Analogregnemaskinen Datahistorisk Forening 30/8 2007
Analogregnemaskiner bygger på ÆKVIVALENSRELATION: Ækvivalensen mellem en fysisk størrelse og en skalaaflæsning Eksempel: Fysisk længder ~ talværdier Regnestokken blev opfundet omkring 1620-1630
Løsning af dynamiske problemer med ækvivalensprincippet Effekten ændres i et spring Spændingen V ændres i et spring
Differential analysator. Princippet opfundet i 1876 af James Thompson (broder til Lord Kelvin) Meccano-udgave fra 1934
Bombesigte fra 2. verdenskrig
Elektronisk analogregnemaskine Første udgave på DTU (DTH) Udviklet ved Servolaboratoriet 1956-1957 I
Operationsforstærkerens karakteristika: Vi Vni _ + V+ (+forsyningsspænding) Vout V- (-forsyningsspænding) - Differensforstærker Indgangssignaler Vni og Vi Udgangssignal Vout = A * ( Vni Vi )
Operationsforstærkerens karakteristika: Vi Vni _ + V+ (+forsyningsspænding) Vout V- (-forsyningsspænding) - Differensforstærker Indgangssignaler Vni og Vi Udgangssignal Vout = A * ( Vni Vi ) - Udstyringsområde (typisk) Rørforstærkere: +/- 100V Halvlederstærkere: +/- 10V
Operationsforstærkerens karakteristika: Vi Vni _ + V+ (+forsyningsspænding) Vout V- (-forsyningsspænding) - Differensforstærker Indgangssignaler Vni og Vi Udgangssignal Vout = A * ( Vni Vi ) - Udstyringsområde (typisk) Rørforstærkere: +/- 100V Halvlederstærkere: +/- 10V - Forstærkning f = 0 Hz (DC) A > 100dB ( > 100.000 x ) f > 100 khz A < 0 db ( < 1 x )
Operationsforstærkerens karakteristika: Vi Vni _ + V+ (+forsyningsspænding) Vout V- (-forsyningsspænding) - Differensforstærker Indgangssignaler Vni og Vi Udgangssignal Vout = A * ( Vni Vi ) - Udstyringsområde (typisk) Rørforstærkere: +/- 100V Halvlederstærkere: +/- 10V - Forstærkning f = 0 Hz (DC) A > 100dB ( > 100.000 x ) f > 100 khz A < 0 db ( < 1 x ) - DC-drift (korttids) Rørforstærkere < 3 mv/time Halvledere < 1 uv
Operationsforstærkerens karakteristika: Vi Vni _ + V+ (+forsyningsspænding) Vout V- (-forsyningsspænding) - Differensforstærker Indgangssignaler Vni og Vi Udgangssignal Vout = A * ( Vni Vi ) - Udstyringsområde (typisk) Rørforstærkere: +/- 100V Halvlederstærkere: +/- 10V - Forstærkning f = 0 Hz (DC) A > 100dB ( > 100.000 x ) f > 100 khz A < 0 db ( < 1 x ) - Dc-drift (korttids) Rørforstærkere < 3 mv / time Halvledere < 1 uv / Kelvin - Indgangsimpedanser: >> 100 megohm
Operationsforstærkerens karakteristika: Vi Vni _ + V+ (+forsyningsspænding) Vout V- (-forsyningsspænding) - Differensforstærker Indgangssignaler Vni og Vi Udgangssignal Vout = A * ( Vni Vi ) - Udstyringsområde (typisk) Rørforstærkere: +/- 100V Halvlederstærkere: +/- 10V - Forstærkning f = 0 Hz (DC) A > 100dB ( > 100.000 x ) f > 100 khz A < 0 db ( < 1 x ) - Dc-drift (korttids) Rørforstærkere < 3 mv/time Halvledere < 1 uv/ grad C - Indgangsimpedanser: >> 100 megohm - Udgangsimpedans: << 100 ohm
Passive komponenter Indgangsnetværk Feedbacknetværk Vin Spændingskilde Høj-impedanset voltmeter _ 0 +. Spændingskilde Vout
Anvendelse af operationsforstærkere i analogregnemaskiner Simpel forstærkning Rf V+ V+ V1 Vin R1 2 3 - + 8 V+ V- OUT 1 Vout V2 0 0 4 V- V-
Anvendelse af operationsforstærkere i analogregnemaskiner Simpel forstærkning Rf V+ V+ V1 Vin R1 2 3 - + 8 V+ V- OUT 1 Vout V2 0 0 4 V- V- Vout = - Vin * ( Rf / R1)
Fortegnsvending uden forstærkning Rf V+ V+ V1 Vin R1 2 3 - + 8 V+ V- OUT 1 Vout V2 0 0 4 V- V- R1 = Rf Vout = -Vin
Kontinuert variabel forstærkning Rf Vin V+ V+ V1 Potentiometer Deleforhold k 0 < k < 1 k * Vin R1 2 3 - + 8 V+ V- OUT 1 Vout V2 0 0 0 4 V- V- Vout = Vin Rf k R1
Vægtet summation Rf Vin1 R1 V+ V+ V1 Vin2 Vin2 R2 R3 2 3 - + 8 V+ V- OUT 1 Vout V2 0 0 4 V- V- Vout = Vin1 Rf R1 + Vin2 Rf + Vin3 Rf R2 R3
Integrator C V+ V+ V1 Vin R 2 3 - + 8 V+ V- OUT 1 Vout V2 0 0 4 V- V-
Integrator C V+ V+ V1 Vin R 2 3 - + 8 V+ V- OUT 1 Vout V2 0 0 4 V- V- Vout = 1 R C t 0 Vin dt
DIAGRAM SYMBOLER Blokdiagram Koblingsskema Vægtet addition Forstærker nummer x y 1 2 + + X + 2y + 10z x y z 1 2 10 # - (X + 2y + 10z) z 10 + Integration 2 x 2 s t x t d 0 x 2 # 2 t 0 x dt Multiplikation med konstant < 1 Potentiometer nummer x 0,57 0,57 x x # 0,57 x 0,57
Eksempel: Svingende masse (x og y betegner positionsændringer ud fra den stationære tilstand) x Lodret styret ophæng k Fjeder y m Masse c Dæmper
Eksempel: Svingende masse (x og y betegner positionsændringer ud fra den stationære tilstand) x Lodret styret ophæng k Fjeder Kraftændringer virkende på massen, regnet positiv opad : Fjeder: K f = k (x y) y m Masse. Dæmper: K d = - c * dy / dt = - c * y.. Masse: K m = - m * d 2 y / dt 2 = - m * y c Dæmper
Eksempel: Svingende masse (x og y betegner positionsændringer ud fra den stationære tilstand) x Lodret styret ophæng k Fjeder Kraftændringer virkende på massen, regnet positiv opad : Fjeder: K f = k (x y) y m Masse. Dæmper: K d = - c * dy / dt = - c * y.. Masse: K m = - m * d 2 y / dt 2 = - m * y Kræfternes sum = 0, dvs. c Dæmper... k (x y) - c y - m y = 0 Ordnet:.. k c. y = * ( x - y - y ) m k
Eksempel: Svingende masse (x og y betegner positionsændringer ud fra den stationære tilstand) x Lodret styret ophæng k Fjeder Kraftændringer virkende på massen, regnet positiv opad : Fjeder: K f = k (x y) y m Masse. Dæmper: K d = - c * dy / dt = - c * y.. Masse: K m = - m * d 2 y / dt 2 = - m * y Kræfternes sum = 0, dvs. c Dæmper... k (x y) - c y - m y = 0 Ordnet:.. k c. y = * ( x - y - y ) m k
. y = t 0 t... y dt y = y dt 0 Blokdiagram.. y ẏ y Koblingsskema... - y 1 y 1 - y
Differentialligning.. k c. y = * ( x - y - y ) m k For m = 10 kg, c = 2 N sek / m, k = 10 N / m fås... y = x - y - 0,2 y Koblingsskema x 1 - y 1 1... - y 1 y 1 - y 1-0,2 y. -ẏ 1 0,2 y Signalgenerator Oscilloskop
Simulering af den svingende masse med Mathlab Simulink Blokkene -1/s simulerer analogregnemaskinens integratorer x(t) Step y(t) Scope -1 Gain -1 s Transfer Fcn -1 s Transfer Fcn1-1 Gain2-0.2 Gain1
Anvendelse af Laplace-operatoren s Tidsdomænet Laplace-domænet x( t) X( s) d dt x( t) x dt.... a 2 y(t) + a 1 y(t) + a 0 y(t) = b 0 x(t) sx( s) X( s) s a 2 s 2 Y(s) + a 1 sy(s) + a 0 Y(s) = b 0 X(s) Heraf (a 2 s 2 + a 1 s + a 0 ) Y(s) = b 0 X(s) Overføringsfunktion Y(s) X(s) = b o a 2 s 2 + a 1 s + a 0
En noget enklere simulering med Mathlab Simulink Differentialligningen for den svingende masse:... y = x - y - 0,2 y Laplace-transformation: s 2 Y(s) = X(s) - Y(s) - 0,2 sy(s) Ordnet: (s 2 + 0,2 s + 1) Y(s) = X(s) Overføringsfunktion: Y X 1 (s) = s2 + 0,2 s + 1 Simulering med Mathlab Simulink: Step 1 s 2+0.2s+1 Transfer Fcn Scope
Eksempler på større analogsimuleringer udført af undertegnede Temperaturforløbet i en gammeldags kølevogn, kølet af smeltende is-barrer
Eksempler på større analogsimuleringer udført af undertegnede Temperaturforløbet i en gammeldags kølevogn, kølet af smeltende is. Styring af hejseværker i portalkran (for B&W)
Eksempler på større analogsimuleringer udført af undertegnede Temperaturforløbet i en gammeldags kølevogn, kølet af smeltende is. Styring af hejseværker i portalkran (for B&W) Styring af et missil (for norsk forsvarsindustri)
Eksempler på større analogsimuleringer udført af undertegnede Temperaturforløbet i en gammeldags kølevogn, kølet af smeltende is. Styring af hejseværker i portalkran (for B&W) Styring af et missil (for norsk forsvarsindustri) Beregning af trykstød i en pipeline af plast (for Dansk Salt) Styring af pumperne til omtalte pipeline
Eksempler på større analogsimuleringer udført af undertegnede Temperaturforløbet i en gammeldags kølevogn, kølet af smeltende is. Styring af hejseværker i portalkran (for B&W) Styring af et missil (for norsk forsvarsindustri) Beregning af trykstød i en pipeline af plast (for Dansk Salt) Styring af pumperne til omtalte pipeline Synkronisering af skibsdieselmotorer
Eksempler på større analogsimuleringer udført af undertegnede Temperaturforløbet i en gammeldags kølevogn, kølet af smeltende is. Styring af hejseværker i portalkran (for B&W) Styring af et missil (for norsk forsvarsindustri) Beregning af trykstød i en pipeline af plast (for Dansk Salt) Styring af pumperne til omtalte pipeline Synkronisering af skibsdieselmotorer Beregning af temperatursvingningerne i Ørsted-satellitten
Det omvendte pendul
Magnetisk vekselfelt 0 x-akse Pendul Trækstang Detektor 1 Oscillator 40kHz Detektor 2
U1 U2 Detektor 2 U2-U1 U2 - U1 Udnyttet område 0 x Pendulhovedets position 0 x Pendulhovedets position
Joystick Setpunkt Forstærkning i ydre sløjfe (intern indstilling) Forstærkning i servosløjfe (intern indstilling) Detektor 2 Forstærker, filter og ensretter Detektor 1 Forstærker, filter og ensretter + _ + _ PD-regulator Position af magn. sender Extern omskifter Kør + Centrum _ PD-regulator Position af motoraksel Effektforstærker Magnetisk vekselfelt, 40 khz Modtagerspole Sender Modtagerspole Servopotentiometer Senderspænding extern indstilling Forstærkning Spændingsregulator Motor + gear "Det omvendte pendul" Principdiagram for én kanal
Matematikken i det omvendte pendul y Tyngdepunkt F Masse m L m G ~ Masseløs stang bevægelse 0 x L = 0,5 m, G = 9,8 m/sek 2
Matematikken i det omvendte pendul Pendulets vinkel v i forhold til lodret fås af: y sin(v) = (y x) / L Tyngdepunkt F Masse m Vandret kraft i tyngdepunktet for små vinkler : F = m G tg(v) ~ m G (y x) / L L m G ~ Masseløs stang bevægelse 0 x L = 0,5 m, G = 9,8 m/sek 2
Matematikken i det omvendte pendul Pendulets vinkel v i forhold til lodret fås af: y sin(v) = (y x) / L Tyngdepunkt F Masse m Vandret kraft i tyngdepunktet for små vinkler :.. Newtons 2. lov: F = m y F = m G tg(v) ~ m G (y x) / L L m G.. Heraf fås: m y = m G (y x) / L.. y = (G/L) (y x) ~ Masseløs stang bevægelse 0 x L = 0,5 m, G = 9,8 m/sek 2
Matematikken i det omvendte pendul Pendulets vinkel v i forhold til lodret fås af: y sin(v) = (y x) / L Tyngdepunkt F Masse m Vandret kraft i tyngdepunktet for små vinkler :.. Newtons 2. lov: F = m y F = m G tg(v) ~ m G (y x) / L L m G.. Heraf fås: m y = m G (y x) / L Laplacetransformeret:.. y = (G/L) (y x) ~ Masseløs stang bevægelse s 2 Y(s) = (G/L) (Y(s) X(s)) [s 2 (G/L)] Y(s) = (G/L) X(s) 0 x L = 0,5 m, G = 9,8 m/sek 2
Matematikken i det omvendte pendul Pendulets vinkel v i forhold til lodret fås af: y sin(v) = (y x) / L Tyngdepunkt F Masse m Vandret kraft i tyngdepunktet for små vinkler :.. Newtons 2. lov: F = m y F = m G tg(v) ~ m G (y x) / L L m G.. Heraf fås: m y = m G (y x) / L Laplacetransformeret:.. y = (G/L) (y x) ~ Masseløs stang bevægelse s 2 Y(s) = (G/L) (Y(s) X(s)) [s 2 (G/L)] Y(s) = (G/L) X(s) Overføringsfunktion: 0 x L = 0,5 m, G = 9,8 m/sek 2 Y(s) X(s) (G/L) = = s 2 (G/L) 20 s 2 20 = 20 (s 4,5)(s + 4,5)
Pendulet uden regulering Step x(t) -20 s 2+-20 Transfer Fcn y(t) Scope Pendulets bund x(t) Pendulets top y(t)
Detaljeret simulering Step 0.05 1 0.2s+1 Indgangsfilter -4.0 Gain 0.2s+1 0.04s+1 D-led 0.13e4 s 2+100s+1e4 Servo w = 100rad/s dæmpning = 0.5 Begrænsning +/-0.06m -20 s 2+-20 Pendul Scope 4.6 1e-12s 3+3e-8s 2+3e-4s+1 Detektorfilter wn = 1e4 rad/s 3. orden, kritisk
Pendulets bevægelser Indgangssignal Pendulbund Pendultop
Analogregnemaskinen kontra datamaten Ulemper ved analogregnemaskinen Pladskrav Mange ledninger Begrænset talområde Begrænset regnenøjagtighed Fordele ved analognemaskinen Fremragende interaktivitet med brugeren Fremragende programmering af simuleringsopgaver, med såvel lineære og ulineære elementer Simulering af dynamiske systemer uden sampling-fejl Umiddelbar respons Konklusion Analogregneteknikken overlever som form, men emuleret på datamater