Plasticitetsteori tværsnit, bjælker, rammer og plader
This page intentionally left blank
Bjarne Chr. Jensen og Bent Bonnerup Plasticitetsteori tværsnit, bjælker, rammer og plader Nyt Teknisk Forlag
Plasticitetsteori tværsnit, bjælker, rammer og plader 1. udgave 2006 Nyt Teknisk Forlag 2006 Forlagsredaktør: Thomas Rump, tr@nyttf.dk Omslag: Henrik Stig Møller Omslagsfoto: Jørgen Bendiksen Tegninger: Mette Nielsen Dtp: Gitte Frederiksen e-isbn: 978-87-571-3234-2 Bestillingsnummer: 54018-1 Bogen er sat med Times Roman Forsiden: Udsyn over byggeriet Bispebjerg Bakkes bølgende tagkonstruktion fotograferet fra dets nordtårn. Byggeriet er formgivet af kunstneren Bjørn Nørgaard. Mekanisk, fotografisk, elektronisk eller anden gengivelse af denne bog eller dele heraf er ikke tilladt ifølge gældende dansk lov om ophavsret. Alle rettigheder forbeholdes. Nyt Teknisk Forlag Ingerslevsgade 44 1705 København V info@nyttf.dk www.nyttf.dk
Forord Denne bog er skrevet til et grundkursus i plasticitetsteori med speciel vægt lagt på tværsnit, bjælker, rammer og plader. Bogen indeholder også en del grundlæggende plasticitetsteori, der kun gives i en orienterende form, således at de studerende præsenteres for de grundlæggende begreber i plasticitetsteorien og for nogle eksempler på deres anvendelse. Centralt i denne forbindelse er forståelsen af ekstremalprincipperne. For yderligere udbygning af den grundlæggende viden om plasticitetsteorien henvises til speciallitteraturen. Den grundlæggende viden om plasticitetsteorien knyttes til flydebetingelser for materialer, derfor indledes notatet med et kapitel om brud- og flydebetingelser, idet de klassiske brudhypoteser for isotrope materialer præsenteres. Tværsnit behandles for forskellige snitkraftpåvirkninger og kombinationer af disse. En række af resultaterne sammenlignes med tilsvarende resultater baseret på elasticitetsteorien. Bjælker og rammer behandles efter såvel nedre- som øvreværdimetoden. Plader behandles ligeledes efter nedre- og øvreværdimetoden. Ved nedreværdimetoden er vist metoder, hvor der ses bort fra vridningsmomenter (strimmelmetoden) og metoder, hvor vridningsmomenterne er medtaget. Øvreværdimetoden svarer til den klassiske flydeliniemetode udviklet af K. W. Johansen. I forbindelse med bogens tilblivelse er modtaget mange gode kommentarer fra vores kollega, civilingeniør Niels Jørgen Jørgensen. Indholdet har som notater været anvendt til kurser, og det har givet mange gode tilbagemeldinger fra de studerende. Opgaveløsninger kan findes på www.plasticitet.nyttf.dk. Odense, Oktober 2006 Bjarne Chr. Jensen Bent Bonnerup
This page intentionally left blank
Indhold Symboler 9 1 Brud- og flydebetingelser 13 1.1 Brudformer 13 1.2 Betingelser 14 1.2.1 Coulombs brudhypotese 14 1.2.2 Coulombs modificerede brudhypotese 18 1.2.3 Trescas brudhypotese 19 1.2.4 von Mises brudhypotese 20 1.2.5 Andre brudhypoteser 22 1.3 Opgaver 22 2 Grundlæggende plasticitetsteori 25 2.1 Flydebetingelse 25 2.2 Flydelov 27 2.3 Ekstremalprincipperne 29 2.4 Diskontinuitetslinier for flytninger 32 2.4.1 Coulombs modificerede brudhypotese uden trækstyrke 33 2.4.2 von Mises brudhypotese 36 2.4.3 Trescas brudhypotese 38 2.4.4 Armeret beton 41 2.5 Opgaver 44 3 Tværsnit 47 3.1 Normalkræfter 47 3.2 Bøjning 52 3.3 Forskydning 57 3.4 Vridning 59 3.4.1 Lukkede tyndfligede tværsnit 59 3.4.2 Rektangulært tværsnit 60 3.4.3 Cirkulære tværsnit 60 3.4.4 Sammensatte tværsnit 61 3.5 Kombinerede påvirkninger 62 3.5.1 Bøjning og normalkraft 64 3.5.2 Bøjning og forskydning 69 3.5.3 Skæv bøjning 71 3.6 Opgaver 74
8 Indhold 4 4.1 Bjælker og rammer 77 Flydeled i bjælker og rammer 78 4.1.1 Udvikling af flydeled 80 4.1.2 Flydemomentets størrelse 81 4.1.3 Ekstremalprincipperne for bjælker og rammer 81 4.2 Bjælker 82 4.2.1 Nedreværdier 82 4.2.2 Øvreværdier 91 4.3 Rammer 101 4.3.1 Nedreværdier 101 4.3.2 Øvreværdier 103 4.4 Sammenligning af elasticitetsteoretisk og plasticitetsteoretisk beregning 109 4.5 Opgaver 110 5 Plader 113 5.1 Nedreværdier 114 5.1.1 Strimmelmetoden 117 5.1.2 Plader, hvor der tages hensyn til vridningsmomenter 126 5.2 Øvreværdier 129 5.2.1 Signaturer 129 5.2.2 Flydemomentet i en brudlinie 130 5.2.3 Flydelinier i plader 131 5.2.4 Geometrisk mulig flydemekanisme (brudfigur) 133 5.2.5 Arbejdsligningen 134 5.2.6 Rektangulær plade 137 5.2.7 Vippere 148 5.2.8 Knudekræfter 149 5.2.9 Enkeltkræfter 153 5.2.10 Indre søjler 154 5.2.11 Søjler nær fri kant 157 5.2.12 Linielast på rand 160 5.2.13 Affinitetssætning 162 5.3 Membraneffekt 164 5.3.1 Trækmembran 165 5.3.2 Trykmembraneffekt 166 5.3.3 Beregning af membraneffekter 167 5.4 Opgaver 168 Litteratur 173 Indeks 175