5. Fredag 18/2: Resten af afsnit 3.3, afsnit
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25
Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion
Læs mereEksempler på elevbesvarelser af gådedelen:
Eksempler på elevbesvarelser af gådedelen: Elevbesvarelser svinger ikke overraskende i kvalitet - fra meget ufuldstændige besvarelser, hvor de fx glemmer at forklare hvad gåden går ud på, eller glemmer
Læs mereSansernes og forstandens tvivlsomme brugbarhed
Sansernes og forstandens tvivlsomme brugbarhed I de syditalienske byer Kroton og Elea opstod omkring 500 f.v.t. to filosofiske retninger, som fik stor betydning for senere tænkning og forskning. Den ene
Læs meredobbeltliv På en måde lever man jo et
Internettet er meget mere end det opslags - værk, de fleste af os bruger det som. Artiklen åbner for en af nettets lukkede verdener: spiseforstyrrede pigers brug af netforums. ILLUSTRATIONER: LISBETH E.
Læs mereMatematik B Klasse 1.4 Hjemmeopaver
Matematik B Klasse 1.4 Hjemmeopaver 1) opgave 336, side 23 Opgaven går ud på at jeg skal finde ud af hvor gamle børnene højst kan være, når forældrene tilsammen er 65 år og de skal være 40 år ældre end
Læs mereTaylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel
enote 4 1 enote 4 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 19 og enote 21 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier i
Læs mereBilag 6. Transskription af interview med Emil
Bilag 6 Transskription af interview med Emil Alder? 18 år gammel Hvilket klassetrin? Jeg går i 2.g Dig med tre ord? Engageret målrettet, det ved jeg ikke hvad det tredje skulle være. Pligtopfyldende? Hvad
Læs mereSucceskriterier og mål for projektet
Page 1 of 5 Succeskriterier og mål for projektet Individuelle Lasse Bager: Min personlige målsætning med det her projekt er først og fremmest at lave et projekt at jeg og hele gruppen i sidste ende vil
Læs mereHvad er socialkonstruktivisme?
Hvad er socialkonstruktivisme? Af: Niels Ebdrup, Journalist 26. oktober 2011 kl. 15:42 Det multikulturelle samfund, køn og naturvidenskaben. Konstruktivisme er en videnskabsteori, som har enorm indflydelse
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder
Matematisk modellering og numeriske metoder Morten Grud Rasmussen 5. september 2016 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).
Læs mereANALYSE 1, 2014, Uge 6
ANALYSE 1, 2014, Uge 6 Forelæsninger Tirsdag Topologiske begreber i generelle metriske rum, dvs. begreber som åbne og afsluttede delmængder og rand af en mængde. For talrummene R k er disse begreber indført
Læs mere