Eleverne har tidligere (fx i Kolorit 7, matematik grundbog) arbejdet med især beskrivende statistik (deskriptiv statistik). I dette kapitel fokuseres i højere grad på, hvordan datamateriale kan tolkes (analytisk statistik). De skal arbejde med metoder til at sammenligne observationssæt (diskrete data), undersøge mulige sammenhænge mellem variable, forudsige en udvikling og bestemme sandsynligheder på grundlag af statistik. Datamaterialet er hentet fra dagligliv og samfundsliv. Arbejdet med statistik kan ses som en modelleringsproces, hvor noget fra vores omverden beskrives med et stort talmateriale, der ved hjælp af matematiske metoder ordnes, beskrives og analyseres i forhold til virkeligheden. I analysen er det afgørende, at eleverne får erfaringer med at forholde sig kritisk til matematikkens anvendelse. Kan det tænkes, at der er sider af sagen, som den matematiske model ikke tager hensyn til? Hvad er matematikkens anvendelsesmuligheder og begrænsninger? Kapitlet giver således (bl.a.) god mulighed for at arbejde med elevernes modelleringskompetence. Afslutningsvist skal de udarbejde deres egne statistiske undersøgelser, hvor de kommer igennem hele modelleringsprocessen, som omfatter: afgrænsning (Hvad vil vi undersøge? Hvordan kan vi gøre det?), gennemførelse af selve undersøgelsen (fx interviews eller spørgeskemaundersøgelser), opstilling af matematiske modeller (Fx hyppigheds- og frekvenstabeller, deskriptorer, diagrammer), behandling og tolkning af modellerne og kritisk forholden sig til resultaterne. Vi foreslår, at eleverne præsenterer deres undersøgelser for hinanden, så de i samme forbindelse får mulighed for at udtrykke sig mundtligt og skriftligt om matematikholdige anliggender og for at forberede og gennemføre mundtlige og skriftlige præsentationer af eget arbejde med matematik, som det er omtalt i Fælles Mål 2009. HVAD SIGER STATISTIKKEN? 1
Kapitlets centrale faglige begreber er: Hyppighed, summeret hyppighed Frekvens, summeret frekvens Boksplot Kvartilsæt (nedre kvartil, median, øvre kvartil) Punktdiagrammer Lineær sammenhæng Tendenslinje Stikprøveundersøgelse Huskeliste: Terninger - almindelig og ti-sidet (til side 113) Målebånd (til side 114) Regneark (til side 115, 116, 117, 119, 120, 121) Simuleringsprogram (til side 126) FRA FAGHÆFTET Matematiske kompetencer: skelne mellem definitioner og sætninger, mellem enkelttilfælde og generaliseringer og anvende denne indsigt til at udforske og indgå i dialog om forskellige matematiske begrebers rækkevidde og begrænsning (tankegangskompetence) opstille, behandle, afkode, analysere og forholde sig kritisk til modeller, der gengiver træk fra virkeligheden, bl.a. ved hjælp af regneudtryk, tegning, diagrammer, ligninger, funktioner og formler (modelleringskompetence) afkode, bruge og vælge hensigtsmæssigt mellem forskellige repræsentationsformer og kunne se deres indbyrdes forbindelser (repræsentationskompetence) indgå i dialog samt udtrykke sig mundtligt og skriftligt om matematikholdige anliggender på forskellige måder og med en vis faglig præcision, samt fortolke andres matematiske kommunikation (kommunikationskompetence) HVAD SIGER STATISTIKKEN? 2
Matematiske emner: I arbejdet med statistik og sandsynlighed at anvende statistiske begreber til beskrivelse, analyse og fortolkning af data tilrettelægge og gennemføre enkle statistiske undersøgelser læse, forstå og vurdere anvendelsen af statistik og sandsynlighed i forskellige medier forbinde sandsynlighed med tal vha. statistik, enkle kombinatoriske overvejelser og simple modeller Matematik i anvendelse: erkende matematikkens muligheder og begrænsninger som beskrivelsesmiddel og beslutningsgrundlag Matematiske arbejdsmåder: læse faglige tekster samt forstå og forholde sig til informationer, som indeholder matematikfaglige udtryk forberede og gennemføre mundtlige og skriftlige præsentationer af eget arbejde med matematik, bl.a. med inddragelse af it arbejde individuelt og sammen med andre om praktiske og teoretiske problemstillinger, bl.a. i projektorienterede forløb Indhold og mål Kapitlet handler om statistik og sandsynlighed. Målet er, at I lærer metoder til at sammenligne, finde sammenhænge, forudsige og finde sandsynligheder ved hjælp af statistik. lærer en række ord, der bruges i forbindelse med statistik. bliver bedre til at læse og forstå statistiske undersøgelser. selv bliver i stand til at gennemføre en statistisk undersøgelse. HVAD SIGER STATISTIKKEN? 3
FACIT Side 110 1 Fx Den hurtigste deltager var en pige. Der var fire piger, der var hurtigere end den hurtigste dreng. Alle drengene var hurtigere eller lige så hurtige som de to mest langsomme piger. 2a Pigerne: 22 Drengene: 30 2b Pigerne: 19 Drengene: 24 2c Pigerne: 50 Drengene: 41 2d Pigerne: 31 Drengene: 17 2e Pigerne: 29 Drengene: 29 3 Fx Man kunne mene, at de to grupper havde klaret sig lige godt, da middeltallet for begge grupper er 29. Det ses, at der er større spredning i pigernes resultater end i drengenes resultater. 4 Den første kolonne (x) inddeler resultaterne i intervaller. Den anden kolonne (h(x)) oplyser intervalhyppigheden. Den tredje kolonne (H(x)) oplyser den summerede intervalhyppighed. Den fjerde kolonne (f(x)) oplyser intervalfrekvenserne. 5a 5b 5c 5d 6 Den femte kolonne (F(x)) oplyser de summerede intervalhyppigheder. Hyppighed viser antallet af observationer (data). Summeret hyppighed, H(x), viser antallet af observationer (data), der er mindre end eller lig med x. Frekvens viser, hvor stor en brøkdel antallet af observationer (data) udgør af hele observationssættet. Summeret frekvens, F(x), viser, hvor stor en brøkdel af hele observationssættet, der er mindre end eller lig med x. x h(x) H(x) f(x) F(x) 1 1 7,7 % 7,7 % 6 7 46,2 % 53,9 % 5 12 38,5 % 92,4 % 0 12 0,0 % 92,4 % 1 13 7,7 % 100,1 % Bemærk, at afrunding til en decimal bevirker, at den summerede frekvens beregnes til 100,1 %. Drengenes resultater er mindre spredt end pigernes. Det kan bl.a. ses ved den større intervalhyppighed. HVAD SIGER STATISTIKKEN? 4
Side 111 Side 112 7 Pigerne: Medianen er gennemsnittet af de to midterste observationer 22 og 28. Nedre kvartil er den midterste af observationerne i den laveste halvdel af observationssættet (ekskl. medianen). Øvre kvartil er den midterste af observationerne i den højeste del af observationssættet (ekskl. medianen). Drengene: Medianen er den midterste observation i observationssættet. Nedre kvartil er den midterste af observationerne i den laveste halvdel af observationssættet (inkl. medianen). Øvre kvartil er den midterste af observationerne i den højeste del af observationssættet (inkl. medianen). 8 Boksplottene illustrerer den større spredning af pigernes resultater i forhold til drengenes resultater. Boksplottene gør det også muligt at sammenligne kvartilsæt, mindsteværdi og størsteværdi. Boksplottene fortæller fx ikke, hvor mange piger og hvor mange drenge der deltog i konkurrencen. 1 Pigerne scorede 63 mål. Drengene scorede 63 mål. 2a 2b 14 spillere. 15 spillere. 3a Pigerne: 0 Drengene: 0 3b Pigerne: 0 Drengene: 0 3c Pigerne: 12 Drengene: 19 3d Pigerne: 12 Drengene: 19 3e Pigerne: 4,5 Drengene: 4,2 3f Pigerne: 0, 4, 7 Drengene: 0, 1, 6 4 20 15 10 5 Pigerne 12 7 4 0 Drengene 5 På drengenes hold er der en enkelt spiller, der skiller sig markant ud med 19 scoringer. Det ses på størsteværdien og på boksplottet. Boksplottet og kvartilsættet viser også, at halvdelen af spillerne på drengenes hold kun har scoret 19 6 1 0 HVAD SIGER STATISTIKKEN? 5
Side 113 Side 114 1 mål eller færre. På pigernes hold er spredningen mindre. Halvdelen af spillerne har således scoret mindst 4 mål. FÆRDIGHED Løsninger står i grundbogen på side 182. 3 4 Kvartilsættene viser, at halvdelen af drengene er mellem 155 cm og 162 cm høje, mens halvdelen af pigerne er mellem 153 cm og 162 cm høje. Lignende undersøgelser kan foretages med fodlængder, hovedomkreds og rækkevidde. 1 Skemaet viser 14 drenge og 6 pigers højde, fodlængde, hovedkreds og rækkevidde i cm. 2 Man kan fx se, at den laveste pige er 150 cm, og den laveste dreng er 149 cm. Den højeste pige er 166 cm, og den højeste dreng er 170 cm. På den baggrund kan man beregne variationsbredden, der for både pigernes vedkommende er 16 cm, og for drengenes vedkommende er 21 cm. Der er altså større spredning i drengenes højder. Middeltallet for drengenes højde er 160,2 cm, og middeltallet for pigernes højde er 156,8 cm. Kvartilsættet for drengenes højde er 155, 161, 162. Kvartilsættet for pigernes højde er 153, 155, 162. 5 Side 115 6 De fleste vil nok forvente, at jo højere en person er, jo større fødder har han eller hun. Der kan nok også forventes en lignende sammenhæng mellem rækkevidde og højde. Til gengæld forventer de færreste, at der er sammenhæng mellem hovedomkreds og højde. 7 I diagrammet til venstre viser x-aksen højde i cm, og y- aksen viser fodlængde i cm. I diagrammet til højre viser x- aksen højde i cm, og y-aksen viser rækkevidde i cm. 8 I diagrammet til venstre viser punkter, der ligger på en lodret linje, at nogle personer har samme højde men forskellige fodlængder. HVAD SIGER STATISTIKKEN? 6
I diagrammet til højre viser punkter, der ligger på en lodret linje, at nogle personer har samme højde med forskellige rækkevidder. 9 I diagrammet til venstre viser punkter, der ligger på en vandret linje, at nogle personer har samme fodlængde men forskellige højder. I diagrammet til højre viser punkter, der ligger på en vandret linje, at nogle personer har samme rækkevidde men forskellige højder. 10 Diagrammet til venstre viser tydeligst en lineær sammenhæng mellem de to variable (højde og fodlængde). 11 Der kan forventes en fodlængde på mellem 25 og 35 cm. Det ses af diagrammet, at usikkerheden er omkring 10 cm. 12 - Side 116 Der kan forventes en rækkevidde på mellem 215 og 245 cm. Det ses af diagrammet, at usikkerheden er omkring 30 cm. Facit afhænger af undersøgelser i klassen. Side 117 Side 118 1a 1b 2a og 2b 3a 3b Facit afhænger af undersøgelser i klassen. 1,6 sek. 1,1 sek. Kvinderne har tilsyneladende gennemgået en større udvikling end mænd, idet deres variationsbredde er større, og de hurtigste tider findes i de senere år. Fx Udviklingen går tilsyneladende langsommere og langsommere. Fra 1924 til 1968 var forbedringen 0,7 sekund. Fra 1968 til 2008 var forbedringen 0,2 sekund. Men forskellen kan også skyldes enkeltpræstationer eller forskellige konkurrencebetingelser. Fx Det er værd at bemærke, at den hurtigste vindertid er fra 1988 altså for mere end 20 år siden, selv om udviklingen generelt går mod hurtigere tider. HVAD SIGER STATISTIKKEN? 7
Side 119 8 4 Punkterne ligger tilnærmelsesvist på linje, så det kan med en vis rimelighed hævdes, at tiderne har udviklet sig lineært. 5 Ifølge tendenslinjerne vil kvinderne overhale mændene omkring år 2110. På det tidspunkt vil vindertiderne ligge omkring 8,7 sek. 6 Der kan ses en tendens til, at udviklingen i tiderne går langsommere og langsommere. Hvis det er tilfældet vil kurven, der viser forudsigelsen, flade ud, så den bliver tilnærmelsesvis parallel med x-aksen. 9 Tendenslinjerne viser, at mændenes udvikling i vindertider går en anelse hurtigere end kvindernes udvikling i vindertider. 10 Forskellen skyldes det datamateriale (de observationssæt), der benyttes. I datamaterialet fra opgave 7 bruges kun data fra 1972 til 2008. 7 Side 120 1 HVAD SIGER STATISTIKKEN? 8
2 3 På det midterste diagram virker forbruget og stigningen i forbruget mindre end i det øverste diagram. På det nederste diagram virker stigningen mere markant end i det øverste diagram. 4-3 Fx Diagrammet og tendenslinjerne tyder på, at nybagte forældre bliver ældre og ældre. Fædrene er ældre end mødrene. 5 Der er ingen grund til at tro, at sodavandsforbruget vil blive ved med at vokse lineært med drengenes alder selv om det ser sådan ud for de 11, 13 og 15-årige. Hvis forbruget voksede lineært med alderen, ville (mere) end 100 % af de 30-årige drikke sodavand hver dag. 4 - Side 122 5 - Side 121 1 De drenge, der drikker sodavand hver dag udgør, en større og større procentdel af alle drenge. 2 Y-aksen er forskellig på alle tre diagrammer. Set i forhold til det øverste diagram er intervallerne på det midterste diagram meget større. Det er misvisende, at aksen går til 200 %. På det nederste diagram skæres y-aksen ved 13 % - og ikke 0 %. 1 Sandsynligheden er 2 Sandsynligheden er 3-4 Forsikringsselskaber inddrager også oplysninger om helbred og livsstil i deres beregninger. 5 Det er ikke muligt at bestemme denne sandsynlighed med kombinatoriske overvejelser. En personlig vurdering af sandsynligheden ville ikke.. HVAD SIGER STATISTIKKEN? 9
Side 123 være meget værd, hvis den ikke (også) baserede sig på erfaringer fra statistik. 6 986 926 = 60 Altså 60 kvinder. 7 De regner med at skulle udbetale 60 100 000kr. = 6 000 000 kr. Det kan gå anderledes, for det er jo ikke sikkert, at antallet passer i virkeligheden. Side 124 Forsikringspræmien skal være større end 309 kr. 1 25,6 % 2 0,099 1200 119 Altså 119 personer. 3 Sandsynligheden er 3,7 % + 18,6 % = 22,3 % 4 Nej, fordi de angivne procenter er baseret på en stikprøve. 8 1. år: 986 2. år: 986 3. år: 986 4. år: 986 5. år: 986 6. år: 980 7. år: 980 8. år: 980 9. år: 980 10. år: 980 11. år: 970 12. år: 970 13. år: 970 14. år: 970 15. år: 970 16. år: 952 17. år: 952 18. år: 952 19. år: 952 20. år. 952 Side 125 Side 126 Side 127 Facit afhænger af undersøgelser i klassen. FÆRDIGHED Løsninger står i grundbogen på side 182. Facit afhænger af undersøgelser i klassen. 9 5 (986 + 980 + 970 + 952)= 19 440 Altså 19 440 indbetalinger i alt. 10 6 000 000 : 19 440 309 HVAD SIGER STATISTIKKEN? 10