Eksamensspørgsmål: Trekantberegning

Transkript

1 Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8 Vinkelsummen i en trekant er Vinkelsummen af de to spidse vinkler i en retvinklet trekant er Definition af Sinus og Cosinus Til enhver spids vinkel kan vi knytte et tal, vi kalder sinus til vinklen og et tal, vi kalder cosinus til vinklen. Det gør vi på følgende måde: Lad os betragte en spids vinkel v. Den placerer vi i et koordinatsystem således, at vinklens toppunkt ligger i koordinatsystemets begyndelsespunkt og så højrebenet falder sammen med x- aksen. Peter Sørensen Matematik C for hf, intyeraktivt Mundtlig eksamen: Trekantberegning side 1 / 8

2 I koordinatsystemet tegnes en cirkel med radius 1 og centrum i koordinatsystemets begyndelsespunkt. Fra skæringspunktet mellem vinklens venstre ben og cirklen tegnes en lodret linje hen til x-aksen. Det tal, som denne linje rammer kaldes Cos(v) eller blot Cos v. Det udtales cosinus til vinklen. Endvidere tegnes fra skæringspunktet en vandret linje hen til y-aksen. Det tal, som denne linje rammer kaldes Sin(v) eller blot Sin v. Det udtales sinus til vinklen. Peter Sørensen Matematik C for hf, intyeraktivt Mundtlig eksamen: Trekantberegning side 2 / 8

3 Der er opstået en retvinklet trekant med den ene katete langs x-aksen og da radius er 1, får denne trekant en hypotenuse med længden 1. En retvinklet trekant med hypotenusen 1 kaldes en standardtrekant Den til vinkel v hosliggende katete i standardtrekanten har længden Cos v, og den modstående katete har længden Sin v. Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne Vi betragter en retvinklet trekant: og en standardtrekant ensvinklet med den forelagte: Vi skal bevise Sin( A) a c Skalafaktoren (forstørrelsesfaktoren) fra standardtrekanten til den forelagte er c a a og a c Sin( v) Sin( v) Sin( A) c c, hvilket skulle vises Peter Sørensen Matematik C for hf, intyeraktivt Mundtlig eksamen: Trekantberegning side 3 / 8

4 Cosinusformlen bevises på tilsvarende måde. Tangens Sin( v) Tan( v) Definition: Cos( v) a Tan( A) Formel: b hvor bogstaverne henviser til en retvinklet ΔABC med den rette vinkel i C Bevis:, hvilket skulle bevises. Pythagoras s sætning c² = a² + b² Sagt med ord: kvadratet på hypotenusen er lig summen af kateternes kvadrater Peter Sørensen Matematik C for hf, intyeraktivt Mundtlig eksamen: Trekantberegning side 4 / 8

5 Pythagoras s sætning kan illustreres således: Det store kvadrat og de to små har samme areal. Peter Sørensen Matematik C for hf, intyeraktivt Mundtlig eksamen: Trekantberegning side 5 / 8

6 Bevis for Pythagoras's sætning: Vinkel C er 90 Denne retvinklede trekant kopieres 4 gange over i et stort kvadrat med sidelængden a+b. Se nedenfor til venstre. Der opstår et kvadrat inde i midten med sidelængden c og arealet c². Det store kvadrat til højre er magen til. Her indtegnes et lille kvadrat oppe i venstre hjørne med sidelængden a og i nederste højre hjørne et kvadrat med sidelængden b. Resten af det store kvadrat fyldes ud med 4 kopier af den forelagte retvinklede trekant. Lighedstegnet mellem de to figurer betyder, at de har samme areal. = Vi fjerner nu 4 trekanter fra både figuren til venstre og fra figuren til højre, og vi får: Peter Sørensen Matematik C for hf, intyeraktivt Mundtlig eksamen: Trekantberegning side 6 / 8

7 = Altså c² = a² + b² Man kan måske tvivle på om firkanten til venstre nu også er et kvadrat. Lad bevise at firkanten er et kvadrat. En firkant kaldes et kvadrat, hvis alle sider er lige lange og alle vinkler er 90. 1) De 4 sider har alle længden c og er således lige lange. 2) Vi betragter den ene af vinklerne samt dens 2 nabovinkler. Vi skal bevise at v = 90 Vinkel A og B er de to spidse vinkler i den oprindelige retvinklede trekant, og er tilsammen 90. Vinkel v må således være 90, da summen af de 3vinkler er 180 Et tilsvarende argument gælder for de 3 andre firkantvinkler, og derfor er firkanten et kvadrat. Arealet af en trekant er ½ højde gange grundline Vi bruger formlen: A=½h g anskueliggøre formlen. Betragt et rektangel med samme og højde: Vi vil nu grundlinje Firkantens areal er h g Vi ser De to områder med er lige store og de to områder med er lige store. Derfor er arealet af trekanten det halve af firekantens areal, altså : A=½h g Peter Sørensen Matematik C for hf, intyeraktivt Mundtlig eksamen: Trekantberegning side 7 / 8

8 Vinkler Ensliggende vinkler er lige store Topvinkler er lige store Vinkelsummen i en trekant er 180 Det bevises således: Ved trekantvinklen u er tegnet en linje parallel med modstående side. De to vinkler v er lige store fordi det er ensliggende vinkler ved parallelle linjer. Det samme gælder de to vinkler w De to vinkler u er lige store, fordi de er topvinkler. Herefter ses det umiddelbart at vinkelsummen u + v + w = 180 Vinkelsummen af de to spidse vinkler i en retvinklet trekant er 90 Bevis: Vinkelsummen er lig 180 minus den rette vinkel på 90, altså = 90 Peter Sørensen Matematik C for hf, intyeraktivt Mundtlig eksamen: Trekantberegning side 8 / 8