Opgavesvar til Kosmologi

Side 2 af 14 Opgavesvar til Kosmologi Opgave 1, side 12 Soldøgn og stjernedøgn P * = 23 h 56 m 4.09 s med de forelagte tal 365.24 soldøgn: 8765.76 timer 366.24 stjernedøgn: 8765.76 timer Opgave 2, side 14 Vinkelmål 12 20 44.16 Opgave 3, side 15 Jordens bane D aphel = 39.8 mm D perihel = 41.3 mm f = 0.9637 e = 0.0185 a aphel = 152 millioner km a perihel = 147 millioner km Opgave 4, side 18 Månens bane D apogæum = 38.0 mm D perigæum = 43.5 mm e = 0.0675 a apogæum = 410341 km a perigæum = 358459 km a JT = 4671 km Opgave 5, side 21 Sol- og måneformørkelser 2) Cirka 19 år. Opgave 6, side 34 Isdværge a CT = 2124 km a PT = 17447 km m E + m D = 1.66 10 22 kg Opgave 7, side 38 Absolutte størrelsesklasser Solen 4.83 Betelgeuse, max 6.26 Betelgeuse, min 5.26 Rigel 6.99 Sirius 1.42

Side 3 af 14 Sirius B 11.19 a Cen A 4.37 a Cen B 5.71 Proxima 9.78 Barnards stjerne 13.22 Opgave 8, side 43 Stjerners levetid på hovedserien 0.1 M Sol : 3.16 10 12 år 1 M Sol : 1.00 10 10 år 10 M Sol : 3.16 10 7 år 50 M Sol : 5.66 10 5 år Opgave 9, side 48 Afstand til en supernova "Benyt formel (6) side 36 " d = 802 pc = 2.61 Mla Opgave 10, side 52 Andromedagalaksens udstrækning D = 220 kla, d = 2540 kla: = 5.0. Montage herunder fra Astronomy Picture of the Day, 2013 08 01. Opgave 11, side 61 Marsskivens størrelse x = 0.027 mm = 27 μm Opgave 12, side 66 Forholdet mellem Solens og Månens afstande d Solen/d Månen = 1/cos(87 ) = 19.1 d Solen = 149600000 km; d Månen = 384400 km: α = arccos(d Månen /d Solen) = 89.85

Side 4 af 14 Opgave 13, side 68 Jordens størrelse bestemt af Eratosthenes Attisk fod: d = 5000 stadier 882.3 km Dorisk fod: d = 5000 stadier 980.7 km Ionisk fod: d = 5000 stadier 1046.1 km 1 ~ d/7.2 360 ~ 360 d/7.2 Attisk fod: O = 44115 km, R = 7021 km Dorisk fod: O = 49035 km, R = 7804 km Ionisk fod: O = 52305 km, R = 8325 km R Jorden = 6371 km Opgave 14 Hipparchos kordetabel v k 0.0 0 7.5 0.130806258 15.0 0.261052384 172.5 1.995717846 180.0 2 Opgave 15, side 76 Baneradier for Venus og Merkur sin(φ max) = a/1 au Venus: φ max = 47 a = 0.731 au Merkur: φ min = 18 d min = 0.309 au φ max = 28 f d min/d max = 0.658 e = 0.206 a = 0.389 au d max = 0.469 au Opgave 16, side 82 Ellipser og Keplers love 11.86 a a Jupiter = 5.201 au Data kan hentes i Planetary Fact Sheets, https://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/planetfact.html. Graf på næste side.

log(p/d) Opgavesvar Side 5 af 14 Keplers 3. lov 100 Jupitermåner 10 Saturnmåner 1 100000 1000000 10000000 log(a/km) P Jupiter = Opgave 17, side 85 Venus faseskift Kun den heliocentriske model giver de korrekte faseskift. Opgave 18, side 89 Tyngdekræfter på Månen Objekt Masse m/kg Afstand d/m F grav/n F/F Jorden Månen 7.3459 10 22 Jorden 5.97226 10 24 384400000 1.982 10 20 1 Jupiter 1.89815 10 27 6.288 10 11 2.354 10 16 0.00012 Solen 1.98844 10 30 1.496 10 11 4.356 10 20 2.20 Venus 4.86738 10 24 4.144 10 10 1.390 10 16 0.00007 Månens bevægelse gennem rummet kan bedst beskrives ved en ellipse med Solen i det ene brændpunkt, stærkt påvirket af Jorden. Faktisk krummer Månens bane altid ind mod Solen, alle øvrige måners baner krummer skiftevis ind mod og væk fra Solen. Opgave 19, side 90 Månens acceleration 1/(1/P synodisk + 1/P jorden) = 27.322 d v = 1023 m/s = 1.023 km/s t = 3397 s = 56.62 minutter a kin = 0.002723 m/s 2 a grav = 0.002722 m/s 2 Overbevisende overensstemmelse.

Side 6 af 14 Opgave 20, side 90 Newtons skøn over afstanden til Sirius m * = 1.47, m = 26.74 d ( m* m )/5 5.054 * / d 10 10 11324 d * = 11324 au d Sirius = 8.60 la = 543873 au Sirius er faktisk 23 gange mere lysstærk end Solen. Opgave 21, side 92 Lysets fart c 1 mile = 1609 m c Bradley = 183000 mi/s = 294447000 m/s c = 299792458 m/s Opgave 22, side 92 Gennemsnitsafstand mellem stjerner i Solens omegn ρ = 0.0045 pc 3 V * = 222 pc 3 d = 12.1 pc Opgave 23, side 107 Vinkelsum i trekant 540 er øvre grænse. Meget lille sfærisk trekant; sfærisk trekant med vinkelspidser nær ækvator og på samme side af ækvator. Sfærisk trekant med vinkelspidser meget langt fra hinanden; meget lille sfærisk trekant. Opgave 24, side 111 v = u = 0.99 c : u = c : v = u = c : Addition af hastigheder w = 0.999949 c w = c w = c Opgave 25, side 115 Omløbstider for retningen til periheliet Planet /100 år /år 360 Merkur 574.10 1.5947 10 3 0.2257 Ma Venus 8.6247 2.39575 10 5 15.03 Ma Jorden 3.8387 1.06631 10 5 33.76 Ma

Side 7 af 14 Opgave 26, side 116 Lysets afbøjning ved nær passage af et tungt himmellegeme Afbøjningsvinkel Radianer Buesekunder Grader v Solen 8.486 10 6 1.750 v Jorden 2.772 10 9 0.00057 v hvid dværg 3.938 10 4 81.2 v neutronstjerne 4.922 10 1 101525 0.49 Opgave 27, side 118 Schwarzschild-radier Objekt Masse kg R Sch m R Sch km R Sch månebaneradier Solen 1.988 10 30 2.953 10 3 2.953 Jorden 5.972 10 24 8.870 10 3 Sort hul 8.153 10 36 1.211 10 10 1.211 10 7 31.5 Opgave 28, side 120 Planck-størrelser Ifølge https://en.wikipedia.org/wiki/list_of_radioactive_isotopes_by_half-life er den kortest målte halveringstid 23 ys (23 10 24 s) for nuklidet hydrogen-7. T ½/t P = 4.27 10 20 d proton = 1.70 10 15 m d proton/l P = 1.05 10 20 Åbent spørgsmål: Sker der noget interessant i de 20 størrelsesordener mellem "kendt fysik" og Planckskalaerne? Opgave 29, side 125 Afstanden til spiraltågen M 33 Årlig vinkelforskydning: Tangentialfart: Årlig forskydning: Afstand: 0.02 = 9.69626 10 8 rad 200 km/s 6.31 10 9 km = 2.05 10 4 pc 2109 pc Opgave 30, side 127 Afstanden til M 31 bestemt ved cepheidemetoden Periode P døgn m V,max M V,max d kpc 50.1 18.4 5.75 676 44.7 18.2 5.63 584 40.7 18.6 5.53 670 38.0 18.3 5.46 565 31.6 18.2 5.26 493 21.9 19.0 4.88 596 21.4 18.8 4.85 538

Side 8 af 14 20.0 18.5 4.78 453 19.1 18.6 4.73 464 18.6 18.9 4.70 526 Middelafstand til M31: 557 kpc Vinkeludstrækning af M31: 2 Diameter af M31: 19.4 kpc Opgave 31, side 128 Solsystemets omløbstid r = 8 kpc = 2.46854 10 20 m v = 220 km/s = 220000 m/s T = 7.0501 10 15 s = 223405445 a = 223 Ma T Solsystem = 4500 Ma Antal omløb: 20.1 Opgave 32, side 130 Galaksen UGC 2936 λ 0 = 656.28 nm i = 78 ; cos(i) = 0.2079; sin(i) = 0.9781 Af figuren aflæses: λ centrum = 664.5 nm λ fjern arm = 664.9 nm λ nær arm = 664.1 nm Δλ = 8.22 nm v radial = 3755 km/s Forskydningen af spektrallinjen er næsten konstant, når man er et stykke fra centrum. Projiceret radialhastighed: v proj = 180 km/s Rotationshastighed: v rot = 184 km/s Opgave 33, side 134 Figur 141 øverst: Figur 141 nederst: Figur 142: Hubbles værdi for Hubble-konstanten H 0 = 518 km/s/mpc H 0 = 544 km/s/mpc H 0 = 64 km/s/mpc Tidobling af afstand formindsker alder med en faktor ti. Opgave 34, side 138 Hubble-tiden og Universets alder H 0 = 518 km/s/mpc = 518000 m/s/mpc = 1.68 10 17 m/s/m = 1.68 10 17 s 1 t Hubble = 5.96 10 16 s = 1.89 10 9 a = 1.89 Ga d Hubble = 1.79 10 25 m = 1.89 Gla

Side 9 af 14 Opgave 35, side 138 Hvad skal vi forstå ved i dag? Hubble-parameter Hubble-tid Tidsforskel H 0 = 67.7 km/s/mpc t 0 = 14.44332545 Ga H = 67.2 km/s/mpc t =14.55079067 Ga Δt = 107 Ma H = 67.6 km/s/mpc t = 14.46469132 Ga Δt = 21 Ma Alternativt med formler: H H H t t0 H H H H H H 67.2 1 1 0 1 0.5 14.443 Ga 107 Ma 0 0 0 0.1 t t0 14.443 Ga 21 Ma 67.6 Opgave 36, side 140 Sidespring med rosinbrød og ballon Se f. eks. https://www.dk-kogebogen.dk/opskrifter/visopskrift.php?id=17068 Opgave 37, side 140 Skalafaktoren udledt ud fra Hubbles lov Vi betegner afstanden til tiden t 0 for d 0 og får ved integration ved separation, at dd 1 v( t) H ( t) d( t) H ( t) d( t) d d H ( t) dt d t d( t) t dt () t d t d0 H t t H t t t d 0 t 0 0 t ( ) ( ) 0 hvor ( ) exp ( ) d t ln ( ) ln( ) ( ) d exp ( ) d d t S t d S t H t t 0 Opgave 38, side 141 Den kritiske tæthed Vi definerer a 100 km/s/mpc = 3.24078 10 18 s -1 Heraf fås 3 a 2 /(8 π G) = 1.8784 10 26 kg/m 3 (Bogens værdi er forkert) 1 kg/m 3 = 1.4775 10 37 M /Mpc 3 Derfor bliver 3 a 2 /(8 π G) = 2.7754 10 11 M /Mpc 3 (Bogens værdi er forkert) m H = 1.67353 10 27 kg H 0 = 67.74 km/s/mpc h 0 = 0.6774 ρ krit = 8.6193 10 27 kg/m 3 = 1.2735 10 15 M /Mpc 3 V = m H/ρ krit = 0.194 m 3 svarende til en middelafstand på a = 384400 km V = 5.68002 10 25 m 3 m = 0.490 kg svarende til to pakker smør

Side 10 af 14 Opgave 39, side 149 Fordobling af afstande i Universet d1 d2 d 2 d2 M1 5 log m M 2 5 log M 2 M1 5 log 10 10 pc 10 pc d1 d1 d2 0.3 M2 M1 1.5 10 1.995 2 d 1 M M 2 1 /5 Opgave 40, side 150 Steady State teorien og løbende skabelse af stof i Universet H 0 = 2.1953 10 18 s -1 ρ krit = 8.6193 10 27 kg/m 3 μ = 5.6766 10 44 kg/m 3 /s = 1.7914 10 36 kg/m 3 /a m neutron = 1.67493 10 27 kg V = 9.3498 10 8 m 3 L 2 V 1/3 = 1956 m Opgave 41, side 158 Kvasaren 3C 273 Balmer-linje λ 0 λ obs z Hα 656.3 752.2 0.146 Hβ 486.1 559.0 0.150 Hγ 434.1 499.2 0.150 Hδ 410.0 472.7 0.153 Midlet rødforskydning: z = 0.150 Radialhastighed: v = 44896 km/s Hubble-konstant: H 0 = 70 km/s/mpc Afstand: d = 641 Mpc Absolut størrelsesklasse: M = 26.7 Tilsyneladende størrelsesklasse: m = 26.74 Tilhørende afstand: d = 9.8 pc Opgave 42, side 158 Energiproduktion i kvasarer M Solen = 4.83; m = 18; d = 2000 Mpc; M = 24 L/L = 2.2 10 11 L = 8.3 10 37 W r = 0.5 lysuge = 9.06572 10 13 m = 606 au V = 3.12102 10 42 m 3 = 932223056 au 3 L/V = 2.7 10 5 W/m 3 = 8.9 10 28 W/au 3 Opgave 43, side 175 Solsystemets bevægelse Figur 180: T = 2.278 K og ΔT = 3.353 mk Pekuliarhastighed: v = 441 km/s

Side 11 af 14 Opgave 44, side 185 Baryon-foton forholdet η Baryonmasseenergi: E bary = 939 MeV =1.50444 10 10 J Kritisk tæthed: ρ krit,0 = 8.6193 10 27 kg/m 3 Kritisk tæthed: ε krit,0 = 7.7466 10 10 J/m 3 = 4835 MeV/m 3 Massetæthed, baryoner: ρ bary,0 = 4.1888 10 28 kg/m 3 Energitæthed, baryoner: ε bary,0 = 3.7647 10 11 J/m 3 = 235 MeV/m 3 Antalstæthed, baryoner: n bary,0 = 0.250 m -3 Energitæthed, stråling: ε str,0 = 4.175 10 14 J/m 3 = 0.261 MeV/m 3 Antalstæthed, stråling: n str,0 = 4.107 10 8 m -3 Energiforhold: ε b,0/ε str,0 = 902 Baryon-fotonforhold: η = 6.093 10 10 Opgave 45, side 188 Monopoler i det tidlige univers m monopol = 10 24 ev n monopol = 10 82 m -3 T GUT = 10 28 K m monopol = 1.78 10 12 kg ε onopol = 1.60 10 87 J/m 3 ε foton = 7.57 10 96 J/m 3 Opgave 46, side 188 Helium m person = 65 kg V lunger = 6 L ρ helium = 0.1786 kg/m 3 He-fyldt lunge: 0.0010716 kg He-andel i luft: 0.000524 % He-andel i lunger: 0.00003144 L He-andel i lunger: 5.62 10 9 kg Y He i lunger = 1.65 10 5 Y atm. luft i lunger = 8.64 10 11 Opgave 47, side 189 Temperaturer i det tidlige univers t T 1 s 1.34 10 10 K 10 s 4.23 10 9 K 100 s 1.34 10 9 K Opgave 48, side 190 Forholdet mellem antallet af neutroner og protoner i det tidlige univers Se regnearket "Neutron-proton-forhold.xlsx" fra http://www.udforskuniverset.dk/dokumenter.html. Faneblad "n-p-forhold".

Side 12 af 14 Opgave 49, side 192 Overslag over mængden af kosmologisk dannet helium Se regnearket "Neutron-proton-forhold.xlsx" fra http://www.udforskuniverset.dk/dokumenter.html. Faneblad "Helium". Opgave 50, side 196 Universets udvidelse under inflationsperioden H infl = 1.00 10 36 s -1 Λ infl = 3.00 10 72 s -2 S(t 2)/S(t 1) = 9.89 10 42 d 1 = 6.00 10 26 m d 2 = 5.93 10 17 m v = 5.99 10 51 m/s v/c = 2.00 10 43! Opgave 51, side 197 Løsningen på monopolproblemet Volumen vokser med tredje potens af skalafaktoren S. n(t 2) = 1.03 10 47 m -3 n(t 2) = 304 pc -3 n(t 0) = 8.27 10 128 m -3 n(t 0) = 2.43 10 78 pc -3 Monopoler er højst til stede i sub-homøopatisk koncentration. Opgave 52, side 199 Kvantefluktuationer Δt e&anti-e = 3.22 10 22 s Δt p&anti-p = 1.75 10 25 s d e = 9.65 10 14 m d p = 5.26 10 17 m Opgave 53, side 221 Planck-tiden Planck-tid: 5.391 10 44 s Planck-længde: 1.616 10 35 m Planck-temperatur: 1.417 10 32 K Planck-masse: 2.176 10 8 kg Planck-energi: 1.956 10 9 J Planck-densitet: 5.155 10 96 kg/m 3 Opgave 54, side 223 Tærskeltemperaturer 1 u = 1.661 10 27 kg T u = 2.16 10 13 K T p/anti-p = 2.18 10 13 K T e/anti-e = 1.19 10 10 K

Side 13 af 14 Opgave 55, side 223 Kosmologiske neutrinoer n ν = 336 cm 3 = 336000000 m 3 Ω ms = 0.26 ρ krit = 8.619 10 27 kg/m 3 m person = 65 kg ρ person = 985 kg/m 3 V person = 0.0660 m 3 n person = 2.22 10 7 neutrinoer m ν = 6.67 10 36 kg m ν,eksperiment= 0.43 ev (øvre grænse) m ν,eksperiment= 7.67 10 37 kg Ergo: Neutrinoer er ikke tunge nok til at udgøre det mørke stof! Opgave 56, side 226 Universets temperatur ved rekombinationen T = 157821 K = 158 kk Opgave 57, side 238 Planetesimaler m planetisimal = 1.26 10 13 kg m Jorden = 5.972 10 24 kg Antal planetisimaler : 4.75 10 11 = 475 milliarder Opgave 58, side 243 Resonanser i Solsystemet a Jupiter = 1.5 au P Jupiter = 1.84 a (jfr. opgave 16) P Saturn = 2.76 a a Saturn = 1.97 au P Jupiter,0 = 11.8618 a 5 P jupiter,0 = 59.309 a P Saturn,0 = 29.4571 a 2 P saturn,0 = 58.914 a P synodisk = 19.8584 a Planeterne mødes igen efter ca. 20 år, dvs. næste gang omkring 1960. Opgave 59, side 246 Månens voksende afstand Δa = 15200 km a devon = 369200 km Døgnlængde i devon: 21.9 h Vinkeldiameter i devon: 1.56 Højde af tidevand: 47 m Opgave 60, side 251 Nedbrydning af metan ΔH bind = 6.84 10 19 J = 4.27 ev λ = 2.90 10 7 m = 290 nm Ultraviolet lys (UVB) er tilstrækkeligt.

Side 14 af 14 Opgave 61, side 254 Energi frigjort ved kridt-palæogen nedslaget m = 1.47 10 15 kg E kin = 6.60 10 23 J = 1.58 10 14 bomber Opgave 62, side 256 Den sidste totale solformørkelse d skygge = 380464 km d min = 386835 km a = 409306 km t= 655409974 a = 655 Ma Herefter kun ringformede og partielle formørkelser. Totale måneformørkelser ender også, men det vil tage betydeligt længere tid og forudsætter at Jorden og Månen fortsat eksisterer. Opgave 63, side 262 Sammenstød med Andromedagalaksen t = 2.00 10 17 s = 6.35 Ga Tiltrækning afkorter tidslængden. Opgave 64, side 262 Hickson Compact Group 90 D = 30.8 kla.