Program Forsøgsplanlægning og tosidet variansanalyse Helle Sørensen E-mail: helle@math.ku.dk I formiddag: Forsøgstyper og forsøgsplanlægning Analyse af data fra fuldstændigt randomiseret blokforsøg: tosidet variansanalyse uden vekselvirkning. Eksempel 12.7 side 332. Analyse af data fra tofaktorforsøg: tosidet variansanalyse med vekselvirkning. Eksempel 12.8 side 336. I eftermiddag: Det vi ikke når i formiddag... Eksempel om sojabønner Forhåbentlig lidt om modelkontrol og residualplot StatBK (Uge 47, torsdag) Tosidet ANOVA 1 / 29 StatBK (Uge 47, torsdag) Tosidet ANOVA 2 / 29 Forsøgstyper Eksempel: fuldstændigt randomiseret forsøg Skelner ofte mellem observationelle studier og designede eksperimenter. Observationelle studier (surveys): stikprøve udtages tilfældigt fra en population registrerer diverse variable fra stikprøven information om sammenhængen mellem disse variable i populationen ingen intervention Designede eksperimenter Formålet er som regel at sammenligne grupper: forskellige behandlinger, celletyper, køn, alder, osv. Behandlinger allokeres tilfældigt til forsøgsenheder Flere faktorer kan foretages i samme eksperiment Forsøgsenhederne skal være repræsentative. Ekstrapolation. Data fra Sommer 2002 03, opgave 2: kvælstofindhold i protein fra hønseæg fem foderblandinger observationer fra i alt 37 høns, allokeret tilfældigt til de fem grupper 7 9 høns per gruppe Formålet er at undersøge om kvælstofindholdet varierer med foderblandingerne. Hvilken type analyse ville du bruge? StatBK (Uge 47, torsdag) Tosidet ANOVA 3 / 29 StatBK (Uge 47, torsdag) Tosidet ANOVA 4 / 29
Fuldstændigt randomiseret forsøg Eksempel: fuldstændigt randomiseret blokforsøg Engelsk: Completely randomized design. n forsøgsenheder til rådighed (personer, celleprøver, planter,...) r forskellige behandlinger Forsøgsenhederne allokeres tilfældigt til behandl. lodtrækning Evt. balanceret: lige mange forsøgsenheder per behandling Randomiseringen skal sikre imod selection bias, fx. ulige aldersfordeling i hjertestudie, kønseffekter effekter af andre variable, også ikke-observerede variable Sammenligning af populationer: Eksempel: Blok 3 2006, opgave 2 (bindingsprocenter i antibiotika) Grupper svarer til delpopulationer, ikke behandlinger. Ingen intervention. Data fra eksempel 12.7 side 332. Formål: Vægttab i løbet af 6 måneder for 30 kvinder Tre behandlinger/programmer: diæt, motion, diæt og motion To arbejdssteder: kontor og fabrik 15 kvinder fra hhv. kontor og fabrik inddeles tilfældigt i tre grupper svarende til programmerne. Taber kvinder sig mere på nogle programmer end på andre? Ikke specielt interesseret i forskellen mellem arbejdsstederne (men kunne være det) StatBK (Uge 47, torsdag) Tosidet ANOVA 5 / 29 StatBK (Uge 47, torsdag) Tosidet ANOVA 6 / 29 Blokforsøg Fuldstændigt randomiseret blokforsøg Forsøgsenhederne samles i blokke således at forsøgsenheder fra samme blok formodes at ligne hinanden mere end forsøgsenheder fra forskellige blokke. Typiske blokvariable: laboratorium, hospital, mark, kuld,... Afprøver de forskellige behandlinger i alle blokke. Ofte vil nogle blokke generelt ligge højt, andre lavt. Skal tage hensyn til blokvariablen i analysen også selvom vi ikke er specielt interesseret i en eventuel blokeffekt. Hvis vi ikke tager højde for det i analysen vil behandlingsforskellene ofte blive sløret af eventuelle blokforskelle. Engelsk: Completely randomized block design Balanceret, med m gentagelser. r forskellige behandlinger c blokke hver med plads til k r forsøgsenheder i hver blok allokeres de r behandlinger tilfældigt til forsøgsenhederne således at alle behandlinger bruges m gange per blok. m = 1: uden gentagelser, hver behandling afprøves een gang per blok. Ubalanceret: alle behandlinger optræder ikke lige mange gange i hver blok: ikke plads til alle behandlinger i hver blok, andre praktiske hensyn Manglende observationer, fx. pga. dødsfald eller tekniske fejl StatBK (Uge 47, torsdag) Tosidet ANOVA 7 / 29 StatBK (Uge 47, torsdag) Tosidet ANOVA 8 / 29
Eksempel: flerfaktorforsøg Vægttab: notation og model Data fra Eksempel 12.8 side 336. Formål: Forbedring af testresultat efter fire ugers undervisning 36 studerende inddelt i 6 grupper, 6 studerende per gruppe Tre lærebøger (1, 2, 3) To undervisningsmetoder (forelæsning, diskussion) Grupper svarer til kombination af lærebog og uv-metode. giver lærebøgerne forskelligt udbytte for de studerende? giver uv-metoderne forskelligt udbytte for de studerende? Er forskellen mellem undervisningsmetoderne den samme for alle tre lærebøger eller er der vekselvirkning? Kan undersøge effekten af flere faktorer og deres indbyrdes virkning i samme forsøg. Notation: y ijk : observation k i behandlingsgruppe i, blok j. Statistisk model: y ijk = µ + α i + β j + ε ijk hvor ε ijk er normalfordelt med middelværdi 0 og spredning σ (fælles). Dvs. y ijk er normalfordelt med middelværdi µ + α i + β j og spredning σ. ε ijk beskriver afvigelsen fra den forventede værdi (middelværdien). Parametre: µ beskriver niveauet af y (på passende måde) α 1,...,α r beskriver forskelle mellem behandlinger β 1,...,β c beskriver forskelle mellem blokke σ er spredningen indenfor kombination af behandling og blok StatBK (Uge 47, torsdag) Tosidet ANOVA 9 / 29 StatBK (Uge 47, torsdag) Tosidet ANOVA 10 / 29 Vægttab: notation mm. Opdeling af total variation Notationen for eksempel 12.7: Hvad er r? Hvad er c? Hvad er m? Hvad er n? Hvad er middelværdien for vægttabet for en kvinde der kun er på diæt og arbejder på kontoret, udtrykt ved µ, α, β? Hvad er middelværdien for vægttabet for en kvinde både er på diæt og motion og som arbejder på fabrikken, udtrykt ved µ, α, β? Hvad er forskellen i middelværdien mellem to kvinder der begge arbejder på fabrikken men får både diæt og motion hhv. kun motion? Hvad er forskellen i middelværdien mellem to kvinder der begge arbejder på fabrikken men får både diæt og motion hhv. kun motion? Hvad er den interessante hypotese? Som i ensidet variansanalyse opdeles den totale variation efter de forskellige variationskilder: SST = SSR + SSC + SSW hvor SST: total variation (y ijk ȳ...) SSR: variation mellem behandlinger eller rows (ȳ i.. ȳ...) SSR: variation mellem blokke eller columns (ȳ. j. ȳ...) SSW: resten, variationen indenfor kombination af behandling of blok Frihedsgrader, SS, MS samles i variananalyseskema, side 335. StatBK (Uge 47, torsdag) Tosidet ANOVA 11 / 29 StatBK (Uge 47, torsdag) Tosidet ANOVA 12 / 29
Test af behandlingseffekt Vægttab: behandlingsforskelle Hypotesen om ingen forskel på behandlingerne, H 0 : α 1 = α 2 = = α r Som i ensidet variansanalyse måler vi hvor meget af variationen der skyldes behandlingen i forhold til restvariationen, F = MSR MSW F r 1,n r c+1 Hypotesen forkastes for store værdier af F. Eksemplet: F = 137.4/18.3 = 7.51 der skal vurderes i F 2,26. Dette giver en p-værdi på 0.003. Hypotesen forkastes: vi har med stor sikkerhed påvist en forskel på behandlingerne (p = 0.003). Vi har altså påvist en forskel på behandlingerne. Men hvad består forskellen i? Interesseret i estimater og konfidensintervaller for forskelle mellem α er. Tukey-korrigerede konfidensintervaller: motion vs. diæt : ˆα 2 ˆα 1 = 4.1 ( 8.85,0.65) begge vs. diæt : ˆα 3 ˆα 1 = 3.3 ( 1.45,8.05) beggevs. motion : ˆα 3 ˆα 2 = 7.4 (2.66,12.15) Hovedkonklusion: kombination af diæt og motion virker bedre end motion alene. Kunne i princippet også teste for en forskel mellem fabrik og kontor, men knapt så interessant som testet for en behandlingseffekt. StatBK (Uge 47, torsdag) Tosidet ANOVA 13 / 29 StatBK (Uge 47, torsdag) Tosidet ANOVA 14 / 29 Vægttab: SAS Effekt af lærebog og uv-metode: model proc glm data=eks12_7; class program site; model weight = site program / solution; means program / tukey cldiff; solution giver parameterestimater SAS vælger en gruppe site=2 (fabrik) og program=1 (diæt) som referencegruppe. Estimater for site og program angiver så forskelle til referencegruppen. proc glm giver som default både Type I vs. type III test: Ens når data er balancerede Ikke ens når data er ubalancerede mere om det senere Notation: y ijk : obs. k for lærebog i og uv-metode j. r = 3 lærebøger (rows), c = 2 uv-metoder (columns), m = 6 observationer per kombination af lærebog og uv-metode. n = rcm = 36 observationer i alt Additiv model: y ijk = µ + α i + β j + ε ijk hvor ε ijk er normalfordelt med middelværdi 0 og spredning σ (fælles). Med den additive model antages det at (ækvivalente udsagn): forskellen mellem uv-metoderne er den samme for alle tre lærebøger forskel mellem lærebøger er den samme for begge uv-metoder Men dette behøver jo ikke at være tilfældet! Der kan være vekselvirkning. Se figur 12.3 side 339. StatBK (Uge 47, torsdag) Tosidet ANOVA 15 / 29 StatBK (Uge 47, torsdag) Tosidet ANOVA 16 / 29
Effekt af lærebog og uv-metode: test for vekselv. Effekt af lærebog og uv-metode: flere test Model med vekselvirkning: y ijk = µ + α i + β j + γ ij + ε ijk NB: I bogen kaldes γ ij for αβ ij (uheldig notation!?) Denne model svarer til en ensidet variansanalyse med seks grupper. Opdeler den totale variation i variation mellem lærebæger, mellem uv-metoder, mellem grupper (de seks kombinationer), og indenfor grupper. Variansanalyseskema side 338. Starter med at teste for om vekselvirkningen er signifikant, dvs. H 0 : alle γ ij = 0 Ny model er den additive: Mulige hypoteser: y ijk = µ + α i + β j + ε ijk Ingen forskel på lærebøger, dvs. H 0 : α 1 = α 2 = α 3 Ingen forskel på uv-metoder, dvs. H 0 : β 1 = β 2. Testene giver: lærebøger: F = 1.75, F 2,32, p = 0.19. Konklusion? uv-metoder: F = 9.29, F 1,32, p = 0.0046. Konklusion? F = 0.17 der skal vurderes i F 2,30 -fordelingen. Dette giver p = 0.84 altså ingen tegn på vekselvirkning. StatBK (Uge 47, torsdag) Tosidet ANOVA 17 / 29 StatBK (Uge 47, torsdag) Tosidet ANOVA 18 / 29 Effekt af lærebog og uv-metode: konklusion Effekt af lærebog og uv-metode: SAS Fitter derfor også modellen kun med effekt af uv-metode: Hvilken model er dette? y ijk = µ + β j + ε ijk Hypotese om igen effekt af uv-metoder, H 0 : β 1 = β 2. Test: F = 8.90, F 1,34, p = 0.0053 tæt på værdierne fra før. Altså: vi har med stor sikkerhed påvist en forskel på uv-metoderne. Den forventede forskel mellem diskussion og lecture er 10.1 med 95% konfidensinterval (3.2, 16.9). Så hvad laver vi egentlig her... Startmodel: proc glm data=ex12_8; class instruct text; model test = instruct text instruct*text; Slutmodel og estimater: proc glm data=ex12_8; class instruct text; model test = instruct / solution; means instruct / tukey cldiff; StatBK (Uge 47, torsdag) Tosidet ANOVA 19 / 29 StatBK (Uge 47, torsdag) Tosidet ANOVA 20 / 29
Effekt af lærebog og uv-metode: opsummering Opsummering af procedure Hvad var det vi gjorde? Fittede model med vekselvirkning, og testede for vekselvirkning Fittede additiv model (uden vekselvirkning), testede for hovedeffekter Fjernede en ikke-signifikant hovedeffekt, fittede modellen igen Testede for den anden hovedeffekt Angav estimater og konfidensintervaller i slutmodellen Overalt brugte vi type III test! Fordi data er balancerede kunne vi også have benyttet type I test fra modellen med vekselvirkning. Men dette gælder kun når data er balancerede! SAS kan sagtens finde ud af ubalancerede data skal bare bruge udskrifterne rigtigt! Lidt mere generelt: Fjern en ikke-signifikant effekt fra modellen af gangen; brug type III. Fit modellen uden denne effekt Gentag indtil alle effekter er signifikante. Bemærk: kan ikke teste for hovedeffekter hvis vekselvirkningen er signifikant. Vi har ikke lavet modelkontrol. Det er ellers vigtigt! Bartlett s test i modellen med vekselvirkning: sammenligning af de seks gruppespredninger Residualplot StatBK (Uge 47, torsdag) Tosidet ANOVA 21 / 29 StatBK (Uge 47, torsdag) Tosidet ANOVA 22 / 29 Type I og type III test Type I: Type III: Sekventielle test I hver linie: har den givne variabel signifikant effekt når variablene nedenunder er taget ud af modellen? Læses derfor nedefra Generel anbefaling: Læs nedefra og kun indtil der kommer signifikans Når data er balancerede kan vi bruge nogle af testene selvom der optræder signifikante effekter nedenunder. Parallelle test I hver linie: har den givne variabel signifikant effekt når alle variable bibeholdes i modellen? Fjern en ikke-signifikant effekt fra modellen, og kør analysen uden denne variabel. Gentag dette indtil alle effekter er signifikante. Modelkontrol: residualplot Tosidet variansanalyse med vekselvirkning: y ijk = µ + α i + β j + γ ij + ε ijk Antagelser: ε ijk er normalfordelte med middelværdi 0 og samme spredning σ alle y ijk er uafhængige Antagelsen om fælles spredning kontrolleres vha. et residualplot. Estimater for parametre: ˆµ, ˆα i, ˆβ j, ˆγ ij. Estimater for middelværdier/forventede værdier: ŷ ijk = ˆµ + ˆα i + ˆβ j + ˆγ ij Residualer er estimater for restleddene ε ijk : r i = y ijk ŷ ijk StatBK (Uge 47, torsdag) Tosidet ANOVA 23 / 29 StatBK (Uge 47, torsdag) Tosidet ANOVA 24 / 29
Modelkontrol: residualplot Residualplot: SAS Standardiserede residualer r i = r i sd(r i ) Hvis antagelserne er korrekte vil alle r i have middelværdi 0 og spredning 1. Kontrollerer derfor om det er tilfældet! Residualplot: tegn standardiserede residualer mod de forventede værdier, dvs. (ŷ i, r i ). Punkterne danner en punktsky omkring x-aksen. Der må ikke være noget systematisk mønster i den lodrette variation i punktskyen. Numerisk store residualer er tegn på outliers, dvs. ekstreme observationer proc glm data=ex12_8; class instruct text; model test = instruct text instruct*text; output out = uddata predicted=forventet student=stdres; proc print; proc gplot data = uddata; plot stdres*forventet; StatBK (Uge 47, torsdag) Tosidet ANOVA 25 / 29 StatBK (Uge 47, torsdag) Tosidet ANOVA 26 / 29 Eksempel: vækst af sojabønner Eksempel: vækst af sojabønner Plantefysiologisk eksperiment: 52 sojabønneplanter inddelt i fire grupper, 13 i hver To grupper blev rystet 20 minutter dagligt, to grupper blev ikke rystet To grupper af planter fik moderat lys, to grupper fik lidt lys De fire grupper svarer til kombinationer af lys og rystning Bladareal målt efter 16 dages vækst for alle 52 planter Påvirkes vækst af sojabønneplanter af stress og lys? Data taget fra Samuels and Witmer, Statistics for the Life Sciences. Spørgsmål ifm. analysen: Hvilken type model skal vi bruge? Er modelantagelserne rimelige for disse data? Påvirkes væksten af lys og stress? Hvis ja, hvordan og hvor meget? StatBK (Uge 47, torsdag) Tosidet ANOVA 27 / 29 StatBK (Uge 47, torsdag) Tosidet ANOVA 28 / 29
Resumé Forsøgstyper: fuldstændigt randomiserede forsøg fuldstændigt randomiserede blokforsøg tofaktorforsøg (flerfaktorforsøg) Modeller: tosidet variansanalyse med og uden vekselvirkning Trin i den statistiske analyse: modelkontrol residualplot test for vekselvirkning og hovedeffekter afrapportering af estimater og konfidensintervaller På mandag: forsøg med mere end to faktorer, hierarkiske modeller. StatBK (Uge 47, torsdag) Tosidet ANOVA 29 / 29