Side 1 af 19 sider. Danmarks Tekniske Universitet. Skriftlig prøve: 15. december 2007 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402

Transkript

1 Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 19 sider. Skriftlig prøve: 15. december 2007 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer) (underskrift) (bord nr) Opgavesættet består af 30 spørgsmål af multiple choice typen fordelt på 12 opgaver. Besvarelserne af multiple choice spørgsmålene anføres ved at udfylde skemaet på forsiden (denne side), med numrene på de svarmuligheder, du mener er de korrekte. Et forkert svar kan rettes ved at sværte det forkerte svar over og anføre det rigtige i stedet. Er der tvivl om meningen med en rettelse, eller er der anført flere end ét nummer ved et spørgsmål, betragtes spørgsmålet som ubesvaret. Kladde, mellemregninger eller andet tillægges ingen betydning, kun svarene i tabellen tæller. Der gives 5 point for et korrekt multiple choice svar og 1 for et ukorrekt svar. Ubesvarede spørgsmål eller et 6-tal (svarende til ved ikke ) giver 0 point. Det antal point, der kræves for, at et sæt anses for tilfredstillende besvaret, afgøres endeligt ved censureringen af sættene. Den endelige besvarelse af opgaverne gøres ved at udfylde nedenstående skema. Aflever KUN skemaet! Opgave I.1 I.2 II.1 II.2 II.3 III.1 IV.1 V.I V.2 V.3 Spørgsmål (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) Svar Opgave V.4 VI.1 VI.2 VII.1 VII.2 VII.3 VIII.1 VIII.2 VIII.3 VIII.4 Spørgsmål (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) Svar Opgave IX.1 IX.2 IX.3 X.1 X.2 X.3 XI.1 XI.2 XI.3 XII.1 Spørgsmål (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) Svar Husk at forsyne opgavesættet med dit nummer. Sættets sidste side er nr 19; blad lige om og se, at den er der. Fortsæt på side 2 1

2 Multiple choice opgaver Der gøres opmærksom på, at ideen med opgaverne er, at der er ét og kun ét rigtigt svar på de enkelte spørgsmål. Endvidere er det ikke givet, at alle de anførte alternative svarmuligheder er meningsfulde. Opgave I I denne opgave betragter vi 8 uafhængige målinger af produktionstiden af et produkt P. Målingerne var (i minutter): { } Spørgsmål I.1 (1): Medianen for ovenstående målinger bliver: Spørgsmål I.2 (2): To nye målinger blev hhv og minutter. Hvilket af følgende udsagn vedrørende det samlede sæt af 10 målinger i forhold til det oprindelige sæt af 8 målinger er korrekt? 1 Den nedre kvartil ændrer sig ikke 2 Den øvre kvartil ændrer sig ikke 3 Medianen forbliver den samme 4 Gennemsnittet bliver det samme 5 Spredningen er den samme Fortsæt på side 3 2

3 Opgave II Fra en produktion af elpærer er der udtaget i alt 1000 elpærer fordelt med 250 pærer fra hver af 4 produktionslinier. Pærerne er inspiceret for fejl. Alle pærer er karakteriseret som fejlfri eller med fejl. Resultaterne blev som vist i følgende tabel: Fejlfri Med fejl Linie A Linie B Linie C Linie D I alt Spørgsmål II.1 (3): Hvis man ønsker at undersøge, om sandsynlighederne for fejl kan være de samme for de fire produktionslinier, kan dette gøres ved hjælp af én af følgende metoder. Hvilken? 1 Ensidet variansanalyse 2 χ 2 test med 4 frihedsgrader 3 Parret t test med 3 frihedsgrader 4 χ 2 test med 3 frihedsgrader 5 Tosidet variansanalyse Man konkluderer, at der ikke er væsentlig forskel på de fire produktionslinier mht. fejlsandsynligheder. Herefter interesserer man sig for den fælles sandsynlighed for fejl, som kaldes p. Spørgsmål II.2 (4): For p, gældende for alle 4 produktionslinier, findes nu det sædvanlige estimat og tilhørende 95% konfidensinterval som: (afrundet til 2 decimaler) hhv. ca. [0.12, 0.16] hhv. ca. [0.84, 0.88] hhv. ca. [0.14, 0.19] hhv. ca. [0.13, 0.19] hhv. ca. [0.10, 0.14] Fortsæt på side 4 3

4 Spørgsmål II.3 (5): For en femte produktionslinie kender man ikke fejlsandsynligheden, men man forventer den ligger på omkring 10%. Man ønsker at kende denne andel med en præcision, der svarer til et 99% konfidensinterval på plus/minus Hvor mange elpærer skal man udtage i den nye undersøgelse? 1 Omtrent ( ) Omtrent 1 4 ( ) Omtrent 1 4 ( ) Omtrent 9 10 ( ) Omtrent ( ) Opgave III Man har en produktion af tabletter, som sælges i glas med 100 tabletter. Man regner med, erfaringsmæssigt, at ca. 1% af alle tabletter kan have større eller mindre fejl som afskalninger og lignende. Spørgsmål III.1 (6): Hvor stor er sandsynligheden for, at et glas, som en forbruger køber, er helt uden fejl (af nævnte art): Fortsæt på side 5 4

5 Opgave IV Betragt en stokastisk variabel, X, som antages binomialfordelt med n = 1000 og p = 0.03, dvs. X b(x;1000,0.03). Spørgsmål IV.1 (7): Hvilken af følgende fordelinger egner sig som approximation til X s fordeling: 1 N(1000,3 2 ) (normalford.) 2 N(30, ) (normalford.) 3 χ 2 (3) (χ 2 fordeling med 3 frihedsgrader) 4 Poissonfordeling med λ = 3 5 Poissonfordeling med λ = 1.96 Fortsæt på side 6 5

6 Opgave V I et studium af en mulig indflydelse af krom i kosten på diabetes symptomer blev 12 rotter fodret med en lav-krom diæt og 8 blev fodret med en normal diæt. Én respons-variabel var aktiviteten af et lever enzym, GITH, som blev målt ved hjælp af et radioaktivt mærket protein. Data var: Enzymaktivitet Diæt Lavt krom Normalt x = x = s 2 = s 2 = Spørgsmål V.1 (8): Angiv den sædvanlige teststørrelse, t, idet man ønsker at teste om lavkrom diæten giver samme middelaktivitet af lever enzymet GITH som en normal diæt gør t = (1/12+1/8) t = ( / /2)(1/12+1/8) 3 t = t = t = ( ) (1/12+1/8) Fortsæt på side 7 6

7 Spørgsmål V.2 (9): Angiv den sædvanlige teststørrelse for, om der er forskel på de to varianser ( ) ( ) Spørgsmål V.3 (10): Et 95% konfidensinterval for spredningen σ for GITH aktiviteten i normaldiætgruppen er givet ved: < σ < < σ < < σ < < σ < < σ < Spørgsmål V.4 (11): Man ønsker i en ny undersøgelse at bestemme middelniveauet for GITH aktiviteten i normalgruppen med en nøjagtighed svarende til, at et 95% konfidensinterval har en samlet bredde på 1. Angiv det omtrentlig krævede antal rotter man skal bruge i en sådan undersøgelse. 1 n = 1 4 ( /0.5) n = 1 4 ( ) n = 1 4 ( /0.5) n = ( /0.5) n = ( /1) 2 40 Fortsæt på side 8 7

8 Opgave VI En stokastisk variabel X er normalfordelt med middelværdi µ = 30.7 og spredning σ = Spørgsmål VI.1 (12): Angiv 8% fraktilen i denne fordeling: ± Spørgsmål VI.2 (13): Man har nu to uafhængige stokastiske variable X 1, X 2 med samme fordeling som ovenfor. Hvilken fordeling har det vægtede gennemsnit Y = 1 3 X X 2? 1 N( 30.7,σ 2 ), hvor σ = 8.39/3 2 χ 2 -fordeling med 1 frihedsgrad 3 N( 30.7,σ 2 ), hvor σ = /3 4 N( 30.7,σ 2 ), hvor σ = 8.39/ 2 5 En hypergeometrisk fordeling Fortsæt på side 9 8

9 Opgave VII I et forsøg i en produktionsvirksomhed ønsker man at sammenligne produktionstiden for 4 alternative produkter (A, B, C og D). Der er 5 målinger for hvert produkt (i minutter), dvs. 20 observationer i alt. For disse data har man estimeret middelværdi og spredning (også kaldet standardafvigelse): A B C D Estimeret middelværdi Estimeret spredning Spørgsmål VII.1 (14): I en ensidig variansanalyse af disse data, hvad bliver mellem-gruppe kvadratsummen (SS(Tr))? 1 1 [ 4 ( ) 2 + ( ) 2 + ( ) 2 + ( ) 2] 2 4[ ] 3 5 [ ( ) 2 + ( ) 2 + ( ) 2 + ( ) 2] [ ] Spørgsmål VII.2 (15): Angiv den kritiske værdi for det test, hvor vi ønsker at teste, om produktionstiden for de 4 produkter kan antages at være ens i middel og anvender signifikansniveau α =1%. 1 t (20) = Z 0.99 = F 0.01 (3,16) = t 0.01 (16) = F 0.01 (4,20) = 4.43 Fortsæt på side 10 9

10 Spørgsmål VII.3 (16): Antag nu, at produktionstiden for de 4 produkter ikke kan antages at være ens i middel. Angiv et estimat af forsøgsfejlens varians, ˆσ [ ] 2 1 [ 2 ( ) 2 + ( ) 2 + ( ) 2 + ( ) 2] [ ] 5 4 [ ( ) 2 + ( ) 2 + ( ) 2 + ( ) 2] Fortsæt på side 11 10

11 Opgave VIII I et studie af dækslitage monterede man dæk af et vist fabrikat på en bil. For hver 3000 km målte man dybden af mønsteret i tusindedele tommer på seks udvalgte steder på hvert dæk og registrerede gennemsnittet af de 24 målinger. Dette gennemsnit kaldes slidbanedybden, y. Tabellen nedenfor viser målingerne. Obs nr i målervisning x i (km) Slidbanedybde y i Man foretog en lineær regressionsanalyse af slidbanedybden, y, mod målervisningen i km, x i Splus med følgende resultater: Call: lm(formula = y ~ x) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Value Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) x Residual standard error: on 8 degrees of freedom Multiple R-Squared: F-statistic: 1338 on 1 and 8 degrees of freedom, the p-value is 3.417e-10 Correlation of Coefficients: (Intercept) x Fortsæt på side 12 11

12 Spørgsmål VIII.1 (17): Hvad er 95% konfidensintervallet for hældningskoefficienten i den anvendte model? ± ± ± ± ± 1.96 Spørgsmål VIII.2 (18): Hvad er korrelationskoefficienten mellem x og y (afrundet til 3 decimaler)? , idet sammenhængen er signifikant Spørgsmål VIII.3 (19): Et estimat for modellens residualvarians σ 2 bliver: ( 3.399) Fortsæt på side 13 12

13 Spørgsmål VIII.4 (20): Hvad vil man forvente, at slidbanedybden er (i tusindedele tommer) når man har kørt km? 1 ca ca ca ca ca. 530 Opgave IX Vi har følgende ufuldstændige ANOVA tabel: Source DF Sum of square Mean square F Behandling (a) (c) Error (b) Total * * Spørgsmål IX.1 (21): Hvor mange observationer har man i alt haft? Fortsæt på side 14 13

14 Spørgsmål IX.2 (22): Angiv de manglende tal (a), (b) og (c) fra tabellen: 1 (a)= , (b)= , (c)= (a)= 12.12/7, (b)= 18.90/28, (c)= 12.12/ /28 3 (a)= 12.12/7, (b)= ( )/35, (c)= 12.12/7 ( )/35 4 (a)= , (b)= ( ) 2 /28, (c)= 12.12/ /35 5 (a)= 12.12/7, (b)= ( )/21, (c)= 12.12/7 ( )/21 Spørgsmål IX.3 (23): Angiv den kritiske værdi for det test, hvor vi ønsker at finde ud af om grupperne er forskellige i middel og anvender signifikansniveau α =5%. 1 t (28) = z = F 0.05 (8,35) = F 0.05 (7,28) = t (21) = 2.08 Fortsæt på side 15 14

15 Opgave X Det er kendt, at en ikke ubetydelig del af alle producerede 512 MB RAM-hukommelser er defekte. Ved inspektion og destruktion af defekte emner prøver man at sikre sig, at en betydelig mindre del af dem, der rent faktisk bliver sendt på markedet, er defekte. I en undersøgelse fandt man i en stikprøve bestående af 200 RAM-hukommelser før inspektion 18 defekte, mens man i en anden stikprøve af 1000 RAM-hukommelser efter inspektion fandt 25 defekte. Spørgsmål X.1 (24): Hvis den sande andel af defekte RAM-hukommelser efter inspektionen er 2.5%, og man køber 5 (tilfældig udvalgte) RAM-hukommelser, hvad er da chancen for, at netop en af disse er defekt? Spørgsmål X.2 (25): Vi ønsker at teste nulhypotesen om, at fejlandelen efter inspektion er 2% mod alternativet, at den er større. En passende konklusion og udførelse af dette er givet ved: 1 Accepterer, idet er mindre end den kritiske værdi z 0.05 = Forkaster, idet (25 20) ( )2 980 er større end den kritiske værdi χ = Accepterer, idet (25 20) ( )2 980 er større end den kritiske værdi χ = Forkaster, idet er mindre end den kritiske værdi z = Accepterer, idet er mindre end den kritiske værdi z 0.05 = Fortsæt på side 16 15

16 Spørgsmål X.3 (26): En passende teststørrelse for hypotesen om, at andelene før og efter inspektion er ens, kan findes ved: 1 ( ) ( ) ( ) ( ) /200+1/ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 25 Fortsæt på side 17 16

17 Opgave XI Nedenstående viser resultaterne fra et eksperiment med et lægemiddel. I eksperimentet er tilgængeligheden af det aktive stof i piller undersøgt, idet der foreligger 4 alternative formuleringer A, B, C og D. Målingerne blev foretaget på 3 forskellige laboratorier, og måleresultaterne angiver mængden (i mg) af aktivt stof, som er opløst efter 15 minutter. Der haves i alt 12 observationer. Fra virksomhedens statistikafdeling er der fremsendt følgende beregninger (fra Splus) svarende til den sædvanlige model : Y ij = µ + α i + β j + ɛ ij, hvor ɛ ij N(0,σ 2 ). Analysis of Variance Table Response: y Terms added sequentially (first to last) Df Sum of Sq Mean Sq F Value Pr(F) Formulering Laboratorium Residuals Spørgsmål XI.1 (27): Man ønsker primært at undersøge, om der er forskel på tilgængeligheden (målt ved opløseligheden) af de fire formuleringer. Den relevante teststørrelse og tilhørende testfordeling er: 1 ( ) χ 2 (2) F(3,6) F(3,2) F(3,6) F(2,6) Fortsæt på side 18 17

18 Spørgsmål XI.2 (28): Hvad er konklusionerne vedrørende eventuelle forskelle på henholdsvis Laboratorier og Formuleringer? 1 Ingen forskel på Formuleringer, men signifikant forskel på Laboratorier 2 Ingen forskel på Laboratorier, men signifikant forskel på Formuleringer 3 De er store 4 Ingen forskel på Laboratorier, og ingen forskel på Formuleringer 5 Signifikant forskel på såvel Laboratorier som Formuleringer Spørgsmål XI.3 (29): Angiv et rimeligt estimat for variansen af den tilfældige variation, dvs. σ 2. 1 σ ɛ 2 = σ ɛ 2 = σ ɛ 2 = σ ɛ 2 = / σ ɛ 2 = Fortsæt på side 19 18

19 Opgave XII En pharmaceutisk virksomhed vil sammenligne biotilgængeligheden af en ny formulering (A) med biotilgængeligheden af den hidtige markedsførte formulering (B). For 6 forsøgsdyr målte man det såkaldte AUC index (Area Under blood level Curve) for begge de to formuleringer: Dyr nr Formul. A Formul. B Spørgsmål XII.1 (30): Hvilken af følgende analysemetoder vil være egnet til at sammenligne biotilgængeligheden for de to formuleringer: 1 En lineær regressionsanalyse 2 Et parret t-test 3 En ensidet variansanalyse (med to grupper) 4 Et χ 2 test for sammenligning af 6 binomialfordelinger 5 Et χ 2 test for uafhængighed mellem kategorierne formulering og dyr Slut på opgavesættet. GOD JUL! 19