2. udgave 2012. Nyt Teknisk Forlag 2008, 2012

Betonkonstruktioner efter DS/EN 1992-1-1 2. udgave 2012 Nyt Teknisk Forlag 2008, 2012 Forlagsredaktør: Thomas Rump, tr@nyttf.dk Omslag: Henrik Stig Møller Omslagsfoto: Thomas Rump Tegninger Mette Nielsen Dtp: Gitte Frederiksen Tryk: Preses Nams Baltic ISBN papirbog: 978-87-571-2766-9 ISBN e-bog: 978-87-571-3286-1 Bestillingsnummer: 84016-1 Bogen er sat med Times Bogen er trykt på 90 g Munken Print cream 1.5b Mekanisk, fotografisk, elektronisk eller anden gengivelse af denne bog eller dele heraf er ikke tilladt ifølge gældende dansk lov om ophavsret. Alle rettigheder forbeholdes. Nyt Teknisk Forlag Vigerslev Allé 18, 3. 2500 Valby info@nyttf.dk www.nyttf.dk Ekspedition: Erhvervsskolernes Forlag, +45 63 15 17 00

5 Forord Denne lærebog er skrevet til et grundkursus i beregning af betonkonstruktioner. Den er samtidig knyttet til det nye fælles europæiske normsystem, Eurocodes og det er mit og forlagets håb, at en bredere kreds af læsere kan have glæde af bogen. Bogen indeholder beregningsmetoder fra DS/EN 1992-1-1, men enkelte steder er også medtaget andre veldokumenterede metoder, som jeg vurderer kan være nyttige ved projektering af betonkonstruktioner. Bogen indeholder desuden mange eksempler og opgaver. I forbindelse med indførelse af Eurocodes i Danmark, har jeg afholdt en del efteruddannelseskurser i DS/EN 1992-1-1 sammen med lektor Henning Laustsen, Ingeniørhøjskolen i Århus, hvilket har givet anledning til mange gode diskussioner, der i forskellig grad er kommet nærværende bog til gode. Omkring Stringermetoden har jeg haft nyttige diskussioner med civilingeniør Erling Møldrup, der bl.a. har stillet figur 12.2 til min rådighed og endelig har jeg haft løbende gode diskussioner med min kollega ved Syddansk Universitet, professor, ph.d. Linh Cao Hoang. Alle tre takkes for de gode diskussioner. For godt samarbejde ved bogens tilblivelse vil jeg gerne takke Nyt Teknisk Forlag, især forlagsredaktør Thomas Rump. Syddansk Universitet August 2008 Bjarne Chr. Jensen Forord til 2. udgave I slutningen af 2011 udsendte Energistyrelsen et nyt dansk anneks til DS/EN 1992-1-1. Annekset indeholder en del ændringer og tilføjelser i forhold til tidligere annekser og i denne 2. udgave af Betonkonstruktioner efter DS/EN 1992-1-1 er disse ændringer og tilføjelser indarbejdet. Specielt er der sket ændringer på betons elasticitetsmodul, indføjelse af regler for glat armering, forankringsberegninger, anvendelse af buevirkning og minimumsarmering i støbeskel. Syddansk Universitet Februar 2011 Bjarne Chr. Jensen

7 Baggrund for Eurocodes og denne bog Ideen med Eurocodes er at få et fælles dimensioneringsgrundlag til glæde for den indre handel med byggevarer og serviceydelser indenfor byggesektoren i Europa. De enkelte Eurocodes udgives i de Europæiske lande med tilhørende nationale annekser, idet en række værdier i Eurocodes, specielt omkring sikkerhed, er nationalt bestemte og anført i de nationale annekser. Eurocode 2 består af 4 dele DS/EN 1992-1-1: Betonkonstruktioner: Generelle regler samt regler for bygningskonstruktioner DS/EN 1992-1-2: Betonkonstruktioner: Generelle regler Brandteknisk dimensionering DS/EN 1992-2: Betonkonstruktioner: Betonbroer Dimensionerings- og detaljeringsregler DS/EN 1992-3: Betonkonstruktioner: Væskebeholdere Til grund for denne bog ligger DS/EN 1992-1-1 samt det anneks, der blev udsendt af Energistyrelsen sidst i 2011, DS/EN 1992-1-1 DK NA:2011. Der har tidligere været udsendt et anneks i 2007 med efterfølgende tillæg, men de er ikke aktuelle efter annekset i 2011 er udkommet, idet relevant stof er med i det nye anneks. Når der i bogen refereres til DS/EN 1992-1-1 gælder referencen til såvel den oversatte europæiske del som til det danske anneks, idet der normalt ikke skelnes mellem disse, da bogens hensigt er at ramme de regler, der er gældende i Danmark. Eurocodes har været længe undervejs. Forfatteren blev selv knyttet til det europæiske arbejde i 1990, da det blev overført fra EU til samarbejdsorganisationen for de europæiske standardiseringsorganisationer, CEN, og har stort set siden været knyttet til arbejdet som dansk repræsentant i forskellige komiteer og projekt teams. Under det arbejde, var det tydeligt, at ideen med harmoniserede projekteringsstandarder havde stor interesse, men også trange kår, idet de kulturelle forskelle mellem landene var store, og at de enkelte landes beregningsmetoder og konstruktive regler afspejlede den byggekultur, der var i det pågældende land. Eurocodes er derfor på en række områder kompromisernes konstruktionsnormer og indeholder derfor set med danske øjne såvel fremskridt som tilbageskridt i forhold til hidtidig dansk praksis.

8 Beregningsreglerne som de præsenterer sig i DS/EN 1992-1-1 er ofte komplicerede, idet de er gjort meget generelle. I bogen er anvendt en modsat tilgang til beregningsreglerne, idet først de enkle regler er gennemgået, hvorefter de kan gøres mere og mere komplicerede, afhængig af hvor mange betydende forhold, man ønsker at koble på beregningerne. Et godt eksempel herpå er forankring, der i DS/EN 1992-1-1 præsenteres med en længde, der skal multipliceres med 5 faktorer, der hver især skal bestemmes af en ligning. I virkeligheden er faktorerne kun nødvendige, hvis den først beregnede længde ønskes reduceret, hvilket så kan gøres, idet den enkelte faktor tager hensyn til et forhold, der kan være med til at reducere forankringslængden. Denne bog omhandler ikke forspændte konstruktioner, hvilket også forenkler mange beregningsregler, der i DS/EN 1992-1-1 er angivet med bidrag fra forspændingen i de tilfælde, hvor en forspænding har indflydelse. Symbolerne i DS/EN er med mange indekser, der har rod i det engelske sprog, idet arbejdssproget med de europæiske normer er engelsk. Det kan gøre læsningen tung, især hvis man ikke forbinder en betydning med et indeks. Derfor er de komplicerede indekser nogle steder udeladt i denne bog, især i forbindelse med teoretiske præsentationer af stoffet, men i så tilfælde afsluttes som regel med en præcisering af formlerne for praktiske beregninger, hvor indekser svarende til DS/EN 1992-1-1 er anvendt.

9 Indhold Symboler 13 1 Materialeegenskaber 17 1.1 Beton 17 1.1.1 Betonsammensætning 17 1.1.2 Trykstyrke 18 1.1.3 Trækstyrke 21 1.1.4 Brudbetingelse ved fleraksede spændingstilstande 22 1.1.5 Trykarbejdslinie og elasticitetsmodul 23 1.1.6 Svind 26 1.1.7 Krybning 29 1.1.8 Varmeudvidelseskoefficient 33 1.1.9 Oversigt 33 1.2 Armering 3 1.2.1 Særlige forhold for armering med glat overflade 37 1.3 Miljøforhold 38 1.3.1 Miljøklasser 38 1.3.2 Dæklag 39 1.3.3 Revnevidder 40 2 Beregningsprincipper 41 2.1 Anvendelses- og brudtilstande 41 2.2 Sikkerhed 41 2.2.1 Konstruktioner støbt på stedet 43 2.2.2 Præfabrikerede betonelementers beregning 44 2.2.3 Præfabrikerede betonelementer med funktionsprøvning 45 2.2.4 Statistisk vurdering af bæreevnemodeller 45 2.3 Dimensionering 46 2.3.1 Anvendelsesgrænsetilstanden 46 2.3.2 Brudgrænsetilstanden 46 3 Forankring, stød og konstruktive regler 49 3.1 Forankring og stød 49 3.1.1 Forankring 52 3.1.2 Stød 58 3.2 Minimumsarmering og andre armeringsregler 64 3.2.1 Minimumsarmering af hensyn til revnekontrol 64 3.2.2 Andre armeringsregler 67 3.3 Armeringsafstande 71 3.4 Opgaver 72

10 Indhold 4 Bjælker med bøjning og normalkraft 73 4.1 Generelt 73 4.2 Lineærelastiske beregninger 74 4.2.1 Urevnede tværsnit 75 4.2.2 Generelle formler for revnede tværsnit 80 4.2.3 Rektangulære tværsnit 85 4.2.4 T-tværsnit 92 4.2.5 Anvendelsesgrænsetilstande 94 4.3 Brudtilstandsberegninger 109 4.3.1 Bøjning 111 4.3.2 Bøjning med normalkraft 124 4.4 Opgaver 138 5 Bjælker med forskydning 141 5.1 Forskydningsarmerede bjælker 142 5.1.1 Forskydningsteori for forskydningsarmerede bjælker 142 5.1.2 Praktiske beregninger af forskydningsarmerede bjælker 146 5.1.3 Skrå bøjler 163 5.1.4 Afkortet længdearmering 164 5.1.5 Anvendelse af forskellige betontrykhældninger 165 5.2 Ikke-forskydningsarmerede bjælker 166 5.2.1 Beregning efter DS/EN 1992-1-1 167 5.2.2 Beregning med stor indflydelse fra buevirkningen 171 5.3 Armering i flanger i T-bjælker 173 5.4 Opgaver 180 6 Vridning 183 6.1 Plane spændingstilstande i skiver 183 6.2 Spændinger fra vridning 187 6.2.1 Tyndvæggede tværsnit 187 6.2.2 Massive tværsnit 188 6.2.3 Komplekse tværsnit 189 6.3 Dimensionering for vridning 190 6.4 Kombinerede påvirkninger 193 6.5 Opgaver 200 7 Søjler 203 7.1 Centralt belastede søjler 204 7.1.1 Uarmerede søjler 205 7.1.2 Armerede søjler 207 7.2 Uarmerede excentrisk belastede søjler 211 7.2.1 Uarmerede søjler efter formel i DS/EN 1992-1-1 211 7.2.2 Uarmerede søjler efter elementformlen 215 7.3 Armerede, excentrisk belastede søjler 219 7.3.1 Metode med nominel stivhed 220 7.3.2 Forenklet metode II 229

Indhold 11 7.4 Toakset bøjning med 2. ordenseffekter 231 7.5 Hensyntagen til excentriciteter 233 7.6 Opgaver 234 8 Støbeskel 237 8.1 Teoretisk bæreevne 237 8.2 Udførelse af støbeskel 239 8.2.1 Fortandede støbeskel 239 8.2.2 Ru, jævne og glatte støbeskel 240 8.3 Støbeskelberegninger i praksis 240 8.4 Særlige forhold ved elementsamlinger 244 8.5 Opgaver 248 9 Koncentrerede belastninger 249 9.1 Gennemlokning 249 9.1.1 Primær kontrolperimeter 250 9.1.2 Bæreevne uden forskydningsarmering 252 9.1.3 Bæreevne med forskydningsarmering 254 9.1.4 Hensyntagen til excentrisk last 257 9.2 Lejetryk 258 9.2.1 Generelt 258 9.2.2 Beregning efter DS/EN 1992-1-1 259 9.2.3 Beregning efter nyere metode 261 9.3 Opgaver 265 10 Kontinuerte bjælker og plader 267 10.1 Kontinuerte bjælker 267 10.2 Indirekte understøttede bjælker 274 10.3 Sammenstøbte bjælker og plader 274 10.4 Enkeltspændte plader 276 10.5 Dobbeltspændte plader 281 10.5.1 En nedreværdimetode 281 10.5.2 Praktisk fremgangsmåde 284 10.6 Opgaver 289 11 Gitteranalogien 293 11.1 Metodebeskrivelse 293 11.2 Konsoller 293 11.3 Generel gitteranalogi 299 11.3.1 Knudepunkter 299 11.3.2 Trækstænger 303 11.3.3 Trykstænger 303 11.3.4 Eksempler på gittermodeller 307 11.4 Opgaver 313

12 Indhold 12 Stringerberegninger 315 12.1 Metodebeskrivelse 315 12.2 Trækstringerne 328 12.3 Trykstringerne 331 12.4 Forskydningsfelterne 332 12.5 Anvendelsesgrænsetilstand 335 12.6 Opgaver 336 13 Litteratur 339 13.1 Generel litteratur 339 13.2 Litteratur om specifikke emner 339 14 Stikord 341

13 Symboler De anvendte symboler er overvejende i overensstemmelse med de symboler, der anvendes i Eurocode 2, DS/EN 1992-1-1. Nogle supplerende symboler er anvendt og nogle steder, hvor misforståelser kan undgås, er symbolerne fra DS/EN 1992-1-1 med deres lange indekser erstattet af enklere symboler. Generelt er betydningen af et symbol beskrevet første gang det dukker op, og der er beskrivelser flere gange i bogen af de enkelte symboler, hvis det har vist sig hensigtsmæssigt. Efterfølgende er listet de hyppigst anvendte symboler: A A c A k A s A t A st A sw a b b w C c c 1 c s d d g E E c0k E c k E cm E c,eff E c, E k E sk e F f f b tværsnitsareal tværsnitsareal af beton areal indesluttet af midterlinien i tyndvægget tværsnit tværsnitsareal af armering transformeret tværsnitsareal tværsnitsareal af tværarmering tværsnitsareal af forskydningsarmering indvendig afstand mellem armeringsstænger bredde kropbredde trykkraft kohæsion dæklag afstand fra betonoverflade til længdearmering afstand fra betonoverflade til armeringstyngdepunkt armeringens effektive højde maksimal størrelse på tilslag til beton elasticitetsmodul begyndelseselasticitetsmodul for beton baseret på arbejdslinie svarende til den karakteristiske betonstyrke elasticitetsmodul svarende til hældningen ved spændingen baseret på arbejdslinie svarende til den karakteristiske betonstyrke sekanthældning baseret på arbejdslinie svarende til den karakteristiske betonstyrke betons effektive elasticitetsmodul betons effektive elasticitetsmodul ved langtidspåvirkning tangenthældning af betons arbejdslinie ved spændingen karakteristisk værdi af armerings elasticitetsmodul excentricitet kraft styrke forankringsstyrke

14 Symboler f bd regningsmæssig forankringsstyrke f c betons enaksede trykstyrke f cd regningsmæssig værdi af betons enaksede trykstyrke f ck karakteristisk værdi af betons enaksede trykstyrke f cm middelværdi af betons enaksede trykstyrke f ct betons enaksede trækstyrke f ctk,0,05 karakteristisk værdi af betons enaksede trækstyrke, svarende til 5 % fraktilen f ctk,0,95 karakteristisk værdi af betons enaksede trækstyrke, svarende til 95 % fraktilen f ctm middelværdi af betons enaksede trækstyrke f y armerings flydespænding f t armerings brudspænding f yk karakteristisk værdi af armerings flydespænding f yd regningsmæssig værdi af armerings flydespænding h højde h f højde af flange I Inertimoment I t transformeret inertimoment i inertiradius indspændingsgrad k dimensionsløs størrelse højdefaktor l længde l b forankringslængde l b,rqd regningsmæssig basisforankringslængde l bd regningsmæssig forankringslængde l 0 regningsmæssig stødlængde l 0 effektiv længde M moment M Ed regningsmæssig momentpåvirkning M Rd regningsmæssig momentbæreevne M 0E momentpåvirkning uden 2. ordenseffekt M 2 2. ordenseffekt af momentpåvirkning N normalkraft N Ed regningsmæssig normalkraftpåvirkning R reaktion S stringerkraft s bøjleafstand T vridningsmoment T Ed regningsmæssig vridningsmomentpåvirkning T Rd regningsmæssig vridningsmomentbæreevne t tid tykkelse u udbøjning, nedbøjning omkreds af tværsnit kontrolperimeter ved gennemlokning

Symboler 15 V V Ed V Rd v v Ed v Rd x z ø ø t forskydningskraft regningsmæssig forskydningskraftpåvirkning regningsmæssig forskydningskraftsbæreevne forskydende kraft pr. længdeenhed formel regningsmæssig forskydningsspændingpåvirkning ved gennemlokning formel regningsmæssig forskydningsspændingsbæreevne ved gennemlokning højde af trykzone indre momentarm armeringsdiameter armeringsdiameter at tværarmering vinkel forholdet mellem armerings og betons elasticitetsmodul forholdet mellem trykzonen x og den effektive højde d dimensionsløs størrelse vinkel tøjning x tøjning i længderetningen cs betons svindtøjning cc betons krybetøjning cu3 betons brudtøjning når der regnes med rektangulær spændingsfordeling c1 betons tøjning ved maksimalspændingen y flydetøjning for armering yd regningsmæssig værdi af flydetøjning for armering uk tøjning i armering svarende til maksimal trækkraft i armeringen dimensionsløs størrelse vinkel, betontryks hældning med vandret krumning slankhed dimensionsløs størrelse friktionskoefficient, dimensionsløs størrelse effektivitetsfaktor for betonstyrke ved plastiske beregninger v effektivitetsfaktor for betonstyrke ved forskydningspåvirkning alene n effektivitetsfaktor for betonstyrke ved trykpåvirkning alene m effektivitetsfaktor for betonstyrke ved normalkraft fra bøjningspåvirkning alene t effektivitetsfaktor for betonstyrke ved vridningspåvirkning alene armeringsforhold w forskydningsarmeringsforhold normalspænding 1, 2, 3 hovedspændinger betonspænding, maksimal betonspænding c

16 Symboler cp s b c s normalbetonspænding i beton fra forspændingskraft eller fra lastpåvirkning armeringsspænding forskydningsspænding dimensionsløs størrelse friktionsvinkel krybetal dimensionsløs størrelse partialkoefficient, dimensionsløs størrelse partialkoefficient for beton partialkoefficient for armering armeringsgrad forskydningsarmeringsgrad Indekser bal balanceret c beton, tryk cr kritisk (stabilitet) d regningsmæssig E lastvirkning ef effektiv eq ækvivalent f flange l længde lim grænseværdi max maksimal min minimal R bæreevne s armering t transformeret, tid u brud y flydning w væg

17 1 Materialeegenskaber 1.1 Beton 1.1.1 Betonsammensætning I beton er hovedbestanddelene cement, vand, grus og sten. Desuden kan anvendes flyveaske og mikrosilica til erstatning for dele af cementen. Cement er et pulverformigt materiale, der blandet med vand reagerer kemisk med en del af vandet (hydratiserer) og danner en hård masse, der sammenholder grus og sten. Flyveaske og mikrosilica har puzzolaneffekter, dvs. de indgår også kemiske forbindelser, der indgår i opbygningen af betons styrke. Desuden har de pga. af deres lille partikelstørrelse den effekt, at de er med til at gøre betonen tættere, idet materialet kan pakkes tættere. Flyveaske er almindeligt anvendt, mens mikrosilica er mere sjældent anvendt typisk i anlægskonstruktioner udsat for hårde, klimatiske påvirkninger. Ved hydratiseringen bindes en del af vandet kemisk til cementen, flyveasken og mikrosilicaen. Den hærdede cementpasta indeholder hulrum, da det samlede hydratiseringsprodukt fylder mindre end i våd tilstand. I hulrummene findes dels gelvand og dels kapillarvand. Gelvandet er bundet af de van der Waal ske kræfter og er derfor svært fordampeligt. Kapillarvandet er frit vand, der fordamper let, og som med tiden vil indstille sig i en ligevægt med omgivelserne. Det kemisk bundne vand og gelvandet udgør ca. 40 % af cementvægten. Det teoretisk optimale vand/cementforhold (v/c-forhold) er derfor ca. 0,4. Imidlertid er det sådan, at cementens hydratisering aldrig er fuldstændig. Nogle cementpartikler er kun delvis hydratiseret og i princippet vokser betonstyrken i hele betonens levetid, efterhånden som mere og mere af cementen hydratiserer. Med brug af flyveaske og mikrosilica taler man nu ikke alene om vand/cement forhold, men om vand/pulver forhold (v/p-forhold), idet flyveaske og mikrosilicas virkning omsættes til den analoge cementvirkning. F.eks. regnes typisk 3 kg flyveaske at kunne erstatte 1 kg cement, når det drejer sig om styrker, og 2 kg flyveaske at kunne erstatte 1 kg cement, når det drejer sig om holdbarhed. Foruden tilslaget og cementens mængdeforhold og kvalitet er det især v/c-forholdet (v/p-forholdet), der er afgørende for betonens styrke. Jo højere v/c-forhold (v/p-forhold), des lavere styrke. Det overskydende vand vil fordampe og efterlade luftporer, der er med til at nedsætte styrken. På grund af den ufuldstændige hydratisering anvendes betoner med v/c-forhold på under 0,4, og stadig med en forøgelse af styrken til følge. For de tørre betontypers vedkommende må der tilsættes plastificerings-

18 1. Materialeegenskaber midler eller superplastificerende midler, der letter betonens bearbejdelighed ved at nedsætte overfladespændinger. Den ufuldstændige hydratisering har man i øvrigt glæde af, når der optræder last-fremkaldte revner i betonen, se afsnit 1.3.3 og afsnit 4.2.5.3 Vi skal ikke her komme ind på betonens materialeteknologiske egenskaber, men henvise til materialelæren. Det skal blot konstateres, at v/c-forholdet (v/p-forholdet) har stor betydning for mange egenskaber, samt at hydratiseringen i princippet fortsætter i det uendelige, om end med stærkt nedsat hastighed, se også afsnit 1.1.2. Beton er et materiale, der er karakteriseret ved en god trykstyrke, men en lille trækstyrke (1/10-1/20 af trykstyrken). Kombineret med armering i form af stålstænger, der anbringes så de optager trækkræfterne, fremkommer imidlertid et godt og billigt konstruktionsmateriale. Den færdige betons massefylde er imidlertid høj (uarmeret beton 2300 kg/m 3, armeret beton 2400 kg/m 3 ). I mange betonkonstruktioner er egenvægtsbidraget til belastninger derfor en dominerende størrelse. Der gøres en del for at nedbringe denne egenvægt. F.eks. anbringes der udsparinger i brodragere, og velkendt er også præfabrikerede huldæk, der typisk anvendes i bolig- og kontorbyggeriet. En anden måde at nedbringe egenvægten på er at anvende lettere tilslag i stedet for normale grus- og stentilslag. Imidlertid ændres betonens egenskaber mærkbart, og i DS/EN 1992-1-1 er der et specielt kapitel omhandlende let konstruktionsbeton. Kapitlet indeholder de modifikationer i materialeegenskaber og beregningsmetoderne, der er nødvendige for let konstruktionsbeton i forhold til traditionel beton. Specielt skal peges på, at de metoder megen beton beregnes efter i større eller mindre grad bygger på tilstedeværelse af en plasticitet i betonen. Den er ofte ikke til stede ved de lette betontyper. DS/EN 1992-1-1 gør da også opmærksom på, at den kun gælder for beton med massefylde over 2000 kg/m 3. Et lignende forhold gør sig gældende ved meget stærk beton. Jo stærkere en beton er, des mindre plastisk er den. Derfor er der flere steder i DS/EN 1992-1-1, hvor der er særlige modifikationer på beregningsregler for høje betonstyrker. 1.1.2 Trykstyrke Trykstyrken er den egenskab ved beton, der først og fremmest udnyttes i bærende konstruktioner. Derfor foreskrives i forbindelse med projektering, hvilken betonstyrke der mindst skal være til stede i en betonkonstruktion. Det gøres i form af den karakteristiske enaksede betontrykstyrke, der jfr. DS/EN 1992-1-1 er defineret som 5 pct. fraktilen, dvs.: Ved den karakteristiske værdi af betonens enaksede trykstyrke forstås 5 pct. fraktilen, dvs. den værdi under hvilken 5 pct. af måleresultaterne for trykstyrken befinder sig ved uendelig mange målinger.

1. Materialeegenskaber 19 Den enaksede trykstyrke, der anvendes i beregningsmetoderne i DS/EN 1992-1-1, er cylinderstyrken. Denne bestemmes ved målinger af styrken på støbte cylinderformede prøvelegemer med en diameter på 150 mm og en højde på 300 mm. Den måles efter en hærdning af betonen svarende til 28 modenhedsdøgn. Den karakteristiske værdi af betonens enaksede trykstyrke betegnes f ck og benævnes i det følgende ofte kun trykstyrken eller, hvor der ikke kan være tvivl om, hvad der menes, benævnes den blot styrken. Tidligere anvendtes terningformede prøvelegemer i Danmark, og sådanne prøvelegemer anvendes stadig i en række lande. For styrker fra terningformede prøvelegemer anvendes sidelængde 200 mm og i DS/EN 1992-1-1 er i tabelform angivet sammenhæng mellem cylinderstyrke og terningstyrke, se den efterfølgende tabel 1.2. Terningstyrken er større end cylinderstyrken, hvilket skyldes, at enakset trykbrud i beton ikke kan udvikles frit, når højden er mindre end to gange tværmålet, se afsnit 1.1.4. Trykstyrken er den styrkeegenskab, der udnyttes mest for beton. Desuden er den let at måle. Der er derfor udført store anstrengelser for at få alle andre egenskaber for beton udtrykt som funktion af trykstyrken, således, at man med en enkelt måling har det fulde overblik over en betons styrkeparametre. Så enkelt er det desværre ikke, men for megen praktisk projektering er denne fremgangsmåde tilstrækkelig nøjagtig. I forbindelse med projektering vælges en karakteristisk trykstyrke, der foreskrives for projektet, dvs. det er den karakteristiske styrke, som betonen skal leveres med. Den karakteristiske betonstyrke skal foreskrives som en af værdierne anført for f ck i tabel 1.2. Man taler om betons styrkeklasser, f.eks. betegnes en beton med f ck = 30 MPa som C30. Det bemærkes, at DS/EN 1992-1-1 kan anvendes for betonstyrker mellem 12 og 90 MPa. Beton med karakteristiske styrker over 50 MPa kaldes højstyrkebeton. Trykstyrken vokser hurtigt i starten. Efter en uge har den typisk (afhængig af cementtype) opnået ca. 70 % af den styrke den vil få efter 28 døgn. Efter 28 døgn vokser styrken yderligere, idet der fortsat finder hydratisering af cementen sted. Efter 10 år kan styrken i nogle tilfælde være oppe på 1,5-2 gange styrken efter 28 døgn. Det skal understreges, at den kendsgerning, at der finder styrkeudvikling sted efter 28 døgn, ikke kan anvendes til accept af en betonstyrke, der ikke opfylder betingelsen for 28-døgns styrken en understregning, der er præciseret i DS/EN 1992-1-1. I nogle tilfælde kan man have brug for styrken før de 28 døgn, f.eks. til bestemmelse af tidspunkt for afformning eller opspænding. Hvis det skal være meget præcist, er man henvist til prøvning, men et rimeligt skøn af den karakteristiske styrke f ck (t) til tiden t>3 modenhedsdøgn kan man få ved anvendelse af følgende formelsæt:

20 1. Materialeegenskaber f ck () t fcm () t 8(MPa) 3 < t < 28døgn = fck t 28døgn hvor f cm (t) betegner middeltrykstyrken til tiden t, og den kan findes af (1.1) fcm () t = fcm exp s 1 28 t (1.2) hvor f cm er middeltrykstyrken efter 28 modenhedsdøgn t er antallet af modenhedsdøgn s er en koefficient, der afhænger af cementtype = 0,20 for cement af styrkeklasse CEM 42,5 R, CEM 52,5 N og CEM 52,5 R (klasse R) = 0,25 for cement af styrkeklasse CEM 32,5 R og CEM 42,5 N (klasse N) = 0,38 for cement af styrkeklasse CEM 32,5 N (klasse S) Det bemærkes at (1.1) samtidig viser, at man i DS/EN 1992-1-1 forventer at middelstyrken for en beton er 8 MPa højere end den karakteristiske styrke for en beton, uanset hvilken betonstyrke og hvilken alder under 28 døgn, der er tale om. Eksempel 1.1: Karakteristisk 7 døgns styrke Givet: Til en beton C30 anvendes cement CEM 42,5 N Ønskes: Hvilken karakteristisk styrke kan forventes efter 7 modenhedsdøgn Løsning: For C30 er f ck = 30MPa Middelstyrken efter 28 døgn findes af (1.1) til fcm = fck + 8 = 30 + 8 = 38 MPa Middelstyrken efter 7 døgn findes af (1.2) til fcm (7) = fcm exp s 1 28 t 28 = 38 exp 0,25 1 = 38 0,7788 = 29,6 MPa 7 Den karakteristiske styrke efter 7 døgn findes af (1.1) til f ck ( ) f ( ) 7 = 7 8 = 29,6 8 = 21,6 MPa cm

1. Materialeegenskaber 21 1.1.3 Trækstyrke Måling af trækstyrke finder sjældent sted. Man baserer sig i DS/EN 1992-1-1 på en sammenhæng mellem den karakteristiske trykstyrke og den enaksede middeltrækstyrke f ctm, angivet ved 2/3 0, 30 fck for fck 50 MPa fctm = fck + 8 2,12 ln 1 + for fck > 50 MPa 10 hvor styrkerne regnes i MPa. (1.3) For trækstyrkerne kan man være interesseret i såvel den nedre som den øvre 5 % fraktil. Den øvre 5 % fraktil kaldes også 95 % fraktilen. Disse karakteristiske styrker benævnes henholdsvis f ctk;0,05 og f ctk;0,95 og findes af middeltrækstyrkerne som fctk;0,05 0,7 fctm f ctk = (1.4) ;0,95 = 1, 3 fctm (1.5) Også for trækstyrken kan dens udvikling med tiden skønnes, idet man kan anvende 28 fctm() t = fctm exp s 1 t hvor =1fort < 28 døgn =2/3fort 28 døgn f ctm er trækstyrken efter 28 døgn s og t er som beskrevet ved trykstyrken, dvs. ved formel (1.2). α (1.6) Trækstyrken er meget størrelsesafhængig, således at den i store tværsnit vil være mindre end den er i ligedannede, små tværsnit. Bøjningstrækstyrken f ctm,fl er ofte større end trækstyrken f ctm,ogselv om DS/EN 1992-1-1 angiver dens værdi, anvendes den sjældent. Selv ved nedbøjningsberegninger, hvor man ønsker at tage hensyn til urevnede tværsnit (se afsnit 4.2.5.2) anvendes trækstyrken f ctm. På grund af svind i konstruktioner kan der ofte opstå så store spændinger, at trækstyrken overskrides, dvs. man kan ikke altid forvente, at den er til stede. Det er derfor farligt at basere en dimensionering på tilstedeværelse af trækstyrken og normalt medregnes den da heller ikke. Nogle konstruktioner, hvor der kan ses bort fra dynamiske laster og som overvejende er udsat for andet tryk end tryk fra forspænding, f.eks. søjler, buer, hvælvinger og tunneler, samt i stribe- og enkeltfundamenter og støttemure, er det i henhold til DS/EN 1992-1-1 muligt at udføre uarmerede. For sådanne uarmerede konstruktioner tillader DS/EN 1992-1-1 at trækstyrken kan medregnes, men ellers anvendes

22 1. Materialeegenskaber Figur 1.1: Coulombs modificerede brudhypotese og trykforsøg trækstyrken i forbindelse med forankring og stød og i visse tilfælde ved fastsættelse af minimumsarmering i armerede betonkonstruktioner. 1.1.4 Brudbetingelse ved fleraksede spændingstilstande Ikke alle spændingstilstande er enakset træk eller enakset tryk. Da man ikke kan afprøve et materiale for alle de spændingskombinationer, der kan forekomme, anvender man en brudbetingelse. En brudbetingelse forudsiger, hvilke spændingskombinationer der fører til brud. Som brudbetingelse for beton anvendes friktionshypotesen med begrænset trækstyrke, også kaldet Coulombs modificerede brudhypotese. Efter friktionshypotesen indtræder brud i snit, hvor c c tan (1.7) hvor forskydningsspændingen i brudsnittet c kohæsionen friktionskoefficienten friktionsvinklen normalspændingen i brudsnittet c, og er materialekonstanter. Brudbetingelsen, bestående af friktionshypotesen og den begrænsede trækstyrke, er afbildet på fig. 1.1. Kendes brudbetingelsen, kan vilkårlige spændingstilstande undersøges ved at optegne Mohrs spændingscirkler sammen med brudhypotesen. På fig. 1.1. er optegnet Mohrs cirkel for det enaksede tryk, der netop giver trykbrud. Af figuren ses at brudsnittet ved et enakset trykforsøg danner vinklen /4 /2 med trykretningen. Da det viser sig, at er næsten konstant 37, ses at højden på prøvelegemet skal være to gange tværmål, for at brud frit kan udvikles.

1. Materialeegenskaber 23 Af fig. 1.1 kan man finde f c 2ccosϕ = (1.8) 1 sinϕ Som nævnt viser det sig, at stort set er konstant 37. For en beton, hvor trykstyrken kendes, er man derfor i stand til at bestemme brudbetingelsen. Med 37 bliver (1.8) til fc = 4c På hovedspændingsform bliver brudbetingelsen til 4 σ 1 σ 3 f c = (1.9) σ 1 = ft hvor 1 største hovedspænding mindste hovedspænding f c trykstyrken trækstyrken f t Hovedspændingerne er positive ved træk. Ved praktiske beregninger tages der udgangspunkt i de karakteristiske betonstyrker, som beskrevet i afsnit 2.2. Specielt interessant er de plane spændingstilstande hvor trækstyrken sættes til nul. I det tilfælde kan brudbetingelsen optegnes som på fig. 1.2, og det bemærkes at trykstyrken i én retning er uafhængig af tværtrykket. Mere om brudbetingelser for beton kan findes i [2], [4] og [5]. Figur 1.2: Brudbetingelse ved plan spændingstilstand og trækstyrken f t =0 1.1.5 Trykarbejdslinie og elasticitetsmodul Trykforsøg udføres normalt som korttidsforsøg, dvs. forsøg af nogle minutters varighed. Ved sådanne forsøg findes en korttidsstyrke og en korttidsarbejdslinie. Ved helt små spændinger er der en næsten retliniet sammenhæng mellem spænding og tøjning. Imidlertid er der en tendens til at arbejdslinien er krum. Tendensen bliver tydeligere ved større spændinger. For en tøjning på ca. 2 opnås maksimumsspændingen (trykstyrken f c ).