Er der en positiv sammenhæng mellem volatilitet og afkast? - En undersøgelse af aktier i S&P 500

Transkript

1 D E T S A M F U N D S V I D E N S K A B E L I G E F A K U L T E T Ø k o n o m i s k I n s t i t u t K Ø B E N H A V N S U N I V E R S I T E T Kandidatspeciale (Finance) Kasper Emil Schmidt Olsson Er der en positiv sammenhæng mellem volatilitet og afkast? - En undersøgelse af aktier i S&P 500 Vejleder: Hans Bay Antal ECTS: 30 Afleveret den: 14/04/2014 i

2 Abstract This thesis is about the relationship between risk and return. CAPM predicts a positive relation between volatility and expected returns, but new literature have shown that the relationship is rather negative than positive and that low volatility stocks outperform high volatility stocks. More authors have joined the discussion and some studies also show, that the relationship is actually positive and the differences between the findings, are down to different data and general methods. In this thesis a test of the relationship between risk and return is tested in the S&P 500 index. The author tries different measures of volatility, portfolio weighting, mean types and portfolio timespan. The author also estimates Jensen s s to compare the risk-adjusted returns from the different portfolios. In this study the relationship between risk and return is shown to be positive for total returns in the S&P 500 index, in the period 1990 to 2013, both years included. The results are robust for all the methods tried, even though there is quite a lot of difference between the different spreads. In general the market-cap weighted portfolios show a much larger growth in high volatilty stocks than the equal weighted portfolios. The conclusions remains the same though. The spreads between highest and lowest volatilty portfolios are 19,74 percent points and 5,2 percent points, for geometric averaged yearly portfolio returns. The big differences is caused by the choice of volatility timespan and portfolio weighting. Estimation of risk-adjusted returns, the s, show that low volatility stocks outperforms high volatility stocks. This conclusion is not robust though. Market-cap weighted portfolios estimates are insignificant and therefore show no difference in the s. The equal-weighted portfolios show significant results though. More effects might drive the results of the findings. Since the author only considers large cap stocks the default probability might be a lot lower in this data, than for other data sources, including both small-cap and middle-cap. This could drive the result towards higher returns for high volatilty stocks, since they in general have less chance to default than shares in data including middle and small-cap stocks. More effects are explained in the thesis. ii

3 The author ends up concluding, that the search for the relation between risk and returns requires more research and that a lot of different approaches can result in different outcomes, therefore it becomes very hard to make strong and robust analysis that satisfies all perspectives on the subject. iii

4 Indhold 1 Introduktion, motivation og problemformulering Problemformulering Motivation Introduktion S&P 500 indekset Metode og teori Beskrivelse af metode og modeller Inddeling baseret på volatilitet Værdivægtet portefølje vs. Ligevægtet portefølje Aritmetisk gennemsnit vs. Geometrisk gennemsnit Rå Afkast og Sharpe Ratio Capital Asset Pricing Model Fama-French Three-Factor model Idiosynkratisk volatilitet Kritik af CAPM, Fama French Three-Factor Model og Sharpe Ratio Roll s Kritik fra Sharpe Ratio og generelt finansiel modellering Alternativer til den valgte metode Data Dataindsamling Survivorship Bias Den Risikofrie Rente Præsentation, indhentning - og bearbejdning af den indhentede data Resultater og fortolkning Nøgletal og opsamling Kommentarer til resultaterne Side 1 af 79

5 5 Perspektivering Konklusion Litteraturliste Bilag... 1 Side 2 af 79

6 Figur liste Figur 2-1 Udviklingen i S&P 500 indekset fra til Figur Illustration af sammenhængen mellem afkast i Markedsportefølje, Beta og afkastet for et vilkårligt aktiv Figur 3-2 Plot af fordelingen af logafkast vs normalfordelingen, som er tilpasset S&P 500s gennemsnit og standardafvigelse Figur 4-1 Udvikling i årlig rente på 3 måneders Treasury Bill fra primo 1990 til ultimo Figur 4-2 Antallet af aktier fordelt i de forskellige måneder og år Figur 4-3 Udvikling i daglige afkast for månedsdata, hvor data medtages fra denne bliver tilgængelig Figur 4-4 Udviklingen i en investering på 1 dollar for ligevægtede porteføljer med 1 måneds volatilitetsvurdering Figur Udviklingen i en investering på 1 dollar for MKvægtede porteføljer med 1 måneds volatilitetsvurdering Figur Udviklingen i en investering på 1 dollar for ligevægtede porteføljer med 1 års volatilitetsvurdering Figur Udviklingen i en investering på 1 dollar for MKvægtede porteføljer med 1 års volatilitetsvurdering Figur Udviklingen i en investering på 1 dollar for ligevægtede porteføljer med 1 måneds idiosynkratisk volatilitetsvurdering Figur 4-9 Udviklingen i en investering på 1 dollar for MKvægtede porteføljer med 1 måneds idiosynkratisk volatilitetsvurdering Figur Udviklingen i en investering på 1 dollar for ligevægtede porteføljer med 1 års idiosynkratisk volatilitetsvurdering Figur Udviklingen i en investering på 1 dollar for markedskapitaliseringsvægtede porteføljer med 1 års idiosynkratisk volatilitetsvurdering Figur 8-1 Udvikling i logafkast for S&P 500 i perioden primo 1990 til ultimo Side 3 af 79

7 Tabel liste Tabel 3-1 De forskellige scenarier til sammenligning af de rå afkast og Sharpe Ratios Tabel Eksempel på markeds- og aktivafkast til forståelse af Beta Tabel Afkast i kun 2 scenarier Tabel Effekten af størrelsen på Tabel 3-5 Overblik over momenter i S&P 500s logafkast fra primo 1990 ultimo Tabel 4-1 Bloomberg koder og beskrivelse af data der indhentes Tabel 4-2 Antallet af observationer i data sorteret på månedsnummer Tabel 4-3 Det gennemsnitlige antal observationer i hver tidsperiode med mere Tabel 4-4 Den gennemsnitlige andel af markedskapitaliseringen, der ligger i de forskellige volatilitetsgrupper. Data for månedsinddeling Tabel 4-5 Udviklingen i årlige afkast for månedsregulering af porteføljer Tabel Udviklingen i årlige afkast for årsregulering af porteføljer Tabel 4-7 Estimationer af og markeds- for ligevægetede porteføljer Tabel 4-8 Estimationer af og markeds- for markedskapitaliseringsvægtede porteføljer Tabel 4-9 Udregning af spread mellem højeste volatilitetsgruppe og laveste volatilitetsgruppe Tabel Udviklingen i årlige afkast for månedsregulering af porteføljer dannet med idiosynkratisk volatilitet Tabel Udviklingen i årlige afkast for månedsregulering af porteføljer dannet med idiosynkratisk volatilitet Tabel Estimationer af og markeds- for ligevægtede porteføljer, idiosynkratisk volatilitet Tabel Estimationer af og markeds- for markedskapitaliseringsvægtede porteføljer, idiosynkratisk volatilitet Tabel Udregning af spread mellem højeste volatilitetsgruppe og laveste volatilitetsgruppe Tabel Opsummering af centrale spreads, afkast og nøgletal for de forskellige metoder Tabel 5-1 Opsamling på diverste studiers resultater Side 4 af 79

8 Tabel 6-1 Spread mellem højeste volatilitetsgruppe og laveste afhængigt af metode og inddelingstype Tabel 6-2 Spreads i årligt Jensens for de forskellige gruppeinddelinger Tabel 8-1 De aktier der udelades fra analysen på grund af manglende data fra Bloomberg... 2 Tabel 8-2 De indgående aktier med antallet af tidsperioder de indgår, det gennemsnitlige logafkast og standard afvigelsen af denne... 4 Side 5 af 79

9 1 Introduktion, motivation og problemformulering I de følgende afsnit præsenteres først specialets problemformulering. Herefter redegør jeg for motivationen for at skrive om sammenhængen mellem volatilitet og forventet afkast på aktier. Slutteligt skrives den egentlige introduktion til specialets emne. 1.1 Problemformulering Målet med dette speciale er at undersøge om, der findes en positiv sammenhæng mellem volatilitet og afkast på aktier. Opgaven vil tage udgangspunkt i teoretiske tilgange til problemstillingen, som blandt andet er fremlagt i (van Vliet, Blitz, & van der Grient, 2011) og vil begrænse sig til en undersøgelse af aktierne i S&P 500 fra perioden primo 1990 til og med udgangen af Motivation Jeg har valgt at skrive netop dette speciale, grundet min interesse for de finansielle fag gennem studieforløbet. Ydermere er et emne af denne type interessant, da det stiller spørgsmålstegn ved et generelt accepteret grundelement i finansieringsteorien. Det har desuden været vigtigt for mig at tage fat i et emne, som jeg ikke har været præsenteret for tidligere dette til dels på grund af udfordringen, men også fordi der ikke er en entydig forventning til specialets konklusion, inden arbejdet påbegyndes. 1.3 Introduktion Denne opgave har til formål at undersøge, om den såkaldte low volatilty anomaly (fremover oversat til lav volatilitets uregelmæssigheden) fremkommer i S&P 500 indekset. Der undersøges en periode, som starter primo 1990 og slutter ultimo Meget økonomisk teori inden for finansiering forudsiger, at et forventet afkast er positivt afhængigt af en given risiko. En høj risiko er lig med et relativt højt forventet afkast og en lavere risiko er lig med et mindre forventet afkast 1. Denne teori er 1 Se eventuelt CAPM, Mean-Variance eller lignende i blandt andet (Grinblatt & Titman, 2004) eller (Hillier, Ross, Westerfield, Jaffe, & Jordan, 2010). Side 6 af 79

10 forsøgt testet et utal af, gange og særligt i starten af 90 erne 2 bliver der for alvor stillet spørgsmålstegn ved rigtigheden af denne sammenhæng, da særligt to kendte studier finder at, sammenhængen mellem afkast og risiko er flad eller aftagende. I nyere litteratur bekræftes disse resultater yderligere for amerikanske aktier, 3 og studier af de internationale markeder 4 (set i forhold til USA) viser samme tendenser. Hovedparten af studierne viser yderligere at de aktier, der giver det højeste afkast er de aktier, som har den laveste risiko, og aktierne med den højeste risiko giver det laveste afkast. Yderligere viser flere af studierne også, at denne konklusion også gør sig gældende, hvis der korrigeres for forskellige risici i markedet eller kun undersøges den del af risikoen, som ikke følger de generelle markedstendenser - den idiosynkratiske volatilitet. Da disse konklusioner er modstridende med den ellers accepterede teori, kaldes dette fænomen for lav volatilitets uregelmæssigheden. Der findes også nyere undersøgelser, der viser modsatte resultater 5 ved hjælp af anderledes metoder og tilgange. Disse diskuteres senere i opgaven, og resultater af de forskellige studier sammenlignes med resultater i dette studie, hvor der også vil være en diskussion af forskellige metoder, og hvilken indflydelse disse har på de konklusioner, der fremkommer af de forskellige analyser. I dette studie findes blandt andet, at der er en positiv sammenhæng mellem volatilitet og afkast på de indgående aktier i analysen. Dette konkluderes blandt andet på baggrund af forskellen i geometriske gennemsnit på årlige afkast i to pulje af aktier. Den ene pulje er sammensat, så denne har meget høj volatilitet og den anden pulje er sammensat, så denne har meget lav volatilitet. Forskellen på puljernes afkast afhænger af den valgte metode, men ligger i størrelsen 5,6 procentpoint til over 15 procentpoint. I studiet findes der videre, at der for en særlig vægtning af porteføljerne kan findes et højere risiko-korrigeret afkast på porteføljen med den laveste volatilitet end porteføljen med den højeste volatilitet. Dette resultat viser sig dog ikke, at være robust over alle de anvendte metoder. 2 (Fama & French, The Cross-Section of Expected Stock Returns, 1992), (Black, 1993) 3 (Ang, Hodrick, Xing, & Zhang, The Cross-Section of Volatility and Expected Returns, 2006), (Baker, Bradley, & Wurgler, 2011) med flere 4 (Ang, Hodrick, Xing, & Zhang, High Idiosyncratic Volatility and Low Returns: International and Further U.S. Evidence, 2008), (Blitz & van Vliet, The Volatility Effect: Lower Risk Without Lower Return, 2007) 5 (Fu, 2009), (Martellini, 2008). Side 7 af 79

11 I de følgende afsnit vil først S&P 500 indekset blive præsenteret. Herefter beskrives hvordan -og hvilke metoder / modeller der anvendes i undersøgelsen af en mulig forekomst af lav volatilitets uregelmæssigheden i S&P 500. Herefter introduceres data og analysens resultater præsenteres sammen med kommentarer, fortolkninger og eventuelle forklaringer. Videre følger et perspektiveringsafsnit, hvor specialets resultater sammenlignes med andre lignende undersøgelser, og eventuelle forskelle kommenteres og forklares, så vidt dette er muligt. Der afsluttes med en konklusion, som samler op på specialet og fremhæver de væsentligste konklusioner fra resultaterne og perspektiveringen. 2 S&P 500 indekset Standard & Poor s 500 er et aktieindeks, som er baseret på den samlede markedskapitalisering (Market Cap) for 500 store firmaer, med udstedte ordinære aktier 6 (Common stocks eller Ordinary Stocks) på New York Stock Exchange eller Nasdaq. Udvikling og vedligeholdelsen af indeksset varetages af S&P Dow Jones Indices 7. Indekset er designet til at reflektere det amerikanske aktiemarked og gennem aktiemarkedet, også den amerikanske økonomi. S&P 500 er tænkt, som et large cap indeks og grundet dets samlede størrelse, indeholder det store dele af den samlede markedsværdi for amerikanske aktier. Indekset kan derfor til dels bruges som repræsentant for det amerikanske aktiemarked som helhed. S&P 500 indekset er en del af det store S&P Global Vægtene af aktierne i indekset er baseret på markedskapitalisering og er ydermere float-justeret. Ved float-justeret menes der, at der ved udregning af indeksværdierne tages højde for antallet af udestående aktier, som er til rådighed for investorer, i stedet for det samlede antal udestående aktier. Med denne float-justering afspejler S&P 500 indekset den værdi, der er tilgængelig i det åbne marked. Indeksværdierne er udregnet efter følgende formel, 6 Aktien skal repræsentere ejerskab i den pågældende virksomhed. 7 (S&P Dow Jones Indices, 2013) 8 (S&P Dow Jones Indices, 2013) Side 8 af 79

12 (2.1) Her er n = 500, en for hver aktie. P er markedsprisen for aktien, S er det totale antal udestående aktier, divisoren er en indeksspecifik divisor, som kendes af Standard & Poor s Dow Jones Indices, og IWF er investeringsvægtfaktoren. IWF er det led, der giver indekset den føromtalte float-justering. IWF er udregnet på baggrund af, hvor stor en del af de udestående aktier, der ejes af blandt andet, direktører, private equity fonde og strategiske partnere 9 og altså ikke er tilgængelige i det åbne marked. IWF sættes til 1, hvis antallet af udestående aktier, som ikke er tilgængelige for investorer i det åbne marked, er højere end 95 %. Er denne andel mindre justeres IWF til 100 % - antal %, som ikke er tilgængelige i det åbne marked 10. Figur 2-1 viser udviklingen i S&P 500 indekset fra frem til , begge dage inklusiv. Figur 2-1 Udviklingen i S&P 500 indekset fra til Indeksværdi Kilde: YAHOO Finance. 9 Den fulde liste kan findes i (S&P Dow Jones Indices, 2013) 10 (S&P Dow Jones Indices, 2012) 11 Daglige adjusted price er anvendt i denne figur. Side 9 af 79

13 Figur 2-1 viser, at indekset i starten af den beskrevne periode stiger fra en indeksværdi på cirka 350 i starten af 1998 til cirka 450 i Herefter stiger indeksværdien markant frem til medio Udviklingen fra midten af 1990 erne frem til år 2000 kaldes for IT-boblen, og de efterfølgende markante fald i indekset, kom blandt andet som en konsekvens af at IT-boblen bristede. Fra 2003 begynder indekset igen at vokse markant frem til slutningen af 2007, hvor der igen sker et markant fald frem til starten af Dette markante fald skyldes den nuværende finansielle krise. Herfra observeres der igen markante stigninger frem til slutningen af Den i dette speciale beskrevne periode starter altså i et lettere opsving og medtager 3 markante fremgange i indeksets underliggende aktier. Ydermere er der 2 markante tilbagegange i perioden, hvor indeksets underliggende aktier falder. En illustration af afkastene for indekset kan findes i bilagets Figur 8-1 på side 1 i dette. I denne opgave er der valgt at arbejde med S&P 500, da forfatteren ikke har kendskab til, at dette indeks tidligere har været undersøgt for lav volatilitets uregelmæssigheden. Indekset er ydermere interessant, da der undersøges et rent large-cap segment af aktier, hvor der dog findes mange aktier, som relativt til hinanden både kan ses som værende store og små. Tidligere studier, som blandt andet (Ang, Hodrick, Xing, & Zhang, The Cross-Section of Volatility and Expected Returns, 2006), (Fu, 2009) og (Martellini, 2008) undersøger ligeledes amerikanske aktiemarkeder, men undersøger et bredt udsnit af aktier fra CRSP 12, som indeholder aktier fra flere størrelsessegmenter. 3 Metode og teori I dette afsnit gennemgås den teori og den fremgangsmåde der anvendes til undersøgelse af forekomsten af lav volatilitets uregelmæssigheden i S&P 500 indekset, fra staren af 1990 til og med Først præsenteres en beskrivelse af de valgte metoder og modeller, der anvendes. Herefter følger et afsnit om kritik af den valgte metode og et afsnit om alternative metoder til undersøgelsen Side 10 af 79

14 3.1 Beskrivelse af metode og modeller Dette afsnit indeholder den grundlægende beskrivelse af metoder og modeller, som anvendes i specialet Inddeling baseret på volatilitet I analysen vil det indsamlede data, for hver måned / år, blive opdelt i kvintiler 13. Opdelingen baseres på aktiernes seneste måneds volatilitet, mens en anden opdeling, baseres på det seneste års volatilitet. Der laves to forskellige inddelinger, da det ønskes, at analysen både skal indeholde et scenarie baseret på kortsigtet volatilitet, hvor porteføljen skiftes relativt hurtigt ud, og et scenarie baseret på længere historisk volatilitet hvor porteføljen holdes længere. Volatiliteten beregnes som standard afvigelsen (3.1) til den seneste periodes afkast. Denne beregnes som den naturlige logaritme til forholdet mellem prisniveauet fra en børsdag til den foregående (3.2) 14 [ [ ]] (3.1) ( ) (3.2) Ligning (3.2) kaldes også for log return og anvendes flittigt som afkastmål i store dele af den litteratur, der beskæftiger sig med kvantitativ finansiering Ideen med logreturns er blandt andet, at gøre regning med rentes rente lettere. Den primære årsag til at denne form for afkast bruges i dette speciale er, at det kan afhjælpe den skævhed, der ofte ses i afkastdata 17. Ydermere vil rentes rente beregninger forblive normalfordelte (under antagelsen af at de alle er normalfordelte enkeltvis), da summen af flere normalfordelte variable er normalfordelt. Bruges et almindeligt 13 Inddeling af volatiliteten i 5 grupper fra de 20 % mindst volatile aktier op til de 20 % mest volatile aktier. 14 Denne type afkast kaldes for log(returns) 15 (Brooks, 2008), side (Alexander, 2008), afsnit I (Ang, Hodrick, Xing, & Zhang, High Idiosyncratic Volatility and Low Returns: International and Further U.S. Evidence, 2008). Der laves ikke en lignende test I dette speciale, men det antages at resultaterne fra undersøgelsen vil give samme konklusioner, hvis testen blev lavet på data til dette speciale. Side 11 af 79

15 afkast, vil renterne skulle ganges sammen og et sådan produkt vil ikke være normalfordelt. Log returns kan anvendes som afkastmål, hvilket skyldes følgende approksimation, som dog kun gælder hvis r er lille. Dette kan bruges på almindelige afkast, (3.3) ( ) (3.4) De aktier der er blandt de 20 % mindst volatile kaldes for volatilitetsgruppe 1, de næste 20 % for volatilitetsgruppe 2 etc. Et alternativ til inddelingen i kvintiler er en inddeling i deciler. Denne metode benyttes blandt andet af (Blitz & van Vliet, The Volatility Effect: Lower Risk Without Lower Return, 2007) og (Fu, 2009). Forfatteren har dog valgt kvintilinddelingen, da denne vurderes som værende bedst egnet, ved et lavere antal observationer, da alt for få aktier ellers ville kunne drive udviklingen i de enkelte volatilitetsgrupper. Det er vigtigt, at inddelingen repræsenterer, at ikke alt for få aktier skal være repræsentanter for den seneste periode (her henholdsvis 1 måned og 1 år), da få aktier vil kunne påvirke det generelle billede i en for markant grad. Omvendt er det vigtigt, at ikke for mange aktier, som ikke bør tilhøre en given gruppe, kommer til at påvirke afkastudviklingen for gruppen. Endvidere er det vigtigt, at inddelingen tager højde for, at de afkast, der ligger i grupperne, skal bruges til estimation af parametre i blandt andet CAPM (se videre i afsnittet), hvorfor der skal være tilstrækkeligt med observationer til, at en sådan estimation bør kunne udføres med signifikante og relevante resultater. I denne analyse er der omtrent forskellige aktier, (se afsnit 4.1, da dette antal varierer ) og ved inddeling i kvintiler vil der derfor være maksimalt 200 observationer til hver gruppe, hvilket vurderes som tilstrækkeligt til at foretage de relevante estimationer. Inddelingen i kvintiler virker derfor rimelig. Side 12 af 79

16 3.1.2 Værdivægtet portefølje vs. Ligevægtet portefølje Udover de to forskellige tidshorisonter, der bruges til inddeling af aktierne, anvendes også to forskellige vægtninger af de porteføljer, der dannes ud fra volatilitetsgrupperne. Den første metode tager udgangspunkt i, at alle afkast for de aktier, der ligger i de underliggende kvintiler, vægter lige. Det svarer til, at en investor har nøjagtigt samme beløb investeret i alle aktier i indekset og derfor vægter de forskellige aktiers afkast ens i det samlede billede. Disse afkast udregnes efter nedenstående formel, (3.5) Her svarer til afkastet for aktie d i volatilitetsgruppe j til tidspunkt i. er det samlede antal aktier i volatilitetsgruppe j. Dette afkast udregnes for hver gruppe j og for hver tidsperiode i. Udover denne afkastvægtning anvendes også en vægtning, hvor der tages udgangspunkt i, at der ejes en af hver aktie, hvorfor de forskellige volatilitetsgruppers afkast, skal vægtes i forhold til den enkelte akties markedskapitalisering. Formlen for denne vægtning findes nedenfor, ( ) (3.6) I ovenstående formel ses det, at afkastet for hver volatilitetsgruppe til tidspunkt i, er givet som vægtningen af markedskapitaliseringen til tidspunkt i, i volatilitetsgruppe j, for aktie d, i forhold til den samlede markedskapitalisering i volatilitetsgruppen, til det givne tidspunkt. Denne vægt ganges med det tilhørende afkast for den givne aktie i den givne periode. Side 13 af 79

17 I litteraturen er valget af vægtning delt. Der findes dog eksempler, hvor begge vægtninger er valgt. Dette vælges også her for at undersøge effekten af metodevalget Aritmetisk gennemsnit vs. Geometrisk gennemsnit I analysen anvendes der to forskellige måder til at vurdere udviklingen i de forskellige volatilitetsgruppers afkast. Først anvendes det klassiske aritmetiske gennemsnit, hvor afkastene, for de forskellige tidsperioder summeres og til slut deles med antallet af tidsperioder. Det aritmetiske gennemsnit findes i nedenstående formel, (3.7) Denne udregning fortages for hvert af de 5 kvintiler, j. t er slutperiodens nummer og i angiver tidsperiodens nummer fra initialpunktet, således at. er den pågældende periodes afkast. Endvidere anvendes der geometriske gennemsnit. Ofte vurderes dette, som værende det rigtige gennemsnit, når der regnes med renter, da det tager højde for rentes rente 18. Det geometriske gennemsnit medtager altså den effekt, der fremkommer, når en eventuel investering taber værdi løbende på grund af negativ rentetilskrivning og medtager ligeledes den øgede gevinst geninvestering giver ved positive afkast. Det geometriske gennemsnit udregnes efter nedenstående formel, ( ( )) ( ) ( ) ( ) (3.8) Bogstaverne har samme betydning som tidligere, og igen udregnes gennemsnittet for hver volatilitetsgruppe. 18 Compounded return. Side 14 af 79

18 Det gælder, at det aritmetiske gennemsnit altid vil overvurdere det faktiske gennemsnitlige afkast, hvorfor dette altid vil give et resultat, som er større end det geometriske Rå Afkast og Sharpe Ratio Baseret på den beskrevne opdeling af aktierne i indekset samt den beskrevne vægtning og de forskellige gennemsnitstyper opstilles resultaterne for de gennemsnitlige afkast for de forskellige volatilitetsgrupper. I disse afkast-tabeller sammenlignes volatilitetsgrupperne med udgangspunkt i, at der er en positiv sammenhæng mellem øget volatilitet og forventet afkast. Se eventuelt afsnittet om CAPM på side 17, hvor der blandt andet præsenteres dele af den teori, som forudsiger en positiv sammenhængen mellem volatilitet og forventet afkast. Alternativt se kapitel 5 i (Grinblatt & Titman, 2004) eller kapitel 9 og 10 i (Hillier, Ross, Westerfield, Jaffe, & Jordan, 2010). Yderligere beregnes også en Sharpe-Ratio for hver volatilitetsgruppe. En Sharpe Ratio er et mål for en given investerings performance relativt til dennes risiko. Sharpe Ratio er udregnes som 19, [ ] [ ] (3.9) S er Sharpe Ratioen. er afkastet for et givent aktiv, er benchmarket, og er standard afvigelsen for den absolutte afvigelse mellem aktivets afkast og benchmarket. En given investor, der ønsker at optimere sit afkast i forhold til en given risiko, ønsker, at Sharpe Ratioen skal være størst mulig. I denne sammenhæng, anvendes den risikofrie rente som benchmarket, således at tælleren i (3.12) kommer til at svare til den forventede værdi af forskellen mellem de enkelte afkast og den 19 Denne er oprindeligt fra 1966, men er senere revideret af samme forfatter i (Sharpe, The Sharpe Ratio, 1994) Side 15 af 79

19 risikofrie rente. Denne størrelse kaldes også for, det overskydende afkast 20. Denne størrelse samt afvigelsen af denne præsenteres også som resultat i afsnit 4.3. I Tabel 3-1 er et overblik over hvilke rå afkast, der udregnes, og hvilke scenarier der er opstillet i afsnittene ovenfor. Idiosynkratisk volatilitet er et alternativ, til inddelingen efter total volatilitet, som er beskrevet tidligere i afsnittet. Den idiosynkratiske volatilitet beskrives senere i dette afsnit. Tabel 3-1 De forskellige scenarier til sammenligning af de rå afkast og Sharpe Ratios Volatilitetstype Volatilitetshorisont Vægtning Gennemsnit Volatilitetsgrupper Total 1 Måned Lige Aritmetisk 1 5 Total 1 Måned Lige Geometrisk 1 5 Total 1 Måned Markedsværdi Aritmetisk 1 5 Total 1 Måned Markedsværdi Geometrisk 1 5 Total 1 År Lige Aritmetisk 1 5 Total 1 År Lige Geometrisk 1 5 Total 1 År Markedsværdi Aritmetisk 1 5 Total 1 År Markedsværdi Geometrisk 1 5 Idiosynkratisk 1 Måned Lige Aritmetisk 1 5 Idiosynkratisk 1 Måned Lige Geometrisk 1 5 Idiosynkratisk 1 Måned Markedsværdi Aritmetisk 1 5 Idiosynkratisk 1 Måned Markedsværdi Geometrisk 1 5 Idiosynkratisk 1 År Lige Aritmetisk 1 5 Idiosynkratisk 1 År Lige Geometrisk 1 5 Idiosynkratisk 1 År Markedsværdi Aritmetisk 1 5 Idiosynkratisk 1 År Markedsværdi Geometrisk 1 5 Udover sammenligning af afkast, baseret på de forskellige volatilitets mål, analyseres også de risikokorrigerede afkast. Til dette bruges CAPM og FF-modellen, som beskrives nedenfor. 20 Excess return på engelsk Side 16 af 79

20 3.1.5 Capital Asset Pricing Model Capital Asset Pricing Model, bedre kendt som CAPM, er en model, der beskriver udviklingen i et underliggende aktiv, i forhold til den generelle markedsudvikling. Æren for CAPM tilfalder William Sharpe, John Littner, og Fischer Black, som alle har bygget videre på tidligere arbejde af Harry Markowitz og James Tobin, (Grinblatt & Titman, 2004). I denne opgave gennemgås CAPM kort med udgangspunkt i portefølje teori. Forståelsen af tilblivelsen af CAPM kræver en basis forståelse af porteføljeteori, herunder blandt andet afkast, varians -og standardafvigelser for porteføljer, samt sammensætningen af disse. Ydermere kræves der også kendskab til kovarianser -og korrelationer mellem aktiers afkast. Slutteligt bør man også kende til begreberne Efficient Frontier, Feasible Set, Capital Market Line og kende til de antagelser, som ligger til grund for eksistensen af markedsporteføljen, som blandt andet homogene forventninger blandt investorer. Ovenstående er blandt andet beskrevet i (Hillier, Ross, Westerfield, Jaffe, & Jordan, 2010) kapitel 10. CAPM beskriver således, sammenhængen mellem enkelte aktivers afkast og det afkast, der ligger i det generelle marked. CAPMs vigtigste parameter er. er et mål for, hvor meget et aktivs afkast afviger i forhold til de generelle tendenser i markedet. Dette illustreres bedst ved et konstrueret eksempel, hvor der tages udgangspunkt i et aktiv og dettes udvikling i forhold til den generelle markedsudvikling. Eksemplet er inspireret af et lignende eksempel i (Hillier, Ross, Westerfield, Jaffe, & Jordan, 2010). Der tages udgangspunkt i 4 scenarier, som alle giver forskellige udfald for både markedets og et vilkårligt aktivs afkast. Med udgangspunkt i disse 4 scenarier analyseres det, hvorledes afkastet for det pågældende aktiv udvikler sig, i forhold til udviklingen i det afkast det generelle marked giver. Tabel 3-2 viser opstillingen af de 4 scenarier, og hvordan henholdsvis markedet og aktivets afkast påvirkes af disse. Side 17 af 79

21 Tabel Eksempel på markeds- og aktivafkast til forståelse af Beta Scenarie Afkast i markedet Afkast for aktiv 1 10 % 20 % 2 10 % 15 % 3-5 % -10 % 4-5 % -15 % I ovenstående eksempel er der kun 2 scenarier, der berører markedet, men 4 der berører aktivet. Det antages, at alle 4 scenarier er lige sandsynlige. Derfor udregnes nu de forventede afkast for aktivet, for de scenarier, hvor markedets afkast ikke ændrer sig. Disse er illustreret nedenfor i Tabel 3-3. Tabel Afkast i kun 2 scenarier Scenarie Afkast i markedet Afkast for aktiv % % I ovenstående tabel ses der på forskellen i ændringer i henholdsvis markedets -og aktivets afkast ved ændringer i scenarierne. Det ses, at der er en forskel på 15 procentpoint på de to scenarier for markedet og en forskel på 30 procentpoint for aktivet. Hvis disse stilles overfor hinanden ses det, at aktivet er dobbelt så responsivt som markedet, når der ændres på scenarierne,. Dette illustreres i Figur 3-1. Side 18 af 79

22 Figur Illustration af sammenhængen mellem afkast i Markedsportefølje, Beta og afkastet for et vilkårligt aktiv 25% 20% 15% 10% Hældning = Beta = 2 10,0%; 17,5% 5% 0% -6% -4% -2% 0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% -5% -10% -15% -5,0%; -12,5% -20% Kilde: Egne beregninger Figuren viser afkastet i markedet på 1. aksen og afkastet for aktivet på 2. aksen. De 4 omtalte scenarier er markeret med sorte punkter i figuren, og den grønne linje, er en opstillet lineær sammenhæng mellem de fire punkter. De to endepunkter på den grønne linje svarer til punkterne i Tabel 3-3, som danner grundlag for udregningen af hældningen på den grønne linje. Den grønne linje viser sammenhængen mellem en ændring i markedets afkast og ændringer i aktivets afkast. Denne viser, at der er en konstant sammenhæng hvor en ændring på 1 procentpoint i markedets afkast, giver en ændring på 2 procentpoint i aktivets afkast (hældningen på grafen). Denne sammenhæng er CAPMs. Mere generelt gælder følgende regler for størrelsen om CAPMs. Side 19 af 79

23 Tabel Effekten af størrelsen på Størrelsen på Effekt : Aktivets afkast afhænger positivt af markedets udvikling. Endvidere svinger aktivets afkast mere end markedet, hvorfor dette giver stor gevinst ved positiv markedsudvikling, men også et større gevinsttab, når markedets værdi falder. Aktivet følger markedets afkast perfekt : Aktivets afkast afhænger positivt af markedsudviklingen. Udsvinget er dog mindre end det generelle marked, hvorfor gevinsten for aktivet, er mindre end gevinsten i markedet, når dette vokser, men tabet på aktivet vil også være mindre end tabet i markedet, når dette falder. : Aktivets afkast er komplet uafhængigt af den generelle udvikling i markedet, hvorfor der intet kan siges om dettes udvikling relativt til udviklingen i markedet. : Afkastet på aktivet afhænger negativt af den generelle markedsudvikling. Dog er denne negative sammenhæng mindre end udviklingen i markedet. De aktiver med negative størrelser af giver positive afkast, når markedet er aftagende Afkastet på aktivet svinger perfekt modsat af markedet. Aktivet vil altså give samme afkast, som markedet blot med modsat fortegn : Afkastet på aktivet svinger mere end det generelle marked. Yderligere svinger dette negativt. Dette aktiv giver altså større gevinster ved negativ markedsudvikling. Kilde: Egne betragtninger af størrelsen på. Side 20 af 79

24 Beta kan udregnes ved formlen 21, (3.10) Hvor er kovariansen mellem det enkelte aktiv og markedet. Endvidere er variansen på markedsporteføljen CAPM bygger blandt andet på ideen om, at en investor skal kompenseres med et højere forventet afkast, hvis denne skal ønske mere risikofyldte aktiver i sin portefølje (Højere beta giver højere forventet afkast). I almen økonomisk teori 22 kan det forventede afkast, som gives i markedet repræsenteres ved følgende sammenhæng, (3.11) I ord betyder ovenstående ligning, at det forventede afkast for markedsporteføljen svarer til summen af afkastet af den risikofrie rente, og en risikopræmie, som er en form for kompensation, for at en given investor tager en given risiko, ved at være i markedet. Risikopræmien bør derfor altid være positiv og skal vokse med øget risiko. Dette betyder også at der alt andet lige må være en positiv sammenhæng mellem det forventede afkast og den risiko, som en given investor påtager sig. Med udgangspunkt i vores viden om, og dennes indflydelse på afkastet for et aktiv relativt til markedet samt ligning (3.11), kan vi nu udlede en formel, som beskriver udviklingen i et aktivs forventede afkast relativt til udviklingen i det generelle markeds forventede afkast 23. (3.12) 21 (Grinblatt & Titman, 2004), (Hillier, Ross, Westerfield, Jaffe, & Jordan, 2010) 22 (Grinblatt & Titman, 2004), (Hillier, Ross, Westerfield, Jaffe, & Jordan, 2010) med flere 23 (Grinblatt & Titman, 2004), (Hillier, Ross, Westerfield, Jaffe, & Jordan, 2010) Side 21 af 79

25 Ligning (3.12) kaldes for The Capital Asset Pricing Model og siger, at det forventede afkast for et givent aktiv, svarer til summen af den risikofrie rente, og produktet af det pågældende aktivs og forskellen mellem det forventede afkast i markedet, og den risikofrie rente. Der skal bemærkes, at der i CAPM antages en positiv lineær sammenhæng mellem det forventede afkast i markedet og afkastet på det pågældende aktiv. Dette betyder også, at det antages, at et større alt andet lige betyder en større risiko i forhold til det generelle marked. Ydermere gælder det, at hvis et aktiv har et beta på 0 og er perfekt ukorreleret med markedet, bør dette have et forventet afkast svarende til den risikofrie rente. I denne opgave bruges CAPM og en udvidelse af denne til yderligere at undersøge, om der kan findes den tidligere omtalte lav volatilitets uregelmæssighed. Denne undersøgelse bygger på, at CAPM udvides med endnu en parameter,, således at ligning (3.12) bliver til, ( ) (3.13) Det inkluderede skal ses som et mål for, at nogle aktiver, udover deres påvirkning fra, modtager enten en yderligere negativ ( ) eller positiv ( ) risikopræmie. Denne risikopræmie bør teoretisk set ikke eksistere i perfekte kapitalmarkeder med et perfekt informationssæt. Flere studier har dog påvist eksistensen af denne 24. Ideen om blev introduceret af Michael Jensen i 1967, hvor han brugte dette til at undersøge performance for forskellige investeringsforeninger 25. kendes også som Jensen s. Jensen s kan fortolkes, som det afkast der er tilbage, når der er korrigeret for markedsudviklingens indflydelse på aktiens pris. Hvis viser sig ikke at være voksende med volatilitetsgruppe nummereringen, viser dette at de risikokorrigerede afkast på de underliggende aktier i S&P 500 ikke vokser med øget risiko og altså at 24 (Jensen, The Performance of Mutual Funds in the Period , 1967), (Blitz & van Vliet, The Volatility Effect: Lower Risk Without Lower Return, 2007) med flere 25 (Jensen, The Performance of Mutual Funds in the Period , 1967) Side 22 af 79

26 lav volatilitets uregelmæssigheden findes i S&P , når der korrigeres for markedsrisiko. Ligning (3.13) omskrives til nedenstående ligning, så det bliver muligt at isolere størrelsen af, da denne ellers falder sammen med den risikofrie rente, ved estimation. Nedenstående ligning tilføjes desuden nummerering i forhold til identifikation af aktivet, i. ( ) (3.14) Ligning (3.14) estimeres ved hjælp af OLS regression for hver af de 5 kvintiler, hvor svarer til skæringen i regressionen. De forskellige er fortolkes og præsenteres i afsnit 4.3. Bemærk at der ved opstillingen af modellen også vil indgå et fejlled Fama-French Three-Factor model Fama-French Three-Factor modellen (FF modellen) er en udbygning af CAPM modellen og blev præsenteret af Eugene Fama og Kenneth French i Da modellen minder om CAPM modellen fra forrige afsnit, gives der ikke en ligeså uddybende introduktion til denne. FF modellen er valgt som supplement til CAPM, da denne forventeligt giver en større forklaringsgrad og også gør det muligt at korrigere afkastene for to yderligere effekter, udover effekten fra den generelle markedsudvikling. FF modellen indeholder udover CAPMs også et for henholdsvis størrelse, og om aktien er en vækst aktie eller ej. Fama og French finder, at der er en generel tendens til, at mindre aktier (målt på markedskapitalisering) giver et større afkast end større aktier. Ydermere finder de, at vækstaktier (høj værdi af book to market ratio) generelt giver højere afkast end aktier med mindre book to market forhold. Book to market er givet ved, 26 (van Vliet, Blitz, & van der Grient, 2011) 27 (Fama & French, Common Risk Factors in the Returns on Stock and Bonds, 1993) Side 23 af 79

27 (3.15) Denne svarer også til den inverse af det mere kendte price to book forhold. FF Modellen er som følger 28, (3.16) er afkastet for det enkelte aktiv. er den risikofrie rente, er det, vi kender fra CAPM, som angiver vægten af, hvor markant markedsudviklingen, påvirker afkastet på det pågældende aktiv. er afkastet for markedsporteføljen, er betavægtningen, som tager højde for størrelsesforskelle mellem de underliggende virksomheders markedsværdier. SMB står for small minus big og er et mål, for hvordan virksomheders størrelse påvirker afkastet. er et mål for påvirkningen af aktiernes book to market ratio i forhold til markedet. HML står for High minus Low. Ligesom for den udvidede CAPM, er der her tilføjet et. Ideen med dette er den samme som tidligere. Det bemærkes dog, at der nu korrigeres for flere effekter i modellen, og at nu fortolkes som, hvor meget afkast et givent aktiv giver, efter der er korrigeret for dennes afkasts korrelation med markedet, størrelsen og vækstpotentialet. Ligesom tidligere omskrives modellen, så Jensen s skæring med y-aksen, kan isoleres, som modellens (3.17) Ligesom med CAPM estimeres denne model ved hjælp af OLS regression for hver af de 5 volatilitetsgrupper, og resultaterne vises i afsnit 4.3. Bemærk at der ved regression af modellen også vil indgå et fejlled. 28 (Fama & French, Common Risk Factors in the Returns on Stock and Bonds, 1993) Side 24 af 79

28 Brugen af både CAPM og FF modellen, til vurdering af Jensen s er blandt andet også brugt af (van Vliet, Blitz, & van der Grient, 2011) i deres undersøgelse af en anden aktie-sammensætning. Som det tidligere er nævnt præsenteres nu den idiosynkratiske volatilitet Idiosynkratisk volatilitet De foregående afsnit har alle været bygget på en almindelig betragtning af den observerede volatilitet. Som et alternativ til denne undersøges også den idiosynkratiske volatilitet. Idiosynkratisk volatilitet er volatilitet, der ikke kan forklares af den risiko, der generelt observeres i markedet. I denne opgave defineres denne ligesom på side 25 i (Ang, Hodrick, Xing, & Zhang, The Cross-Section of Volatility and Expected Returns, 2006), hvor FF modellen bruges til at estimere et aktivs forventede merafkast. (3.18) Bemærk tilføjelsen af fejlledet. Denne model estimeres for hver aktie for hele den beskrevne periode. Hver af disse modeller bruges herefter til at estimere, hvad de daglige afkast, for den givne aktie, burde have været ifølge modellen. Disse afkast bruges herefter til at finde hvert afkasts residual. Disse residualer opfattes, som værende den del af afkastet for de pågældende aktier, som ikke kan forklares altså den idiosynkratiske del. Bemærk at en aktie godt kan have en relativt lav almindelig volatilitet, men en relativt høj idiosynkratisk volatilitet. Den idiosynkratiske volatilitet for hver enkelt aktie til et givet tidspunkt er lig med følgende, (3.19) På baggrund af de idiosynkratiske dele af aktiernes volatiliteter, laves igen en inddeling i kvintiler, og der beregnes igen udvikling i de rå afkast og der estimeres er. Side 25 af 79

29 Intuitivt vil der være en forventning om, at en stigende idiosynkratisk volatilitet, ligesom ved en almindelig volatilitet, vil give et højere forventet afkast 29. Dette skyldes, at desto mere af en akties kursudvikling der ikke kan forklares, desto større en risiko tager en given investor ved at købe den (uvished om hvad der driver prisen), hvorfor kompensationen for købet også må forventes at være større. Tilgangen med også at undersøge udviklingen i den idiosynkratiske volatilitet bruges blandt andet i (van Vliet, Blitz, & van der Grient, 2011) og (Ang, Hodrick, Xing, & Zhang, High Idiosyncratic Volatility and Low Returns: International and Further U.S. Evidence, 2008). 3.2 Kritik af CAPM, Fama French Three-Factor Model og Sharpe Ratio I dette afsnit præsenteres kritik af hovedsageligt CAPM. Da denne har store ligheder med Fama & French 3-Factor modellen, er kritikpunkterne, der henvender sig til CAPM, også indirekte henvendt til minimum en del af FF modellen. På grund af dette er kritikken af de to modeller samlet i et afsnit. Det er vigtigt at understrege, at både CAPM og FF modellen begge er modeller, som giver en general forklaring på effekter, der spiller ind på forskellige aktivers pris udvikling, relativt til markedet. Begge modeller fortæller dog ikke den fulde sandhed, og det er vigtigt, at man altid fortolker disses resultater, som estimater og ikke den endegyldige sandhed Roll s Kritik fra Denne kritik retter sig udelukkende imod CAPM men kan dog føres videre til, i hvert fald, dele af FF modellen, da denne også indeholder CAPMs. Rolls kritik er yderst fundamental og bygger på, at det praktisk talt er umuligt, at empirisk teste, om CAPM holder. Dette skyldes, at det er muligt at opstille en reel markedsportefølje, som indeholder hvert eneste værdipapir i verden, som den sande markedsportefølje ifølge teorien udgør. En test af CAPM vil ofte bygge på forskellige proxy for markedsporteføljen, som for eksempel FTSE 500, S&P 500 eller 29 Se eventuelt (Merton, 1987) 30 (Roll, 1977) Side 26 af 79

30 et tredje større indeks. Alle disse indeks har dog det tilfælles, at de enten har en bias imod et givet geografisk område, en enkelt (eller flere) typer af værdipapirer osv. En fuldstændig test af CAPM er altså umulig, da den sande markedsportefølje er uobserverbar. I dette speciale antages det, at CAPM og FF modellen holder. Dette baseres på, at det er almen praksis at bruge modellen til at estimere -værdier for diverse aktiver. Disse kan blandt andet findes hos store finanshjemmesider som for eksempel Bloomberg eller YAHOO Finance. Ved estimation af er (og er) skal man dog være opmærksom på, at disse estimater forklarer, hvorledes det enkelte aktivs afkast afhænger af afvigelser i det indeks, som anvendes som proxy for markedsporteføljen - og altså ikke afvigelser i markedsporteføljen selv. Der findes et utal af empiriske tests af CAPM, blandt andet, (Jensen, Black, & Scholes, The Capital Asset Pricing Model: Some Empirical Tests, 1972) og (Fama & MacBeth, Risk, Return, and Equilibrium: Empirecal Tests, 1973). Disse studier stiller spørgsmål ved, om der er større afkast for aktier med højere end aktier med mindre er. Nyere litteratur med analyser af længere tidsserier, stiller ligeledes spørgsmålstegn ved om sammenhængen er positiv. CAPMs rigtighed er derfor stadig til debat. Indirekte tester dette speciale også rigtigheden af CAPM. Der testes dog ikke på om aktier med højere giver et højere forventet afkast, men om en højere volatilitet / idiosynkratisk volatilitet giver et større forventet afkast Sharpe Ratio og generelt finansiel modellering Sharpe Ratioen lider af samme problem som hovedparten af generel modellering med finansielt data. Finansielt data lider ofte af uregelmæssigheder, der gør, at disse ikke er normalfordelte. Dette ses blandt andet ved, at der observeres skævheder i afkast, da disse ikke er lige fordelt omkring et gennemsnit. Et andet eksempel er fede haler i afkast-fordelinger, da der ofte ses øgede sandsynligheder for ekstreme observationer sammenlignet med normalfordelingen. Dette betyder, at størrelsen på standardafvigelserne kan blive forkerte og svære at tolke på. Dette er dog kun tilfældet, hvis disse bliver meget store. Disse svagheder minimeres ved brugen af log returns, men kan aldrig fuldstændig fjernes. Svaghederne vedrører også Side 27 af 79

31 estimationen af CAPM og FF modellen. Det skal dog bemærkes, at dette studies hovedformål ikke er at udrede denne problemstilling, men at undersøge forekomsten af lav volatilitets uregelmæssigheden i S&P 500 ved hjælp af de metoder, der anvendes i den nyere litteratur. Tabel 3-5 og Figur 3-2 viser fordelingen af logafkast og sammenligner denne med normalfordelingen. Tabel 3-5 Overblik over momenter i S&P 500s logafkast fra primo 1990 ultimo 2013 Navn Fordeling i S&P 500 Normalfordelingen N Gennemsnit 0, Varians 0, Standard Afvigelse 0, Skævhed -0, ,00 Kurtosis 8, ,00 Side 28 af 79

32 Figur 3-2 Plot af fordelingen af logafkast vs normalfordelingen, som er tilpasset S&P 500s gennemsnit og standardafvigelse. Kilde: YAHOO Finance. og SAS EG 6.1 (64 Bit) I de to figurer ses det, at fordelingen af afkastene i S&P 500 for den beskrevne periode er svagt venstreskæv (negativ-værdi) og har en relativt høj kurtosis (fordelingen er meget høj indover midten). Generelt er der dog en relativt fin fordeling. Det skal understreges, at værdierne for indekset ikke repræsenterer hver enkelte underliggende aktie men giver en værdivægtning af, hvordan disse samlet ser ud, se eventuelt afsnit Alternativer til den valgte metode Der findes mange alternativer til den valgte metode. Særligt ved modelvalget i afsnit og 3.1.6, men også ved valget af tidshorisonter for beregningen af volatiliteterne. Forfatteren havde gerne set, at en længere tidshorisont, til udregningen af de forskellige aktivers periodemæssige volatilitet, havde været brugt. Forfatteren mente dog ikke, at den analyserede periodes længde indbød til at gå Side 29 af 79

33 længere end et år tilbage, da der ellers ville forsvinde for mange datapunkter for denne del af analysen. I litteraturen findes der blandt andet tidshorisonter på 5 og 10 år. 31 Disse studier har dog det tilfældes, at de har mere historisk data, end tilfældet er for dette studie, hvorfor disse ikke på samme måde mister et stort procentmæssigt antal observationer. Som alternativer til modelleringen i og kunne forfatteren havde forsøgt at udvide modellerne med eventuelt flere parametre. Dette kunne blandt andet have været ved at tilføje en variabel, som skulle repræsentere den enkelte akties sektor (medicin, bank, IT osv.). Herefter ville eventuel signifikans af denne kunne testes. Forfatteren har dog valgt at se bort fra dette, da omfanget af testen af en sådan model er yderst omfangsrig og udbyttet ikke nødvendigvis brugbart. En anden tilgang til problemstillingen er at estimere det forventede afkast for aktierne afhængigt af tidligere tiders afkast og eventuelt flere variable. Med metoden beskrevet i af de tidligere afsnit testes der på om de faktuelle afkast er afhængige af tidligere volatilitet, hvilket ikke er i perfekt overensstemmelse med CAPM. En estimation af aktiers fremtidige volatilitet / afkast kan laves ved hjælp af en (G)ARCHmodel. 32 En sådan estimation er dog vanskellig, da denne vil være for upræcis, hvis denne kun bygger på tidligere tiders afkast. En model, der tilnærmelsesvis skal kunne repræsentere investorers forventning, til den fremtidige prisudvikling for et givent aktiv, skal udover kendskab til tidligere udvikling i prisniveau, også have kendskab til (de for investorerne kendte) fremtidige eksogene stød, som kan påvirke prisen på aktien, som annoncerede politiske indgreb, ny teknologi etc. Endvidere er det svært at definere hvor længe en tidshorisont, der bør medtages i modellen. Der er i dette speciale valgt ikke at bruge denne tilgang, da det menes, at der allerede er tilstrækkeligt med materiale inkluderet i specialet. Ydermere er opstillingen af en god model, som tidligere beskrevet, yderst vanskelig. 4 Data I dette afsnit præsenteres det indhentede data, og der gives en beskrivelse af, hvordan og hvorfra det er hentet. Alle beregninger og figurer er produceret ved hjælp 31 5 år i blandt andet, (Baker, Bradley, & Wurgler, 2011) og 10 år i (Martellini, 2008). 32 (Brooks, 2008), kapitel 8, (Carter Hill, Griffiths, & Lim, 2012), kapitel 14. Side 30 af 79

34 af Microsoft Excel enten direkte i excel-arket eller ved brug af Visual Basic - eller SAS Enterprise (EG) Bit Version. Hvis ikke der nævnes en kilde til figurer, der præsenteres i dette afsnit, kommer data fra Bloomberg, og præsentationen er fremstillet af forfatteren. 4.1 Dataindsamling Hovedparten af det anvendte data er hentet fra en Bloomberg terminal. Det drejer sig om daglige total returns 34 på de underliggende aktier i S&P 500 indekset, fra primo 1990 til og med Yderligere er aktiernes markedskapitalisering hentet. Slutteligt er der hentet data på 3 måneders T-Bills fra US Federal Reserve hjemmeside 35 og daglige samt månedlige værdier af HML og SMB værdier fra Kenneth French hjemmeside (En af forfatterne til FF-modellen). HML og SMB værdierne er beregnet på baggrund af amerikanske data, hvorfor disse passer til S&P 500 indekset. På baggrund af det indsamlede data, er det muligt at udregne den historiske volatilitet for aktierne, estimere parametre til udregning af den idiosynkratiske volatilitet og estimere er og er fra både CAPM, FF modellen. Data fra Bloomberg er hentet ved hjælp af Excel, hvor der her er brugt Bloombergs eget plugin. Data hentes ved blandt andet, at indtaste særlige Bloombergkoder for hvilke data man ønsker. Nedenstående tabel viser en oversigt over de Bloombergkoder der er brugt og en kort beskrivelse af den data der hentes ud. 33 Til hjælp til enkelte funktioner er blandt andet brugt (Benninga, 2008) og (Helbæk, Løvaas, & Mjølhus, 2013) 34 Med dagligt data menes der data fra alle tilgængelige børsdage 35 (US Federal Reserve, 2014) Side 31 af 79

35 Tabel 4-1 Bloomberg koder og beskrivelse af data der indhentes Navn Bloomberg Kode Kommentar Justeret aktiepris, der tages højde for splits. Ydermere antages det, at alle udbetalinger for aktien geninvesteres. Bemærk at da total Total return TOT_RETURN_INDEX_net_DVDS returns medtager dividender og for aktien andre former for udbetalinger, vil udviklingen i disse oftest være langt mere markant end en almindelig prisudvikling. Aktiens markedskapitalisering, Markeds cur_mkt_cap baseret på dennes værdi og antallet kapitalisering af udestående aktier Survivorship Bias I en analyse af et indeks, som S&P 500, er det vigtigt at forholde sig til, hvorledes tilkomne og udgående aktier håndteres. Hvis aktier der bliver for små til at indgå i S&P 500 frasorteres og erstattes af den nye aktie, som rykkes ind som dennes erstatning, vil der opstå en survivorship bias i data. En survivorship bias er en bias, som opstår, når der kun undersøges overlevende aktier. Der vil altså ikke være mulighed for at virksomheder i ens data går konkurs, hvorfor der skabes en stærk bias mod bedre afkast for særligt risikotunge aktier. En frasortering af aktier ved deres udskiftning fra S&P 500, vil skabe en sådan type bias, da konkurs (eller meget store dyk) dermed aldrig vil kunne opstå i data. Det er derfor valgt at der i data medtages aktier fra det tidspunkt, hvor disse indtræder i S&P 500, disse sorteres dog ikke fra, hvis de falder ud af indekset, men kun hvis de går konkurs. På denne måde undgås en bias imod aktier, som alle overlever over den beskrevne periode. Læseren skal bemærke, at der let kan være mere end 500 aktier til de givne tidsperioder, grundet dette valg. Forfatteren har kendskab til to studier, hvor der kun undersøges overlevende aktier. Disse kommenteres i perspektiveringen. Side 32 af 79

36 Hvis aktierne var blevet inkluderet lige fra deres børsnotering (Ikke fra deres indtrædelse i S&P500) kunne det medføre, at der opstår en stærk bias imod succesfulde aktier. Med succesfulde aktier menes, at hvis en virksomhed børsnoteres med meget lav værdi og på et eller andet tidspunkt kommer i S&P500, vil denne have haft meget voldsomt vækst i perioden op til inkluderingen. Denne vækst kan være på flere % og dette har reelt ikke noget, at gøre med S&P500 indeksets udvikling. Det vurderes derfor som bedst, at udelade et eventuelt forløb fra børsnotering til inkludering i indekset, fra analysen Den Risikofrie Rente I denne opgave er den risikofrie rente valgt, som værende renten på en 3 måneders US Treasury Bill (T-Bill), som udstedes af den amerikanske stat gennem Bureau of Public Debt. En 3 måneders Treasury Bill er en låneaftale, der indgås mellem den amerikanske stat og en given investor, hvor den amerikanske stat indfrier det lånte beløb 3 måneder efter aftalens indgåelse. Ligesom på Zero-coupon bonds, betales der ikke kuponer på Treasury Bills. Derimod sælges disse under deres face value 36, hvilket betyder, at der betales et mindre beløb for disse end der tilbagebetales ved udløb 37. Dette giver Treasury Bills en positiv effektiv rente på trods af de manglende kuponrenter. Renten på en 3 måneders Treasury Bill er brugt, som den risikofrie rente, da dennes tilbagebetaling er garanteret af den amerikanske stat. Endvidere betyder løbetiden på 3 måneder, at en investor sikrer sig fleksibilitet, da denne ikke låser sine midler for længe af gangen og derfor ikke risikerer at brænde inde med disse til en uhensigtsmæssig rente. Slutteligt handles S&P 500 aktierne i amerikanske dollars, hvilket 3 måneders Treasury bills ligeledes gør. Figur 4-1 viser udviklingen i renten på en 3 måneders Treasury Bill i perioden til begge dage inklusiv. 36 Eller Par Value 37 (Treasury Direct, 2014) Side 33 af 79

37 Figur 4-1 Udvikling i årlig rente på 3 måneders Treasury Bill fra primo 1990 til ultimo % 8% 7% 6% 5% 4% 3% 2% 1% 0% Kilde: Federal Reserve: I Figur 4-1 ses det, at renten på en 3 måneders T-Bill i starten af 1990 er på sit højeste i den beskrevne periode. Denne er svagt over 8 %. Fra midten af 1990 frem til slutningen af 1994 falder renten til et niveau på cirka 3 %. Herefter vokser denne igen frem til 1995, hvor niveauet ligger mere eller mindre konstant frem til Herfra sker der et kortvarigt fald, hvorefter renten stiger frem til 2001, hvor denne er lige over 6 %. Fra 2001 frem til 2004 sker der igen et markant fald, hvor niveauet kortvarigt kommer under 1 %. I starten af 2004, stiger renten igen frem til midten af 2007, hvorefter der igen sker et markant fald, hvor renten siden slutningen af 2008 har ligget tæt på 0 %. Den rente, der bruges i data er også den, som er præsenteret i Figur Baseret på daglige Treasury Constant Maturities, som svarer til Daily Treasury Yield Curve rates fra Side 34 af 79

38 4.2 Præsentation, indhentning - og bearbejdning af den indhentede data Data til opgaven er som tidligere nævnt hentet, ved hjælp af Bloombergs excel plugin. Først er der udtrukket lister over de 500 underliggende aktier i S&P 500 indekset henholdes 31. januar og 31. juli for hvert år fra 1990 til og med På baggrund af disse udtræk vurderes det, om nye aktier er tilføjet til S&P 500 over den beskrevne tidsperiode. Da aktierne først inkluderes i analysen, når disse indgår i S&P 500, bruges altså henholdsvis 31. januar eller 31. juli et givent år, for at vurdere om en given aktie er inkluderet i indekset. Dette betyder også, at aktierne ikke nødvendigvis inkluderes den nøjagtige dato for disses introduktion i S&P 500, men datoen fra den næstkommende slutning af en januar eller juli måned. Med oversigten over de aktier der indgår i S&P 500, de givne datoer, opstilles en liste hvor hver aktie der indgår, i indekset fremkommer en gang. Med denne liste indhentes data ved hjælp af Bloomberg funktionen BDH, hvor der inputtes datoen (start dato), aktiens ticker 39 og de to forskellige Bloomberg koder, som findes i Tabel 4-1 på side 32. Dette giver en kolonne med daglige informationer om aktiernes total returns og markedskapitalisering fra og frem. Hvis aktierne ikke er børsnoteret, eller de relevante informationer ikke eksisterer for startdatoen, indlæses data, fra disse bliver tilgængelige. De forskellige aktiers informationer opstilles ovenpå hinanden og data indlæses til SAS Enterprise Guide (fremover kaldet SAS), og alle observationer med en større dato end sorteres fra. Ydermere sorteres alle observationer fra, hvor der er tomme værdier for markedskapitalsering eller total return. Efter frasorteringen er der observationer i datasættet, som fordeler sig på 971 forskellige aktier. Det viser sig desværre, at der mangler relevant data på næsten 100 forskellige aktier, som altså derfor udelades af analysen. Disse aktier er opstillet i bilagets Tabel 8-1 på bilagets side 2. Tabel 4-2 viser antallet af observationer i de forskellige måneder. Måned 1 er datoer til og med , og måned to er datoer mellem til med og så videre. Der er altså 288 måneder i alt og 24 år. Generelt i dette 39 Identifikationsnavn til aktier, som angiver på hvilken børs denne handles og aktiens navn. Side 35 af 79

39 afsnit henvender figurerne sig til den inddeling, hvor der bruges den seneste måneds volatilitet, medmindre det er muligt af præsentere begge inddelinger i samme figur. Tabel 4-2 Antallet af observationer i data sorteret på månedsnummer Måned Antal obs I Tabel 4-2 ses det, at der i de første 3 måneder er relativt få observationer. Dette skyldes, at Bloomberg for meget få af aktierne leverer markedskapitaliserings-data før andet kvartal Da der fremkommer et relativt lavt antal observationer i de første 3 måneder, er det valgt at påbegynde analysen i måned 4 (fra ), så antallet af observationer er relativt højt. Efter de første 3 måneders observationer er sorteret fra, er der observationer tilbage i datasættet. Det gennemsnitlige antal observationer vises i Tabel 4-3, hvor det ses, at der er lige over observationer i gennemsnit i de 288 måneder. Tabel 4-3 Det gennemsnitlige antal observationer i hver tidsperiode med mere Antal Gennemsnit Std. Afv. Min Max , , Udover antallet af observationer, er det også interessant, at vide hvor mange aktier, der ligger i hver gruppe. Dette er afbilledet i Figur 4-2, som med grønne streger markerer antallet af aktier for hver måned. De sorte kryds markerer antallet af aktier Side 36 af 79

40 for det givne år. Her skal læseren bemærke, at årsmarkeringen findes hver tolvte måned, således at år 1 ligger i måned 12, år 2 ligger i måned 24 osv. I figuren ses det, at der i løbet af den analyserede periode generelt er et voksende antal aktier både for hver måned og hver år med undtagelse af en periode omkring finanskrisen. Figur 4-2 Antallet af aktier fordelt i de forskellige måneder og år Måned År* * År 1 starter fra måned 4 og frem til udgangen af 1990, således at de 3 første måneder ikke indgår. Anden aksen starter desuden på 300. Figuren viser, at antallet af aktierne i de analyserede perioder svinger mellem cirka 375 og 550. Generelt har de porteføljer, der holdes et år, flere aktier, hvilket skyldes, at disse strækker sig over en længere periode, hvorfor flere aktier har mulighed for at komme ind i tidsperioden. I bilagets Tabel 8-2 på side 4 er en oversigt over de aktier, som indgår i analysen, det gennemsnitlige logafkast (bemærk at dette er et aritmetisk gennemsnit) og standard afvigelsen af disse (bemærk at det ikke er denne der bruges til inddelingen i kvintiler, men en standard afvigelse, som udregnes på henholdsvis års- og månedsbasis). Tabel 4-4 viser, hvorledes fordelingen af Side 37 af 79

41 aktiernes markedskapitalisering fordeler sig i de 5 volatilitetsgrupper. Disse tal baseres på en gennemsnitsbetragtning over alle perioderne. Tabel 4-4 Den gennemsnitlige andel af markedskapitaliseringen, der ligger i de forskellige volatilitetsgrupper. Data for månedsinddeling Volatilitetsgruppe Gen. Andel Std. Afv. Min Maks 1 Meget Lav 27,24% 8,01% 9,52% 45,19% 2 Lav 23,87% 4,02% 11,10% 37,10% 3 Mellem 20,80% 3,83% 3,79% 37,62% 4 Høj 17,35% 4,88% 8,28% 35,68% 5 Meget høj 10,73% 4,18% 5,11% 38,09% I Tabel 4-4 ses det, at den gennemsnitlige andel af markedskapitaliseringen er aftagende med hvor stor en volatilitet, der findes i grupperne. Således fordeler der sig i gennemsnit cirka 50 % af den samlede markedskapitalisering i volatilitetsgruppe 1 og 2 tilsammen. Ydermere findes der i gennemsnit kun 10 % af markedskapitaliseringen i volatilitetsgruppe 5. Dette indikerer, at det oftest er mindre aktier, der er mest volatile, hvorimod større aktier generelt er mere stabile i deres daglige prisudvikling. Det bemærkes at alle grupperne dog på enkelte dage er oppe og udgøre store dele af den samlede markedskapitalisering, men også meget små dele. Der observeres ydermere den største afvigelse for værdierne i lav volatilitetsgruppen. Da aktie-opdelingen nu er kendt, udregnes aktiernes log-returns ved hjælp af ligning (3.2) 40. Med disse inddeles aktierne i de omtalte kvintiler baseret på standardafvigelsen i den seneste måneds (ellers års) afkast. Ud fra disse opstilles figurer, som sammenligner udviklingen af en investering i en dollar, det gennemsnitlige afkast og Sharpe Ratios med de forskellige porteføljesammensætninger alt efter scenarie. Disse præsenteres i næste afsnit. 40 Hvis der er mere end 6 dage forskel på de daglige afkast, sættes afkastet til 0 for, at undgå at eventuelt store brud i data medfører, at de daglige afkast kan blive forkerte Her tænkes på, at et dagligt afkast på grund af et databrud kan blive til at afkast for lang periode. Side 38 af 79

42 Ydermere estimeres er og er - der skal dog knyttes en bemærkning til disse estimationer. Som det tidligere er nævnt er der flere problemer ved OLS regression på særligt finansielle tidsserier. Igen skal det bemærkes, at denne opgaves formål ikke er at udrede og beskrive den bedst mulige økonometriske metode til estimation af finansielle tidsserier. Forfatteren mener dog, at læseren skal være bekendt med enkelte overordnede problemer omkring estimationen af erne og erne. I korte træk gælder følgende for lineær regression af tidsserier ved brug af Method of moment, (Der tages udgangspunkt i en model med kun 1 forklarende variabel) - Fejlleddet og de forklarende variable skal være ukorreleret, [ ] (4.1) Hvor er den forklarende variable, og angiver fejlleddet. Denne betingelse kaldes også for momentbetingelsen. Ved dennes overholdelse, sammen med brugen af store tals lov og ingen forekomst af multikollinearitet vil en estimator, eksistere 41. For at store tals lov skal gælde skal følgende antagelse være overholdt, Med udgangspunkt i en tidsserie og vektor-tidsserier. Processen skal da overholde følgende antagelser, (1) har en stationær fordeling, og (2) er svagt afhængig, således at og bliver tilnærmelsesvis uafhængige, når. Denne antagelse kan ses, som en tidsserie version af identisk og uafhængigt fordelt (iid), som kendes fra cross-section data. Stationaritetsbetingelsen sikrer en identisk fordeling af tidsseriens data, og den svage afhængighed sikrer uafhængigheden. Hvis ovenstående antagelse er overholdt sammen med ligning (4.1), vil den udledte estimator,, være konsistent, hvilket vil sige, at denne konvergerer imod den sande værdi, når antallet af observationer går imod uendelig. for. 41 Se eventuelt (Nielsen, 2010) eller (Wooldridge, 2009) Side 39 af 79

43 Der gælder ydermere, at hvis ovenstående antagelse er overholdt, og nedenstående betingelse ligeså er det, så vil OLS estimatoren være unbiased. [ ] (4.2) Ligning (4.2) viser, at alle forklarende variable skal være strengt eksogene. Dette betyder, at ingen af de forklarende variable må være korreleret med fejlledet. Dette er en meget streng antagelse og holder sjældent, hvis der indgår laggede værdier i modellen. De regressioner, som laves i denne opgave indeholder ikke laggede værdier men har til gengæld problemer med særligt stationariteten, som det kan ses i Figur 4-3. Denne viser udviklingen i de daglige afkast for en ligevægt af aktierne. Denne er selvsagt ikke repræsentativ for hver enkelt af de fem porteføljer eller de enkelte aktier, som der analyseres ved hjælp af regressionerne. Denne svarer dog til en ligevægt af dem alle og kan derfor nogenlunde vurderes, som repræsentativ for hvordan de underliggende tidsserier ser ud. Det skal i øvrigt bemærkes, at lignende figurer for det scenarie, der baseres på det seneste års volatilitet, viser samme mønster, så konklusionen på de to tilgange er den samme. Side 40 af 79

44 Figur 4-3 Udvikling i daglige afkast for månedsdata, hvor data medtages fra denne bliver tilgængelig 0,15 0,1 0,05 0-0,05-0,1 Bemærk at år 1 ikke indeholder de første 3 måneder. I Figur 4-3 ses det, at afkastserien ikke er stationære. Umiddelbart fremstår disse særskilt stationære i perioderne , , , , , , og fra 2011 og frem. I lidt grovere træk kan man sige, at særligt perioden skiller sig særligt ud. Det er dog valgt, at hele tidsperioden indgår i regression, hvorfor estimaterne kan lide af, at den tidligere nævnte antagelse ikke er overholdt perfekt. Denne praksis er som tidligere nævnt også anvendt i meget af den litteratur, som beskæftiger sig med emnet, hvorfor dette også er valgt her. Som det tidligere er nævnt, er opgavens formål ikke at udrede denne problematik, men læseren bør være bekendt med, at de forskellige estimater kan have svagheder. Dette gælder også for modelleringen af den idiosynkratiske volatilitet. Side 41 af 79

45 4.3 Resultater og fortolkning I dette afsnit præsenteres resultater fra analysen. Der antages ingen transaktionsomkostninger, ved sammensætningen af diverse porteføljer. Dette er gjort for nemheds skyld. De første figurer tager udgangspunkt i en investering på en dollar i hver af de fem porteføljer. Her afbilledes også enten en ligevægtet eller markedskapitaliseringsvægtet udvikling for alle aktierne, alt efter hvilken af metoderne der undersøges. Denne vil også svare til en henholdsvis lige- eller markedskapitaliseringsvægtet sammensætning af de fem porteføljer. Efter disse figurer følger en tabel med en oversigt over de årlige afkast, og slutteligt præsenteres estimationer af er og er og relevante spreads mellem erne. I de følgende afsnit kommenteres de forskellige resultater, og de vigtigste pointer fremhæves og kommenteres. Der sluttes af med en kritik af resultaterne. Side 42 af 79

46 Figur 4-4 Udviklingen i en investering på 1 dollar for ligevægtede porteføljer med 1 måneds volatilitetsvurdering Gruppe 1 - Meget Lav Gruppe 2 - Lav Gruppe 3 - Mellem Gruppe 4 - Høj Gruppe 5 - Meget Høj Ligevægt mellem alle Figur Udviklingen i en investering på 1 dollar for MKvægtede porteføljer 300 med 1 måneds volatilitetsvurdering Gruppe 1 - Meget Lav Gruppe 2 - Lav Gruppe 3 - Mellem Gruppe 4 - Høj Gruppe 5 - Meget Høj MKvægt mellem alle Side 43 af 79

47 Figur 4-4 og Figur 4-5 viser udviklingen i en investering på 1 dollar på starttidspunktet, 1990, og viser dennes udvikling over hele tidsperioden. Den øverste figur viser udviklingen i ligevægtede porteføljer, og den nederste viser udviklingen i markedskapitaliseringsvægtede porteføljer. Det første, der skal lægges mærke til, er den markante forskel i de niveauer, som de forskellige porteføljer ender i. Det fremgår tydeligt, at de markedskapitalsieringsvægtede porteføljer generelt giver et langt højere afkast end de ligevægtede porteføljer. Denne forskel viser, at der generelt er stor forskel på de to metodemæssige opgørelser, som der blandt andet også observeres i (van Vliet, Blitz, & van der Grient, 2011). Læseren skal ydermere bemærke, de meget markante stigninger. Disse skyldes blandt andet, at der er tale om total return værdier, hvor udbetalinger geninvesteres i de aktier som giver disse. Andre effekter der spiller ind på de meget store afkast findes senere i dette afsnit. Ses der på udviklingen i de to figurer, ses det, at volatilitetsgruppe 5 vokser betydeligt mere end de resterende 4 grupper. Dette indikerer med alt tydelighed at høj risiko-porteføljerne outperformer de resterende porteføljer markant dette uafhængigt af metoden for porteføljevægtningen. Fokuseres der på udviklingen i de konstruerede markedsporteføljer, ses det, at kun 5. -og 4. volatilitetsgruppe, for markedskapitaliseringsvægtede porteføljer - og kun 5. for ligevægtede porteføljer - ligger over disse. Dette indikerer, som der tidligere er omtalt, at en meget lille del af den samlede markedskapitalisering ligger i volatilitetsgruppe 5, da denne ligger relativt langt fra den generelle markedsudvikling. I begge figurer ses det, at volatilitetsgruppe 1 giver det laveste afkast, volatilitetsgruppe 2 giver det næstlaveste resultatet etc. Dette viser, at der for de aktier, som indgår i denne analyse, ikke kan påvises forekomsten af lav volatilitets uregelmæssigheden. Derimod fremstår forholdet mellem volatilitet og afkast som værende meget positivt, med en yderst stor gevinst ved investering i den gruppe med den højeste volatilitet. Til sammenligning indeholder Tabel 4-5, på side 45, en oversigt over de årlige afkast, som de forskellige porteføljer opnår henover den beskrevne periode. Læseren skal bemærke, at afkastet for 1990 gælder fra og med maj måned, så afkastet kun dækker over halvdelen af året. I tabellens bund er ligeledes angivet både det geometriske og det aritmetiske gennemsnit til sammenligning af de forskellige porteføljer og metode valg. Side 44 af 79

48 Tabel 4-5 Udviklingen i årlige afkast for månedsregulering af porteføljer Månedsregulering af porteføljer Gruppe 1 Gruppe 2 Gruppe 3 Gruppe 4 Gruppe 5 Marked År Lige Vægtet Lige Vægtet Lige Vægtet Lige Vægtet Lige Vægtet Lige Vægtet 1990* -2,7% 6,7% -0,7% 8,5% 4,5% 7,6% -2,3% 9,6% -13,2% -1,9% -3,0% 6,7% ,8% 34,2% 32,2% 36,9% 35,1% 41,6% 36,6% 49,3% 60,7% 52,5% 38,3% 39,2% ,8% 9,4% 9,6% 8,4% 15,2% 11,8% 19,5% 24,7% 36,1% 34,3% 17,9% 12,8% ,8% 13,2% 12,4% 17,9% 13,7% 6,3% 18,5% 20,8% 24,4% 25,1% 16,0% 14,7% ,1% 3,1% 3,0% 5,6% 3,3% 9,4% 3,3% 8,8% 2,1% 15,7% 2,4% 7,2% ,0% 43,3% 36,0% 49,7% 32,9% 40,4% 31,1% 44,4% 31,0% 41,0% 33,5% 45,0% ,2% 21,2% 25,4% 31,6% 22,9% 27,9% 20,4% 36,0% 24,5% 38,0% 21,9% 31,1% ,1% 40,5% 31,4% 38,3% 28,5% 40,0% 30,9% 45,9% 27,5% 44,8% 30,6% 43,3% ,6% 28,8% 4,4% 23,1% 15,0% 51,3% 17,6% 52,1% 21,9% 56,8% 13,8% 42,4% ,6% 1,4% 1,7% 36,7% 11,9% 26,2% 12,4% 37,5% 42,2% 104,0% 12,0% 37,3% ,2% 40,3% 11,5% 23,6% 6,2% 12,4% 12,8% 8,2% -3,8% 5,7% 11,9% 19,5% ,6% 2,4% 9,2% 0,6% 20,7% 16,2% 25,1% 27,6% -10,3% -14,3% 10,9% 8,0% ,5% -9,8% -9,6% -10,9% -10,4% -14,5% -12,8% -9,8% -32,8% -15,7% -14,3% -11,3% ,4% 20,5% 29,0% 24,7% 40,8% 38,1% 45,7% 52,7% 93,7% 83,8% 44,3% 35,7% ,2% 15,6% 18,8% 14,0% 18,5% 13,6% 24,6% 18,8% 18,1% 18,8% 19,4% 15,6% ,5% 3,3% 10,1% 10,2% 8,2% 11,6% 13,1% 9,9% 11,1% 19,2% 9,4% 9,2% ,9% 20,7% 19,5% 19,4% 14,9% 21,6% 8,1% 17,0% 22,9% 26,9% 17,3% 20,6% ,9% 12,3% 5,6% 11,2% 2,3% 8,4% -1,3% 8,8% -8,3% 12,0% 1,0% 10,9% ,9% -17,7% -32,1% -25,6% -42,0% -32,3% -47,0% -25,1% -40,5% -24,1% -37,1% -23,2% ,0% 20,4% 38,9% 45,0% 43,5% 45,2% 59,7% 58,7% 122,9% 105,4% 56,5% 44,4% ,1% 12,8% 20,7% 17,6% 22,8% 21,5% 27,3% 24,4% 37,4% 39,2% 25,0% 20,1% ,3% 20,5% 5,6% 9,1% -1,8% -1,4% -5,8% -1,9% -15,9% -14,5% -1,2% 6,8% ,4% 15,9% 15,0% 18,4% 18,8% 24,1% 20,9% 22,2% 30,5% 38,2% 19,9% 20,7% ,8% 28,5% 33,5% 39,2% 39,1% 36,6% 37,4% 40,6% 43,3% 40,0% 36,0% 35,7% Aritmetisk 12,9% 16,1% 13,8% 18,9% 15,2% 19,3% 16,5% 24,2% 21,9% 30,4% 15,9% 20,5% Geometrisk 12,4% 15,9% 13,1% 18,4% 14,1% 18,4% 14,9% 23,4% 17,6% 27,5% 14,8% 20,1% * Året starter fra maj måned Side 45 af 79

49 I Tabel 4-5 ses det, at spreadet i de gennemsnitlige årlige afkast, mellem volatilitetsgruppe 5 og gruppe 1, afhænger betydeligt af porteføljevægtningen, som det tidligere er nævnt. Spreadet for den markedskapitaliseringsvægtede sammensætning er 14,3 procentpoint for aritmetisk gennemsnit og 11,6 procentpoint for det geometriske gennemsnit. For den ligevægtede sammensætning er tallene henholdsvis 9 procentpoint og 5,2 procentpoint. Dette forklarer også, hvorfor væksten i de to figurer på side 43 viser en markant større fremgang i meget høj volatilitetsgruppen for de markedskapitaliseringsvægtede porteføljer end de ligevægtede. Dette skyldes, at spreadet i den MK-vægtede sammenhæng er betydeligt større end spreadet for ligevægtede, hvorfor volatilitetsgruppe 5 vokser markant mere relativt til volatilitetsgruppe 1 i den MK-vægtede sammensætning, end i den ligevægtede. At disse spreads alle er positive viser, at der er en positive sammenhæng mellem øget volatilitet og øget afkast på de aktier, der indgår i denne analyse. Ses der nærmere på de forskellige afkast de i givne år, ses det, at volatilitetsgruppe 5 generelt taber mere end de lavere grupper, når markedsudviklingen er negativ (2001, 2002 og 2011 bl.a.), men til gengæld vinder betydeligt mere i de gode perioder (2003 og 2009 bl.a.). Dette giver god intuitiv mening, da man ved investering i høj risiko aktier vil forvente et generelt større tab i dårligere periode, men også generelt forvente en større gevinst i gode perioder relativt til mere sikker investering. Det observeres yderligere, at volatilitetsgruppe 1 oftest ligger under afkastet i markedet. Udover scenariet, hvor porteføljerne sammensættes hver måned, er der på samme måde opstillet figurer for de porteføljer, der sammensættes hvert år og bygger på det seneste års volatilitet. Disse figurer findes på de efterfølgende sider. I Figur 4-6 og Figur 4-7 ses det, at volatilitetsgruppe 5 igen ligger klart højest af volatilitetsgrupperne og altså igen viser sig, som værende den portefølje sammensætning, der giver det højeste afkast for begge typer af vægtninger. Igen kan lav volatilitets uregelmæssigheden altså ikke findes, og det viser sig igen, at volatilitetsgruppe 1 er den portefølje, som giver det laveste afkast. Ydermere er det igen den MKvægtede portefølje-sammensætning, hvor volatilitetsgruppe 5 giver langt det største afkast. Dette bekræfter igen, at der er stor forskel på hvilken sammensætning af porteføljer, der opstilles. Side 46 af 79

50 Figur Udviklingen i en investering på 1 dollar for ligevægtede porteføljer med 1 års volatilitetsvurdering Gruppe 1 - Meget Lav Gruppe 2 - Lav Gruppe 3 - Mellem Gruppe 4 - Høj Gruppe 5 - Meget Høj Ligevægt mellem alle Figur Udviklingen i en investering på 1 dollar for MKvægtede porteføljer med 1 års volatilitetsvurdering Gruppe 1 - Meget Lav Gruppe 2 - Lav Gruppe 3 - Mellem Gruppe 4 - Høj Gruppe 5 - Meget Høj MK-Vægtet mellem alle Side 47 af 79

51 Igen er der opstillet en tabel med de årlige afkast og udregning af de relevante gennemsnit, for de forskellige volatilitetsgrupper. Igen bekræftes resultatet af, at volatilitetsgruppe 5 giver langt det største afkast af de 5 grupper uafhængigt af metodevalget for sammensætning af porteføljer. Ligesom for måneds sammensætningen, viser årssammensætningen, at grupperne med den højeste volatilitet rammes hårdest af nedgange i markedet, men også at de giver et betydeligt større afkast ved positiv udvikling i markedet relativt til porteføljerne med lavere volatilitet. Rentespreads er henholdsvis 10,5 -og 21,1 procentpoint, for aritmetisk gennemsnit og 6 og 16,9 procentpoint for det geometriske gennemsnit, hvor de ligevægtede porteføljer nævnes først, og værdivægtede nævnes sidst. Dette understreger, igen, den markante forskel på de forskellige metode-valg af både gennemsnit og portefølje-sammensætning. Porteføljerne der holdes et år er umiddelbart forbundet med usikkerhed, da fastholdelse af en uændret portefølje et helt år, vurderes at være længe og ikke særlig fleksibel. Ydermere skal der ikke megen tilfældighed til, at resultatet kan påvirkes kraftigt, da den samlede tidserie kun består af 23 perioder. Resultatet vurderes derfor som værende mere usikkert, end de resultater som fremkommer ved månedsvurdering af porteføljerne. Konklusionen på baggrund af de to metoder er dog endegyldigt ens. Ved sammensætning af porteføljer på baggrund af den samlede volatilitet, kan eksistensen af lav volatilitets uregelmæssigheden ikke bekræftes. Derimod vises en betydelig positiv sammenhæng mellem øget volatilitet og øget afkast. Dette gør sig gældende uafhængigt af, om porteføljerne sammensættes på månedsbasis, på baggrund af den seneste måneds volatilitet, eller om disse sammensættes, på årsbasis på baggrund af det seneste års volatilitet. Ydermere observeres der markante forskelle på, om der bruges MKvægtede porteføljer eller ligevægtede porteføljer, og aritmetisk gennemsnit eller geometrisk gennemsnit til at vurdere forskellene. Alle metode-sammensætninger giver dog samme resultat i mere eller mindre grad. Side 48 af 79

52 Tabel Udviklingen i årlige afkast for årsregulering af porteføljer Årsregulering af porteføljer Gruppe 1 Gruppe 2 Gruppe 3 Gruppe 4 Gruppe 5 Marked År Lige Vægtet Lige Vægtet Lige Vægtet Lige Vægtet Lige Vægtet Lige Vægtet ,8% 29,7% 34,7% 39,5% 34,0% 41,2% 44,8% 56,9% 61,3% 72,3% 39,4% 40,4% ,1% 8,4% 13,8% 6,7% 14,3% 17,0% 20,3% 22,3% 30,5% 38,1% 17,9% 12,8% ,2% 11,9% 11,7% 10,4% 15,4% 15,4% 18,7% 28,2% 25,0% 36,8% 15,9% 14,7% ,6% 0,7% 5,7% 10,3% 0,4% 2,3% 2,0% 11,0% 6,2% 18,0% 2,7% 7,3% ,7% 42,4% 35,4% 49,0% 34,5% 46,0% 31,5% 37,7% 28,7% 52,6% 33,2% 45,0% ,2% 27,0% 23,6% 25,0% 25,4% 33,1% 16,4% 28,1% 25,9% 54,9% 21,8% 31,4% ,0% 40,7% 28,5% 35,3% 30,8% 43,6% 30,0% 52,4% 28,0% 40,9% 29,9% 42,9% ,8% 18,2% 14,8% 36,4% 7,5% 28,1% 14,6% 57,6% 24,2% 66,5% 13,3% 43,3% ,7% 6,9% 1,6% 14,5% 11,0% 34,6% 8,3% 50,0% 42,0% 94,3% 11,3% 36,3% ,9% 17,2% 13,9% 31,0% 13,1% 12,6% 14,9% 13,0% 0,1% 13,3% 14,1% 21,3% ,0% 3,5% 11,5% 2,1% 19,6% 10,5% 9,4% 14,4% 4,7% -3,6% 12,7% 8,6% ,3% -6,1% -4,7% -4,6% -11,5% -16,8% -16,2% -21,6% -33,7% -23,8% -14,2% -11,2% ,8% 21,0% 31,2% 27,6% 38,2% 29,4% 45,0% 54,6% 96,7% 92,6% 44,2% 35,6% ,0% 17,1% 20,6% 12,5% 21,2% 17,8% 17,4% 11,3% 17,9% 18,4% 19,4% 15,5% ,8% 3,5% 8,9% 8,8% 12,3% 12,5% 13,9% 14,5% 9,0% 23,1% 9,5% 9,3% ,1% 21,3% 20,0% 19,5% 13,7% 18,6% 17,3% 20,4% 14,6% 20,3% 17,3% 20,5% ,1% 1,9% -2,5% 8,4% 2,9% 9,6% 2,8% 19,5% 2,4% 43,7% 1,0% 11,0% ,0% -18,7% -32,5% -25,3% -35,0% -22,9% -39,0% -31,7% -52,3% -38,8% -36,6% -23,0% ,3% 19,8% 39,7% 41,2% 54,9% 50,4% 63,5% 64,5% 108,9% 90,9% 57,4% 44,2% ,6% 11,3% 20,7% 19,7% 25,1% 29,3% 30,6% 31,6% 37,0% 23,8% 25,1% 20,2% ,1% 16,2% 4,8% 9,3% 0,9% 1,8% -2,4% -6,2% -19,8% -15,0% -0,9% 7,0% ,0% 12,7% 18,0% 22,3% 19,2% 22,7% 20,7% 21,6% 29,7% 44,4% 20,0% 20,6% ,6% 23,5% 37,4% 40,6% 38,8% 41,6% 37,0% 35,4% 42,7% 51,8% 35,8% 35,5% Aritmetisk 12,5% 14,4% 15,5% 19,1% 16,8% 20,8% 17,5% 25,5% 23,0% 35,5% 17,0% 21,3% Geometrisk 11,7% 13,5% 14,2% 17,8% 15,2% 19,2% 15,4% 22,9% 17,7% 30,4% 15,2% 19,9% Side 49 af 79

53 Udover opstillingen af de absolutte afkast, er der ved hjælp af FF og CAPMmodellen udregnet, hvorledes udviklingen i Jensens er på tværs af porteføljerne. Som tidligere nævnt er Jensens et mål for, hvor meget afkast et aktiv giver, når der korrigeres for effekter i markedet. I Tabel 4-7, Tabel 4-8 og Tabel 4-9 er vist henholdsvis estimationer af markeds er, Jensens er og beregnet relevante spreads mellem volatilitetsgruppe 5 og volatilitetsgruppe 1. Disse er igen opdelt efter porteføljevægtning og tid mellem genopdeling af porteføljerne. Generelt om estimationerne gælder det, at disse er estimeret på baggrund af månedlige afkast, da regressioner på årlige data gav for få observationer til, at parameter-estimaterne blev signifikante. Dette gælder for alle disse estimationer. Dette betyder også, at erne skal fortolkes, som den månedlige kompensation, når der korrigeres for risiko. Denne kan dog omregnes til den årlige kompensation ved at bruge følgende formel, (4.3) I Tabel 4-7 ses estimationerne for de ligevægtede porteføljer. Her ses det, at markeds, som forventet er voksende med volatilitetsgruppe nummeret. Videre er for volatilitetsgruppe 1 og 2 og større for de andre 3 volatilitetsgrupper. Dette viser, at de mindre volatile grupper generelt svinger mindre end markedet, hvilket giver dem en fordel, når markedet falder men også en ulempe, når markedet stiger, som de årlige afkast også viste tidligere. Generelt ses det, at erne er negative, hvilket indikerer, at alle porteføljerne giver et negativt afkast, når der korrigeres for de indgående aktiers påvirkninger fra henholdsvis CAPM og FF. Det ses dog at - værdierne er større for de lavere volatilitetsgrupper, end for de høje, hvilket indikerer, at der gives et større risikokorrigeret afkast til lav volatilitets aktier, end der gives til aktier med højere volatilitet, begge er dog stadig negative. Læseren skal have øje for, at erne for volatilitetsgruppe 1 er insignifikante for CAPM estimationerne. Dette gør dog kun er spreadet bliver endnu større, da 0 er større end den insignifikante, negative værdi. For de markedskapitaliseringsvægtede estimationer, opstår der ofte problemer med signifikansen af erne, hvor dette for de ligevægtede porteføljer var begrænset til Side 50 af 79

54 den laveste volatilitetsgruppe. I Tabel 4-8 ses det, at erne igen er voksende med volatilitetsgruppe-nummeret. Ydermere observeres der ikke samme fortegn på - spreadene, hvor disse generelt ikke er størst for den lave volatilitetsgruppe. Disse lider dog, som nævnt, af manglende signifikans, hvorfor disse ligeså godt kan siges at være 0. En opsamling af de omtalte spreads findes i Tabel 4-9, hvor forskellen på MKvægtede og ligevægtede porteføljer, også ses tydeligt. Der observeres ikke tydelige forskelle på årsopdeling og månedsopdeling af de estimerede er og er. På baggrund af disse resultater, kan det altså konkluderes, at der for ligevægtede risikokorrigerede afkast, findes en svag negativ sammenhæng mellem højere volatilitet og øget risikokorrigeret afkast. Dette betyder at aktier med lavere volatilitet, generelt modtager en større risikokorrigeret kompensation, end aktier med høj volatilitet. Der findes altså en risikokorrigeret lav volatilitets uregelmæssighed i det analyserede data. Denne konklusion gør sig dog ikke gældende, hvis der vurderes på MKvægtede porteføljer, hvor sammenhængen er omvendt eller 0, hvis man tager højde for insignifikans. Side 51 af 79

55 Tabel 4-7 Estimationer af og markeds- for ligevægetede porteføljer Ligevægtet Gruppe 1 Gruppe 2 Gruppe 3 Gruppe 4 Gruppe 5 Navn Månedsvurdering CAPM -0,00124* 0, , ,8945-0, ,0748-0,0061 1, , ,7761 Månedsvurdering FF -0, , , , , , , , , ,74219 Årsvurdering CAPM -0,001332* 0, , , , , , , , ,79668 Årsvurdering FF -0, , , , , , , , , ,76500 * Insignifikant med mere end 10 % Navn Tabel 4-8 Estimationer af og markeds- for markedskapitaliseringsvægtede porteføljer Værdivægtet Gruppe 1 Gruppe 2 Gruppe 3 Gruppe 4 Gruppe 5 Månedsvurdering CAPM 0,00117* 0, ,00042* 0,8726-0,00191* 1,0828 0,0003* 1, ,0011* 1,63306 Månedsvurdering FF 0,00061* 0, ,00005* 0, , ,1035 0,00082* 1, ,00149* 1,58439 Årsvurdering CAPM -0,00024* 0, ,000345* 0, ,00119* 1, ,00099* 1, ,00012* 1,71315 Årssvurdering FF -0,00081* 0, ,000151* 0, ,0019* 1, ,00150* 1, ,00009* 1,64635 * Insignifikant med mere end 10 % Tabel 4-9 Udregning af spread mellem højeste volatilitetsgruppe og laveste volatilitetsgruppe Ligevægtet MK-vægtet CAPM - Måned FF - Måned CAPM- år FF - År CAPM - Måned FF - Måned CAPM- år FF - År -0, , , , ,0023 0, , ,0009 Side 52 af 79

56 På samme måde, som resultaterne for den samlede volatilitet er opstillet, præsenteres resultaterne for opdeling efter den idiosynkratiske volatilitet. Figur 4-8 og Figur 4-9 viser udviklingen i en investering på 1 dollar henover den beskrevne periode. Først afbilledes de ligevægtede porteføljer og dernæst de MKvægtede. For de ligevægtede porteføljer ses mere eller mindre samme udvikling som for opdelingen efter den totale volatilitet. Volatilitetsgruppe 5 giver det højeste afkast, og der er igen stor forskel på denne og de resterende porteføljer. Det skal dog bemærkes, at de resterende 4 porteføljer ligger meget tæt, og volatilitetsgruppe 4 er den gruppe, der henover perioden giver det laveste afkast sammen med gruppe 1. For de MKvægtede porteføljer er billedet lig med det fra tidligere. Volatilitetsgruppe 5 giver langt det største afkast. Det er dog også værd at bemærke, at lav volatilitetsgruppen ikke giver det laveste afkast men lægger sig lige omkring markedsporteføljen. Igen bemærkes den meget markante forskel, på udviklingen i henholdsvis MKvægtede og ligevægtede porteføljer, hvor MKvægtede giver betydeligt større afkast og altså også giver et betydeligt større spread mellem de gennemsnitlige afkast. Side 53 af 79

57 Figur Udviklingen i en investering på 1 dollar for ligevægtede porteføljer med 1 måneds idiosynkratisk volatilitetsvurdering Gruppe 1 - Meget Lav Gruppe 2 - Lav Gruppe 3 - Mellem Gruppe 4 - Høj Gruppe 5 - Meget Høj Ligevægt mellem alle Figur 4-9 Udviklingen i en investering på 1 dollar for MKvægtede porteføljer med 1 måneds idiosynkratisk volatilitetsvurdering Gruppe 1 - Meget Lav Gruppe 2 - Lav Gruppe 3 - Mellem Gruppe 4 - Høj Gruppe 5 - Meget Høj MKvægt mellem alle Side 54 af 79

58 Ligesom tidligere, præsenteres også tabeller med de årlige afkast samt et aritmetiskog geometrisk gennemsnit af disse. Igen er der relativt stor forskel på de spreads, der dannes mellem volatilitetsgruppe 5 og gruppe 1, alt efter hvilken metode, der anvendes. De aritmetiske gennemsnits-spreads er 7,5 og 13,6 procentpoint for henholdsvis ligevægtede porteføljer efterfulgt af MKvægtede. For de geometriske gennemsnit er tallene 4,1 og 11 procentpoint. Det observeres igen, at volatilitetsgruppe 5 giver dårligst afkast i nedadgående perioder, men til gengæld giver markant bedre afkast i de gode perioder. Dette viser, at sorteres der på idiosynkratisk volatilitet, findes lav volatilitets uregelmæssigheden ikke i det analyserede data med de valgte metoder. Dog findes der ej heller en perfekt positiv sammenhæng mellem de forskellige volatilitetsgrupper. Gruppe 5 giver dog stadig det langt største afkast og gruppe 1 ligger i bunden. Som tidligere præsenteres også tilsvarende figurer for de porteføljer, som tilpasses på årsbasis. Disse figurer findes på side 57 og side 58. Begge figurer viser den samme udvikling, som figurerne for den totale volatilitet og igen ligger volatilitetsgruppe 5 betydeligt over de resterende grupper, hvilket igen, indikerer at lav volatilitets uregelmæssigheden ej heller findes for porteføljer, der holdes et år. Et overblik over de årlige afkast, findes i Tabel 4-11 på side 58, hvor der ligesom tidligere, observeres store forskelle i spreads alt efter metode. Dog peger alle disse på, at der er en betydelig positiv sammenhæng mellem (idiosynkratisk) volatilitet og afkast, hvor særligt volatilitetsgruppe 5 giver et markant bedre afkast end de resterende grupper. Læseren skal igen huske, at der er stor usikkerhed forbundet med 1 års vurderingen, da denne har relativt få porteføljeændringer og tilfældigheder derfor kan drive resultatet. De omtalte spreads er henholdsvis 19,74 og 24,25 procentpoint for MKvægtede porteføljer, og for ligevægtede porteføljer, giver det geometriske gennemsnit 5,84 procentpoint og det aritmetiske 10,11 procentpoint. Side 55 af 79

59 Tabel Udviklingen i årlige afkast for månedsregulering af porteføljer dannet med idiosynkratisk volatilitet Gruppe 1 Gruppe 2 Gruppe 3 Gruppe 4 Gruppe 5 Marked År Ligevægtet MKvægtet Ligevægtet MKvægtet Ligevægtet MKvægtet Ligevægtet MKvægtet Ligevægtet MKvægtet Ligevægtet MKvægtet 1990* -7,1% -1,0% -8,7% -3,7% -7,9% 4,0% -13,1% -6,8% -20,1% -10,2% -11,4% -2,5% ,6% 37,0% 35,2% 41,9% 32,0% 33,5% 41,3% 46,9% 54,6% 52,8% 38,3% 39,2% ,3% 9,5% 10,5% 9,1% 16,8% 13,2% 17,1% 21,2% 35,2% 28,1% 17,9% 12,8% ,0% 15,1% 10,1% 14,4% 15,1% 18,5% 17,1% 7,2% 24,0% 30,0% 16,0% 14,7% ,8% 2,5% 3,4% 5,4% 6,4% 13,1% -1,1% 4,6% 4,1% 18,7% 2,4% 7,2% ,0% 41,9% 36,6% 48,1% 32,3% 41,7% 30,9% 45,3% 32,1% 48,2% 33,5% 45,0% ,1% 28,5% 22,9% 25,0% 24,0% 34,8% 18,7% 33,2% 23,6% 35,3% 21,9% 31,1% ,5% 44,3% 30,4% 39,9% 27,7% 37,5% 30,7% 44,6% 25,4% 42,3% 30,6% 43,3% ,3% 37,1% 7,5% 31,1% 10,7% 38,5% 16,1% 56,0% 22,8% 63,3% 13,8% 42,4% ,2% 22,2% -1,0% 25,9% 17,9% 35,0% 14,7% 46,7% 35,4% 82,9% 12,0% 37,3% ,1% 50,4% 15,2% 30,2% 9,4% 6,5% 4,3% 5,7% -2,0% 5,0% 11,9% 19,5% ,3% 6,6% 10,2% 7,9% 18,4% 8,6% 9,6% 3,2% 2,1% -5,1% 10,9% 8,0% ,7% -9,2% -13,9% -11,0% -10,9% -13,0% -17,5% -16,4% -25,7% -8,0% -14,3% -11,3% ,3% 22,0% 33,0% 29,5% 39,2% 43,7% 49,5% 50,3% 82,9% 80,4% 44,3% 35,7% ,5% 11,5% 18,0% 16,8% 19,0% 15,4% 17,6% 18,3% 25,3% 26,2% 19,4% 15,6% ,8% 4,2% 8,1% 11,2% 11,0% 5,8% 14,7% 12,3% 8,6% 18,6% 9,4% 9,2% ,7% 19,2% 18,9% 20,1% 16,1% 20,5% 9,0% 18,0% 22,8% 26,3% 17,3% 20,6% ,8% 11,8% 4,5% 12,3% 1,4% 6,2% -1,8% 10,2% -6,9% 12,8% 1,0% 10,9% ,6% -21,6% -29,5% -22,0% -39,5% -27,7% -48,0% -25,7% -43,2% -27,6% -37,1% -23,2% ,8% 22,1% 35,4% 45,2% 37,0% 32,6% 64,5% 66,7% 125,5% 139,4% 56,5% 44,4% ,9% 12,9% 19,8% 18,0% 20,8% 24,4% 27,8% 24,8% 36,3% 33,4% 25,0% 20,1% ,3% 10,8% 4,2% 8,4% -1,2% 9,5% -2,1% 1,9% -13,0% -11,3% -1,2% 6,8% ,5% 15,6% 18,1% 21,2% 18,3% 16,8% 23,2% 30,0% 25,3% 36,1% 19,9% 20,7% ,9% 31,1% 35,0% 38,1% 33,9% 35,9% 37,3% 40,9% 41,8% 33,0% 36,0% 35,7% Aritmetisk 14,0% 17,7% 13,5% 19,3% 14,5% 19,0% 15,0% 22,5% 21,5% 31,3% 15,6% 20,1% Geometrisk 13,5% 17,2% 12,8% 18,8% 13,6% 18,4% 13,0% 21,1% 17,6% 28,2% 14,4% 19,6% Side 56 af 79

60 Figur Udviklingen i en investering på 1 dollar for ligevægtede porteføljer med 1 års idiosynkratisk volatilitetsvurdering Gruppe 1 - Meget Lav Gruppe 2 - Lav Gruppe 3 - Mellem Gruppe 4 - Høj Gruppe 5 - Meget Høj Ligevægt mellem alle Figur Udviklingen i en investering på 1 dollar for markedskapitaliseringsvægtede porteføljer med 1 års idiosynkratisk volatilitetsvurdering Gruppe 1 - Meget Lav Gruppe 2 - Lav Gruppe 3 - Mellem Gruppe 4 - Høj Gruppe 5 - Meget Høj MKvægt mellem alle Side 57 af 79

61 Tabel Udviklingen i årlige afkast for månedsregulering af porteføljer dannet med idiosynkratisk volatilitet Gruppe 1 Gruppe 2 Gruppe 3 Gruppe 4 Gruppe 5 Marked År Lige Vægt Lige Vægt Lige Vægt Lige Vægt Lige Vægt Lige Vægt ,8% 32,5% 33,8% 41,9% 33,2% 43,1% 40,2% 53,7% 63,2% 70,6% 39,2% 40,7% ,3% 6,3% 13,7% 12,4% 12,6% 17,2% 23,4% 26,9% 31,5% 43,9% 17,9% 12,8% ,6% 10,0% 13,0% 11,7% 15,7% 17,6% 17,2% 22,9% 26,9% 47,0% 16,0% 14,7% ,2% 2,8% 5,5% 9,6% -1,0% -1,7% 3,5% 16,6% 6,0% 18,7% 2,4% 7,2% ,3% 43,7% 35,6% 48,0% 34,1% 39,8% 29,2% 43,0% 29,5% 53,7% 33,5% 45,0% ,0% 26,5% 23,3% 24,9% 25,8% 33,4% 16,1% 27,9% 26,2% 59,7% 21,9% 31,1% ,6% 41,3% 29,0% 39,2% 30,8% 44,7% 30,4% 45,5% 23,3% 40,0% 30,6% 43,3% ,8% 27,2% 11,5% 25,1% 12,6% 50,7% 10,2% 49,1% 21,8% 86,0% 13,8% 42,4% ,6% 13,8% 3,2% 32,3% 5,5% 29,0% 14,5% 48,0% 40,6% 119,7% 12,0% 37,3% ,9% 20,5% 14,8% 11,0% 10,5% 22,6% 15,2% 22,3% 0,5% 19,8% 11,9% 19,5% ,4% 5,0% 17,6% 5,0% 13,8% 8,7% 8,9% 11,4% 8,3% -1,2% 10,9% 8,0% ,5% -6,0% -9,6% -13,4% -9,6% -7,8% -15,5% -17,0% -33,2% -27,5% -14,3% -11,3% ,0% 22,8% 31,7% 29,6% 37,0% 33,5% 45,0% 57,3% 93,3% 94,6% 44,3% 35,7% ,2% 13,0% 18,5% 13,5% 20,2% 15,0% 18,5% 19,2% 21,7% 29,4% 19,4% 15,6% ,7% 2,9% 8,8% 10,6% 9,4% 11,6% 15,9% 15,4% 10,1% 24,8% 9,4% 9,2% ,5% 22,3% 17,7% 20,6% 14,5% 17,4% 15,3% 18,5% 15,8% 18,5% 17,3% 20,6% ,5% 2,7% -1,0% 9,4% 1,3% 9,9% -3,5% 16,6% 5,6% 44,0% 1,0% 10,9% ,7% -17,2% -31,6% -29,5% -33,6% -23,1% -44,2% -35,6% -49,0% -29,3% -37,1% -23,2% ,6% 26,5% 33,5% 26,9% 53,9% 75,6% 60,8% 65,3% 124,5% 102,4% 56,5% 44,4% ,1% 14,9% 19,6% 17,3% 24,1% 24,4% 27,3% 27,0% 38,2% 28,5% 25,0% 20,1% ,0% 15,3% 2,3% 9,3% 1,1% -0,6% -4,8% -2,5% -16,3% -11,1% -1,2% 6,8% ,0% 11,8% 20,4% 25,1% 22,8% 24,8% 21,4% 27,1% 23,2% 33,9% 19,9% 20,7% ,8% 28,7% 33,6% 35,8% 37,7% 42,3% 36,8% 34,0% 42,3% 59,1% 36,0% 35,7% Aritmetisk 13,98% 15,98% 15,00% 18,10% 16,20% 22,97% 16,60% 25,77% 24,09% 40,23% 16,80% 21,18% Geometrisk 13,03% 15,07% 13,80% 16,74% 14,65% 21,12% 14,38% 23,35% 18,87% 34,81% 15,00% 19,77% Side 58 af 79

62 Igen, opstilles der resultater for regressionsanalyser af CAPM og FF modellen. Markeds-, Jensens og relevante spreads kan findes i Tabel 4-12, Tabel 4-13 og Tabel 4-14 på den kommende side. I den første tabel, ses hvorledes estimaterne fordeler sig for de ligevægtede porteføljer. viser sig at være voksende med volatilitetsgruppe nummeret, og de to mindste grupper har et på mindre end 1, og de sidste 3 har et større end 1. Som tidligere nævnt bekræfter dette at de mindre volatile porteføljer svinger mindre end markedet, og de mere volatile porteføljer svinger mere end markedet. Ses der på de estimerede er, ses det, at der ligesom tidligere, er problemer med signifikansen for gruppe 1 ved de ligevægtede porteføljer. Generelt observeres der også store problemer med signifikansen for de MKvægtede porteføljer. Ses der på størrelsen af -spreadene mellem volatilitetsgruppe 5 og 1, er der generelt negative spreads, for de ligevægtede porteføljer, hvilket indikerer at der findes en risikokorrigeret lav volatilitets uregelmæssighed i det analyserede data. Dette svarer til, at man som investor kompenseres relativt mere, ved at investere i lav risiko aktier end i høj risiko aktier, når der tages højde for den risiko, som man tager. Resultaterne viser sig dog ikke at være robuste henover de to portefølje vægtninger, da hovedparten af de omtalte spreads for de markedsvægtede porteføljer er positive eller 0 hvis, der tages højde for signifikans problemerne. Der fremkommer altså ikke en entydig bekræftelse af fremkomsten af uregelmæssigheden, for de risikojusterede afkast på de forskellige porteføljer. I Tabel 6-2 i konklusionen findes de omtalte spreads omregnet til årlige værdier. Side 59 af 79

63 Tabel Estimationer af og markeds- for ligevægtede porteføljer, idiosynkratisk volatilitet Ligevægtet Gruppe 1 Gruppe 2 Gruppe 3 Gruppe 4 Gruppe 5 Navn Månedsvudering CAPM -0,00127* 0, , , , , , , , ,67751 Månedsvudering FF -0, , , , , , , , , ,64142 Årsvudering CAPM -0,00113* 0, , , , , , , , ,73014 Årssvudering FF -0,00287* 0, ,00520* 0, ,00655* 1, ,00923* 1, , ,70107 * Insignifikant med mere end 10 % Tabel Estimationer af og markeds- for markedskapitaliseringsvægtede porteføljer, idiosynkratisk volatilitet Værdivægtet Gruppe 1 Gruppe 2 Gruppe 3 Gruppe 4 Gruppe 5 Navn Månedsvudering CAPM 0,00120* 0, ,00043* 0, , , ,00099* 1, ,00100* 1,50652 Månedsvudering FF 0,00088* 0, ,00006* 0, , , ,00137* 1, ,00138* 1,44675 Årsvudering CAPM -0,00029* 0, ,00125* 0, , , , , , ,59555 Årssvudering FF -0,00054* 0, , , ,00052* 1, ,00070* 1, , ,52157 * Insignifikant med mere end 10 % Tabel Udregning af spread mellem højeste volatilitetsgruppe og laveste volatilitetsgruppe Ligevægtet MK-vægtet CAPM - Måned FF - Måned CAPM- år FF - År CAPM - Måned FF - Måned CAPM- år FF - År -0, , , , , , , ,00515 Side 60 af 79

64 4.4 Nøgletal og opsamling Som afslutning, er der opstillet yderligere en stor tabel, hvor de vigtigste nøgletal er medtaget. Her er desuden tilføjet de gennemsnitlige årlige afkast for excess returns (ER), som er givet ved afkastet for de forskellige porteføljer, fratrukket den risikofrie rente. Disse ændrer ikke på konklusionerne. Dog bliver gennemsnittene naturligt mindre. Ved hjælp af disse gennemsnit og standard afvigelsen af disse beregnes den tidligere omtalte Sharpe Ratio, som er et mål for, hvor meget afkast et givent aktiv eller portefølje giver, relativt til dennes risiko. Bemærk at Sharpe Ratioens benchmark her er den risikofrie rente. Havde dette benchmark været den generelle markedsudvikling, havde konklusionen været en anden. Det ses i Tabel 4-15, at Sharpe Ratio spreadet mellem volatilitetsgruppe 5 og gruppe 1 generelt er negativt, hvilket betyder, at Sharpe Ratioen for lav risiko porteføljerne er størst. Dette betyder, at en given investor får mest afkast for den risiko denne påtager sig, i lav volatilitets porteføljen. Læseren skal dog være opmærksom på, at dette ikke betyder, at lav risiko porteføljerne er mest optimale, hvis man ønsker et højt afkast, men har det bedste forhold mellem risiko og afkast af de forskellige portefølje sammensætninger. En grund til at dette forekommer, kan skyldes, at flere investorer ikke bruger gearing, hvorfor de ikke er i stand til, at udnytte den fordelagtige Sharpe Ratio i lav volatilitetsgruppen. Yderligere er de tidligere omtalte spreads, i de forskellige afkasts gennemsnit vist sammen med spreads i Jensens og markeds-. Disse værdier opsummerer blot de konklusioner, som tidligere er nævnt i afsnittet. Samlet set findes der, at der generelt er en positiv sammenhæng mellem øget volatilitet og forventet afkast på de analyserede aktier. Dette er uafhængigt af, om der anvendes ligevægtede eller MKvægtede porteføljer, og om de analyserede porteføljer sammensættes på månedsbasis eller årsbasis. Resultatet viser sig altså, som værende robust på tværs af flere forskellige metoder. Ses der på den risikopræmie, der gives uafhængigt af markedets risiko findes der, at de porteføljer med den laveste risiko får den største kompensation (. Dette resultat er dog ikke robust på tværs af de forskellige porteføljevægte, da resultaterne viser sig at være insignifikante for MKvægtede porteføljer. Side 61 af 79

65 Tabel Opsummering af centrale spreads, afkast og nøgletal for de forskellige metoder Månedssortering Ligevægtet Mkvægtet Hi - Low Navn Gruppe 1 Gruppe 2 Gruppe 3 Gruppe 4 Gruppe 5 Gruppe 1 Gruppe 2 Gruppe 3 Gruppe 4 Gruppe Lige 5-1 MK Sharpe Ratio 0,88 0,82 0,77 0,70 0,48 1,10 1,09 0,97 1,13 0,82-0,39-0,28 ER Std. Afv. 14,1% 16,0% 18,2% 21,3% 36,4% 14,5% 16,9% 18,9% 20,7% 33,7% 22,2% 19,2% Geometrisk ER 12,4% 13,1% 14,1% 14,9% 17,6% 15,9% 18,4% 18,4% 23,4% 27,5% 5,2% 11,6% Aritmetisk ER 12,9% 13,8% 15,2% 16,5% 21,9% 16,1% 18,9% 19,3% 24,2% 30,4% 9,0% 14,3% Geometrisk 12,4% 13,1% 14,1% 14,9% 17,6% 15,9% 18,4% 18,4% 23,4% 27,5% 5,2% 11,6% Aritmetisk 12,9% 13,8% 15,2% 16,5% 21,9% 16,1% 18,9% 19,3% 24,2% 30,4% 9,0% 14,3% Alpha - CAPM -0, , , ,0061-0, , , , ,0003-0,0011-0, ,00227 Beta - CAPM 0, ,8945 1,0748 1, ,7761 0, ,8726 1,0828 1, , , ,96764 Alpa - FF -0, , , , , , , , , , , ,00088 Beta - FF 0, , , , , , , ,1035 1, , , ,88852 Års sortering Ligevægtet Mkvægtet Hi - Low Navn Gruppe 1 Gruppe 2 Gruppe 3 Gruppe 4 Gruppe 5 Gruppe 1 Gruppe 2 Gruppe 3 Gruppe 4 Gruppe Lige 5-1 MK Sharpe Ratio 0,68 0,71 0,67 0,60 0,42 0,81 0,91 0,90 0,85 0,80-0,25-0,01 ER Std. Afv. 13,0% 16,0% 18,5% 20,9% 35,0% 13,2% 16,5% 18,2% 23,7% 34,5% 22,0% 21,3% Geometrisk ER 8,8% 11,4% 12,3% 12,5% 14,8% 10,7% 15,0% 16,4% 20,1% 27,6% 6,0% 17,0% Aritmetisk ER 9,7% 12,6% 13,9% 14,6% 20,2% 11,5% 16,3% 17,9% 22,6% 32,6% 10,5% 21,1% Geometrisk 11,7% 14,2% 15,2% 15,4% 17,7% 13,5% 17,8% 19,2% 22,9% 30,4% 6,0% 16,9% Aritmetisk 12,5% 15,5% 16,8% 17,5% 23,0% 14,4% 19,1% 20,8% 25,5% 35,5% 10,5% 21,1% Alpha - CAPM -0, , , , , , , , , , ,0081 0,00036 Beta - CAPM 0,6397 0, , , , , , , , , , ,05673 Alpa - FF -0, , , , , , , ,0019-0,0015 0, , ,0009 Beta - FF 0, , , , ,765 0, , , , , , ,95662 Side 62 af 79

66 Idiosynkratisk Volatilitet, månedssortering Ligevægtet Mkvægtet Hi - Low Navn Gruppe 1 Gruppe 2 Gruppe 3 Gruppe 4 Gruppe 5 Gruppe 1 Gruppe 2 Gruppe 3 Gruppe 4 Gruppe Lige 5-1 MK Sharpe Ratio 0,67 0,55 0,57 0,40 0,39 0,83 0,88 0,85 0,73 0,67-0,28-0,16 ER Std. Afv. 15,3% 16,6% 17,3% 23,1% 34,9% 16,2% 17,0% 17,1% 23,4% 35,5% 19,6% 19,3% Geometrisk ER 10,2% 9,1% 9,9% 9,3% 13,7% 13,5% 15,0% 14,5% 17,0% 23,8% 3,4% 10,3% Aritmetisk ER 10,9% 10,5% 11,5% 12,0% 18,5% 14,7% 16,3% 15,9% 19,4% 28,2% 7,6% 13,6% Geometrisk 13,5% 12,8% 13,6% 13,0% 17,6% 17,2% 18,8% 18,4% 21,1% 28,2% 4,1% 11,0% Aritmetisk 14,0% 13,5% 14,5% 15,0% 21,5% 17,7% 19,3% 19,0% 22,5% 31,3% 7,5% 13,6% Alpha - CAPM -0, , , , , ,0012 0, , , ,001-0, ,0002 Beta - CAPM 0, , , , , , , , , , , ,74628 Alpa - FF -0, , , , , , , ,002-0, , , ,0005 Beta - FF 0, , , , , , , , , , , ,66464 Idiosynkratisk Volatilitet, Årssortering Ligevægtet Mkvægtet Hi - Low Navn Gruppe 1 Gruppe 2 Gruppe 3 Gruppe 4 Gruppe 5 Gruppe 1 Gruppe 2 Gruppe 3 Gruppe 4 Gruppe Lige 5-1 MK Sharpe Ratio 0,73 0,71 0,65 0,55 0,44 0,89 0,85 0,87 0,91 0,86-0,28-0,03 ER Std. Afv. 13,95% 15,47% 18,21% 21,04% 35,94% 13,74% 16,44% 20,93% 22,52% 37,36% 21,99% 23,62% Geometrisk ER 10,16% 10,93% 11,75% 11,51% 15,97% 12,24% 13,93% 18,26% 20,56% 32,02% 5,81% 19,78% Aritmetisk ER 11,10% 12,12% 13,32% 13,72% 21,21% 13,10% 15,22% 20,09% 22,89% 37,35% 10,12% 24,25% Geometrisk 13,03% 13,80% 14,65% 14,38% 18,87% 15,07% 16,74% 21,12% 23,35% 34,81% 5,84% 19,74% Aritmetisk 13,98% 15,00% 16,20% 16,60% 24,09% 15,98% 18,10% 22,97% 25,77% 40,23% 10,12% 24,25% Alpha - CAPM -0, , , , , , , ,0001-0, , , ,00453 Beta - CAPM 0, , , , , , , ,0813 1, , , ,84359 Alpa - FF -0, ,0052-0, , , , , , ,0007 0, , ,00515 Beta - FF 0, , , , , ,7787 0, , , , , ,74287 Side 63 af 79

67 4.5 Kommentarer til resultaterne Der er flere effekter, som påvirker de resultater, som er blevet præsenteret i det foregående afsnit. Nedenfor findes et kort overblik over disse, og hvilken indflydelse de har på resultatet. Losers become winners I hvert fald hvis de ikke går konkurs I data opdeles aktier på baggrund af den seneste måneds (ellers års) volatilitet. Da kriser ofte indtræffer uventet, kan aktier der får store prisfald, som følge af en krise eller et andet uforudset stød, let have ligget i en af de lave volatilitetsgrupper. Efter en måned (eller 1 år) med store fald vil aktien komme i volatilitetsgruppe 5. Dette betyder, at hvis aktien kommer igen vil hele gevinsten tilfalde volatilitetsgruppe 5 uden, at denne får det tidligere tab. Dette betyder, at gruppen med den højeste volatilitet kan høste frugten af et stort comeback, fra en tidligere dårlig periode. Alt andet lige vil det forventes, at denne effekt, er størst for porteføljen, der opstilles på baggrund af det seneste års volatilitet. Denne vil på grund af den lange tid der går mellem gensammensætning af nye porteføljer, kunne hoppe hele kriseperioder over, og efterfølgende høste frugterne af et eventuelt comeback. Effekten vil dog også findes for månedsinddelingen, men denne er mere afhængig af, at aktierne finder hurtigere tilbage efter et markant prisfald og, at krise perioderne forekommer relativt kortere. Generelt vurderes denne effekt, at være størst for store aktier, da disse i udgangspunktet har mere at stå imod med, end mindre aktier. Dette betyder at disse har mindre sandsynlighed, for at gå konkurs og dermed ikke mister muligheden for at komme tilbage på niveau. Det skal understreges, at dette er blot et postulat, da dette kun er baseret på få stikprøver i det analyserede data. Dette kræver derfor nærmere undersøgelse før effektens omfang, kan endeligt bekræftes. Effekten forklarer dog dele af den meget store stigning i volatilitetsgruppe 5 og som forventet ses effekten tydeligst i de årsopdelte aktier, hvor afkastet i gruppen med højest volatilitet eksploderer i perioder. Det forventes yderligere, at denne effekt vil påvirke det vægtede gennemsnit mere, end det ligevægtede. Dette skyldes en generel forventning om, at hovedsageligt mindre aktier (målt på markedskapitalisering), har den største naturlige volatilitet. Side 64 af 79

68 Derfor kan meget få store aktier, som rammes af et negativt stød - og derfor ender i volatilitetsgruppe 5 påvirke det MKvægtede resultatet for denne gruppe markant. Ved den ligevægtede sammensætning vil aktiernes størrelse bliver underordnet i forhold til porteføljens afkast, da alle aktier vægter lige. Better to win than to lose Hvis du vægter på markedskapitalisering Aktier som mister meget værdi vil naturligt også få mindsket sin markedskapitalisering. Dette betyder, at disse vægter relativt mindre i de grupper de ender i, set i forhold til hvis de havde fået en tilsvarende stigning. Dette betyder, at positiv udvikling, generelt vejer tungere end negativ, hvis der ses på udvikling i MKvægtede porteføljer. Dette kan være en af forklaringerne på, hvorfor særligt de MKvægtede porteføljer vokser markant mere end de ligevægtede porteføljer. Data er ikke en præcis repræsentant for S&P 500 Som det allerede er nævnt er flere af aktierne og flere observationer sorteret fra, på grund af manglende information om markedskapitalisering. Det er derfor vigtigt, at læseren ikke tror, at konklusionerne er gældende for S&P 500 som helhed. Det er svært at vælge den rigtige tidshorisont for sammensætning af porteføljer. I dette speciale er der valgt to forskellige tidshorisonter, til beregning af de forskellige porteføljers afkast. Begge disse metoder adskiller sig fra metoder, der oftest er set brugt i litteraturen. Begge tidshorisonter lider til dels af losers become winners problemet, som er beskrevet tidligere. En mulig måde at omgås, at dette får for stor indflydelse på resultaterne, er at kombinere de to horisonter. En kombination, hvor man udregner volatiliteten på baggrund af det seneste års volatilitet, men opstiller nye porteføljer og udregner afkast hver måned havde sikret, at mindre udsving i aktieprisen ikke vejer ligeså tungt i aktiens volatilitetsmål. Der skal altså flere markante udsving til over en længere periode (eller meget store udsving over en kort periode), før en aktie kan skifte volatilitetsgruppe. Det vil dog stadig være muligt, at grupperne kan ændres relativt hurtigt, når volatiliteten ændres, således at porteføljerne ikke holdes for længe og derfor har for lidt variation i sammensætningen. Denne tilgang havde muligvis ændret på konklusionerne ovenfor. Side 65 af 79

69 Der indgår kun store aktier Et tidligere studie har indikeret, at lav volatilitets uregelmæssigheden drives stærkest af small cap aktier og derfor ikke findes i samme omfang i large cap segmenter. 42 Dette giver en indikation af, at dele af resultaterne i dette speciale forklares af, at der netop kun undersøges store aktier. En del af forklaringen kan være, at store aktier generelt har sværere ved at gå konkurs end mindre aktier ved uforudsete stød, som der allerede er argumenteret for tidligere. Tidsperioden er en anden end langt hovedparten af de andre studier I dette speciale er analyseret en anden og betydeligt kortere tidsperiode, end hovedparten af andre studier, der beskæftiger sig med samme emne. Dette kan have afgørende betydning på de konklusioner, som dannes. Mindre analyser af forskellige kortere tidsperioder, kan give andre resultater end en analyse af en længere periode. Umiddelbart fremstår flere andre studiers resultater mere robuste på grund af signifikans over en længere tidsperiode. Omvendt kan det ikke afvises, at markederne er ændret, og meget ældre data er med til, at ødelægge den sammenhæng, som har været gældende de seneste 10 år, fordi en anden sammenhæng har været gældende de foregående 50 år. Der bruges total returns ikke almindelig prisudvikling At der bruges total returns bidrager til, at afkastene bliver ekstra store, da alle udbetalinger geninvesteres. 5 Perspektivering I dette afsnit fokuseres der på andre studier, som har undersøgt samme problemstilling. Disse studiers konklusioner præsenteres, og forskellighederne i de grundlæggende metoder, forsøges forklaret. Der vil blive fokuseret på følgende 5 studier, (Blitz & van Vliet, The Volatility Effect: Lower Risk Without Lower Return, 2007), (Martellini, 2008), (Fu, 2009), (Baker, Bradley, & Wurgler, 2011) og (van Vliet, Blitz, & van der Grient, 2011). I afsnittet bliver der refereret til mange spreads. Disse 42 (van Vliet, Blitz, & van der Grient, 2011) Side 66 af 79

70 spreads er, medmindre andet forklares, forskellen mellem det gennemsnitlige årlige afkast for den gruppe med højeste volatilitet og den gruppe med lavest volatilitet. Blitz & Van Vliet 2007 I dette studie undersøges ligeledes sammenhængen mellem volatilitet og forventet afkast. De to forfattere undersøger 4 forskellige indeks, FTSE World, FTSE US, FTSE Japan og FTSE Europe. Ideen er at undersøge, om der findes en positiv sammenhæng mellem volatilitet og afkast i de 3 lande og på globalt plan. Blitz og Van Vliet undersøger perioden Deres undersøgelse bygger kort på, at de hver måned tager de pågældende indeks og lader de indgående aktier være deres univers. Herpå udregner de afkast på månedlig basis for decil inddelte porteføljer, baseret på en 3 års total volatilitet. Der bruges ugentlige afkast og beregnes ligevægtede porteføljer. Resultaterne af spreads mellem det decil med den højeste volatilitet og det decil med den laveste volatilitet er henholdsvis, -5,9%-, - 3,1%-, -6,0%- og -7,5 procentpoint, for Verden, US, Europa og Japan. Ligesom i dette speciale er der også estimeret er. Spreadene mellem disse er -8,1%-, -7,0 %-, -7,4 %-, -9,8 procentpoint. Disse viser klart, at Blitz og Van Vliet finder, at der ikke er en positiv sammenhæng mellem volatilitet og afkast. Derimod er det modsatte gældende. Disse resultater er modstridende med resultaterne i dette speciale. Blandt forklaringerne kan være, at der analyseres et andet indeks og dermed også andre aktier. Det fremgår ikke tydeligt, hvilket FTSE US indeks de to forfattere har valgt, men det almindelige FTSE US Total Market Index indeholder over 99 % af den samlede markedskapitalisering i USA 43 og indeholder altså betydeligt flere og anderledes aktier end S&P 500. Dette betyder, at flere af de effekter, som blev nævnt i afsnit 4.5, ikke kan drive resultatet imod en positiv sammenhæng mellem volatilitet og afkast. Analysen af World, EU og Japan kan ej heller sammenlignes, da der analyseres andre markeder. Ydermere analyseres der en anden tidsperiode, og grundlæggende er de basale valg i dataanalysen forskellige. Resultatet er dog betydeligt anderledes og kan muligvis også tilskrives, at det anvendte prisudvikling, i dette speciale, er total returns og ikke den almindelige prisudvikling (dette er også 43 (FTSE.com, 2014) Side 67 af 79

71 ukendt i Blitz & Van Vliet). Martellini (2008) Martellini laver en øvelse der ligner den, som er lavet i dette speciale. Martellini tager udgangspunkt i databasen fra CRSP 44 og frasorterer aktier, som ikke overlever i perioden 1975 til Der opstilles kvintil porteføljer, som baseres på aktiernes seneste 10 års volatilitets udvikling i månedlige afkast. Der opstilles ligevægtede porteføljer, hvis afkast beregnes på månedsbasis. Martellinis resultater siger, at der er en positiv sammenhæng mellem volatilitet og afkast og spreadet mellem den gruppe med højest volatilitet, og den gruppe med lavest volatilitet er 8,5 procentpoint. Denne viser altså ligesom resultaterne i dette speciale, at sammenhængen er positiv. Der er dog flere ting der kan kritiseres ved Martellinis analyse. Først fremkommer der en survivorship bias i data, da der kun ses på aktier, som overlever den analyserede periode, hvilket alt andet lige må bidrage til, at der en stor sikkerhed for, at høj volatilitetsgruppen ikke kan falde markant som følge af konkurser. Der er dog også en modsatrettet bias, da der ikke kommer nye aktier ind i analysen. Dette udelukker muligheden for, at mindre virksomheder med stort vækstpotentiale inkluderes i analysen løbende. I CRSP databasen er der store mængder amerikansk data for både store- og små virksomheder. Generelt bør der derfor ikke være en særlig bias imod et segment, som tilfældet er med S&P500 indekset, hvilket læseren skal have for øje. Fu 2009 I Fus studie fra 2009 er anvendt en anderledes tilgang til problemstillingen end de to studier, som tidligere er præsenteret i afsnittet. Fu mener, at da den idiosynkratiske volatilitet er tidsafhængig, skal denne forecastes. Dette gøres ved hjælp af en EGARCH estimation, således at der i stedet for opdeling på observeret volatilitet, estimeres den volatilitet, som grupperne inddeles efter. Dette gøres ved hjælp af en EGARCH model Side 68 af 79

72 På baggrund af den estimerede volatilitet inddeles de forskellige aktier i både ligevægtede og MKvægtede deciler, og der beregnes afkast for disse over en periode fra 1963 til Afkast data er daglige, og der beregnes et månedligt aritmetisk gennemsnit af afkastene. Ideen med estimation af den idiosynkratiske volatilitet er yderst interessant. Der er dog enkelte punkter, hvor denne kan forbedres. Fu estimerer den idiosynkratiske volatilitet på baggrund af hele tidsperioden, der analyseres, således at når der forecastes en måned frem, er der informationer i modellen, som først bliver tilgængelig senere. Dette betyder, at der opstår en look-ahead bias, som kan påvirke resultaterne. Fu kommer frem til en stærk positiv sammenhæng mellem volatilitet og forventet afkast. For de MKvægtede porteføljer er spreadet (Opskrevet til årlig rente) 21 % og for det ligevægtede er det hele 57,5 %. Dette bekræfter de meget høje spreads, som dette speciale også viser for idiosynkratisk volatilitet. Det er dog vigtigt at huske, at metoderne til udregning af den idiosynkratiske volatilitet er forskellige. Ydermere anvendes anvender Fu også CRSP data og dermed har en stærk repræsentation af alle segmenter. Baker, Bradley & Wurgler 2011 I denne artikel undersøges forekomsten af en positiv sammenhæng mellem volatilitet og forventet afkast for amerikanske aktier. Ligesom hovedparten af de andre studier ser Baker, Bradley og Wurgler på data fra CRSP databasen i perioden 1968 til I studiet undersøges blandt andet om, der er forskel på store og små aktiers indflydelse på porteføljernes afkast. Dette udarbejdes i form af, at der ses på generelt data fra CRSP og på de 1000 største aktier i CRSP som sammenligning. Der laves ligevægtede kvintil porteføljer, og der beregnes både geometriske- og aritmetisk gennemsnit af afkastene. De tre forfattere finder, at der for hele CRSP databasen er et spread mellem højeste og laveste volatilitetsgruppe på -11,2 procentpoint for geometrisk gennemsnit og -6,9 procentpoint for aritmetisk gennemsnit. For top 1000 af aktierne er de to spreads henholdsvis -4,9 procentpoint og -1,9 procentpoint. Der er også estimeret er, der skrives dog ikke på baggrund af, hvilken af Side 69 af 79

73 sammensætningerne disse er estimeret. De to spreads er, -10,81 procentpoint og - 5,36 procentpoint. De tre forfattere viser altså eksistensen af lav volatilitetes uregelmæssigheden i CRSP databasen, og resultatet står i kontrast til resultaterne i Martellini 2008, hvor der blev fundet en positiv sammenhæng. De helt store forskelle er dog den omtalte survivorship bias, som fremkommer i Martellinis studie, som bør forventes at drive resultaterne imod et positivt spread. Denne bias fremkommer ikke i (Baker, Bradley, & Wurgler, 2011) studiet. Dog kan en omvendt effekt spille ind. Her tænkes på, at da der indgår mange mindre aktier, som generelt må have større sandsynlighed for konkurs i dårlige perioder, kan dette drive resultatet mod lav volatilitets uregelmæssigheden. Der tænkes særligt på penny stocks, som på grund af den ligevægtning af aktierne i de forskellige porteføljer, kan have stor indvirkning på resultaterne. Læseren skal også bide mærke i, at selvom lav volatilitets uregelmæssigheden findes i datasættet med de store aktier, så findes denne i en mindre grad, hvilket til dels bekræfter formodningen om, at large-cap er mindre følsomt overfor uregelmæssigheden, som der blev argumenteret for tidligere. Van Vliet, Blitz & Van der Grient 2011 I dette studie laves en bred gennemgang af forskellige effekters indflydelse på forskellige studiers resultater. Tidshorisonten er både 5 år og 1 måned med genopstilling af porteføljerne på månedsbasis. Resultaterne for 5 års undersøgelsen præsenteres, men 1 måneds resultaterne giver samme konklusioner. I studiet undersøges CRSP data, hvor databasen med survivorship bias og uden survivorship bias sammenlignes. Ydermere undersøges indflydelsen af ekskludering af small-cap aktier, hvor et scenarie med alle aktier sammenlignes med et, hvor top 1000 aktierne indgår (baseret på markedskapitalisering). Spreads for analysen med alt data er -1,9 procentpoint og for de 1000 største aktier er denne -0,5 procentpoint, når der bruges aritmetisk gennemsnit. Resultaterne for geometriske gennemsnit er - 5,8 procentpoint og -3,6 procentpoint. De tre forfattere finder altså, at der ved ekskludering af small-cap aktier, overfor et studie hvor alle segmenter er med, vil Side 70 af 79

74 opstå et spread mellem høj og lav volatilitetsgrupperne, som er cirka 2 procentpoint større. Dog viser deres studie i tråd med (Baker, Bradley, & Wurgler, 2011), at lav volatilitets uregelmæssigheden findes i begge tilfælde, med både negative spreads for de rå afkast, men også for -spreads. Der analyseres også effekten af survivorship bias. Van Vliet, Blitz og Van der Grient bekræfter de resultater, som Martellini finder. De viser dog også, at der for samme periode, hvor der ikke kun ses på overlevende aktier, fremkommer et negativt spread og dermed forekomsten af lav volatilitets uregelmæssigheden. Resultaterne for de overlevende aktier, er et 5,5 procentpoint spread for det aritmetiske gennemsnit og 3,8 procentpoint for det geometriske gennemsnit. Resultaterne for data, der ikke kun indeholder overlevende aktier er henholdsvis, -1,3 procentpoint og -3,9 procentpoint. Dette indikerer, at hvis der tages højde for survivorship biasen, så vil spreadet blive mellem 6- og 7 procentpoint mindre. De tre forfattere undersøger også idiosynkratisk volatilitet på samme vis, som der gøres i dette speciale. Disse undersøgelser viser også forekomsten af lav volatilitets uregelmæssigheden. De generelle resultater fra de tre forfatteres studie er ikke i overensstemmelse med dem, som findes i specialet. Som tidligere nævnt kan forklaringen være de forskellige tidsperioder der analyseres. Ydermere er der også stor forskel på, at se på S&P 500 med tilnærmelsesvis de 500 største aktier og se på de største aktier, som tilfældet er, i en del af de tre forfatteres analyse. Sammenligningen mellem hele CRSP databasen og S&P 500 er som tidligere nævnt også vanskellig, grundet de forskellige segmenter, som indgår i CRSP databasen. Ydermere er særligt tidshorisonten, som analyseres i dette speciale præget af meget usikkerhed på de finansielle markeder, hvilket gør, at den tidligere omtalte losers become winners effect kan påvirke resultatet markant. Dette er ikke i samme grad tilfældet for de 3 forfatteres studie, hvor tidsperioden er betydeligt længere. Tidsperioden er derfor ikke følsom overfor ekstremme stød, på samme måde som studiet i specialet. Slutteligt er der også forskel på afkasttypen, da der i specialet er valgt total returns og ikke prisudvikling. En opsamling af resultaterne fra de forskellige studier kan findes på den følgende side i Tabel 5-1. Bemærk, at det ikke er alle resultater i de forskellige studier, som er Side 71 af 79

75 præsenteret. For en komplet oversigt over resultaterne henvises til de enkelte studier. Side 72 af 79

76 Tabel 5-1 Opsamling på diverste studiers resultater Studie Data Periode Tid Afk. Opdeling Vægtning Gns Type Hi - Low (%-pts) Alpha Hi - Low (%-pts) Blitz & Van Vliet 2007 FTSE WORLD, US, År U Deciler Lige Geometrisk -5,9 / -3,1 / -6,0 / -7,5-8,1 / -7,0 / -7,4 / -9,8 EU, JAP Martellini 2008 CRSP, Kun År M Kvintiler Lige Aritmetisk 8,47 - overlevende Fu 2009** CRSP E(Ivol) D Deciler Lige /MK Aritmetisk 57,5 / 21,0 - Baker, Bradley, CRSP / CRSP Top År M Kvintiler Lige Geo / Arit -11,2 / -6,9 / -4,9 / -1,9-10,81 / -5,36 Wurgler, Van Vliet, Blitz, V. D. CRSP, p > 1$ / Top År D Kvintiler Lige Geo / Arit -5,8 / -1,9 / -3,6 / -0,5-6,4 / -9,1 / -2,2 / -4,6 Grient Olsson 2014* S&P M D Kvintiler Lige / MK Geo / Arit 5,2 / 11,6 / 9,0 / 14,3-9,9 / 1,1 * Der ses kun på afkast der vuderedes på månedsbasis og kun resultater for total volatilitet er udvalgt **Beregnet spreads på baggrund af månedlige afkast I tabellen er ikke alle resultater fra alle studier nødvendigvis præsenteret. Der henvises til de respektive artikler for en komplet oversigt over resultaterne. Side 73 af 79

77 6 Konklusion I dette speciale vises det, at der i et stort udsnit af S&P 500 indekset, er en positiv sammenhæng mellem volatilitet og afkast. Andre resultater fra litteraturen, som viser eksistensen af lav volatilitets uregelmæssigheden i andre datasammensætninger, kan altså ikke bekræftes. Opstilling af kvintil porteføljer baseret på volatiliteten for de enkelte aktiers, seneste måneds -eller års afkast viser, at der er en klar positiv sammenhæng mellem volatilitet og afkast. Ydermere gælder det, at den gruppe med højest volatilitet, giver et betydeligt større afkast end de resterende grupper. Dette resultatet viser sig, at være robust over de to inddelinger på henholdsvis seneste måneds- og seneste års volatilitet, og for både total volatilitet og idiosynkratisk volatilitet. Ydermere er det robust over aritmetisk gennemsnit og geometrisk gennemsnit. Slutteligt giver henholdsvis ligevægtning og markedskapitalseringsvægtning samme konklusioner. Det viser sig dog, at resultatets størrelse afhænger betydeligt af, hvilken af metoderne der vælges. Der observeres klart stærkere merafkast til porteføljen med højest volatilitet, hvis afkast vægtes med markedskapitalisering i forhold til ligevægtning. Tabel 6-1 Spread mellem højeste volatilitetsgruppe og laveste afhængigt af metode og inddelingstype Månedssortering Årssortering I-volatilitet, Måned I-volatilitet, År Lige MK Lige MK Lige MK Lige MK Geo. 5,2% 11,6% 6,0% 16,9% 4,1% 11,0% 10,1% 24,3% Arit. 9,0% 14,3% 10,5% 21,1% 7,5% 13,6% 5,8% 19,7% En analyse af det markedsrisikokorrigerede afkast for de forskellige porteføljeinddelinger viser, at der ved ligevægtede porteføljer kan vises, at lav volatilitets aktier kompenseres svagt mere end aktier med højere volatilitet. Dette indikerer, at der eksisterer en risikokorrigeret lav volatilitets uregelmæssighed. Disse resultater er dog ikke robuste for MKvægtede porteføljer, hvor signifikansen på hovedparten af de estimerede er viser sig at være tvivlsom. Dette skal læseren have for øje, når resultaterne i nedenstående tabel læses. Side 74 af 79

78 Tabel 6-2 Spreads i årligt Jensens for de forskellige gruppeinddelinger Månedssortering Årssortering Ivolatilitet, Måned Ivolatilitet, År Lige MK Lige MK Lige MK Lige MK CAPM -9,0% -2,7% -9,3% 0,4% -7,4% -0,2% -7,8% 5,6% FF -9,9% 1,1% -10,6% 1,1% -8,0% 0,6% -9,0% 6,4% Resultaterne i dette speciale giver input til yderligere debat om sammenhængen mellem volatilitet og afkast, og det lader til, at forskellige tidshorisonter, inddelingsintervaller, gennemsnitstyper, volatilitetstyper og porteføljevægtninger kan ændre markant på de konklusioner, der fremkommer af analyserne. I specialet er der kommet bud på flere effekter og svagheder ved de valgte metoder. Flere af disse kræver dog en nærmere undersøgelse, før de kan endeligt bekræftes og kvantificeres. Hovedparten af disse taler for, at særligt markedskapitaliseringsvægtede porteføljer får fordele i afkastmålingerne med de inddelinger, der er valgt, hvorfor en ligevægtet tilgang virker mest rigtig for at undgå disse. En ligevægtet tilgang repræsenterer dog ikke nødvendigvis den almindelige investors tilgang, hvor man ofte ser, at der købes x antal aktier og ikke for x antal dollars, hvorfor en markedskapitaliseringsvægtet sammensætning kan virke mest rigtig. Ligevægtede porteføljer har også den svaghed, at den generelle udvikling, kan drives af for eksempel penny stocks og andre meget små aktier, som generelt er meget usikre og som sjældent ses i store beholdninger. Der kan derfor stilles spørgsmålstegn ved, om disse bør være en afgørende spiller i en retvisende analyse. Ydermere skal datasammensætningen også vurderes grundigt, da størrelsen af aktierne der indgår i analysen, også ser ud til at spille en markant rolle på resultaterne. Samlet set viser de store metodemæssige forskelle, at der er yderst kompliceret, at lave en robust og endelig undersøgelse af sammenhængen mellem volatilitet og afkast på aktier. Dette speciale viser, at der er markant forskel på valg af volatilitetsmål, porteføljevægtning, tidshorisont for resammensætning af porteføljerne og volatilitets tidshorisonten. Ydermere indikeres det, at datasammensætningen har en stor betydning for de konklusioner, som dannes. Side 75 af 79

79 7 Litteraturliste Alexander, C. (2008). Market Risk Analysis I - Quantitative Methods In Finance. John Wiley and Sons Ltd. Ang, A., Hodrick, R. J., Xing, Y., & Zhang, X. (2006). The Cross-Section of Volatility and Expected Returns. The Journal of Finance, vol 61, no 1. Ang, A., Hodrick, R. J., Xing, Y., & Zhang, X. (2008). High Idiosyncratic Volatility and Low Returns: International and Further U.S. Evidence. Hentede 2013 fra The National Bureau of Economic Research: Baker, M., Bradley, B., & Wurgler, J. (2011). Benchmarks as Limits to Arbitrage: Understanding the Low-Volatility Anomaly. Financial Analyst Journal, volume 67, no 1. Benninga, S. (2008). Financial Modelling (3rd Edition udg.). MIT Press. Black, F. (1993). Beta and Return. The Journal of Portfolio Managements, vol 20, Blitz, D., & van Vliet, P. (2007). The Volatility Effect: Lower Risk Without Lower Return. Journal of Portfolio Management, Blitz, D., Pang, J., & van Vliet, P. (April 2012). The Volatility Effect in Emerging Markets. Hentede 2013 fra Social Science Research Network: Brooks, C. (2008). Introductory Econometrics for Finance (2nd Edition udg.). Cambridge. Carter Hill, R., Griffiths, W. E., & Lim, C. G. (2012). Principles of Econometrics - International Student Version (4th Edition udg.). Wiley. Dutt, T., & Humphery-Jenner, M. (2013). Stock return volatility, operating performance and stock returns: International evidence on drivers of the low volatility anomaly. Journal of Banking and Finance, Fama, E. F., & French, K. R. (1992). The Cross-Section of Expected Stock Returns. The Journal of Finance, vol 47, no 2, Side 76 af 79

80 Fama, E. F., & French, K. R. (1993). Common Risk Factors in the Returns on Stock and Bonds. Journal of Financial Economics vol 33, Fama, E. F., & MacBeth, J. D. (1973). Risk, Return, and Equilibrium: Empirecal Tests. The Journal of Political Economy, vol 81, Issue 3, French, K. R. (20. Marts 2014). Kenneth French Homepage. Hentet fra earch FTSE.com. (05. April 2014). FTSE.com. Hentet fra FTSE Indices: Fu, F. (2009). Idiosyncratic Risk and the Cross-section of Expected Stock Returns. Journal of Financial Economics vol 91, Grinblatt, M., & Titman, S. (2004). Financial Markets and Corporate Strategy (2nd Edition ed.). McGraw Hill. Helbæk, M., Løvaas, R., & Mjølhus, J. (2013). Financial Modelling and Asset Valuation with Excel (1st Edition udg.). Routledge. Hillier, D., Ross, S., Westerfield, R., Jaffe, J., & Jordan, B. (2010). Corporate Finance (1st European udg.). McGraw Hill. Jensen, M. C. (1967). The Performance of Mutual Funds in the Period Journal of Finance Vol 23, No 2, Jensen, M. C., Black, F., & Scholes, M. S. (1972). The Capital Asset Pricing Model: Some Empirical Tests. Praeger Publishers Inc. Malchow-Møller, N., & Würtz, A. (2010). Indblik i Statistik - For Samfundsvidenskabere (1st Edition udg.). Academica. Martellini, L. (2008). Toward the Design of Better Equity Benchmarks Rehabilitating the Tangency Portfolio from Modern Portfolio Theory. The Journal of Portfolio Management, vol 34, no 4, Side 77 af 79

81 Merton, R. C. (Juli 1987). A Simple Model of Capital Market Equilibrium with Incomplete Information. Journal of Finance, vol 42, no 3. Nielsen, H. B. (2010). Linear Regression With Time Series Data. Econometrics C - Lecture Note 2. Roll, R. (1977). A Critique of The Last Asset Pricing Theory's Test. Journal of Financial Economics 4, s S&P Dow Jones Indices. (1. July 2012). S&P Dow Jones Indices: Float Adjustment Methodology. Hentede 29. December 2013 fra DJIndexes: S&P Dow Jones Indices. (1. September 2013). S&P U.S. Indices Methodology. Hentede 29. December 2013 fra SPIndices: Sharpe, W. F. (September 1964). Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk. Journal of Finance vol 19, No. 3, s Sharpe, W. F. (Efteråret 1994). The Sharpe Ratio. The Journal of Portfolio Management, vol 21, no 1, s Treasury Direct. (2014). Hentet fra US Department of the Treasury. (2014). Hentet fra US Federal Reserve. (2014). Hentet fra van Vliet, P., Blitz, D., & van der Grient, B. (2011, Juli). Is the Relation Between Volatility and Expected Stock Returns Positive, Flat or Negative? Retrieved Side 78 af 79

82 2013, from Social Science Research Network: Verbeek, M. (2008). A Guide to Modern Econometrics (3rd Edition udg.). Wiley. Wooldridge, J. M. (2009). Introductory Econometrics A Modern Approach (4th Edition udg.). South Western Cengage Learning. YAHOO Finance. (2014). Hentede 2013 fra YAHOO: Side 79 af 79

83 8 Bilag Figur 8-1 Udvikling i logafkast for S&P 500 i perioden primo 1990 til ultimo 2013 Kilde: YAHOO Finance Side 1 af 19

84 Tabel 8-1 De aktier der udelades fra analysen på grund af manglende data fra Bloomberg Antal Navn 1 ALZA Corp 2 Aeroquip-Vickers Inc 3 Alexander & Alexander Services Inc 4 Associates First Capital Corp 5 BankBoston Corp 6 Battle Mountain Gold Co 7 Bay Networks Inc 8 Beneficial Corp 9 Berkshire Hathaway Inc 10 Bestfoods 11 Beverly Enterprises Inc/Old 12 Biomet Inc 13 Brown-Forman Corp 14 C&S/Sovran Corp 15 CBS Corp 16 CBS Corp/Old 17 Cablevision Systems Corp 18 Calpine Corp/Old 19 Chase Manhattan Corp/Pre-Merger with Che 20 Chrysler Corp 21 Circuit City Stores Inc 22 Concord EFS Inc 23 Conseco Financial Corp 24 Cray Research Inc 25 Cross & Trecker Corp 26 DPH Holdings Corp 27 Dana Corp 28 Delta Air Lines Inc/Old 29 Deutsche Bank Trust Corp 30 Devon SFS Operating Inc/TX 31 Echo Bay Mines Ltd 32 First Interstate Bancorp 33 FleetBoston Financial Corp 34 Fresenius Medical Care Holdings Inc 35 Fruit of the Loom Ltd/Cayman Islands 36 Galen Health Care Inc 37 Genentech Inc/Old 38 GetronicsWang Co LLC Side 2 af 19

85 39 Great Northern Nekoosa Corp 40 HP Enterprise Services LLC 41 HSBC USA Inc 42 Harcourt Brace Jovanovich Inc 43 Holiday Corp 44 Honeywell Inc 45 John Hancock Financial Services Inc 46 Joy Global Inc 47 Laidlaw Inc 48 Manufacturers Hanover Corp 49 McKesson Corp/Old 50 Mccaw Cellular Communications Inc 51 Moore Canada Corp 52 Morton International Inc-Old 53 NCR Corp-Old 54 National Service Industries Inc 55 Niagara Mohawk Holdings Inc 56 Nielsen Media Research Ltd/United States 57 Norton Co 58 Owens Corning Sales LLC 59 PAN AM Corp 60 Peoplesoft Inc 61 Philips Industries Inc 62 Pioneer Hi-Bred International Inc 63 Price Co/The 64 Provident Cos Inc 65 Quaker Oats Co/The 66 Quantum Chemical Corp 67 Raychem Corp 68 Regions Financial Corp/Old 69 Rockwell International Corp/Old 70 Royal Dutch Petroleum Co 71 Rubbermaid Inc 72 SAFG Retirement Services Inc 73 Sabre Holdings Corp 74 Safety-Kleen Corp 75 Safety-Kleen Corp/Old 76 Salomon Inc/Old 77 Schneider Electric USA Inc 78 Seagram Co Ltd 79 Security Pacific Corp Side 3 af 19

86 80 Sodexo Inc 81 Sovran Financial Corp 82 Tonka Corp 83 Trane Inc 84 Transamerica Corp 85 Unilever NV 86 Union Planters Corp 87 Universal Studios Inc 88 Vale Canada Ltd 89 Veritas Software Corp 90 Willis Group Ltd 91 XIK Corp 92 Zenith Electronics Corp 93 Zurn Industries Inc Kilde: Bloomberg Tabel 8-2 De indgående aktier med antallet af tidsperioder de indgår, det gennemsnitlige logafkast og standard afvigelsen af denne Navn Antal Gennemsnit Std afv 3Com Corp ,00566% 0, M Co ,04361% 0, ACE Ltd ,04121% 0, ACME-Cleveland Corp ,09017% 0, ADC Telecommunications Inc ,08119% 0, ADT Corp/The 229-0,06517% 0, AEP Utilities Inc ,02822% 0, AES Corp/VA ,00375% 0, AGL Resources Inc 478 0,04484% 0, AIG Life Holdings Inc ,06928% 0, AK Steel Holding Corp 979-0,23273% 0, AMETEK Inc ,07027% 0, ASARCO LLC ,01054% 0, AT&T Corp ,00273% 0, AT&T Inc ,02364% 0, AT&T Teleholdings Inc ,08034% 0, AbbVie Inc 190 0,15308% 0, Abbott Laboratories ,04894% 0, Abercrombie & Fitch Co ,03941% 0, Accenture PLC 602 0,06456% 0, Actavis plc ,04401% 0, Adobe Systems Inc ,06404% 0, Advanced Micro Devices Inc ,00350% 0, Aetna Inc ,07720% 0, Affiliated Computer Services Inc ,00891% 0, Aflac Inc ,03540% 0, Agilent Technologies Inc ,01280% 0, Air Products & Chemicals Inc ,04537% 0, Airgas Inc 978 0,10100% 0,01677 Akamai Technologies Inc ,02021% 0, Alberto-Culver Co ,05128% 0, Albertsons LLC ,02338% 0, Alcatel-Lucent Holdings Inc ,06750% 0, Alcatel-Lucent USA Inc ,08188% 0, Alcoa Inc ,01251% 0, Alexion Pharmaceuticals Inc 352 0,06711% 0, Side 4 af 19

87 Allegheny Energy Inc ,01760% 0, Allegheny Technologies Inc ,00452% 0, Allergan Inc/United States ,05807% 0, Allied Waste Industries LLC ,02038% 0, Allstate Corp/The ,03668% 0, Alltel Corp ,04532% 0, Alpha Appalachia Holdings Inc ,04127% 0, Alpha Natural Resources Inc 602-0,29790% 0, Altera Corp ,01057% 0, Altria Group Inc ,06266% 0, AmSouth Bancorp ,03176% 0, Amax Inc 908-0,01042% 0, Amazon.com Inc ,10987% 0, Ambac Financial Group Inc/Old ,16629% 0, Ameren Corp ,02129% 0, American Airlines Group Inc ,00876% 0, American Capital Ltd ,02831% 0, American Electric Power Co Inc ,03067% 0, American Express Co ,04951% 0, American Greetings Corp ,00469% 0, American International Group Inc ,01396% 0,03536 American Stores Co LLC/Utah ,06858% 0, American Tower Corp 436 0,06053% 0, Ameriprise Financial Inc ,05911% 0, AmerisourceBergen Corp ,05341% 0, Amgen Inc ,04781% 0,02296 Amphenol Corp ,10196% 0, Anadarko Holding Co 865-0,02238% 0, Anadarko Petroleum Corp ,04482% 0, Analog Devices Inc ,00116% 0, Andrew LLC ,04169% 0,03367 Anheuser-Busch Cos Inc ,05187% 0, Aon PLC ,03379% 0, Apache Corp ,04756% 0, Apartment Investment & Management Co ,02023% 0,03006 Apollo Education Group Inc ,01285% 0, Apple Inc ,06925% 0, Applied Biosystems Inc ,03778% 0, Applied Materials Inc ,02524% 0,03175 Applied Micro Circuits Corp ,09708% 0, Arbitron Inc ,03015% 0, Archer-Daniels-Midland Co ,03368% 0, Archstone-Smith Trust 673 0,09929% 0, Armco Inc 876-0,03671% 0, Armstrong Holdings Inc ,08082% 0, Ascend Communications Inc 225 0,38515% 0, Ashland Inc ,03204% 0, Assurant Inc ,02435% 0, Atlantic Richfield Co ,02887% 0, AutoNation Inc ,04093% 0,02425 AutoZone Inc ,06210% 0, Autodesk Inc ,03856% 0, Automatic Data Processing Inc ,04345% 0, AvalonBay Communities Inc ,00396% 0, Avatex Corp 363-0,80983% 0, Avaya Inc ,00204% 0, Avery Dennison Corp ,03281% 0, Avis Budget Group Inc ,03972% 0,05583 Avon Products Inc ,04044% 0, BASF Catalysts LLC ,05616% 0, BB&T Corp ,02004% 0, BBVA USA Bancshares Inc/Houston TX 652 0,05973% 0, BJ Services Co ,02191% 0, BMC Software Inc ,00171% 0,03954 Side 5 af 19

88 BNS Holding Inc ,16002% 0, BP Corp North America Inc ,05154% 0, Baker Hughes Inc ,01713% 0, Ball Corp ,05010% 0, Bally Entertainment Corp ,04927% 0, Bank One Corp ,04603% 0, Bank of America Corp ,00964% 0, Bank of New York Mellon Corp/The ,03484% 0,02568 BankAmerica Corp/Old ,08063% 0, Barnett Banks Inc ,09337% 0, Barr Pharmaceuticals Inc 600 0,04665% 0, Barrick Gold Corp ,00538% 0, Bassett Furniture Industries Inc ,01532% 0, Bausch & Lomb Inc ,02481% 0, Baxter International Inc ,04032% 0, Beam Inc ,02370% 0, Bear Stearns Cos LLC/The ,06503% 0, Becton Dickinson and Co ,05256% 0, Bed Bath & Beyond Inc ,05107% 0, BellSouth Corp ,04411% 0, Bemis Co Inc ,03853% 0, Best Buy Co Inc ,01048% 0, Bethlehem Steel Corp ,08286% 0, Big Lots Inc ,02910% 0, Biogen Idec Inc ,07448% 0, Biogen Idec MA Inc 944-0,08387% 0, Black & Decker Corp/The ,03544% 0,02338 BlackRock Inc 602 0,10757% 0, Blockbuster Entertainment Corp 917 0,08417% 0,02204 Boatmen's Bancshares Inc ,09544% 0, Boeing Co/The ,03831% 0,01931 Borden Inc ,06717% 0, BorgWarner Inc 478 0,08601% 0,01698 Boston Properties Inc ,02013% 0, Boston Scientific Corp ,00599% 0, Briggs & Stratton Corp ,03153% 0, Brink's Co/The ,03325% 0,02277 Bristol-Myers Squibb Co ,03926% 0, BroadVision Inc ,23065% 0,05505 Broadcom Corp ,04737% 0, Broadway Stores Inc 736 0,03547% 0, Brown Shoe Co Inc ,02901% 0, Browning-Ferris Industries Inc ,01771% 0, Bruno's Inc/Old ,03310% 0, Brunswick Corp/DE ,02599% 0,02998 Burlington Northern Santa Fe LLC ,05244% 0, Burlington Resources Inc ,04904% 0, CA Inc ,04067% 0, CBRE Group Inc ,02069% 0, CBS Broadcasting Inc ,06359% 0, CF Industries Holdings Inc ,13204% 0, CH Robinson Worldwide Inc ,01892% 0, CIT Group Inc/NV 211 0,36314% 0, CIT Group Inc/Old ,41726% 0, CME Group Inc/IL 366-0,18098% 0, CMS Energy Corp ,00279% 0,02153 CNA Financial Corp ,01210% 0, CONSOL Energy Inc ,00044% 0, CR Bard Inc ,05407% 0, CSX Corp ,04830% 0, CVS Caremark Corp ,03925% 0, Cabot Oil & Gas Corp ,09423% 0, Caesars Entertainment Corp/Old ,06354% 0, Caliber System Inc ,02748% 0, Side 6 af 19

89 Cameron International Corp ,02612% 0, Campbell Soup Co ,03418% 0, Capital Cities/ABC Inc ,06144% 0, Capital One Financial Corp ,02359% 0, CarMax Inc 852 0,09101% 0, Cardinal Health Inc ,02864% 0, CareFusion Corp 978 0,04398% 0,01549 Caremark Rx Inc 659 0,13473% 0, Carnival Corp ,02060% 0, Case Corp 948 0,01752% 0, Caterpillar Inc ,05093% 0, CattleSale Co/The ,44726% 0, Celgene Corp ,06640% 0, CenterPoint Energy Inc ,03133% 0, CenterPoint Energy Resources Corp 60-0,08531% 0, Centex Corp ,02338% 0, CenturyLink Inc ,00615% 0, Cephalon Inc 677 0,00710% 0, Cerner Corp 852 0,12296% 0,01753 Champion International Corp ,03987% 0,02044 Charles Schwab Corp/The ,04537% 0, Charming Shoppes Inc ,00956% 0, Charter One Financial Inc ,09764% 0, Chesapeake Energy Corp ,00569% 0, Chevron Corp ,04782% 0, Chipotle Mexican Grill Inc 602 0,08071% 0, Chubb Corp/The ,04452% 0, Ciena Corp ,07232% 0, Cigna Corp ,05759% 0, Cincinnati Financial Corp ,02090% 0, Cinergy Corp ,04394% 0,0135 Cintas Corp ,01076% 0, Cisco Systems Inc ,04950% 0, Citicorp/Old ,06758% 0, Citigroup Inc ,01849% 0, Citrix Systems Inc ,00249% 0, Clark Equipment Co ,04879% 0, Clear Channel Communications Inc ,00078% 0, Cliffs Natural Resources Inc 978-0,03993% 0, Clorox Co/The ,06633% 0, Coach Inc ,03475% 0, Coca-Cola Co/The ,04434% 0, Coca-Cola Enterprises Inc ,02236% 0, Cognizant Technology Solutions Corp ,04940% 0, Colgate-Palmolive Co ,05740% 0, Columbia Energy Group ,03588% 0, Comcast Cable Holdings LLC 128 0,40957% 0, Comcast Corp ,03030% 0, Comcast MO Group Inc ,11136% 0, Comerica Inc ,02548% 0, Commerce Bancorp LLC/NJ 415 0,01228% 0, Commonwealth General Corp ,06762% 0,01479 Compaq Computer Corp ,04104% 0, Computer Sciences Corp ,03552% 0, Compuware Corp ,02778% 0, Comverse Technology Inc ,10517% 0, Con-way Inc ,02233% 0, ConAgra Foods Inc ,03492% 0, Conexant Systems Inc ,18987% 0, ConocoPhillips ,04528% 0, ConocoPhillips Co ,03570% 0, ConocoPhillips Holding Co 569-0,00470% 0, Conrail Inc ,10158% 0, Conseco Inc/Old ,33570% 0, Side 7 af 19

90 Consolidated Edison Inc ,03549% 0, Consolidated Natural Gas Co ,03451% 0,01327 Constellation Brands Inc ,04474% 0, Constellation Energy Group Inc ,02905% 0,01789 Continental Corp/The ,00950% 0, Convergys Corp ,02198% 0,02648 Cooper Industries PLC ,03316% 0, Cooper Tire & Rubber Co ,02520% 0, Corestates Financial Corp ,11393% 0, Corning Inc ,02221% 0, Costco Wholesale Corp ,05570% 0, Countrywide Financial Corp ,03299% 0, Covanta Energy Corp ,09970% 0, Coventry Health Care Inc ,00879% 0, Covidien PLC ,04398% 0, Crane Co ,04062% 0, Crown Castle International Corp 352 0,04794% 0,01219 Crown Holdings Inc ,02067% 0, Cummins Inc ,06194% 0,02484 Cyprus Amax Minerals Co ,00041% 0, DDR Corp ,05227% 0, DENTSPLY International Inc ,04909% 0, DII Industries LLC ,02388% 0, DIRECTV 223 0,00578% 0, DR Horton Inc ,02340% 0, DTE Energy Co ,03877% 0, DaVita HealthCare Partners Inc ,06056% 0, Danaher Corp ,04812% 0, Darden Restaurants Inc ,05102% 0, Data General Corp ,03800% 0,03902 DeVry Education Group Inc ,02806% 0, Dean Foods Co ,02097% 0,02929 Deere & Co ,04449% 0, Dell Inc ,02973% 0, Delphi Automotive PLC 229 0,19764% 0, Delta Air Lines Inc ,02757% 0, Deluxe Corp ,03794% 0, Denbury Resources Inc ,00177% 0, Devon Energy Corp 920 0,03620% 0, Diamond Offshore Drilling Inc ,02043% 0, Digital Equipment Corp ,01522% 0, Dillard's Inc ,02726% 0, Discover Financial Services ,05899% 0, Discovery Communications Inc 852 0,09779% 0, Dollar General Corp 229 0,11953% 0, Dollar General Corp/Old ,00522% 0, Dollar Tree Inc 478 0,05961% 0, Dominion Resources Inc/VA ,04683% 0, Dover Corp ,04602% 0, Dow Chemical Co/The ,02863% 0, Dow Jones & Co Inc ,03057% 0, Dr Pepper Snapple Group Inc ,10187% 0, Duke Energy Corp ,02750% 0, Dynegy Inc/Old ,21226% 0, E*TRADE Financial Corp 606-0,32541% 0, EI du Pont de Nemours & Co ,03377% 0, EMC Corp/MA ,05521% 0,03121 EMD Millipore Corp ,04552% 0, EOG Resources Inc ,06517% 0, EQT Corp ,08417% 0, EW Scripps Co ,03617% 0, Eastern Enterprises ,04741% 0, Eastman Chemical Co ,04113% 0, Eastman Kodak Co ,03607% 0, Side 8 af 19

91 Eaton Corp PLC ,05326% 0, Echlin Inc ,07640% 0, Ecolab Inc ,06613% 0, Edison International ,03081% 0, Edwards Lifesciences Corp 602-0,01098% 0, El Paso CGP Co LLC ,10177% 0, El Paso LLC ,00306% 0,03545 El Paso Tennessee Pipeline Co ,00207% 0, Electronic Arts Inc ,00959% 0, Eli Lilly & Co ,03205% 0, Embarq Corp 376-0,13865% 0,03096 Emerson Electric Co ,04402% 0, Energy Future Holdings Corp/Old ,05475% 0, Enron Corp ,06923% 0, Ensco PLC ,01344% 0, Enterasys Networks Inc ,08675% 0, Entergy Corp ,03685% 0, Equifax Inc ,03454% 0, Equity Office Properties Trust ,07711% 0, Equity Residential ,04092% 0, Estee Lauder Cos Inc/The ,07653% 0, Exelon Corp ,00975% 0, Expedia Inc ,08178% 0, Expeditors International of Washington I ,00002% 0,02292 Express Scripts Holding Co ,08456% 0, Exxon Mobil Corp ,04819% 0, F5 Networks Inc 728-0,02573% 0, FLIR Systems Inc ,01832% 0, FMC Corp ,04940% 0, FMC Technologies Inc ,07836% 0, Family Dollar Stores Inc ,02818% 0, Fastenal Co ,09232% 0, FedEx Corp ,04033% 0, Fedders Corp ,02616% 0, Federal Home Loan Mortgage Corp ,02417% 0, Federal National Mortgage Association ,03093% 0, Federal Paper Board Co Inc ,07210% 0, Federated Investors Inc ,01965% 0, Fidelity National Information Services I ,05162% 0, Fifth & Pacific Cos Inc ,00574% 0, Fifth Third Bancorp ,01623% 0, First Chicago Corp ,07821% 0, First Chicago NBD Corp 879 0,09012% 0, First Data Corp ,05169% 0, First Fidelity Inc ,10761% 0, First Horizon National Corp ,02486% 0, First Mississippi Corp ,07610% 0, First Solar Inc 978-0,07658% 0, FirstEnergy Corp ,02046% 0, Fiserv Inc ,03622% 0, Fisher Scientific International LLC 447 0,07075% 0, Fleetwood Enterprises Inc ,10407% 0, Fleming Cos Inc ,11962% 0, Florida Progress Corp 336 0,10532% 0, Flowserve Corp ,12635% 0, Fluor Corp ,05427% 0, Foot Locker Inc ,01308% 0, Ford Motor Co ,02639% 0, Forest Laboratories Inc ,01820% 0, Fort James Corp ,02751% 0,02366 Fossil Group Inc 352 0,14748% 0, Foster Wheeler AG ,05723% 0, Franklin Resources Inc ,04201% 0, Fred Meyer Inc 206 0,10034% 0, Side 9 af 19

92 Freeport-McMoRan Copper & Gold Inc ,07093% 0, Freeport-McMoRan Corp ,06281% 0, Freescale Semiconductor Inc 462 0,17959% 0, Frontier Communications Corp ,00262% 0, Fujitsu IT Holdings Inc ,00816% 0, Furniture Brands International Inc ,05149% 0, GPU Inc ,04522% 0, GTE Corp ,04409% 0, GameStop Corp ,00130% 0, Gannett Co Inc ,01687% 0, Gap Inc/The ,05111% 0, Garmin Ltd 229 0,11158% 0, Gateway Inc ,11544% 0, General Dynamics Corp ,06827% 0, General Electric Co ,03889% 0, General Growth Properties Inc ,03128% 0, General Instrument Corp 483 0,30652% 0, General Mills Inc ,04561% 0,01254 General Motors Co 104 0,12241% 0, General RE Corp ,05009% 0, General Semiconductor Inc ,00241% 0, General Signal Corp ,02305% 0, Genesco Inc ,04229% 0, Genesis Worldwide Inc ,10562% 0, Genuine Parts Co ,04095% 0, Genworth Financial Inc ,03542% 0, Genzyme Corp ,02238% 0, Georgia-Pacific LLC ,03864% 0, Gerber Products Co ,09412% 0,01984 Giant Food Inc ,05637% 0, Giddings & Lewis Inc ,03126% 0, Gilead Sciences Inc ,09563% 0, Gillette Co/The ,06301% 0, Global Crossing Ltd/Old 963-0,86971% 0, Global Crossing North America Inc 666 0,14561% 0, Golden West Financial Corp ,07215% 0, Goldman Sachs Group Inc/The ,03484% 0, Goodrich Corp ,04570% 0, Goodyear Tire & Rubber Co/The ,00064% 0, Google Inc ,05692% 0, Graham Holdings Co ,00089% 0, Great Atlantic & Pacific Tea Co Inc/The ,02285% 0, Great Lakes Chemical Corp ,00931% 0, Great Western Financial Corp/CA ,04106% 0, Grumman Corp ,15347% 0, Guidant LLC ,07685% 0, H&R Block Inc ,04250% 0, HBO & Co 238 0,07130% 0, HCA Inc/DE - Pre 2010 IPO ,02332% 0, HCP Inc ,02388% 0, HF Ahmanson & Co ,06804% 0, HFS Inc 221 0,04590% 0, HJ Heinz Co ,03661% 0, HSBC Finance Corp ,05489% 0, Halliburton Co ,03292% 0, Handleman Co ,05703% 0, Harcourt General Inc ,04697% 0, Harley-Davidson Inc ,02486% 0, Harman International Industries Inc ,00299% 0, Harris Corp ,04774% 0, Hartford Financial Services Group Inc ,01770% 0, Hasbro Inc ,04483% 0, Health Care REIT Inc ,05007% 0, Health Management Associates Inc ,01100% 0, Side 10 af 19

93 HealthSouth Corp 623 0,03947% 0, Helmerich & Payne Inc ,04865% 0, Hercules Inc ,01975% 0,02237 Hershey Co/The ,05000% 0, Hess Corp ,03254% 0, Hewlett-Packard Co ,03576% 0, Hillshire Brands Co ,02954% 0, Hilton Worldwide Inc ,04310% 0, Historic TW Inc 956 0,12450% 0, Home Depot Inc/The ,06548% 0,02105 Homestake Mining Co ,02086% 0, Honeywell International Inc ,04826% 0, Hormel Foods Corp ,09111% 0, Hospira Inc ,02060% 0, Host Holding Corp 439 0,07305% 0, Host Hotels & Resorts Inc ,02817% 0, Hudson City Bancorp Inc ,00117% 0, Humana Inc ,04662% 0, Huntington Bancshares Inc/OH ,01174% 0, IAC/InterActiveCorp ,04355% 0, IMS Health Inc ,00620% 0, ITT Corp ,06547% 0, Illinois Tool Works Inc ,05051% 0, Immunex Corp 114-0,44052% 0, Ingersoll-Rand PLC ,04314% 0, Integrys Energy Group Inc ,02903% 0,01754 Intel Corp ,05525% 0, IntercontinentalExchange Group Inc ,03190% 0, Intergraph Corp ,01776% 0, International Business Machines Corp ,03976% 0, International Flavors & Fragrances Inc ,03448% 0, International Game Technology ,00873% 0, International Paper Co ,02192% 0, Interpublic Group of Cos Inc/The ,01205% 0, Intuit Inc ,04283% 0, Intuitive Surgical Inc ,01611% 0,02832 Invesco Ltd ,09725% 0, Iron Mountain Inc ,05133% 0, JC Penney Co Inc ,01035% 0, JDS Uniphase Corp ,12803% 0, JM Smucker Co/The ,07734% 0, JP Morgan & Co Inc ,07112% 0,01877 JPMorgan Chase & Co ,01366% 0, JWP Inc 480-0,30612% 0, Jabil Circuit Inc ,02077% 0, Jacobs Engineering Group Inc ,01453% 0, Janus Capital Group Inc ,03495% 0, Jefferson-Pilot Corp ,06231% 0, John H Harland Co ,02724% 0, Johnson & Johnson ,05214% 0, Johnson Controls Inc ,05984% 0, Jones Group Inc/The ,01977% 0, Jostens Inc ,03205% 0,01832 Juniper Networks Inc 813 0,07664% 0, KB Home ,02651% 0, KLA-Tencor Corp ,03405% 0, KP Pharmaceuticals LLC ,03460% 0, Kansas City Southern ,10020% 0,02729 Kellogg Co ,03428% 0, Kerr-McGee Corp ,03788% 0, KeyCorp ,01001% 0, KeySpan Corp ,02608% 0, Kimberly-Clark Corp ,04388% 0,0147 Kimberly-Clark Tissue Co ,07745% 0, Side 11 af 19

94 Kimco Realty Corp ,01731% 0, Kinder Morgan Inc/DE 351 0,01794% 0, Kinder Morgan Kansas Inc 791 0,08219% 0, King World Productions Inc ,04802% 0,01971 Kmart Corp/Old ,11066% 0, Knight Ridder Inc ,02967% 0, Kohl's Corp ,01611% 0,02287 Kraft Foods Group Inc 229 0,08472% 0, Kroger Co/The ,01070% 0, L Brands Inc ,04366% 0, L-3 Communications Holdings Inc ,02691% 0, LIN Broadcasting 317 0,05232% 0,00793 LSI Corp ,01702% 0, Laboratory Corp of America Holdings ,02892% 0, Lam Research Corp 352 0,13070% 0, Legg Mason Inc ,02923% 0,0345 Leggett & Platt Inc ,03041% 0, Lehman Brothers Holdings Inc ,00834% 0, Leidos Holdings Inc 978 0,00380% 0, Lennar Corp ,02267% 0, Leucadia National Corp ,02560% 0,03195 Lexmark International Inc ,02476% 0, Life Technologies Corp ,08710% 0, Lincoln National Corp ,03515% 0, Linear Technology Corp ,00251% 0, Lion Connecticut Holdings Inc ,02923% 0, Litton Industries Inc ,05834% 0, Lockheed Corp ,08292% 0, Lockheed Martin Corp ,04265% 0, Lockheed Martin Tactical Systems Inc ,13554% 0, Loews Corp ,03997% 0, Lone Star Industries Inc ,13997% 0, Longs Drug Stores Corp ,03639% 0, Lorillard Inc 415 0,04998% 0, Lotus Development Corp ,04491% 0, Louisiana Land & Exploration Co ,04072% 0, Louisiana-Pacific Corp ,01139% 0, Lowe's Cos Inc ,06916% 0,0237 Luby's Inc ,00654% 0, LyondellBasell Industries NV 229 0,11147% 0, M&T Bank Corp ,02034% 0, M/a-Com FRID Inc ,08219% 0, MBIA Inc ,01974% 0, MBNA Corp ,08844% 0, MCI Communications Corp ,08967% 0, MGIC Investment Corp ,02793% 0, Macerich Co/The 104-0,02280% 0, Macy's Inc ,03473% 0, Mallinckrodt Inc ,03904% 0,02047 Manitowoc Co Inc/The ,03029% 0, Manor Care Inc ,04540% 0, Manor Care Inc/Old ,08166% 0, Marathon Oil Corp ,03810% 0, Marathon Petroleum Corp 602 0,12229% 0, Marriott International Inc/DE ,02268% 0, Marsh & McLennan Cos Inc ,03515% 0, Marshall & Ilsley Corp ,04073% 0, Martin Marietta Corp ,08139% 0, Masco Corp ,02040% 0, MasterCard Inc ,09200% 0, Mattel Inc ,03015% 0, Maxim Integrated Products Inc ,01830% 0, Maxus Energy Corp 734-0,00936% 0, May Department Stores Co/The ,03614% 0, Side 12 af 19

95 Maytag Corp ,01770% 0, McAfee Inc 519 0,08539% 0, McCormick & Co Inc/MD ,04726% 0,01199 McDermott International Inc ,01946% 0,05183 McDonald's Corp ,04892% 0, McDonnell Douglas Corp ,12417% 0, McGraw Hill Financial Inc ,05204% 0, McKesson Corp ,02395% 0, Mead Corp/The ,03427% 0, Mead Johnson Nutrition Co 310 0,04787% 0, MeadWestvaco Corp ,02270% 0, Medco Health Solutions Inc ,06394% 0, Medimmune LLC ,00152% 0, Medtronic Inc ,06208% 0, Mellon Financial Corp ,06644% 0, Mercantile Bancorporation 284-0,00831% 0, Mercantile Stores Co Inc ,04616% 0, Merck & Co Inc ,03766% 0, Mercury Interactive LLC ,09393% 0, Meredith Corp ,04179% 0,01891 Merrill Lynch & Co Inc ,01813% 0, MetLife Inc ,02123% 0, Michael Kors Holdings Ltd 508 0,23728% 0,02677 Microchip Technology Inc ,04073% 0, Micron Technology Inc ,07679% 0, Microsoft Corp ,05606% 0, Milacron Inc ,05112% 0, Mirage Resorts Inc 584-0,02739% 0, Mirant Corp/Old 484-0,56596% 0, Mobil Corp 918 0,07627% 0, Molex Inc ,00111% 0, Molson Coors Brewing Co ,03622% 0, Mondelez International Inc ,02795% 0, Monsanto Co ,09994% 0, Monster Beverage Corp 352 0,00564% 0, Monster Worldwide Inc ,07504% 0, Moody's Corp ,07638% 0, Morgan Stanley ,02423% 0, Morgan Stanley Group Inc 334 0,11009% 0,02206 Morrison Knudsen Corp-Old ,14677% 0, Morton International LLC 347 0,07547% 0, Mosaic Co/The 478-0,03016% 0, Motorola Mobility Holdings LLC 328 0,11035% 0, Motorola Solutions Inc ,00141% 0, Motors Liquidation Co ,01105% 0, Murphy Oil Corp ,02234% 0, Mylan Inc/PA ,00567% 0, NACCO Industries Inc ,03073% 0, NASDAQ OMX Group Inc/The ,05695% 0, NCR Corp ,03761% 0, NIKE Inc ,06704% 0, NL Industries Inc ,02450% 0, NRG Energy Inc 978 0,02107% 0, NVIDIA Corp ,00969% 0, NYSE Euronext ,02245% 0, Nabors Industries Ltd ,01620% 0, Nalco Co ,03676% 0, National City Corp ,04167% 0, National Education Corp ,07825% 0, National Oilwell Varco Inc ,05380% 0,03261 National Semiconductor Corp ,03684% 0, Navistar International Corp ,01657% 0, Nestle Purina PetCare Co ,07445% 0, NetApp Inc ,02918% 0, Side 13 af 19

96 Netflix Inc 728 0,07414% 0, New Century Energies Inc 391 0,00764% 0, New Cingular Wireless Services Inc 806-0,02749% 0, New York Times Co/The ,01263% 0, NewMarket Corp ,04242% 0, Newell Rubbermaid Inc ,02708% 0, Newfield Exploration Co 728-0,15316% 0, Newmont Mining Corp ,00171% 0, News Corp 62 0,17873% 0, NextEra Energy Inc ,04699% 0, Nextel Communications Inc ,03790% 0,04641 NiSource Inc ,02537% 0, Nicor Inc ,03724% 0, Nielsen Holdings NV 104 0,31386% 0, Noble Corp plc ,01814% 0, Noble Energy Inc ,04556% 0, Nordstrom Inc ,04110% 0, Norfolk Southern Corp ,04273% 0, Nortel Networks Corp ,05247% 0, North Fork Bancorporation Inc ,01586% 0,01398 Northeast Utilities ,06997% 0,01057 Northern Trust Corp ,02131% 0, Northrop Grumman Corp ,05931% 0,01761 Northrop Grumman Space & Mission Systems ,03439% 0, Novartis Vaccines & Diagnostics Inc ,01036% 0, Novell Inc ,03261% 0, Novellus Systems Inc ,00978% 0, Nucor Corp ,05132% 0, Nynex Corp ,04147% 0, O'Reilly Automotive Inc ,10448% 0, ONEOK Inc ,06425% 0, Occidental Petroleum Corp ,04695% 0, Office Depot Inc ,03386% 0, OfficeMax Inc ,00575% 0, Ohio Edison Co ,04471% 0, Old Kent Financial Corp 231 0,16718% 0, Omnicom Group Inc ,03801% 0,02007 Oracle America Inc ,01608% 0, Oracle Corp ,07289% 0, Oryx Energy Co ,07158% 0, Oshkosh B'Gosh Inc ,02921% 0, Outboard Marine Corp ,00675% 0, Owens-Illinois Inc ,00088% 0, PACCAR Inc ,06098% 0, PET Inc 892 0,04169% 0, PG&E Corp ,02678% 0, PMC - Sierra Inc ,04407% 0, PNC Financial Services Group Inc/The ,03750% 0, PPG Industries Inc ,04862% 0, PPL Corp ,03672% 0, PSI Resources Inc ,05407% 0, PTC Inc ,01572% 0, PVH Corp 104 0,02169% 0, PacifiCorp ,01991% 0, Pacific Enterprises ,01896% 0, Pacific Telesis Group ,04200% 0, Pactiv LLC ,05026% 0, Paine Webber Group Inc 318 0,18159% 0, Pall Corp 628 0,09048% 0, Palm Inc ,19764% 0, PanEnergy Corp ,04879% 0, Paramount Communications Inc ,01048% 0, Parker Hannifin Corp ,05326% 0, Patterson Cos Inc ,01183% 0,01829 Side 14 af 19

97 Paychex Inc ,03037% 0, Peabody Energy Corp ,03631% 0, PennzEnergy Co ,01746% 0, Pentair Ltd 229 0,19103% 0, People's United Financial Inc ,00909% 0, Peoples Energy LLC ,03989% 0, Pep Boys-Manny Moe & Jack/The ,00916% 0, Pepco Holdings Inc ,00481% 0, Pepsi Bottling Group Inc/The ,03084% 0, PepsiAmericas Inc ,03605% 0, PepsiCo Inc ,04387% 0, PerkinElmer Inc ,03285% 0, Perrigo Co 336 0,05169% 0, PetSmart Inc 229 0,05240% 0, Pfizer Inc ,05349% 0, Pharmacia & Upjohn Inc ,04583% 0, Pharmacia Corp ,05411% 0, Philip Morris International Inc 979 0,06997% 0, Phillips ,20321% 0, Pinnacle West Capital Corp ,03441% 0, Pioneer Natural Resources Co ,20723% 0, Pitney Bowes Inc ,03048% 0, Placer Dome Inc ,02976% 0, Plum Creek Timber Co Inc ,03281% 0, Polaroid Corp ,16941% 0, Potlatch Corp ,02245% 0, Power-One Inc ,06566% 0, Praxair Inc ,05954% 0,01913 Precision Castparts Corp ,04236% 0, Premark International LLC ,12067% 0, Prime Hospitality Corp ,04477% 0, Principal Financial Group Inc ,02667% 0, Procter & Gamble Co/The ,04738% 0, Progress Energy Inc ,04049% 0, Progressive Corp/The ,03395% 0, Prologis ,01046% 0, Prologis Inc 602 0,02683% 0, Providian Financial Corp ,00437% 0, Prudential Financial Inc ,04410% 0, Public Service Enterprise Group Inc ,03844% 0, Public Storage ,04973% 0, PulteGroup Inc ,05013% 0, QEP Resources Inc 852-0,01106% 0, QLogic Corp ,04180% 0, QUALCOMM Inc ,04156% 0, Quanta Services Inc ,02651% 0, Quest Diagnostics Inc ,02894% 0, Questar Corp ,04158% 0, Quintiles Transnational Corp 913-0,06601% 0,03447 Qwest Communications International Inc 852-0,29571% 0, RH Donnelley Corp 812-0,20075% 0, RJR Acquisition Corp 469 0,12964% 0, RR Donnelley & Sons Co ,00344% 0, RadioShack Corp ,01314% 0, Ralph Lauren Corp ,04484% 0, Range Resources Corp ,03310% 0, Rational Software Corp 139 0,32208% 0, Raytheon Co ,05039% 0, Raytheon E-Systems Inc ,04576% 0, Realogy Group LLC 47 0,00436% 0,0044 Red Hat Inc ,08161% 0, Reebok International Ltd ,03235% 0, Regeneron Pharmaceuticals Inc 104 0,02841% 0, Regions Financial Corp ,03632% 0, Side 15 af 19

98 Republic Services Inc ,03469% 0,01501 Reynolds American Inc ,08152% 0, Reynolds Metals Co ,01900% 0, Ricoh USA Inc ,01399% 0, Rio Tinto Alcan Inc ,04920% 0, Rite Aid Corp ,09913% 0, Robert Half International Inc ,01895% 0, Rockwell Automation Inc ,06802% 0,0236 Rockwell Collins Inc ,04743% 0, Rohm & Haas Co ,05120% 0, Roper Industries Inc 978 0,10552% 0, Ross Stores Inc 978 0,12339% 0, Rowan Cos Plc ,01807% 0, Russell Corp ,00277% 0, Ryan's Restaurant Group LLC ,02840% 0, Ryder System Inc ,03454% 0, Ryerson Inc ,00500% 0, SCANA Corp ,04504% 0, SLM Corp ,00037% 0, SPX Corp ,04227% 0, SUPERVALU Inc ,00968% 0, Safeco Corp ,04355% 0, Safeway Inc ,01025% 0, Salesforce.com Inc ,17246% 0,02577 SanDisk Corp ,02234% 0, Sanmina Corp ,08430% 0, Santa FE Pacific Gold Corp 567 0,07653% 0, Santa Fe Pacific Corp ,13346% 0, Santander Holdings USA Inc/PA ,18590% 0, Sapient Corp ,03327% 0, Schering-Plough Corp/Pre-merger with Mer ,04259% 0, Schlumberger Ltd ,04017% 0, Schneider Electric IT Corp ,01596% 0, Scientific-Atlanta Inc ,06258% 0, Scripps Networks Interactive Inc ,05938% 0, Seagate Technology PLC 352 0,19790% 0, Sealed Air Corp ,01845% 0, Sears Holdings Corp ,04946% 0, Sears Roebuck and Co ,04323% 0,02364 Sempra Energy ,04833% 0, Service Corp International/US ,02688% 0, Shawmut National Corp ,06958% 0,0304 Sherwin-Williams Co/The ,05880% 0, Shoney's Inc 133-0,35855% 0,03386 Siebel Systems Inc ,15095% 0, Siemens Medical Solutions Health Service ,07811% 0,02934 Sigma-Aldrich Corp ,05384% 0,01969 Silicon Graphics Inc/Old ,13502% 0, Simon Property Group Inc ,06724% 0, Skyline Corp ,00872% 0, Smith International Inc 896 0,00228% 0, Smurfit-Stone Container Enterprises Inc/ ,00767% 0, Snap-on Inc ,03805% 0, Solectron Corp ,08007% 0, Sonat Inc ,03538% 0, SouthTrust Corp ,07608% 0, Southern Co/The ,05016% 0, Southwest Airlines Co ,02679% 0,02414 Southwestern Energy Co ,00616% 0, Spectra Energy Corp ,03457% 0,01873 Springs Industries Inc ,02559% 0,01972 Sprint Communications Inc ,02165% 0, Sprint Corp-PCS Group 901-0,25881% 0, St Jude Medical Inc ,04859% 0,0226 Side 16 af 19

99 Stanley Black & Decker Inc ,03682% 0, Staples Inc ,00115% 0, Starbucks Corp ,06519% 0, Starwood Hotels & Resorts Worldwide Inc ,03719% 0, State Street Corp ,02766% 0, Steel Excel Inc ,10335% 0, Stericycle Inc ,07077% 0, Stride Rite Corp/The ,02151% 0, Stryker Corp ,04007% 0, Summit Bancorp 730-0,02199% 0, SunEdison Inc ,09721% 0, SunGard Data Systems Inc 759 0,05651% 0, SunTrust Banks Inc ,03114% 0, Sunoco Inc ,03359% 0, Symantec Corp ,02739% 0, Symbol Technologies Inc ,03000% 0, Synovus Financial Corp ,01638% 0, Syntex Corp/Panama ,00914% 0, Sysco Corp ,04662% 0, T Rowe Price Group Inc ,04981% 0, T-Mobile US Inc ,06644% 0,03409 TE Connectivity Ltd ,03533% 0, TECO Energy Inc ,00975% 0, TJX Cos Inc ,07603% 0, TXU Gas Co ,00804% 0, Tandem Computers Inc ,01144% 0,03108 Target Corp ,04612% 0, Tektronix Inc ,05369% 0, Teledyne Inc ,01483% 0, Tellabs Inc ,02491% 0, Temple-Inland Inc ,03776% 0, Tenet Healthcare Corp ,00103% 0,03147 Tenneco Inc ,03201% 0, Teradata Corp ,04262% 0, Teradyne Inc ,03758% 0, Terex Corp ,01805% 0, Tesoro Corp ,02981% 0, Texaco Inc ,04308% 0, Texas Instruments Inc ,05103% 0, Textron Inc ,03951% 0, Thermo Fisher Scientific Inc ,03173% 0, Thomas & Betts Corp ,02491% 0, Tiffany & Co ,03466% 0, Time Warner Cable Inc ,13780% 0, Time Warner Inc ,00015% 0, Times Mirror Co ,07806% 0, Timken Co ,03307% 0,02365 Titanium Metals Corp ,01746% 0,03997 Torchmark Corp ,04297% 0, Tosco Corp 406 0,15081% 0, Total System Services Inc ,03154% 0, Toys R US Inc/Old ,00009% 0, Transco Energy Co LLC 936-0,01685% 0, Transitional Hospitals Corp ,01522% 0, Transocean Ltd ,01354% 0, Travelers Corp 926 0,02786% 0, Travelers Cos Inc/The ,04204% 0, Travelers Property Casualty Corp 293 0,03052% 0, Tribune Co/Old ,03217% 0, TripAdvisor Inc 478 0,19055% 0, Tupperware Brands Corp ,03330% 0, Twenty-First Century Fox Inc 981-0,04451% 0, Tyco Electronics Corp ,04372% 0, Tyco International Ltd ,02624% 0, Side 17 af 19

100 Tyson Foods Inc ,04752% 0, UAL Corp/Old ,12034% 0, US Airways Group Inc/Pre-Bankruptcy ,04201% 0, US Bancorp/MN ,02962% 0, US Bancorp/Old 877 0,03496% 0, US Bancorp/Pre-Merger of First Bank 605 0,17072% 0, US Healthcare Inc 479 0,08258% 0, US Home Corp ,02636% 0, US West Inc ,10708% 0, USF&G Corp ,00128% 0, USG Corp ,00496% 0,03917 USLIFE Corp ,08202% 0, UST LLC ,05502% 0, Unicom Corp ,04229% 0, Union Camp Corp ,04315% 0,01635 Union Carbide Corp ,07546% 0, Union Electric Co ,04033% 0, Union Pacific Corp ,05246% 0, Unisys Corp ,06911% 0, United Parcel Service Inc ,02630% 0, United States Steel Corp ,00970% 0, United States Surgical Corp ,05287% 0, United Technologies Corp ,05559% 0, UnitedHealth Group Inc ,05422% 0, Univision Communications Inc ,00372% 0, Unocal Corp ,02739% 0, Unum Group ,01559% 0, Upjohn Co ,02583% 0, Urban Outfitters Inc 852 0,01665% 0, VF Corp ,05754% 0,01874 Valero Energy Corp ,05057% 0,02859 Varian Medical Systems Inc ,03999% 0, Varity Corp ,03220% 0, Ventas Inc ,06251% 0, VeriSign Inc ,06410% 0, Veritas Software Technology Corp 955-0,00415% 0,04177 Verizon Communications Inc ,03210% 0, Vertex Pharmaceuticals Inc ,04157% 0, Viacom Inc ,01200% 0, Viad Corp ,03779% 0, Visa Inc 978 0,10249% 0, Visteon Corp/Old ,03245% 0, Vitesse Semiconductor Corp ,43871% 0, Vodafone Americas Inc ,11452% 0, Vornado Realty Trust ,01668% 0, Vulcan Materials Co ,01649% 0, WM Wrigley Jr Co ,06047% 0, WPX Energy Inc 478 0,04173% 0, WR Grace & Co ,14376% 0, WR Grace & Co/Pre-merger 291 0,18249% 0, WW Grainger Inc ,05042% 0,01716 Wachovia Corp ,00612% 0, Wachovia Corp/Old ,04930% 0, Wal-Mart Stores Inc ,04826% 0, Walgreen Co ,05704% 0, Walt Disney Co/The ,03951% 0, Warner-Lambert Co ,11490% 0,01895 Washington Mutual Inc 40 0,18023% 0, Waste Management Inc ,00346% 0, Waste Management Inc/Old ,01619% 0, Waters Corp ,03576% 0, Weatherford International Ltd/Switzerlan ,00226% 0, WellPoint Health Networks Inc ,11296% 0, WellPoint Inc ,03663% 0, Side 18 af 19

101 Wells Fargo & Co ,03028% 0, Wells Fargo & Co/Old ,09057% 0, Wendy's International Inc ,05305% 0, Western Atlas Inc 979 0,08112% 0,01775 Western Digital Corp 709 0,00523% 0, Western Union Co/The ,01802% 0, Westmoreland Coal Co ,00128% 0, Westvaco Corp ,03066% 0, Wetterau Inc 645 0,02915% 0, Weyerhaeuser Co ,02430% 0, Whirlpool Corp ,03822% 0, Whole Foods Market Inc ,02693% 0, Willamette Industries Inc ,05278% 0, Williams Cos Inc/The ,04844% 0,033 Windstream Holdings Inc 841 0,01678% 0, Winn-Dixie Stores Inc/Old ,05237% 0, Wisconsin Energy Corp ,06283% 0, WorldCom Inc - WorldCom Group 542-0,94353% 0, Worthington Industries Inc ,03794% 0, Wyeth Holdings Corp ,07250% 0, Wyeth LLC ,03955% 0, Wyndham Worldwide Corp ,05608% 0, Wynn Resorts Ltd ,21147% 0, XL Group PLC ,02290% 0,04008 XMH Corp ,09487% 0, XTO Energy Inc ,05563% 0, Xcel Energy Inc ,02875% 0, Xerox Corp ,01276% 0, Xilinx Inc ,00554% 0, Xylem Inc/NY 478 0,06744% 0, YRC Worldwide Inc ,07261% 0, Yahoo! Inc ,01999% 0, Young & Rubicam Inc 172-0,06590% 0, Yum! Brands Inc ,06702% 0, Zimmer Holdings Inc ,03608% 0, Zions Bancorporation ,01583% 0, Zoetis Inc 104 0,09091% 0, ebay Inc ,04668% 0, priceline.com Inc 978 0,17717% 0, Side 19 af 19