Matematik for lærerstuderende Epsilon 1.-6. klassetrin

Matematik for lærerstuderende Epsilon 1.-6. klassetrin 72497_epsilon_2k.indd 1 17-07-2008 15:20:40

72497_epsilon_2k.indd 2 17-07-2008 15:20:40

Kristine Jess, Jeppe Skott, Hans Christian Hansen og John Schou Matematik for lærerstuderende Epsilon 1.-6. klassetrin Forlaget Samfundslitteratur 72497_epsilon_2k.indd 3 17-07-2008 15:20:40

Kristine Jess, Jeppe Skott, H.C. Hansen, John Schou Matematik for lærerstuderende Epsilon 1.-6. klassetrin 1. udgave 2008 2008, Forlaget Samfundslitteratur Omslag: Imperiet Tegninger: John Kehlet Schou Forlagsredaktion: Ole Jørgensen Projektledelse: Thomas Bestle Sats og tryk: Narayana Press, Gylling Printed in Denmark 2008 ISBN 978 87 593 1336 7 Kapitel 1. Figur 1 foto Scanpix/Reuters. Figur 5 og 6 er fra NCTM 2003. Figur 7 er udarbejdet efter Carpenter T.P. m.fl. 1999. Kapitel 2. Figur 1 er fra Karim Nice: How odometers work, www.howstuffworks. Figuren på side 55 er fra C. Juel 1902. Figuren på side 56 er fra Bonnesen, T. 1904. Figur 2 5 stammer fra Bundgaard, A og Eva Kyttä 1965. Kapitel 4. Figur 1: se figur 6 i kapitel 1. Skemaet på side 106 er fra McClain, K. m.fl. 1998. Figur 16 er fra Fuson, K.C. 2003. Figur 20 og 21 er fra National Research Council (2001). Figur 22 er omtegnet efter Ma, L. 1999. Kapitel 6. Figur 16 foto Evanherk, Wikimedia Commons. Kapitel 10. Figur 3, 5 og 7 er fra Lehrer, R. m.fl. 1999, mens figur 4 er en dansk elevs omtegning af en figur fra samme kilde. Kapitel 16. Figur 1, 2 og 3 er omtegnet fra Russell, S.J. 2006. Forlaget har ikke kunne lokalisere alle rettighedshavere til bogens illustrationer og opfordrer derfor sådanne med vederlag til gode til at kontakte forlaget på nedenstående adresse. Forlaget Samfundslitteratur Rosenørns Alle 9 1970 Frederiksberg C Tlf. 38153880 Fax 35357822 www.biofolia.dk Alle rettigheder forbeholdes Kopiering af denne bog må kun finde sted på institutioner, der har indgået aftale med COPY-DAN, og kun inden for de i aftalen nævnte rammer. Undtaget herfra er korte uddrag til anmeldelser. 72497_epsilon_2k.indd 4 17-07-2008 15:20:40

Indhold Forord 11 DEL I DE NATURLIGE TAL Introduktion 17 1 Børns talbegreber og regneoperationer i og omkring de første skoleår 19 Tal og det at tælle 20 Det indledende arbejde med tal en tradition og kritikken af den 24 Indledende addition og subtraktion 34 Additive situationer når addition og subtraktion kan bringes i spil 38 Udviklingen i børns arbejde med additive situationer 41 Opsamling på kapitel 1 46 2 Matematiske teorier for naturlige tal 47 Tælletal (ordinaltal) 47 Peanos aksiomer 48 Definition af talnavne i titalssystemet 49 Definition af regningsarterne + og 51 Mængdetal (kardinaltal) 55 Addition og multiplikation af kardinaltal 60 Fusionen mellem tælleremse og mængdetal 63 Modsatte regningsarter 64 Ordning af de naturlige tal 68 Hvordan får vi styr på uendeligheden? 70 Mængdetallene bryder uendelighedsmuren 70 Tælletallene når aldrig uendelig 73 Induktionsbeviset 74 Et induktionsbevis i grafteori 74 Tælling hinsides uendelig 76 Opsamling på kapitel 2 79 Indhold 5 72497_epsilon_2k.indd 5 17-07-2008 15:20:40

3 Positionssystemer og regnealgoritmer 81 Alfabetaland 81 Fordelene ved positionssystemer 83 Positionssystem med vilkårligt grundtal 84 Regnealgoritmer i andre talsystemer 88 Opsamling på kapitel 3 91 4 Elevers opfattelse af og regning med flercifrede tal 93 Titalssystemet et positionssystem 94 Addition og subtraktion af flercifrede tal 96 Andre materialer: den åbne tallinje og taltavlen 100 Hen imod relativt standardiserede metoder 104 Indledende multiplikation og division 113 Multiplikative situationer 115 Udviklingen i børns arbejde med multiplikative situationer 119 Forståelse kontra færdighed? 125 Opsamling på kapitel 4 128 Del II TALTEORI OG MØNSTRE Introduktion 133 5 Talteori 135 Hvordan finder man primtal? 136 Euklids algoritme 139 Diophantiske ligninger 142 Aritmetikkens fundamentalsætning 145 Praktiske anvendelser af primfaktoropløsning 147 Største fælles divisor og mindste fælles multiplum 149 Opsamling på kapitel 5 150 6 Talmønstre og figurrækker 151 Udvikling i femkanttallene 153 Induktionsbeviser 161 Elevers og studerendes arbejde med figurmønstre 163 Bestemmelse af en formel med computerhjælp 166 Hanoitårnet, fraktaler og fibbonaccital 171 Opsamling på kapitel 6 176 6 Indhold 72497_epsilon_2k.indd 6 17-07-2008 15:20:41

7 Konkrete materialer i matematikundervisningen 177 Hvorfor konkrete materialer? 178 Hvad er konkrete materialer, og hvordan kan de bruges? 180 Afstanden mellem et konkret materiale og et matematisk begreb 183 Konkrete materialers gennemsigtighed 185 Andre opmærksomhedsfelter vedr. konkrete materialer 190 Opsamling på kapitel 7 191 Del III ALGEBRA Introduktion 195 8 Tidlig algebra 197 Tidlig algebra hvad er det? 199 Variable og funktioner i tidlig algebra 200 Carraher, Schliemann m.fl.: funktioner og variable som tilgang til addition 201 Flere eksempler på aktiviteter med variable i indskolingen 204 Ligninger og lighedstegnet 209 Andre eksempler på aktiviteter i tidlig algebra 211 Argumenter omkring lighedstegnet 212 Læring af algebra i et semiotisk perspektiv 215 Kontekstens betydning 217 Opsamling på kapitel 8 219 9 Variable 221 Den ukendte som pladsholder og som variabel 222 Variablen i formler og funktioner 229 Opsamling på kapitel 9 236 Indhold 7 72497_epsilon_2k.indd 7 17-07-2008 15:20:41

Del IV GEOMETRI Introduktion 239 10 Geometri i de første skoleår 243 Geometri som kulturel aktivitet 244 Måling i indskolingen om at bestemme længder 248 Richard Lehrer, m.fl.: at udvikle måleværktøjer med mening 250 Clements: at udvikle mening i måleværktøjer 254 Måling og andre faglige områder 256 At arbejde med form i indskolingen 258 Fra tegning til diagram 259 Opfattelse af og fysiske erfaringer med former 260 Begrebsdannelse og geometriske former 263 Van Hieles niveauer 265 Kritik af og inspiration fra van Hieles 267 Opsamling på kapitel 10 271 11 Flytninger, eksperimentelt og teoretisk 273 Eksperimentel flytningsgeometri 274 Flytningernes fænomenologi 276 Kombinationer af flytninger 279 Deduktiv flytningsgeometri 284 Vores teoretiske model: isometrierne 284 Refleksionerne som byggesten for isometrier 286 Hovedsætningen om isometrier 291 Klassifikation af alle flytninger i planen 293 Opsamling på kapitel 11 301 12 Symmetrier og mønstre i verden og i geometrien 303 Symmetri i enkeltformer 303 Frisemønstre 311 Tapetmønstre og fliser 314 Konstruktion af fantasifulde flisemønstre 315 En duft af krystallografi 318 Opsamling på kapitel 12 321 8 Indhold 72497_epsilon_2k.indd 8 17-07-2008 15:20:41

13 Den elementære skolematematik, perspektiveret ved symmetrier og flytningsregning 323 Karakteristik af de almindeligste polygonale former i skolen 324 Symmetrier i van Hieles didaktik 325 Den perfekte cirkel, ellipsen og ovalen 327 Gruppen, en alternativ regneverden 329 Betydningen af gruppeteori i strukturundersøgelser 338 Opsamling på kapitel 13 339 14 Eksperimentelle undersøgelser af former i rummet 341 Genopdagelse af de platoniske legemer 342 Eulers polyedersætning 343 Descartes spidsheder 344 Halvregulære polyedre som inspiration 346 Opsamling på kapitel 14 349 15 Geometri i nyere tid 351 Grafteori 351 Teorien for Eulerture 354 Eulers polyedersætning med grafteoretisk bevis 357 Topologi og eulertallet 362 Kuglefladen 363 Baderinge (torusser) og Möbiusbånd 364 Taxageometri i plan og rum 365 Opsamling på kapitel 15 367 Del V STOKASTIK Introduktion 371 16 Databehandling 373 At arbejde med data de første skoleår 375 Hvad indgår i at arbejde med data? 375 Perspektiver på data 378 Prøv at være datadetektiv 386 Elever som datadetektiver 391 Opsamling på kapitel 16 393 Indhold 9 72497_epsilon_2k.indd 9 17-07-2008 15:20:41

17 Sandsynligheder i skolens yngste klasser 395 Strategier for tilrettelæggelse af undervisning 396 Et eksempel på sandsynlighedsundervisning i den franske skole 398 Elevers forståelse af sandsynligheder 402 Statistiske sandsynligheder 408 En vifte af metoder til løsning af en enkelt elevopgave 411 1. Det konkrete eksperiment 412 2. Det simulerede eksperiment 412 3. Teoretisk beregning baseret på hele tal, tælletræ 413 4. Teoretisk beregning under anvendelse af brøkbegrebet 415 5. Chancetræer. Teoretisk behandling under anvendelse af addition og multiplikation af brøker 415 Reducerede chancetræer og betinget sandsynlighed 419 Opsamling af kapitel 17 426 Referencer 429 Stikordsregister 437 10 Indhold 72497_epsilon_2k.indd 10 17-07-2008 15:20:41

Forord Matematik for lærerstuderende er et lærebogssystem, der afspejler, at linjefaget i matematik er blevet stærkt forøget i forhold til tidligere årtier. Det giver nogle helt nye muligheder for, at den studerende kan kvalificere sig til den kommende praksis. Der er tildelt næsten den dobbelte studietid til linjefagsuddannelsen, og det endda selv om den studerende nu kun skal kvalificere sig til at undervise på seks af skolens klassetrin. Den studerende, der går i gang med denne bog, vil have valgt specialiseringen mod grundskolens begynder- og mellemtrin. Den studerende, der bruger systemet Matematik for lærerstuderende, vil under fællesdelen have arbejdet med det meste af ϒ-bogen og en god del af den almene fagdidaktik i δ-bogen samt selvfølgelig de ting, som man lokalt er blevet enige om at lægge særlig vægt på. Formålet med denne ε-bog er at levere fagligt og fagdidaktisk materiale, således at den lærerstuderende kan specialisere sig til at være lærer på 1.-6. klassetrin. Det mere almene fagdidaktiske stof vil stadig skulle søges i δ-bogen, mens den fagdidaktik/stofdidaktik, der retter sig specifikt mod de faglige emner i de første skoleår, findes her i ε-bogen. For en typisk lærerstuderende med en god baggrund i matematik fra ungdomsuddannelserne vil det at være matematiklærer i 1.-6. klasse opleves som en større udfordring end at være lærer på sluttrinnet. Rent fagligt er forskellen på det, man selv kan, og det man skal undervise i, så stor, at man nemt kommer til at tage fejl af børnenes forudsætninger og behov. Derfor er der på dette niveau et helt særligt behov for at lære om elevernes forforståelser og medbragte tankegods. Det er også velkendt, at eleverne på godt og ondt har større formbarhed i de tidlige skoleår. Her dannes ikke blot de første faglige begreber, men også elevens holdninger og indstillinger til matematik bliver formet derfor er lærerens ansvar særlig stort. Så kan man vel bare bruge ekstra meget tid på de første skoleårs matematikdidaktik og lægge mindre vægt på det rent faglige, der vel ikke kan være Forord 11 72497_epsilon_2k.indd 11 17-07-2008 15:20:41

så krævende i 1.-6. klasse? Nej, for her må man skelne mellem, hvad der er elevens behov, og hvad der er lærerens behov. En moderne matematikundervisning bygger i stort omfang på, at læreren fanger idéer og udsagn fra dialogerne i klasseværelset og i en videre dialog styrker fagligheden hos den enkelte og i klassen som helhed. For at kunne gøre dette kræves en ret stor faglighed ikke den videregående matematik, men en stor bredde i den elementære matematik. Matematiklæreren skal kunne præsentere begreber og metoder på mange måder, så der er tilgange, der taler til hver enkelt elevs forestillinger. Den lærerstuderende skal imidlertid også udvikle sine egne matematiske kompetencer, som de er beskrevet i bekendtgørelsen for læreruddannelsen og som de fx vil blive evalueret ved en centralt stillet, skriftlig prøve. Vi har derfor skrevet ε med en overvægt af matematikfagligt stof, men i hver af bogens fem dele er der tillige mindst ét fagdidaktisk kapitel. Nogle af de faglige emner behandles ret kortfattet, idet de har fået en grundig behandling i ϒ -bogen. Mange vil sikkert have sprunget over dele af ϒ -bogen i linjefagets fællesdel. I så fald er det tanken, at man indtænker disse dele undervejs i arbejdet med ε-bogen Som forfattere har vi søgt at lette dette arbejde ved ofte at referere til de relevante steder i ϒ-bogen. Strukturen i denne bog Den første del af bogen drejer sig om et emne, der gennem generationer har været dominerende i de første skoleår, nemlig de naturlige tal. Behandlingen af de naturlige tal i del I har et dobbelt sigte. Dels skal læseren på egen krop genopleve den store og vanskelige kulturarv, der ligger i at håndtere de naturlige tal. Og dels skal læseren få lejlighed til at kende områdets stofdidaktik. Del I består af fire kapitler, hvoraf det første sætter scenen ved at se på børns talbegreber og regneoperationer i og omkring det første skoleår. Derefter inviteres læseren til selv at prøve kræfter med de naturlige tal i to kapitler om henholdsvis matematiske teorier for naturlige tal og dernæst positionssystemer og regnealgoritmer. I det afsluttende kapitel sætter vi igen fokus på eleverne og stofdidaktikken i et kapitel om elevers opfattelse af og regning med flercifrede tal. Vi prøver dér at give et indtryk af den typiske udvikling i børns indledende arbejde med de fire regningsarter for flercifrede tal. 12 Forord 72497_epsilon_2k.indd 12 17-07-2008 15:20:41

I den anden del graver vi lidt dybere ned i de naturlige tals verden for bl.a. at tilfredsstille det mål i den aktuelt gældende danske læreruddannelse, at den kommende matematiklærer skal kunne redegøre for dybde og sammenhæng mellem folkeskolefagets stofområder på begynder- og mellemtrin og dele af videnskabsfaget matematik. Det sker bl.a. ved, at vi tager fat i emnet talteori, der bringer os om ad klassiske teknikker som Eratosthenes si, Euklids algoritme og løsning af diophantiske ligninger, før vi igen lander i skolens hverdag og ser på, hvordan dette stof kan give anledning til aktiviteter i skolen. Men vi vil også se på talmønstre og figurrækker, der er et af de nyere emner i grundskolen. Her inviteres læseren på den ene side til at gå på opdagelse i talmønstre og fastholdes på den anden side i kravet om bevis, hvilket i denne sammenhæng typisk vil være induktionsbeviset. Arbejdet med talmønstre og figurrækker lægger op til det arbejde med funktioner og variable, som er overskriften for bogens del III. Funktioner og variable er måske ikke det første, man tænker på i forbindelse med matematikundervisning i de første skoleår, men vi tilslutter os den dominerende holdning blandt fagdidaktikere om, at det er vigtigt at starte tidligt med variabelbegrebet i skolen. I matematikdidaktikken hedder dette felt tidlig algebra, og vi vil i nogle cases se på og reflektere over, hvordan børn kan arbejde med ubekendte og variable på alderssvarende niveau. Samtidig med, at læseren således får indblik i stofdidaktikken på området, inviteres der til, at man på eget niveau arbejder med variabelbegrebet, som det kommer til udtryk i ligninger, formler og funktioner, således at man er fagligt rustet, når eleverne selv finder sidespor og beder læreren om hjælp. Vi har i ϒ-bogenarbejdet med mange af de centrale geometriske emner, som vi derfor ikke vil tage op igen i denne fremstilling. Tilbage står dog en række vigtige geometriske emner, som er relevante for 1.-6. klasse, og som tages op i del IV, nemlig: flytninger, symmetrier samt formlæren i rummet og nyere geometrier som grafteori og taxageometri. Symmetrier og mønstre indgår i matematikundervisningen fra de første skoleår og findes i alle lærebogssystemer. Vi vil også benytte symmetrier og flytninger til at perspektivere dele af undervisningen i tal og geometri i de første skoleår. I del IV tilgodeses det stofdidaktiske aspekt i et indledende kapitel med Forord 13 72497_epsilon_2k.indd 13 17-07-2008 15:20:41

fokus på måling og den geometriske begrebsudvikling hos børn, bl.a. som den er fremstillet hos den hollandske didaktiker van Hiele. Læseren vil via de sidste kapitler af ϒ -bogen have et bredt fagligt og stofdidaktisk fundament for arbejdet med stokastik i skolen. Det supplerer vi her i del V med et særligt fokus på stokastikken i de tre første skoleår. Samtidig vil vi gerne fortsætte den holdningsbearbejdning, vi startede på i ϒ -bogen, hvor vi prøvede at få læseren til at lægge mere vægt på tolkning af konkrete data end på at bruge en præfabrikeret skabelon til alle data. Vi betegner denne nye holdning med navnet datadetektiv. Del V består af to kapitler, hvor vi i hvert kapitel har prøvet at flette didaktiske overvejelser sammen med tilsvarende faglige udfordringer for læseren. Selv om disse udfordringer er på læserens eget niveau, er de netop af en karakter, der ligger tæt på den faglighed og holdningsmæssige indstilling, en lærer har brug for som ballast både i undervisning og i vejledning af elever. Der vil igen for denne bogs vedkommende findes svarforslag til udvalgte opgaver på bogens hjemmeside www.forlagetsl.dk (søg på Epsilon ). København, juni 2008 Kristine Jess, Jeppe Skott, John Schou og Hans Christian Hansen 14 Forord 72497_epsilon_2k.indd 14 17-07-2008 15:20:41

DEL I DE NATURLIGE TAL 72497_epsilon_2k.indd 15 17-07-2008 15:20:41

72497_epsilon_2k.indd 16 17-07-2008 15:20:41

Introduktion Ser man på lærebøger fra tiden efter skoleloven af 1814, vil man opdage, at det helt dominerende emne i matematikundervisningen i de første skoleår er de naturlige tal, dvs. tallene 1, 2, 3, og regning med dem. Også forskellige former for måling af vægt, tid, længde, areal og rumfang er helt afhængige af disse tal, og statistik, et nytilkommet emne i begynderundervisningen, er ligeledes en anvendelse af tal. Læseren af denne bog vil sandsynligvis under arbejdet med fællesdelen af linjefaget have benyttet ϒ -bogen, og derfra have et godt kendskab til de hele tal og brøkerne, som er knyttet til mellemtrinnets emnekreds. I ϒ -bogen tog vi de naturlige tal som noget givet, som vi kun behandlede i en fortælling om talbegrebets historie. Behandlingen af de naturlige tal i første del af denne bog har et dobbelt sigte. Dels kan læseren på egen krop genopleve den store og vanskelige kulturarv, der ligger i at håndtere de naturlige tal. Og dels kan læreren, eller den kommende lærer, få indsigt i områdets stofdidaktik. Behandlingen af de naturlige tal består af fire kapitler, hvoraf det første sætter scenen ved at se på børns talbegreber og regneoperationer i og omkring de første skoleår. Vi giver først et indtryk af, hvilke forståelser af tal og af det at tælle børn typisk har, når de kommer i skole. Dernæst diskuterer vi, hvordan man som lærer kan bygge videre på børnenes forforståelser. Fokus er her på addition og subtraktion og på de situationer, hvor disse regnearter kan komme i anvendelse. Derefter inviteres læseren til selv at prøve kræfter med de naturlige tal i to kapitler om henholdsvis matematiske teorier for naturlige tal og positionssystemer og regnealgoritmer. I matematikken findes to forskellige forståelser af de naturlige tal, nemlig som kardinaltal (mængdetal) og som ordinaltal (tælletal). Når vi medtager en faglig behandling af disse to måder at opfatte tal på, er det, fordi didaktik- Introduktion 17 72497_epsilon_2k.indd 17 17-07-2008 15:20:41

ken om de naturlige tal har taget disse faglige termer til sig, og skolebøgerne klart er præget af både kardinaltal og ordinaltal. Sigtet med kapitlet er imidlertid fagligt. Læseren skal prøve at bevise elementære egenskaber ved de naturlige tal, både inden for teorien om kardinaltal og inden for teorien om ordinaltal. I den klassiske regneundervisning indtog de fire regningsarter, udført efter nøje beskrevne metoder (algoritmer) en dominerende rolle. Den nyere matematikundervisnings princip om, at eleven skal være medkonstruktør af disse algoritmer, kræver en større faglighed af læreren og et bredere syn på såvel talsystemer som mulige regnemetoder. Derfor følger endnu et matematikfagligt kapitel, der drejer sig om talsystemer og regnealgoritmer. Her får læseren lejlighed til at sætte sig i elevens sted, idet der gennem hele kapitlet arbejdes med fremmede talsystemer. I det første, Alfabetaland, er både talsystemet og cifrene anderledes end normalt. Intentionen er, at læseren ved at arbejde med det kan udvikle en dybere forståelse af de måder, tal og regnearter normalt repræsenteres på. De fremmede talsystemer, fx totalssystemet, er dog ikke udelukkende skabt for at uddanne lærere, men bl.a. også for at muliggøre beregninger i computere og lommeregnere Afslutningsvis sætter vi igen fokus på eleverne og på stofdidaktikken i et kapitel om elevers opfattelse af og regning med flercifrede tal. Vi prøver at give et indtryk af den typiske udvikling i børns indledende arbejde med de fire regningsarter for flercifrede tal. Der har i skolefaget matematik traditionelt været en modstilling af færdighed og forståelse ikke mindst i forbindelse med netop regnealgoritmerne. Vi gør rede for, at der er både teoretisk og empirisk belæg for at ophæve denne modsætning. 18 DEL I DE NATURLIGE TAL 72497_epsilon_2k.indd 18 17-07-2008 15:20:41

1 Børns talbegreber og regneoperationer i og omkring de første skoleår Når eleverne begynder i skole, kan de tælle. Det kan de i den forstand, at de kan tælleremsen et stykke ad vejen; de kan finde, hvor mange enheder der er i en bunke af fx 9 centicubes; og ved at tælle kan de finde resultatet i simple additionssituationer, hvis de har konkrete materialer til rådighed (hvis Albert har fundet 6 kastanjer, og Usman har 7, hvor mange har de så tilsammen?). Og der er nogle elever, der kan meget mere end det. I de første skoleår handler de mest dominerende matematikaktiviteter om tal og om indledende regneoperationer. Det gør de, fordi eleverne i denne periode skal udbygge deres forståelse af de naturlige tal og af de måder, hvorpå man kan benytte tal til at beskrive og beregne størrelser. De skal således udvikle forståelser af tal og færdigheder i talbehandling, der er kvalitativt forskellige fra dem, de møder med, når de kommer i skole. Det er arbejdet med at facilitere elevernes faglige læring på disse områder, der er omdrejningspunkt i dette kapitel. Der er over de sidste årtier gennemført en meget stor mængde undersøgelser af små skolebørns talforståelser og -færdigheder. De handler fx om, hvordan børnene opfatter tal, og hvordan de forstår de forskellige typer af situationer, hvor addition og subtraktion kan komme i spil. Desuden drejer de sig om, hvordan man kan understøtte børns udvikling af både talforståelse og færdigheder i talbehandling. Det er en hovedpointe i en stor del af disse undersøgelser, at de to sider af talarbejdet, færdighederne og forståelsen, må udvikles i tæt indbyrdes sam- Kapitel 1 Børns talbegreber og regneoperationer 19 72497_epsilon_2k.indd 19 17-07-2008 15:20:41

menhæng. Den overordnede hensigt med dette kapitel er, at læseren udvikler en forståelse af, hvordan man som lærer kan bidrage til det i skolens yngste klasser. Ved at arbejde med forskningsresultaterne i direkte tilknytning til elevers tænkning om og aktivitet med tal er det mere specifikt hensigten, at læseren efter endt læsning: Har dannet sig et indtryk af, hvilke forståelser af tal og af at tælle, børn typisk har med, når de kommer i skole. Har udviklet en forståelse af og idéer til, hvordan der kan bygges på elevernes tællestrategier i arbejdet med tal i indskolingen, herunder at læseren kan forholde sig til den kritik, der har været rettet mod en dominerende tradition i dette arbejde. Kan beskrive forskellige situationer, hvor additiv tænkning kan bringes i anvendelse, og kender til de måder, elever typisk går til sådanne situationer på. Tal og det at tælle Tal bruges på mange forskellige måder, og det gør det at tælle også. Vi skal i det følgende se på de måder at benytte tal på, som børn gerne skal komme til at beherske, og vi skal se på udviklingen i deres tællestrategier. Vi starter med at se på et eksempel med et tilhørende oplæg. Eksempel 1 Figur 1. Eritrea, et lille land på Afrikas horn, havde deltagere med ved en olympiade for blot anden gang i Athen i 2004. Der var 15 eritreere med, blandt dem den 22 årige mellem- og langdistanceløber Zersenay Tadesse. Med nummer 1553 på brystet gennemførte han finalen i 10.000 meter i tiden 27.22.57 og kom ind på en tredjeplads blandt de 24 løbere. Tadesse vandt dermed Eritreas første olympiske medalje nogensinde. 20 DEL I DE NATURLIGE TAL 72497_epsilon_2k.indd 20 17-07-2008 15:20:42

Opgave 1 Læs omtalen af Zersenay Tedesse i eksemplet ovenfor. Undersøg, hvilke måder tal og talord benyttes på, og beskriv forskellene på og sammenhængene mellem de forskellige måder. Vi kan benytte tal til at beskrive størrelsen på en mængde. Det gør vi, når vi fx siger, at der er 26 elever i 1.a, eller, at der er 7 bøger i serien om Harry Potter. Her bruges hhv. 26 og 7 til at angive størrelsen på en mængde af diskrete 1 elementer, angivet ved antallet af elementer i mængden. Tal bruges da som kardinaltal. Det er en anden brug af tal, hvis vi ser på 1 tallet i 1.a eller på talordet syvende i formuleringen den syvende og sidste bog i serien om den berømte troldmand hedder Harry Potter og dødsregalierne. Her er der stadig tale om at behandle en diskret mængde af objekter, hhv. klasser og bøger, men tallet benyttes ikke til at angive størrelsen på hele mængden, men derimod til at angive et elements relative placering i den. Der angives således en vis ordning af mængden, og man taler om en ordinal brug af talord eller om ordinaltal. Der er tale om en tredje anvendelse af talord, når man siger, at eleverne i 1.a løber i gennemsnit 60 meter på 12,9 sekunder og Harry Potter og dødsregalierne koster 329,00 kr. Her angiver tallene 60, 14,9 og 329,00 ikke et antal af diskrete elementer i en mængde. De er i stedet knyttet til kontinuerte størrelser, nemlig længde, tid og værdi (målt i penge). Det, der tælles, er således ikke på forhånd iagttagelige elementer som elever eller bøger selv om man naturligvis kan forestille sig en mængde af 329 enkroner som betaling for bogen. Derimod er det enheder, og tallet er et måltal, der angiver det antal gange, en valgt enhed må benyttes for at kunne fylde den kontinuerte mængde ud. Enhederne er meter, sekunder og kroner. I modsætning til det kardinale og det ordinale tilfælde behøver der her ikke være tale om hele tal. Der er således tre numeriske måder at bruge tal på, nemlig som kardinaltal, som ordinaltal og som måltal. Imidlertid er de ikke helt adskilte. Fx introducerer formuleringen Carlo er det tredje barn i familien en ordning ved 1 Diskrete betyder i denne forbindelse adskilte. De naturlige tal er en mængde af diskrete tal, hvor et tal er adskilt fra det foregående og det næste tal. Den radikale modsætning er de reelle tal, der er en helt sammenhængende talmængde, hvor det slet ikke giver mening at tale om det næste tal. Kapitel 1 Børns talbegreber og regneoperationer 21 72497_epsilon_2k.indd 21 17-07-2008 15:20:42

at placere Carlo i rækken af børn. Men samtidig betyder den, at Carlo og hans to ældre søskende udgør en gruppe på tre. Her var hensigten (måske) ordinal, men formuleringen kan fortolkes kardinalt. Imidlertid kan der også være et ordinalt aspekt involveret, hvis hensigten er kardinal. Hvis man tæller for at finde svar på spørgsmålet: Hvor mange er der? indfører man på sin vis en ordning i mængden, idet man introducerer en tællerækkefølge. Hvis man fx tæller 8 børn, mens man peger på dem en efter en, så betyder otte, at det pågældende barn er det ottende i den rækkefølge, man har lavet ved at tælle. Men her var vi ikke interesseret i rækkefølgen, dvs. i at fx Camilla blev nr. 8. Derimod var vi interesseret i, hvor mange børn der var, dvs. i at bruge otte kardinalt. Det kræver, at man foretager det, Fuson kalder en kardinal integration, dvs. at man knytter otte til ikke bare Camilla, men til mængdens mangehed (the manyness). Tilsvarende er der en måleintegration involveret, når man i en målesituation forbinder den sidst talte måleenhed med det samlede antal enheder, der bruges (Fuson 1988). Tal bruges dog også ikke-numerisk, dvs. på måder hvor der ikke eller i hvert fald ikke primært er tale om en kvantificering. For det første siger små børn tælleremsen uden at knytte indhold til ordene. Tælleremsen er da netop blot en remse, og ordene betyder da hverken mere eller mindre end okker-gokker-gummiklokker. Ja, faktisk kan børn ofte allerede fra 2 årsalderen sige dele af tælleremsen korrekt, uden at de af den grund kan tillægge remsen mening (ibid., kapitel 2). For det andet benytter også voksne talord i situationer, hvor det væsentligste ikke er tallenes kvantitative aspekt. Det er tilfældet, når man bruger tal som identifikation, snarere end som en størrelsesangivelse. Nummerplader og telefonnumre er relevante eksempler. Og i nogle lande har fx skoler ikke navne, men numre, så man som elev fx går på skole nr. 7. Der kan godt være et element af ordinalitet i den måde, disse navne tildeles på. Det gælder i den indlysende forstand, at man ofte begynder med de mindste af de tal, der kan benyttes til et givet formål. Fx er skole nr. 1 vel typisk den første, der blev oprettet. Selv i sådanne tilfælde er ordinaliteten dog ikke altid fuldkommen, og den er kun sjældent interessant. Det er således ikke hverken givet eller interessant, om busrute 112 blev etableret før rute 83, eller om Zersenay Tadesse med nummer 1153 blev meldt til Olympiaden før eller efter deltageren med nummer 1152 (jf. eksempel 1). Og under alle 22 DEL I DE NATURLIGE TAL 72497_epsilon_2k.indd 22 17-07-2008 15:20:43

omstændigheder giver det næppe mening at regne på tal, der benyttes til identifikation. I alle vores eksempler ovenfor har vi brugt tal i konkrete sammenhænge. Det er også afgørende, at man gør det i undervisningen, ikke mindst i de første skoleår. Imidlertid er det hensigten, at børn efterhånden kommer til at operere på tal som matematiske størrelser, dvs. så tallenes mening også kommer fra deres relationer til andre tal uden reference til konkrete situationer. Så forbindes 6 ikke bare med 6 perler, der skal tælles, men at August er den 6. ældste i klassen eller med at klassen er 6 bred, hvis det er elever i 1. klasse, man måler med. 6 får i stedet (også) sin mening fra sine relationer til andre tal, fx at 6 = 4 + 2, at 6 + 6 = 12, at 6 + 4 = 10, at 6 er det dobbelte af 3, og at 6 = 2 + 2 + 2, og meget senere at 6 er produktet af de to mindste primtal, at det er kvadratroden af 36, og at hvis man ganger 6 med radius i en cirkel, så får man med nogen tilnærmelse cirklens omkreds. I et sådant netværk af relationer bliver 6 ikke bare noget, man kan bruge til at beskrive sin omverden med. Tallet får nærmest genstandskarakter, det bliver noget, man kan gøre noget med. Det er et gennemgående argument i dette kapitel, at udviklingen af en sådan talforståelse bedst understøttes ved, at eleverne i de første skoleår i høj grad benytter konkrete genstande i deres talarbejde, så de fortolker symbolske talangivelser ved konkrete materialer eller tegninger, og at de omvendt anvender symboler som beskrivelser af konkrete situationer. Der er belæg for at sige, at det er i en sådan dobbeltbevægelse fra relativt konkrete størrelser til symboler og fra symboler til konkrete størrelser, at talforståelser og talfærdigheder kan udvikles. Når man som voksen har benyttet tal utallige (!) gange, synes forskellene i brugen af tal ubetydelige, ja måske endda svære at få øje på. Det skyldes, at tal netop har fået deres eget liv, så det er tallene, man opererer på, når man regner, snarere end de konkrete sammenhænge. Men for børn, der først er ved at udvikle en talforståelse, er det ikke indlysende, at tal, kan bringes i anvendelse på så forskellige måder. Kapitel 1 Børns talbegreber og regneoperationer 23 72497_epsilon_2k.indd 23 17-07-2008 15:20:43