02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser i kapitel 4

Størrelse: px

Starte visningen fra side:

Download "02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser i kapitel 4"

Johan Andersen
9 år siden
Visninger:

1 0202 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser i kapitel Hjemmeopgaver Vejledende løsning.2 Eksperimentet kan beskrives ved binomialfordelingen, X b(x; n, p), hvor n = og p = 1 2. Dermed kan man beregne: ( n P (antal krone) = P (X = x) = p x) x (1 p) n x Sandsynligheden for at slå ingen krone (og dermed plat): ( ) P (0 krone) = P (X = 0) = ( )0 (1 1 2 ) 0 = ( 1 2 ) På samme måde beregnes de øvrige udfald: ( P (1 krone) = P (X = 1) = ( 1) 1 2 )1 (1 1 2 ) 1 = ( 1 2 ) ( ) P (2 krone) = P (X = 2) = ( )2 (1 1 2 ) 2 = 6 ( 1 2 ) ( P (3 krone) = P (X = 3) = ( 3) 1 2 )3 (1 1 2 ) 3 = ( 1 2 ) P ( krone) = P (X = ) = ( ) ( 1 2 ) (1 1 2 ) = ( 1 2 ) Sansynlighederne kan afbildes i et bar chart (søjlediagram), således at man har en figur for tæthedsfunktionen. Ovenstående sandsynligheder kunne også være fundet ved hjælp af tabel 1, idet man bemærker, at P (X = x) = P (X x) P (X x 1) I R Alternativt kunne opgaven løses i R vha. dbinom. > a=dbinom(0,,1/2) > b=dbinom(1,,1/2) > c=dbinom(2,,1/2) > d=dbinom(3,,1/2) > e=dbinom(,,1/2) > > y<-c(a,b,c,d,e) > y [1]

2 Dette plotter vi nu i R vha. fã lgende kode > plot(y, type="o", col="blue", ann=false, axes=false) > axis(1, at=1:5, lab=c("0","1","2","3","")) > axis(2) > > title(xlab= "Antal kroner", col.lab=rgb(0,0.5,0)) > title(ylab= "Sandsynlighed", col.lab=rgb(0,0.5,0)) Sandsynlighed Antal kroner Vejledende løsning.16 (6ed:.1) Der er oplyst p = 0.0, og man skal beregne sandsynligheden for succes i ud af 12, hvilket klart kan beskrives ved en binomialfordeling når rørene er uafhængige. Hermed fås: P ( rør) = P (X = ) = ( ) 12 (0.) (1 0.0) 12 = 95 (0.0256) (0.0167) =

3 Opgaven kunne også være løst vha tabel 1: P (X = ) = P (X ) P (X 3) = = I R Her kan den også løses på samme måde, vi skriver dem op i så de passer til rækkefølgen ovenfor. > dbinom(,12,0.) [1] > pbinom(,12,0.)-pbinom(3,12,0.) [1] Vejledende løsning.21(6ed:.19) Producenten påstår, at P (for lidt kaffe i glas) = 0.1. Der tages stikprøver a n = 16, og producentens påstand godkendes, hvis der er færre end 3 glas, hvori indholdet er for lavt. a) Hvis den faktiske andel med for lidt kaffe er p = 0.05, findes > pbinom(2,16,0.05) [1] P (X 2) = B(2; 16, 0.05) = b) Hvis den faktiske andel med for lidt kaffe er p = 0.10, findes > pbinom(2,16,0.1) [1] P (X 2) = B(2; 16, 0.10) = c) Hvis den faktiske andel med for lidt kaffe er p = 0.15, findes > pbinom(2,16,0.15) [1] P (X 2) = B(2; 16, 0.15) = d) Hvis den faktiske andel med for lidt kaffe er p = 0.20, findes > pbinom(2,16,0.2) [1] P (X 2) = B(2; 16, 0.20) = Vejledende løsning.2(6ed:.22) Opgaven kan opfattes som stikprøvetagning uden tilbagelægning, dvs. sandsynligheden skal beregnes vha den hypergeometriske fordeling. Vi definerer: N = 12 a = 3 3

4 n = x = 1 (bemærk at man også kunne have formuleret a = 9 og x = 3) ( ) ( ) a N a x n x f(x) = P (X = x) = ( ) N n ( ) ( ) P (X = 1) = ( ) = Den hypergeometriske fordeling findes også i R som (hyper), men den har en anden form end i lærebogen og vi vil derfor ikke gennemgå den her. Øvelser Vejledende løsning.13(6ed:.11) a) Ved direkte opslag i tabel 1, side 576, P (X 7) = B(7; 19, 0.5) = > pbinom(7,19,0.5) [1] b) b(7; 19, 0.5) = 0.12 > dbinom(7,19,0.5) [1] c) B(8; 10, 0.95) = > pbinom(8,10,0.95) [1] d) b(8; 10, 0.95) = > dbinom(8,10,0.95) [1] e) 1 B(3; 10, 0.35) = > 1-pbinom(3,10,0.35) [1] f) B(; 9, 0.3) B(1; 9, 0.3) = > pbinom(,9,0.3)-pbinom(1,9,0.3) [1]

5 Vejledende løsning.15(6ed:.13) P (human error) = p = 0.7, n = og x = 2. Dermed fås: ( ) P (X = 2) = b(2;, 0.75) = (1 0.75) 2 = > dbinom(2,,0.75) [1] Bemærk, at løsningen også kunne fås ved tabelopslag, idet P (X = 2) = P (X 2) P (X 1) > pbinom(2,,0.75) - pbinom(1,,0.75) [1] Vejledende løsning.19 Det oplyses P (ready to eat) = p = 0.9, dvs. P (not ready to eat) = (1 p) = 0.1. Desuden har vi n = 18. a) x = 18 gode, P (X = 18) = 1 P (X 17) = 0.15 (bemærk, at opgaven også kan løses ved at vælge 1 p = 0.1 og dermed finde sandsynligheden for x = 0 dårlige) > 1-pbinom(17,18,0.9) [1] b) Med 1 p = 0.1 skal vi finde for x 2, dvs. P (X 2) = 0.73 > pbinom(2,18,0.1) [1] c) Med 1 p = 0.1 skal vi finde for x, dvs. P (X ) = 1 P (X 3) = > 1-pbinom(3,18,0.1) [1] Vejledende løsning.32(6ed:.30) Ved at bruge formel for middelværdi og varians for en diskret stokastisk variabel, findes a) b) σ 2 = µ = 3 x i f(x i ) = = 1 i=0 3 (x i µ) 2 f(x i ) = (0 1) 2 0.+(1 1) (2 1) (3 1) = 1 i=0 5

6 Vejledende løsning.1(6ed:.39) Idet vi betragter udfald fra en binomial fordeling, anvendes formlerne: a) µ = 338 og σ = 13 b) µ = 120 og σ = 10 c) µ = 2 og σ =.8 d) µ = 520 og σ = 13.9 µ = n p σ 2 = n p(1 p) σ = n p(1 p) Vejledende løsning.57(6ed:.55) Vi betragter nu en Poisson fordelt variabel, X P (λ), hvor λ = 5.8. Vi søger nu at finde sandsynligheden: P (inaktiv) = P (X 13) = 1 P (X 12) = = > 1-ppois(12,5.8) [1] Vejledende løsning.59(6ed:.57) Der er igen tale om en Poisson fordelt variabel, idet vi betragter intensitet af kundeankomster, hvor λ = 1.5 a) P (X ) = > ppois(,1.5) [1] b) For en 2-minuts periode har vi λ = = 3 og dermed P (X 3) = 1 P (X 2) = > 1-ppois(2,3) [1] c) For en 6-minuts periode har vi λ = = 9 og dermed P (X 15) = > ppois(15,9) [1] Vejledende løsning Ropg3.3.1 Der er tale om en binomialfordeling med n = 10 og p = 0.6, og den angivne sandsynlighed er P (X = ) som i bogen også kaldes b(; 10, 0.6). 6

7 Vejledende løsning Ropg3.3.2 De to sandsynligheder, der er oplyst er fã lgende: P (X ) = P (X 5) = Man får således de Ã nskede sandsynligheder som: P (X 5) = P (X < 5) = P (X ) = P (X > ) = 1 P (X ) = = P (X = 5) = P (X 5) P (X ) = = Vejledende løsning Ropg3.3.3 Der er tale om en poissonfordeling med λ = 3, og den angivne sandsynlighed er Vejledende løsning Ropg3.3. P (X = ) = 3 e 3.! De to sandsynligheder, der er oplyst er fã lgende: P (X ) = P (X 5) = Man får således de Ã nskede sandsynligheder som: P (X 5) = P (X < 5) = P (X ) = P (X > ) = 1 P (X ) = = P (X = 5) = P (X 5) P (X ) = =

Relaterede dokumenter

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Stokastiske Variable

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Stokastiske Variable Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800