Tallinjen og lineære spil set i relation til matematikundervisning Teksten er et sammendrag af nedenstående to artikler. Sammendraget er udarbejdet af Birgitte Henriksen (2011). Lundberg, I. & Sterner, G. (2009) Dyskalkyli finns det? Nationellt Centrum för Matematikutbildning, p. 56-62. Findes netbaseret: http: http://ncm.gu.se/media/ncm/dokument/dyskalkyli_finns_det.pdf (d. 22.06.11). Ramani, Geetha B. & Siegler, Robert S. (2008): Promotin Broad and Stable Improvements in Low- Income Children s Numerical Knowledge Through Playing Number Board Games In Child Dvelopment, March/April 2008, Volume 79, Number 2, Pages 375-394. Børn har forskellige erfaringer og forudsætninger inden for matematik, når de begynder i skole. Et af de områder hvor der kan være forskelle er i børnenes forståelse for tal og simple regneoperationer. En undersøgelse i forskelle i den begyndende matematiske viden ser ud til at have betydning på lang sigt. Matematisk viden ved børnehavestart er stærkt forudsigende for matematiske præstationer op igennem grundskole og gymnasium. Undersøgelsen samstemmer med mere generel teori, der siger, at tidlig viden er positivt relateret til læring. Dog er relationerne mellem tidlig matematisk viden og senere matematiske præstationer særdeles stærke, eksempelvis er relationerne stærkere end relationen mellem tidlig læsefærdighed og senere læsefærdighed (Ramani & Siegler, 2008). Forskning i USA viser, at allerede i førskolealderen har børn fra lavindkomstfamilier generelt færre erfaringer med at lege med tal, anvende tælleremser, sammenligne mængder udføre enkle additioner og subtraktioner og at være opmærksomme på de numeriske symboler end børn fra middelindkomstfamilier har. Forskere peger på at indre forestillinger om en tallinje (en mental tallinje) har betydning for udvikling af talopfattelse og derfor bør være et fokusområde i undervisningen. 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Et eksempel på en lineær tallinje. Lineær betyder på latin linje. På en lineær tallinje er tallene arrangeret i størrelsesorden langs en ret line. Afstanden mellem tallene er lige stor. At spille spil, som indeholder en eller flere lineære tallinjer, kan bidrage til en sådan udvikling. De lineære relationer mellem tals størrelse og barnets erfaringer med nedenstående sanser og opfattelser kan bidrage til at danne en bred multisensorisk base for evne til at udvikle en indre lineær repræsentation af tal, en mental tallinje Visuospatial (synssans og rumlig sans) Taktil (følesans) Auditiv (høresans) Temporal (tidsopfattelse) (Ramani & Siegler 2008, p. 376). Logaritmisk og lineær tallinje I forbindelse med forskning i udvikling af indre repræsentationer af en tallinje ser man ofte udtrykket logaritmisk tallinje anvendt. Begrebet logaritmisk tallinje er at forstå således, at afstanden mellem f.eks. tallene 4 og 5 og tallene 8 og 9 opfattes lineært dvs. afstanden mellem tallene er lige store, mens afstanden mellem f.eks. tallene 34 og 35 eller 88 og 89 opfattes som mindre. Forskningen peger på at overgangen logaritmisk til lineær repræsentation af tal finder sted på forskellige tidspunkter for forskellige talområder. Førskolebørn har for hovedpartens 2
vedkommende en logaritmisk opfattelse af hele tallinjen, mens elever på 2. klassetrin oftest har en lineær opfattelse af tal indenfor talområdet 1-100, men har samtidig en logaritmisk opfattelse af talområdet 100-1000. Elever på 4. klassetrin har sædvanligvis en lineær opfattelse af tallinjen. Men der findes også elever helt op til 4. klassetrin, som viser tegn på en logaritmisk opfattelse af opgaver, der omhandlede tallinjen, antal og måling (fra Ramani & Siegler, 2008, gengivet efter Lundberg & Sterner, 2009). I undersøgelsen blev barnet bedt om at bedømme tals placering på tallinjen, at estimere x-antal prikker på en dataskærm og at tegne en linje som var x zip lang (barnet havde fået vist en meget kort længde som blev benævnt en zip ). Elever, der havde en lineær opfattelse af tals størrelsesforhold præsterede gennemgående bedre på samtlige matematikopgaver i sammenligning med elever, der havde en logaritmisk opfattelse (Booth & Siegler, 2006, gengivet efter Lundberg & Sterner, 2009). Spil og lineære tallinjer At spille spil er udbredt aktivitet i såvel børnehave som i hjemmet. Nogle spil er udformet lineært med et på hinanden følgende naturligt tal og inkluderer terningekast, hvor der skal flyttes spillebrikker alt efter, hvad øjentallet på terningen viser. Sådanne spil tilbyder barnet erfaringer med et tals ordning i sekvenser og tals størrelsesforhold. Desto højere øjental på terning desto større er: Afstanden som barnet skal flytte sin spillebrik Antallet af bevægelser der skal gøres Antallet af tal der skal udtales Antallet af tal som barnet hører Omfanget af tid som det tager at flytte spillebrikken (Ramani & Siegler 2008, p. 376-377) Spillet kan bidrage til at skabe et multimodalt fundament for en lineær repræsentation af numeriske størrelser og kan endvidere tilbyde en fysisk repræsentation af en mulig mental tallinje. 3
Den fysiske repræsentation kan således udgøre en central begrebsmæssig struktur til at danne baggrund for tidlig numerisk forståelse. To amerikanske forskere Geetha B. Ramani og Robert S. Siegler har i 2008 lavet en undersøgelse der fokuserer på, hvorvidt brætspil, der omfatter tal, kan fremme og en bred og stabil forbedring i numerisk viden hos børn fra lavindkomst familier. Undersøgelsen blev gennemført blandt 124 børn fra Head start program, som er et amerikansk projekt, hvis mål er at støtte børn og forældre fra lavindkomstgrupper. Børnene, der deltog i undersøgelsen, var 4-5,5 år gamle. Talbrætspil, der undersøgte følgende, var inkluderet: Estimering af tal på tallinjen i området 1-10 Sammenligning af tals størrelser (f.eks. hvilken er størst 4 eller 7?) At tælle fra 1 til 10 (tællefærdigheder) At genkende skrevne talsymboler (numerisk genkendelse) (Ramani & Siegler 2008, p. 376-377) Andre fokuspunkter i undersøgelsen var kontrollere stabiliteten i barnets kundskabsudvikling over tid og at undersøge i hvilket omfang tidligere erfaringer med talbrætspil i hjemmet var relateret til numerisk viden ved begyndelsen af undersøgelsen og efterfølgende læring i de eksperimentelle situationer. I undersøgelsen indgik en kontrolgruppe, som også blev præsenteret for et brætspil udformet på samme måde som undersøgelsesgruppens, brætspillet indeholdt dog ikke tal men forskellige farver. Begge spil havde et felt til venstre, hvor der stod start og en felt helt til højre, hvor der stod slut. Nummerbrætspillet indeholdt tallene 1-10 skrevet i rækkefølge fra venstre mod højre. Børnene spillede enten et tal-brætspil eller et farve-brætspil i fire gange 15-20 minutters sessioner over en periode på to uger. 4
Børnene deltog i spillet The great race sammen med en forsøgsleder. Til talbrætspillet hørte en spinner, hvor der på den ene halvdel stod 1 og på den anden halvdel stod 2. Til farvebrætspillet hørte en spinner med farver, der matchede spillets farver. Børnene havde en spillebrik, en kanin eller en bjørn. I sessionerne skulle børnene skiftevis med forsøgslederen dreje spinneren og rykke det antal felter, som fremgik af spinnerne. Børnene skulle også sige tallet, som de havde fået og tallene på de felter, som de passerede. Børnene med farvebrætspillet skulle sige farverne i stedet for tal. Halvdelen af børnene deltog i talbrætspillet og den anden halvdel deltog i farvebrætspillet. For at kontrollere børnenes numeriske kundskabsudvikling gennemførte alle børnene som deltog i undersøgelsen en fortest, en eftertest og en opfølgende test. Efter 20 spilleomgange på en periode på to uger kunne forskeren konstatere, at børn fra lavindkomstfamilier, som spillede talbrætspillet, viste en markant forbedring i deres formåen i at placere et tal på tallinjen. De børn som spillede farvebrætspillet viste ingen forbedring i deres numeriske formåen. De børn som spillede talbrætspillet viste desuden forbedring på andre opgaver end tallinjemarkeringer. De kunne hurtigere og mere sikkert afgøre, hvilket af to tal som var størst, de kunne tælle til 10 hurtigt og korrekt og de kunne identificere alle skrevne tal mellem 1 og 10. Efter 9 uger viste den opfølgende test, at de børn, der havde spillet tal-brætspillet, stadig havde bevaret en forbedring i deres numeriske formåen. Undersøgelsen peger på, at børn gennem talbrætspil får mulighed for at udvikle deres tidlige talbegreb betydeligt. Betydningen af at spille i hjemmet Forskerne undersøgte også sammenhængen mellem førskolebørns erfaringer med at spille spil i hjemmet og deres numeriske kundskaber og evner såvel som forskelle i erfaringer havde sammenhæng med børnenes socioøkonomiske baggrund. I denne del af undersøgelsen deltog 145 børn med en gennemsnitsalder på 5 år. 30 af børnene kom fra middelindkomstfamilier og 115 af børnene kom fra lavindkomstfamilier. Undersøgelsen viste at 80 % af børnene fra middelindkomstfamilier svarede, at de havde spillet et eller flere slags tællespil hjemme, 87 % havde spillet et eller flere slags kortspil og 30 % havde spillet et eller flere typer af videospil. Bland børnene fra lavindkomstfamilierne svarede 47 %, at de have spillet et eller flere slags tællespil, 61 5
% havde spillet et eller flere kortspil og 66 % havde spillet videospil. Børnene fra middelindkomstfamilierne angav altså at have erfaringer med en større variation af spil og kortspil end børnene fra lavindkomstfamilierne. Børnene fra lavindkomstfamilier angav kendskab til et større antal videospil end børnene fra middelindkomstfamilierne. Børnenes præstationer på en numerisk fortest blev nu sammenlignet med deres erfaringer med at spille forskellige typer af spil. Antallet af tællespil, som børnene sagde, de havde spillet, viste en positiv sammenhæng med følgende områder: lineær repræsentation af tallinjen inden for talområdet 1-10, sammenligning af tals størrelser, være i stand til at tælle fra 1-10 samt at kunne genkende de skrevne cifre 1-10. Den stærkeste sammenhæng fandtes mellem barnets numeriske evner og barnets erfaringer med at spille tællespil, hvor spillepladen var dannet af en eller flere tallinjer. Barnets erfaringer med kortspil og videospil viste en svag sammenhæng med numeriske færdigheder og evner. Undersøgelsen samlede resultater kan formuleres i to konklusioner. Den ene konklusion peger på, at forskellige erfaringer med brætspil medvirker til at skabe forskelle mellem den numeriske viden hos børn fra mere og mindre socialt velstillede hjem allerede, når de begynder i skole. Den anden konklusion peger på, at denne forskel kan reduceres ved at give børn fra lavøkonomisk hjem mulighed for at spille talbrætspil i skolen. Tallenes relative størrelse Den amerikanske forsker Fosnot (2007) påpeger den betydning, det har, at elever udvikler forståelse for, at tallinjen er en model, som repræsenterer tals relative størrelse. Nogle elever misforstår modellen og opfatter tallene som punkter på tallinjen og indser f.eks. ikke, at tallet 30 repræsenterer hele afstanden mellem 0 og 30. For sådanne elever kan det at gennemføre additioner og subtraktioner ved at lave hop fremad og bagud på en konkret tallinje blive en rutinemæssig og meningsløs aktivitet. Fosnot angiver, at en mental tallinje er et kraftfuldt tænkeredskab, som undervisningen må være opmærksom på. En mental tallinje kan bl.a. anvendes ved sammenligning af talstørrelsesforhold, til at foretage rimelige talmæssige skøn, til at 6
lære talkombinationer, til at udvikle effektive tællestrategier og til at fortage generaliseringer (Fosnot 2007, gengivet efter Lundberg & Sterner 2009). 7