4 I afsnit 3 beskæftigede vi os med 1EC modellen og viste, hvordan den kunne estimereres med FGLS - bla under forudsætning af, at det individspecifikke stokastiske led er ukorreleret med de forklarende variable I mange empiriske analyser vil det være en urealistisk forudsætnig Betragt 1EC modellen: y it ' x it $ % µ i %, it, i ' 1,,N ; t ' 1,,T, og nu med følgende antagelser:, it - iid(0,f 2, ), E(µ i, it ) ' 0, E(, it x kjs ) ' 0, men: E(x kjs µ i ) 0 Resten af dette afsnit handler nu om, hvordan vi opnår konsistente estimater på $ under disse mindre restriktive forudsætninger i forhold til FGLS estimatoren Overordnet set fungerer metoderne ved, at man ved forskellige transformationer af data over tiden, eliminerer det individspecifikke led Within Estimatoren Vi har allerede mødt en transformation, der eliminerer det individspecifikke led fra regressionsligningen, Within-transformationen Lad de transformerede værdier af y it og x ijt være defineret ved: ỹ it ' y it & ȳ i ; x ijt ' x ijt & x ij Det kan vises, at anvendes Within-transformationen på 1EC modellen, opnåes følgende forventning til parameter estimatet: E( ˆ$) ' $ % E[( x ) x) &1 x ),], 1
hvor, er de within transformerede fejlled Sidste led på højresiden er kun nul, hvis vi godtager antagelsen om stærk eksogenitet, dvs hvis E( x ),)'0, men i forhold til FGLS estimatoren er vi altså sluppet af med forudsætning om, at det individspecifikke led og de forklarende variabler skal være ukorrelerede Prisen for at anvende within-transformationen er, at vi ikke kan estimere parametre til ikke tidsvarierende variabler En nærliggende ide vil være, at beregne den predikterede værdi for summen af de tidsinvariante variabler og det individspecifikke led, og derefter estimere parametrene, men det kræver jo, at de tidsinvariante forklarende variabler er eksogene i forhold til det individspecifikke led, hvilket netop var undtagelsen, som vi ville undgå Løsningen på dette problem er at anvende IV i andet trin, men det kræver, at man har et godt instrument Denne metode er kendt under navnet»hausman-taylor metoden«(hausman og Taylor, 1981), da Hausman og Taylor ønskede at estimere afkastet af uddannelse (tidsinvariant) uden at skulle forudsætte stærk eksogenitet af netop denne variabel Differens Estimator Som det fremgår af diskussionen ovenfor er det en grundlæggende forudsætning for konsistens af within estimatoren, at der ikke er korrelation mellem x erne og fortidige, nutidige og fremtidige, er Specielt taler man om, at der ikke er tilladt feed-back i modellen Der kan være situationer, hvor vi ønsker at bløde denne restriktion op Specielt kan vi være interesseret i en situation, hvor nutidige værdier af x erne ikke nødvendigvis er ukorrelerede med fremtidige værdier af, erne, men at de er ukorrelerede med fortidige og nutidige værdier Dette betegnes ved, at x erne er svagt eksogene En måde at estimere parametrene på ved denne antagelse, er ved at anvende første ordens differens estimatoren Betragt følgende transformerede værdier af y og x: )y it ' y it & y it&1 ; )x ijt ' x ijt & x ijt&1 Den estimerbare model er herefter: )y it ' $)x ijt % ), it, hvoraf det fremgår, at det individspecifikke led er transformeret ud Første ordens differens estimatoren er nu: 2
ˆ$ ' ()x ) )x) &1 )x ) )y Forventningen til estimatoren er: E( ˆ$) ' $ % E[()x ) )x) &1 )x ),], og her ses, hvorfor kravet til svag eksogenitet er fundamentalt Betragt de sidste to elementer i andet udtryk på højresiden af lighedstegnet: E()x ijt ) ) ' E[(x ijt &x ijt&1 )( &&1 )] ' E[x ijt %x ijt&1 &1 &x ijt&1 &x ijt &1 ] Som det ses, er kravet om svag eksogenitet ikke helt nok I udtrykket indgår ledet E(x ijt&1 ), som jo ikke nødvendigvis er nul selv ved antagelsen om svag eksogenitet Derfor kombineres første ordens differens estimatoren ofte med IV metoden, hvor udvalgte variabler i )x instrumenteres Mere om det senere Der er stadig visse egenskaber ved første ordens differens transformationen, man skal være opmærksom på For det første gælder det samme forhold som ved within estiamatoren, at man ikke kan estimere parametre til tidsinvariante variabler, da disse transformeres ud af data Og for det andet er de transformerede fejlled ikke længere iid, hvilket tydligt ses ved en beregning af kovariansmatrixen 1 : cov(), it,), is ) ' 2F 2, : s't &F 2, : s't&1 0 : s&t >1 1 På samme måde kan der også argumenteres for, at residualerne efter within-transformationen ikke længere er iid Autokorrelationen vil imidlertidig forsvinde med antallet af perioder 3
Det betyder (a) OLS på de transformerede data ikke er den mest efficiente estimator, og (b) standard estimatoren på variansen af parameterestimatet er biased Kovariansmatricen for et individ kan skrives som: S i ' F 2, A i ' F 2, 2 &1 0 þ þ 0 &1 2 &1 0 þ 0! "! 0 þ 0 &1 2 &1 0 þ þ 0 &1 2 Den sande varians på parameterestimaterne er herefter: var( ˆ$) ' ()x ) )x) &1 )x ) S)x()x ) )x) &1 Eller udtrykt ved A = A i q I N : var( ˆ$) ' ˆF 2, ()x) )x) &1 )x ) A)x()x ) )x) &1, hvor: ˆF 2, ' 1 N 2 [(N&1)T&J]&1 j i'1 T j t'2 ()ˆ, it ) 2 Øvelser Vi ønsker at estimere følgende model for udviklingen i timelønnen for individer: 4
log(w it ) ' $ 0 % $ 1 erf it % µ i %, it : i'1,,n ; t'1,,t w er timeløn og erf er akumuleret arbejdsmarkedserfaring ( = antal hele måneder i beskæftigelse) µ og, er stokastiske led Er det rimeligt at antage, at µ og erf er ukorrelerede? (Hint: Betragt arbejdsudbud som en funktion af timelønnen) Kan vi anvende within transformationen? (Hint: Er erf stærkt eksogen?) Kan vi anvende første ordens differens transformationen? Og har vi eventuelt et godt instrument for )erf it (Hint: Er erf serielt korreleret?) 5