Opgavesamling til Matematik A-niveau

Opgavesamling til Matematik A-niveau Opgavesamlingen indeholder vejledende eksempler på eksamensopgaver som kan forekomme til den skriftlige eksamen på Matematik A-niveau ved GUX Grønland. Opgavesamlingen er tænkt som et uddybende supplement til de vejledende eksamenssæt der er udarbejdet på foranledning af Departementet for Uddannelse (IIKNN) i forbindelse med Gymnasiereform 01 i Grønland. Eksemplerne på opgaver er en blanding af tidligere stillede opgaver ved de gymnasiale uddannelser med de nødvendige justeringer af hensyn til indholdet i de nye læreplaner, samt nye opgaver der kan tænkes at forekomme ved eksamen ved GUX fremover. Bemærk at der på en af de mulige prøveformer fremover er en delprøve uden hjælpemidler. Bemærk også det sidste afsnit med eksempler på en ny type opgave hvor eleven skal forklare hvad der foregår i hvert beregningstrin. Dokumentet er opdelt i to hovedafsnit - et afsnit med opgaver til den prøveform der har en delprøve uden hjælpemidler, og et afsnit med opgavetyper der kan forekomme, når eleven har alle hjælpemidler til rådighed. Så vidt muligt er opgaverne samlet i emner, således at læreren kan finde relevante opgaver eksempelvis som træningsopgaver til eksamen eller som afleveringsopgaver. Nogle opgavetyper dækker dog flere emner, og disse er så placeret under ét af de emner de omhandler. Vi håber at denne opgavesamling er en hjælp for nye såvel som erfarne matematiklærere, og vil medvirke til at reformen og indholdet i de nye læreplaner implementeres hensigtsmæssigt i matematikfaget på landets gymnasieskoler. Michael Hollerup og Rasmus Andersen, januar 014 Side 1 af 48

Indholdsfortegnelse Opgavesamling til Matematik A-niveau... 1 1. Opgaver til delprøve uden hjælpemidler... 3 Opgaver til prøve med alle hjælpemidler tilladt... 6. Trigonometri... 6 3. Funktioner og formler... 8 4. Regression... 14 5. Statistik... 18 6. Analytisk geometri... 0 7. Differentialregning... 8. Stamfunktion, areal og rumfang... 8 9. Differentialligninger... 34 10. Vektorer i planen... 37 11. Vektorer i rummet... 40 1. Ny opgavetype - tekstforklaring af beregninger... 46 Side af 48

1. Opgaver til delprøve uden hjælpemidler 1.01 Udbuddet af en vare kan beskrives ved en lineær funktion, s() er prisen pr. kg. Ved en mængde på 0 kg. er prisen 500 kr. pr. kg. Ved en mængde på 40 kg. er prisen 600 kr. pr. kg. s( ) a b, hvor er mængden i kg. og 600 500 pris 0 40 s () 500 600 a) Bestem en forskrift for funktionen s. 0 40 mængde 1.0 Vektorerne a og b er givet ved 6 t a og b. 3 a) Bestem værdien af t, således at a og b er ortogonale. 1.03 F Diagrammet viser den summerede frekvens af indkomstfordelingen for befolkningen i Danmark år 011. 0.8 0.6 Det oplyses, at 75%-fraktilen er 35459, 60kr. a) Forklar betydningen af 75%-fraktilen og bestem den andel af befolkningen, der har en indkomst på højst 00000kr. 0.4 0. indkomst 500000 1000000 Kilde: http://www.skm.dk.statistik/indkomstfordeling 1.04 Om en funktion f gælder, at f '( ) 7. a) Bestem f '() og forklar, hvad denne værdi fortæller om f. Side 3 af 48

1.05 En funktion f er givet ved forskriften f ( ) 3 3. Grafen for f skærer -aksen i punkterne A(1,0) og B (1,0 ). a) Bestem arealet af det grå område på figuren. y f A B -1 1 1.06 Vektorerne a og b er givet ved t a 1 og b. 3 1 a) Gør rede for, at a og b er parallelle for t 3. 1.07 En cirkel med centrum i, ) og radius r har ligningen ( 0 y0 0 ) ( y y0). ( r I koordinatsystemet til højre er cirklen C indtegnet. 3 1-1 - y C 1 3 4 5 6 7 a) Bestem en ligning for C. -3-4 -5 1.08 Funktionen F er den stamfunktion til funktionen f ( ) 3 4, der opfylder at F ( 0) 5. a) Bestem en forskrift for F. 1.09 y En funktion f er givet ved forskriften 1 3. 3 f ( ) a) Bestem monotoniforholdene for f. Side 4 af 48 f()=(1/3)^3-^

1.10 a) Undersøg, om punktet ( 1, 4) ligger på cirklen givet ved ligningen ( 1) ( y 1) 9. 1.11 Omkostningerne ved produktion af en vare kan beskrives ved en lineær funktion C( ) a b Ved en produktion på 30 stk. er omkostningerne 4000 kr. Ved en produktion på 60 stk. er omkostningerne 7000 kr. Mængde 30 60 Omkostninger C () 4000 7000 a) Bestem en forskrift for C. 1.1 Funktionerne f og g er givet ved forskrifterne y f ( ) 3 og g ( ) 4 f g Graferne for f og g samt -aksen afgrænser det grå område vist på figuren. a) Gør rede for, at graferne skærer hinanden i punktet ( 1,3) og bestem arealet af det grå område. 1.13 Grafen for en differentiabel funktion f og grafen for den afledede funktion er vist til højre. f ' 4 3 y Graf 1 Graf a) Gør rede for hvilken af de to grafer Graf 1 eller Graf, der viser grafen for funktionen f. 1-1 - 1 3 4 5 6-3 Side 5 af 48

Opgaver til prøve med alle hjælpemidler tilladt. Trigonometri.01 I trekant ABC er følgende størrelser kendte: B = 80, BC 7 og AB 8 a) Bestem AC og vinkel A. Vinkelhalveringslinjen for vinkel B skærer siden AC i punktet D. b) Bestem BD..0 I trekant ABC kendes følgende størrelser: A 5, AC 1 og længden af højden fra B, BH 5. a) Bestem AB og bestem BC. Punktet D ligger på linjestykket BC, og linjestykket AD skærer højden fra B i dennes midtpunkt M. b) Bestem MAH og AD. Side 6 af 48

.03 I trekant ABC kendes følgende størrelser: A 70, AB 6 og AC 10 a) Bestem arealet af trekant ABC, og bestem længden af højden fra B. Medianen fra C skærer siden AB i punktet D. b) Bestem CD..04 I trekant ABC er vinkel B stump, vinkel A 50 og BC 7, 5, se Figur 1. a) Bestem vinkel C og AC. Vinkelhalveringslinjen for vinkel A skærer siden BC i punktet D, se Figur. b) Bestem CD samt arealet af trekant ADC..05 I trekant ABC kendes følgende størrelser: AB = 5, BC = 6 og A = 45 Det oplyses, at vinkel B er stump. a) Bestem størrelsen af vinkel C, og bestem længden af medianen ma fra A. b) Bestem størrelsen af den spidse vinkel mellem medianen m a og linjestykket BC. Side 7 af 48

3. Funktioner og formler 3.01 Hvis en lystfisker vil beregne vægten af en fanget fisk, kan han bruge, at der er en sammenhæng mellem fiskens vægt, dens længde fra snude til midten af halefinnen og dens omkreds, målt lige foran rygfinnen. For laks gælder sammenhængen V 5,1 10 o l hvor er vægten i kg, o er omkredsen i cm og er længden i cm. a) Bestem vægten af en laks med længden 80 cm og omkredsen 47, cm. Der gælder tilnærmelsesvist følgende sammenhæng mellem omkredsen og længden af denne art laks o 0, 59 l b) Vis, at V 5 3 1,410 l og bestem længden af en laks, der vejer 10 kg. c) Med hvor mange procent øges vægten af denne art laks, hvis længden bliver 10 % større? Kilde: http://www.piscatorialpursuits.com/resourcecenter/weightcalculator.htm 3.0 I en kugleformet beholder er der olie, hvis overflade har højden h over bunden. Rumfanget af olien kan beregnes som rumfanget af en kuglekalot ved hjælp af formlen V 1 π 3 h (3r h) h Foto: Ole Dalsgaard hvor V er kuglekalottens rumfang, h er kuglekalottens højde, og r er kuglens radius. a) Bestem rumfanget af olien i en kugleformet beholder med radius m, når olieoverfladens højde er 0,8 m over bunden. b) Bestem overfladens højde over bunden i den samme beholder, når den indeholder 8 m 3 olie. Side 8 af 48

3.03 Når man ser ud over et havområde, vil man på grund af jordens krumning kun se den del af havet, der er begrænset af horisonten. Se figuren. Den del af havet, som er synligt, afhænger af højden over havoverfladen. Når h betegner højden over havoverfladen målt i m, og d betegner afstanden til horisonten målt i km, er sammenhængen mellem d og h givet ved d = 0.5 3,57 h a) Bestem afstanden til horisonten, når højden over havoverfladen h 10 m. Med hvor mange procent vokser afstanden til horisonten, når højden over havoverfladen forøges med 50 %? Fra toppen af en bestemt fjeldside på Qeqertarsuaq er afstanden til horisonten 110 km. b) Bestem højden af denne fjeldside. Foto: Michael Hollerup Side 9 af 48

3.04 Ud fra klimadata for perioden 1961 1990 fra DMI kan dagtemperaturen i Sisimiut for et kalenderår tilnærmelsesvis beskrives ved modellen π f(t) 10, 5sin t 4,, t 0; 1 6 hvor t angives i måneder og f(t) er temperaturen i C. t = 0 svarer til den 1. januar. a) Tegn grafen for f. b) Bestem amplituden for f, og gør rede for, hvad den fortæller om dagtemperaturerne i Sisimiut. c) Bestem den periode af året, hvor modellen forudsiger, at der er frostfrit om dagen i Sisimiut. Middeltemperaturen for en periode [a; b] kan beregnes som 1 T b-a b a f t dt d) Bestem middeltemperaturen i den frostfri periode. Side 10 af 48

3.05 Holdbarheden af et fiskeprodukt afhænger af den temperatur, hvorunder fiskeproduktet opbevares. Holdbarheden (målt i døgn) som funktion af temperaturen T (målt i º C) betegnes H(T). I en model for holdbarheden for et bestemt fiskeprodukt gælder, at H ( T) 1 e 0,06( T 5) a) Bestem holdbarheden for fiskeproduktet ved temperaturen T = 0 ºC, og bestem halveringskonstanten for H. 3.06 Til angivelse af holdbarhed af et bestemt ferskt fiskeprodukt fra tempererede farvande anvendes følgende model: Holdbarheden H(t) (målt i døgn) ved temperaturen t (målt i C) bestemmes ved 50 H ( t), t 3 0,1 t 1 a) Benyt modellen til at bestemme holdbarheden ved temperaturen 15 C. b) Bestem den temperatur, hvor holdbarheden ifølge modellen er 80 døgn. Kilde: http://www.dfu.min.dk/micro/sssp/help/dk/rrs/rrs-cold/rrs-cold.htm 3.07 En funktion f er bestemt ved f ( ) 4,35 0, 87 a) Løs ligningen f ( ) 3, 4. b) Med hvor mange procent aftager f (), når vokser med? 3.08 En funktion er givet ved f ( ) 1, 7 a) Bestem vækstraten og fordoblingskonstanten for f. Funktionen g er givet ved g( ) 5, 0, 83 b) Løs ligningen f ( ) g( ). Side 11 af 48

3.09 En potensudvikling Q 9,94.5. f a ( ) b er bestemt ved, at grafen for f indeholder punkterne 4,8 P og a) Bestem en forskrift for f (). b) Løs ligningen f ( ) 0. c) Med hvor mange procent vokser f (), når vokser med 5 %? 3.10 Når en bil skal standse, afhænger standselængden af bilens hastighed. Lad s betegne standselængden målt i m, og lad v betegne hastigheden målt i km/t. For en bestemt bil gælder der følgende sammenhæng mellem s og v : s 0,005v 0, 8v a) Bestem standselængden, når bilens hastighed er 60 km/t, og bestem bilens hastighed, når standselængden er 73 m. b) Bestem, hvor mange procent standselængden øges, når bilens hastighed øges fra 60 km/t til 80 km/t. 3.11 Ved opbevaring af et bestemt radioaktivt stof kan den stofmasse, der ikke er henfaldet, beskrives ved sammenhængen N( t) 40 0, 977 t hvor N (t) er stofmassen målt i kg, og t er tiden målt i år efter opbevaringens begyndelse. a) Bestem stofmassen, når der gået 0 år. Bestem halveringskonstanten. b) Bestem det antal år, der skal gå, inden stofmassen er 6 kg. Side 1 af 48

3.1 En eksponentiel funktion f () er bestemt ved f ( ) 0 0, 8 a) Bestem halveringskonstanten for f (), og løs ligningen f ( ) 5. En anden eksponentiel funktion g () er bestemt ved, at g ( 0) 7, samt at funktionsværdierne for g() vokser med 0 %, når vokser med 1. b) Bestem en forskrift for g (). c) Løs ligningen g( ) f ( ). Side 13 af 48

4. Regression 4.01 En æske med skruer vejes på en vægt. Foto: Jens Peter Touborg Tabellen viser sammenhørende værdier af antallet af skruer i æsken og den samlede vægt af æske og skruer. Antal skruer Samlet vægt y (gram) 3 5 8 10 13 6, 86,4 1,4 146,6 18,8 I en model beskrives sammenhængen ved en lineær funktion y a b. a) Bestem konstanterne a og b ud fra tabellens oplysninger. Bestem, ifølge modellen, hvor meget én skrue vejer, og hvor meget den tomme æske vejer. b) Benyt modellen til at bestemme det største antal skruer, der kan være i æsken, når den samlede vægt af æske med skruer ikke må overstige 335 gram. Side 14 af 48

4.0 Omsætning (mio. kr.) ved salg af musik i Danmark. Kilde: IFPI Danmark På figuren viser de sorte søjler totalomsætningen ved salg af musik i Danmark i årene 007 011. Totalomsætningen kommer fra salg af cd er og fra salg af downloads. På figuren viser de hvide søjler den del af totalomsætningen, der kommer fra salg af downloads. Nedenstående tabel viser sammenhængen mellem antal år efter 007 og totalomsætningen. Antal år efter 007 0 1 3 4 Totalomsætning i mio. kr. 616 557 535 467 40 I en model beskrives sammenhængen mellem antal år efter 007 og totalomsætningen ved en funktion af typen f ( ) a b hvor er antal år efter 007, og f () er totalomsætningen i mio. kr. a) Benyt tabellens data til at bestemme tallene a og b. Den del af totalomsætningen, der kommer fra salg af downloads, beskrives i en model ved funktionen g bestemt ved forskriften g( ) 5,5 65,8 hvor er antal år efter 007, og g() er omsætningen i mio. kr. fra salg af downloads. b) Løs ligningen f ( ) g( ). Hvad fortæller løsningen om totalomsætningen og salget af downloads? Side 15 af 48

4.03 Når et isbjerg smelter, afhænger den mængde is, der pr. tidsenhed smelter, af isbjergets masse og form samt af det omgivende vands temperatur. Foto: Jens Peter Touborg I et forsøg måles anbringes en isterning i et kar med vand ved en konstant temperatur. Isterningens masse, målt i gram, kaldes, og den mængde is, der smelter, målt i gram pr. minut, kaldes y. I forsøget bestemmes følgende sammenhørende værdier for de to størrelse og y: 17,4 13, 9,8 7,0 4,0 y 1,7 1,5 1, 0,98 0,68 I en model antages det, at sammenhængen mellem og y er af formen y a b. a) Bestem a og b ved hjælp af tallene i tabellen. b) Bestem ved hjælp af modellen isterningens masse på det tidspunkt, hvor der smelter 1,0 gram is pr. minut. Side 16 af 48

4.04 En romaskine kan indstilles, så man efter en periode på 5 minutter kan få oplyst den effekt, som roeren har ydet samt den tilbagelagte strækning. Tabellen viser resultatet af en sådan måling, hvor 8 personer har deltaget. Effekt målt i Watt 4 6 80 103 114 143 166 185 Tilbagelagt strækning i meter 766 859 940 100 1074 1131 1191 13 Sammenhængen kan beskrives ved en funktion af formen watt, og hvor f () betegner den tilsvarende tilbagelagte strækning, målt i m. a) Bestem ved at benytte tabellens data konstanterne a og b. f a ( ) b, hvor betegner effekten, målt i b) Benyt den fundne forskrift til at bestemme den effekt, der skal til for at opnå en tilbagelagt strækning på 900 m. c) Med hvor mange procent øges den tilbagelagte strækning, hvis effekten øges med 0 %? 4.05 Tabellen viser grønlandske kutteres fangst af hellefisk ved Grønland i årene 199-1997. Antal år efter 199 0 1 3 4 5 Fangst af hellefisk målt i kt 18,0 18,4, 8,4 9,0 3,1 I en model beskrives sammenhængen mellem antal år efter 199 og fangsten af hellefisk, målt i kt (kilotons), ved en eksponentielt voksende funktion. a) Benyt tabellens data til at bestemme en forskrift for denne funktion. b) Benyt modellen til at bestemme den årlige procentvise vækst i fangsten af hellefisk og til at bestemme fordoblingskonstanten. c) Benyt modellen til at bestemme fangsten af hellefisk i 1998. Bestem, hvor mange procent dette tal er større end den faktiske fangst, som i 1998 var 30 kt. Kilde: http://www.stm.dk/publikationer/groenland99/kap03001.html Side 17 af 48

5. Statistik 5.01 Nedenstående tabel viser fordelingen af antal scorede mål i superligaen i løbet af de første 96 kampe i 009/010. Antal mål 0 1 3 4 5 6 7 8 Antal kampe 4 4 18 14 8 3 1 a) Bestem frekvenserne og det gennemsnitlige antal mål pr. kamp. b) Bestem kvartilsættet. Kilde: bold.dk 5.0 I forbindelse med en undersøgelse af grønlændere bosat i Danmark taler man om forskellige generationer. Første generation består af personer født i Grønland og med forældre, hvoraf mindst den ene er født i Grønland. Aldersfordelingen af første generation fremgår af nedenstående skema. Alder i år ]0; 6] ]6;16] ]16;5] ]5;40] ]40;50] ]50;60] ]60;80] I alt Antal 7 158 317 95 1349 1348 99 5116 a) Bestem de kumulerede frekvenser, og tegn sumkurven. b) Bestem medianen, og bestem hvor mange procent af første generation har en alder mellem 0 og 35 år. Kilde: Kalaallit danmarkimi najugallit kisitsisitigut paassissutissat pillugit quppersagaq, Den Nordatlantiske Gruppe i Folketinget, 011. 5.03 En gymnasieklasse består af 30 elever, der alle dyrker sport. Skemaet viser, hvor mange timer om ugen eleverne bruger til at dyrke sport. Antal timer 0 ; ;4 4 ;6 6 ;8 8 ;10 10 ;1 Antal elever 10 7 8 1 a) Bestem det antal timer, eleverne i denne klasse i gennemsnit bruger til at dyrke sport. b) Tegn sumkurven. Bestem kvartilsættet, og forklar betydningen af øvre kvartil. Side 18 af 48

5.04 En persons Body Mass Inde (BMI) er et mål for sammenhængen mellem personens vægt og højde. For 00 udvalgte personer fordelte BMI sig således: BMI 14 ;18 18 ; ;6 6 ;30 30 ;34 Antal personer 8 4 66 40 4 a) Bestem middelværdien. Tegn sumkurven, og bestem medianen. Personer med et BMI mellem 5,0 og 30,0 betegnes som overvægtige. b) Bestem hvor mange procent af de udvalgte 00 personer, der betegnes som overvægtige. 5.05 I en undersøgelse af 300 gymnasieelevers læsevaner blev eleverne spurgt om, hvor mange bøger de læste om året. Svarene fordelte sig således: Antal bøger ]0; 5] ]5;10] ]10:15] ]15;0] ]0;5] Antal elever 96 78 61 45 0 a) Tegn sumkurven og bestem kvartilsættet. b) Hvor mange bøger læste de 10 % flittigste læsere? Side 19 af 48

6. Analytisk geometri 6.01 I et koordinatsystem i planen er givet tre punkter A 0,4, B 3,0 og C 4,3 betegnes l, og linjen gennem C vinkelret på l betegnes m.. Linjen gennem A og B a) Bestem en ligning for hver af linjerne l og m. b) Gør rede for, at l er tangent til cirklen med ligningen y y 1 0. 6.0 En cirkel C og en linje l er bestemt ved ligningerne C: y 4 6y 1 0 l : y 3 0 a) Bestem afstanden fra punktet P (3,1) til linjen l. b) Bestem radius og koordinatsættet til centrum for cirklen C. Bestem koordinatsættet til hvert af cirklens skæringspunkter med -aksen. 6.03 I et koordinatsystem er en cirkel bestemt ved ligningen y 6y 10, og en parabel er bestemt ved ligningen y 0,5 3 7, 5. a) Bestem cirklens radius og koordinatsættet til dens centrum. b) Gør rede for, at linjen med ligningen y 5 er tangent til både parablen og cirklen. 6.04 En cirkel er bestemt ved ligningen 6 y 4y 1 0. a) Bestem cirklens radius og koordinatsættet til cirklens centrum. Punktet P1,5 ligger på cirklen. b) Bestem en ligning for tangenten til cirklen i punktet P. Side 0 af 48

6.05 En cirkel er givet ved ligningen C: 6 y 8y 0 0 En linje l er givet ved ligningen l: y 4 a) Bestem koordinatsættet til hvert af skæringspunkterne mellem linjen l og cirklen C. b) Bestem koordinatsættet til cirklens centrum, og bestem de værdier af b, for hvilke linjen med ligningen y b er tangent til cirklen C. Side 1 af 48

7. Differentialregning 7.01 En funktion f er givet ved f ( ) 1 3 3 3 5 1 a) Bestem monotoniforholdene for f. b) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet 0, f (0) P. c) Bestem de værdier af a for hvilke ligningen f ( ) a har netop løsninger. 7.0 En funktion f er bestemt ved 1 f ( ) 0,5, 0 a) Bestem f ( ), og bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet 1, f (1) P. Grafen for f har en vandret tangent. b) Bestem koordinatsættet til røringspunktet for denne tangent. c) Bestem monotoniforholdene for f. 7.03 En funktion f er bestemt ved f ( ) 3 3 1 a) Bestem monotoniforholdene og de lokale ekstrema for f. b) Gør rede for, at ligningen 3 3 1 0 har netop én løsning, og bestem denne løsning. Side af 48

7.04 En funktion f er bestemt ved f ( ) ln( ), 0 a) Bestem f '( ), og bestem monotoniforholdene for f. b) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P ( 5, f (5)). 7.05 En kasse uden låg har en kvadratisk bund med sidelængden, målt i m, og højden h, målt i m. Kassen rumfang er 4 m 3. a) Bestem højden h som funktion af sidelængden, og gør rede for, at kassens udvendige overflade O 16 som funktion af sidelængden, kan bestemmes ved O( ). b) Bestem den sidelængde, hvor 0 5, der gør kassens udvendige overflade mindst mulig. 7.06 En have, der skal have form som et rektangel, skal indhegnes. Haven ligger således, at en mur danner en af indhegningens sider. De tre andre sider skal laves af et 100 m langt trådhegn. Længden af den side af indhegningen, som er parallel med muren, kaldes, og med A() betegnes arealet af haven. a) Bestem A (40). Gør rede for, at arealet af haven kan skrives på formen 1 A( ) 50. b) Bestem den værdi af, for hvilken arealet af haven er størst muligt. Side 3 af 48

7.07 Formler for cylinder med højde h og radius Rumfang: π h Samlet overflade af cylinder med to endeflader: π πh En dåse har form som en cylinder med to endeflader. Et firma producerer sådanne dåser med et rumfang på V 1000cm 3. a) Bestem højden af en sådan dåse, når dens radius er 6 cm, og bestem det samlede overfladeareal af denne dåse. Udgiften i kr. til produktion af en dåse med rumfang 1000 cm 3 og radius kan bestemmes ved funktionen f (), hvor f ( ) 0,15 0, 0 b) Bestem den værdi af, for hvilken udgiften til produktion af en dåse er mindst mulig. 7.08 Figuren viser grafen for funktionen f ( ) e, 1 5 f indtegnet i et koordinatsystem med begyndelsespunkt O. Punkterne P og Q er angivet med deres koordinatsæt på figuren. Arealet af trekant OPQ betegnes A (). a) Gør rede for, at A () kan skrives på formen A( ) 1 3 e, og bestem A (). b) Bestem den værdi af, for hvilken arealet af trekant OPQ er størst muligt. 7.09 Side 4 af 48

De samlede variable omkostninger C ved en produktion kan beskrives ved funktionen C ( ) 0,01 3 1,0 40, 0 hvor er produktionsmængden. a) Bestem de samlede variable omkostninger ved en produktionsmængde på 50. De variable enhedsomkostninger er lavest, hvor grafen for C har vendetangent. b) Bestem den produktionsmængde, der har de laveste variable enhedsomkostninger. samlede variable omkostninger 000 1500 C 1000 500 produktionsmængde 10 0 30 40 50 60 70 80 90 Side 5 af 48

7.10 3 Herunder ses grafen for funktionen f ( ), samt tangenten t til grafen for f gennem punktet 1, f ( 1). 15 y 10 5-3 - -1 1 3-5 a) Gør rede for, at ligningen for tangenten er y 3 5. f()=^3-^-+ Tangenten t skærer grafen for f i 1 og 3. y=3+5 Skravering 1 b) Bestem arealet af det grå område, der afgrænses af grafen for f og tangenten t. Side 6 af 48

7.11 Billedet viser facaden på Malik svømmehal i Nuuk. Svømmehallen er tegnet af KHR arkitekterne. Taget understøttes af 14 skrå stivere (figur 1). Afstandene mellem stiverne er 6 m ved jorden. Gengivet med tilladelse fra KHR arkitekterne Et tværsnit af taget indlægges i et koordinatsystem, se figur 3. En del af taget kan i intervallet [0; 6] tilnærmelsesvis beskrives ved funktionen f. Denne del er angivet med rødt på figuren. Alle mål er i meter. Figur 1 Funktionen f er givet ved f () 1,5510 4 3,7 10 0,78 4,4 a) Bestem højden, h, der er givet ved grafens skæring med y-aksen (figur 1). b) Bestem længden af stiveren AB (figur 1). c) Bestem vinklen, v, mellem taget og lodret (figur 1). d) Bestem tagets maksimale højde. Side 7 af 48

8. Stamfunktion, areal og rumfang 8.01 Side 8 af 48

8.0 Funktionerne f og g er bestemt ved forskrifterne 3 f ( ) 5 g ( ) 5 Punktmængden M afgrænses i første kvadrant af graferne for f og g. a) Bestem koordinatsættet til hvert af skæringspunkterne A og B mellem graferne. b) Bestem arealet af M. c) Bestem rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M drejes 360º om -aksen. 8.03 En funktion f er givet ved f ( ) 9, 0; 3 En punktmængde M afgrænses af grafen for f og -aksen. a) Bestem arealet af M. b) Bestem rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M drejes 360º om -aksen. Side 9 af 48

8.04 Funktionerne f og g er bestemt ved f ( ) 3 3 og g ( ) 7 Graferne for f og g skærer hinanden i punkterne A og B. a) Bestem koordinatsættet til hvert af punkterne A og B. b) Bestem arealet af det todelte skraverede område, der er afgrænset af graferne for f og g og linjen med ligningen. 8.05 En funktion f er givet ved f ( ) 5, 0 Grafen for f afgrænser sammen med førsteaksen et område M, som vist på figuren. a) Bestem arealet af M. b) Bestem rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M drejes 360 om førsteaksen. Side 30 af 48

8.06 Billedet viser en termokop, der er 1 cm høj. Koppen er bygget op af en udvendig og en indvendig del. Koppen fremkommer ved at dreje det grønne område, som er vist på figuren nedenfor, 360 om -aksen. Alle mål er i cm. Figur Den indvendige del følger grafen for funktionen f givet ved 1,8 1, 8 f ( ) ln a) Bestem den indvendige diameter i koppens top b) Bestem skæringspunktet mellem grafen for f og -aksen c) Bestem hvor meget væske koppen kan indeholde, når den er fyldt til kanten På indpakningen står, at koppen er beregnet til at rumme,7 dl. (Husk: 1 dl = 100 cm 3 ) d) Bestem afstanden fra væskens overflade til koppens kant, når der er fyldt,7 dl i koppen. Side 31 af 48

8.07 En funktion f er bestemt ved f ( ) cos( π ) a) Bestem en forskrift for den stamfunktion F () til f (), hvor F ( 0). 8.08 En funktion f er bestemt ved f ( ) ln( ) a) Bestem en forskrift for den stamfunktion F () til f (), hvor F ( 1). 8.09 En funktion F () er givet ved F( ) e e. a) Vis, at F () er en stamfunktion til f ( ) ( ) e. b) Bestem den stamfunktion G () til f (), der opfylder, at G ( 0) 5. 8.10 En funktion f er givet ved forskriften f ( ) 3, 1 3 Et område A afgrænses af grafen for f, -aksen samt linjerne med ligningerne 1 og 3. a) Bestem arealet af det grå område A. Et område B afgrænses af grafen for f, -aksen samt linjerne l og m y 4. med ligningerne y 4 og b) Bestem arealet af det grå område B. y y f f A l B m 1 3 1 3 Side 3 af 48

8.11 Billedet viser en drikkedunk. Drikkedunken lægges ned og placeres i et koordinatsystem. Dunkens indre tværsnit placeres symmetrisk omkring -aksen. Den øvre halvdel af tværsnittet kan tilnærmelsesvis beskrives ved funktionen 1 f ( ) 9 5 36 1 16 8 3 9 4 71 16 37 0 9 9 15 15 19 som vist på figur 1. Alle mål er angivet i cm. Figur 1 a) Bestem den mindste radius i drikkedunken. b) Bestem hvor meget væske drikkedunken kan indeholde. c) Bestem, hvor højt væsken står i drikkedunken, når den indeholder 300 cm 3 væske. Side 33 af 48

9. Differentialligninger 9.01 En funktion f er en løsning til differentialligningen dy d y 0,031 0,000158y og f ( 0) 3, 99. a) Bestem en forskrift for f. I en model beskriver funktionen f befolkningsudviklingen i USA for perioden efter 1790, idet f () angiver befolkningstallet i millioner i USA, og angiver antallet af år efter 1790. b) Bestem modellens værdi for befolkningstallet i USA i år 000, og bestem, hvor mange procent dette tal er mindre end det faktiske befolkningstal i USA år 000 på 81,4 millioner. Kilde: US Census Bureau. 9.0 En gryde med suppe stilles til afkøling udendørs, hvor temperaturen er grader celsius. Med f (t) betegnes suppens temperatur målt i grader celsius til tiden t målt i minutter. Det antages, at f (t) er en løsning til differentialligningen dy dt 0,1 0,05y a) Bestem den hastighed, hvormed suppens temperatur ændres, når suppens temperatur er 70 grader celsius. b) Bestem et udtryk for f (t), når det oplyses at f ( 0) 90. 9.03 I en sø er antallet af fisk af en bestemt art givet ved funktionen f (t), hvor t er antal år efter 010. Det oplyses, at f (t) er en løsning til differentialligningen dy dt 0,00003y (1500 y) Desuden oplyses at f ( 0) 1000. a) Bestem en forskrift for f (t). b) I hvilket år overstiger antallet af fisk 150? Side 34 af 48

9.04 Det oplyses om funktionen f (), at dens væksthastighed f () er proportional med f (). a) Opstil en differentialligning, som f () må opfylde, når proportionalitetskonstanten er 0,1. b) Bestem en forskrift for f (), når det oplyses, at f ( 5) e. 9.05 Funktionen f er løsning til differentialligningen dy d b ay og f ( 0) 30. a) Bestem en forskrift for f, når det oplyses, at a = 0,1 og b =. b) Løs ligningen f ( ) 5. 9.06 En funktion f er en løsning til differentialligningen dy d og f ( ) 0. 8,5 0,y a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet, f () b) Bestem en forskrift for f, og løs ligningen f ( ) 0. P. Side 35 af 48

9.07 En funktion f er en løsning til differentialligningen dy d y ( 0, 0,01y) og f ( 0). a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet 0, f (0) P. b) Bestem en forskrift for f, og bestem den -værdi for hvilken væksthastigheden af f () er størst. 9.08 Funktionen f () er løsning til differentialligningen y 0,4 hvor f ( 1) 3, 6 og f ( 1) 1, 4. a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P ( 1, f (1)). b) Bestem en forskrift for f. c) Bestem førstekoordinaten til det punkt på grafen for f, hvor tangentens hældning er 1. Side 36 af 48

10. Vektorer i planen 10.01 To vektorer a og b er givet ved 1 a og b 3 t a) Bestem for t 3 vinklen mellem a og b. b) Bestem for t 3 arealet af parallelogrammet udspændt af a og b. Bestem de værdier af t, der giver arealet 10. 10.0 Tre vektorer er givet ved 4 4 a, b og c 1 3 1 a) Bestem arealet af parallelogrammet, der er udspændt af a og b. b) Bestem tallene s og t, så c sa tb. 10.03 To vektorer a og b er givet ved a og b 1 a) Bestem vinklen mellem vektorerne. b) Bestem koordinatsættet til projektionen af a på b. c) Bestem tallet t, således at vektorerne a t b og a er ortogonale. Side 37 af 48

10.04 To vektorer a og b er givet ved 4 a 1 og b 3 Vektorerne a og b danner et parallelogram. a) Bestem vinklerne i parallelogrammet. b) Bestem arealet af parallelogrammet. c) Bestem a b og a b. 10.05 To vektorer a og b er givet ved a 1 og 4 b 3 a) Bestem koordinatsættet til projektionen af a på b. b) Bestem koordinatsættet til a b. Bestem arealet af det parallelogram, der udspændes af vektorerne a b og b. 10.06 I et koordinatsystem er trekant ABC tegnet. B(-,4) 4 y a) Bestem længden af vektoren AB. b) Bestem vinkel A i trekant ABC. c) Bestem arealet af trekant ABC. 3 C(6,3) 1 A(1,1) - -1 1 3 4 5 6 7 Side 38 af 48

10.07 Trekant ABC er bestemt ved punkterne A (,4), B ( 3, 1) og C ( 6,5). a) Bestem koordinaterne til AB og AC. b) Bestem vinkel A i trekant ABC. A 4 y C - 4 6 - B Side 39 af 48

11. Vektorer i rummet 11.01 Taget på et hotel er båret af søjler som vist på billedet. En af søjlerne indlægges i et rumligt koordinatsystem (se figur 1). Punkterne A, B og C har koordinaterne A(3; -3; 16), B(-3; 3, 16) og C(0; 0; 1) Figur 1 a) Bestem længden af linjestykket mellem A og C. b) Bestem vinklen mellem linjestykkerne CA og CB. Linjestykket mellem A og C ligger på linjen med parameterfremstillingen y z 3 3 16 t 3 3 4 I punktet D, der ligger på denne linje og som befinder sig 14,5m over gulvet, vil man placere et overvågningskamera. c) Bestem koordinaterne til D. Side 40 af 48

11.0 På billedet ses en barnestol. Stolens sæde er vandret. Gengivet med tilladelse fra IKEA Figur 1 Stolen placeres i et koordinatsystem som vist på figur 1. Punkterne A og B har koordinaterne A(55; 0; 0) og B(44; 10; 56). Alle mål er i cm. a) Bestem parameterfremstillingen for linjen gennem punkterne A og B. Punktet E ligger i højden z = 91. Parameterfremstillingen for linjen gennem C, D og E er givet 0 11 y 50 t 10, z 0 56 t R b) Vis, at punktet E har koordinaterne E(17,875; 33,75; 91). Ryglænet ligger i den plan, der er udspændt af E og punkterne F(0; 19; 56) og G(0; 31; 56), se figur. c) Bestem ligningen for den plan som ryglænet er en del af. d) Bestem den stumpe vinkel mellem sæde og ryglæn. Figur Side 41 af 48

11.03 O(0,0,0) A(,0,0) B(0, 4,0) C(0, 0,3) I et koordinatsystem i rummet med begyndelsespunkt O er givet tre punkter A(,0,0), B(0,4,0) og C(0,0,3). Planen α indeholder punkterne A, B og C. a) Bestem en ligning for α, og bestem arealet af trekant ABC. Projektionen af punktet O på planen α betegnes O, og linjen gennem C og O kaldes l. b) Bestem koordinatsættet til punktet O, og bestem en parameterfremstilling for linjen l. 11.04 I et koordinatsystem i rummet er givet et punkt A (, 1,3) samt to vektorer b 4 og c 3 0 1 a) Bestem vinklen mellem b og c. b) Bestem en ligning for den plan, der indeholder punktet A og som udspændes af vektorerne b og c. Side 4 af 48

11.05 I et koordinatsystem i rummet er en plan bestemt ved : 4y z 4 0 a) Bestem afstanden fra punktet C (,3, 4) til planen, og bestem en ligning for den kugle, der har centrum i punktet C, og som har som tangentplan. En linje l har parameterfremstillingen 1 l : y 0 t 1 z 4 1 b) Bestem koordinatsættet til skæringspunktet mellem linjen l og planen. 11.06 I et koordinatsystem i rummet er der givet tre punkter A ( 1,3, 3), B ( 3,3, 1) og C ( 3,7, 5) a) Bestem en ligning for den plan, der indeholder de tre punkter. En kugle K er givet ved ligningen 1 y z 1 9 b) Gør rede for, at planen er en tangentplan til kuglen K. 11.07 I et koordinatsystem i rummet har en kugle centrum i punktet C( 3, 4,) og radius 3. a) Gør rede for, at punktet P ( 5, 4,3) ligger på kuglen, og bestem en ligning for kuglens tangentplan i P. I punktet Q har kuglen en tangentplan, der er parallel med kuglens tangentplan i P. b) Bestem koordinatsættet til Q. Side 43 af 48

11.08 Tegningen viser figuren OABCD i et koordinatsystem i rummet. Grundfladen OABC er et parallelogram, der er udspændt af vektorerne OA og OC. a) Bestem koordinatsættet til punktet B, og bestem arealet af grundfladen OABC. b) Bestem afstanden fra punktet D til grundfladen OABC. 11.09 I et koordinatsystem i rummet er der givet tre punkter A (4,0,0), B (0,6,0) og C (0, 0, 3) a) Bestem en ligning for den plan, der indeholder punkterne A, B og C. En linje l har parameterfremstillingen 0 l : y 0 t 5, hvor t R og k er et tal z k 4 b) Gør rede for, at l er parallel med. Det oplyses, at punktet P( 6,5, 16,5, 8,5) ligger på linjen l. c) Bestem tallet k. Side 44 af 48

11.10 I et koordinatsystem i rummet er der givet tre punkter A (3,0,0), B (0,4,0) og C (0,0,) a) Bestem en ligning for den plan, der indeholder punkterne A, B og C, og bestem arealet af trekant ABC. En plan er givet ved ligningen : y 3z 5 0 Linjen gennem punkterne A og B skærer planen i punktet S. b) Bestem koordinatsættet til S. Side 45 af 48

1. Ny opgavetype - tekstforklaring af beregninger Nedenstående er en nyere type opgave. I opgavetypen er beregningerne lavet, og eleven skal så forklare hvad der foregår i hver beregning. Opgavetypen er ikke præsenteret i de vejledende eksamenssæt, men kan forekomme i eksamenssæt og derfor præsenteres her nogle eksempler. 1.01 Funktionen f er bestemt ved forskriften f ( ) 9. a) Nedenfor ses en beregning af arealet mellem grafen for f og -aksen. Forklar hvad der sker i de enkelte trin i beregningerne. Du kan benytte bilag 1 til din besvarelse. Figur 1 viser grafen for f og et rektangel. Rektanglets øverste hjørner ligger på grafen for f. b) Vis, at arealet af rektanglet er givet ved funktionen A 3 ( ) 18, 0 c) Bestem det størst mulige areal af rektanglet. Figur 1 Side 46 af 48

1.0 Nedenfor er ligningen 8 36 løst. a) Forklaringer til følgende udregninger skal angives. Bilag 1 kan benyttes. 8 36 Ligningen er skrevet op og løses for 8 36 0, idet kun er defineret for ikke-negative -værdier. 36 4 8 4 36 3 3 L { 3} Side 47 af 48

1.03 Arealet under grafen for f ( ) a a er bestemt til at være 30 i intervallet 1 ;3 for et positivt tal a. y f ( ) a a Areal = 30 Nedenfor er tallet a bestemt. 1 3 4 a) Forklaring til nedenstående linjer skal gives. Benyt evt. bilag 1. 1 3 f ( ) d 30 Arealet under grafen er givet som det bestemte integral af f i intervallet 1 ;3. 1 3 ( a a) d 30 1 3 a 30 a 1 4,5a 3a (0,5a a) 30 a 5 Forskriften for funktionen f ændres til f ( ) a a. b) Bestem værdien af a, så arealet under grafen for f i intervallet 1 ;3 fortsat er 30. Side 48 af 48